Fehlerrechnung - Gymnasium Gerlingen

Robert-Bosch-Gymnasium
Physik (2-/4-stÉndig), NGO
Praktikum
Fehlerrechnung
Skript zur Fehlerrechnung beim Praktikum
A. PfÄnder
3.2.2011
Seite - 3 -
Aufgrund dieser Definition des Mittelwertes ist die Summe aller Abweichungen der Einzelmesswerte vom Mittelwert
bei sehr vielen Messwerten gerade Null (die Abweichungen haben positives und negatives Vorzeichen):
n
x i n
i1
i1
x i x 0
falls x i x x i x 0
falls x i x x i x 0
Hinweis: je mehr Messungen gemacht werden, desto nÄher liegt der Mittelwert dem "wahren" Wert.
Varianz (Abweichung, Streuung; die Definition geht auf GauÇ zurÉck)
Die Abweichungen der Einzelmesswerte vom arithmetischen Mittelwert sind umso geringer, je zuver-
lÄssiger die Messung ist und umgekehrt. Eine kleine Varianz deutet auf eine gute Messung hin und umgekehrt.
x i x
Definition der Varianz (nach GauÇ):
Die Varianz (s 2 ) ist die Summe der Quadrate der Abweichungen der Einzelmessungen vom Mittelwert, dividiert
durch die um eins verminderte Zahl der Einzelmessungen.
Durch das Quadrieren erhÄlt man nur positive Werte, wÄhrend die Abweichungen selbst sich wegen des unterschiedlichen
Vorzeichens ja gegenseitig kompensieren. Durch das Quadrieren fallen zudem kleinere Abweichungen
fÉr die Varianz weniger ins Gewicht als starke Abweichungen. Das ist auch gut so fÉr die
AbschÄtzung der VerlÄsslichkeit einer Messung: sie ist gut, wenn die meisten Messwerte wenig vom Mittelwert
abweichen und "grobe AusreiÇer" selten vorkommen. Kommen sie dagegen vor, mÉssen sie stark zu Buche
schlagen.
Der Faktor 1/(n-1) ist bei kleinem n (also z. B. n = 2) viel grÅÇer (nÄmlich 1) als der Faktor 1/n (der wÄre nur
1/2). Bei groÇem n ist 1/(n-1) dagegen annÄhernd dasselbe wie 1/n; d. h. bei wenigen Messungen erhÄlt die Varianz
einen Éberproportional groÇen Wert, was ja auch der Absicht entspricht.
Also ist die Varianz wirklich ein gutes MaÇ fÉr die ZuverlÄssigkeit (QualitÄt) einer Messung.