Zum modellbasierten funktionalen Test reaktiver Systeme

B.2. Charakterisierung der Inklusion (5.4)
In der Hinrichtung ist dann
∃e∃x∃γ 1 ∈ GSubst ⊤ ∃γ 2 ∈ GSubst Cν •
¬unif (x, ˜σ) ∧ γ 1 (x) = e ∧ γ 2 (˜ν) = e =⇒ ˜σ ≰ ˜ν ∧ C ν
(B.6)
zu zeigen. Angenommen, ˜σ ≤ ˜ν ∨ ¬C ν gilt zusammen mit der Prämisse, d.h.
∃e∃x∃γ 1 ∈ GSubst ⊤ ∃γ 2 ∈ GSubst C˜ν
∃η ∈ Subst•
¬unif (x, ˜σ) ∧ γ 1 (x) = e ∧ γ 2 (ν) = e ∧ ( η(˜σ) = ν ∨ ¬C ν
)
.
(B.7)
Da ∃γ 2 ∈ GSubst Cν • ¬C ν ∧ γ 2 (ν) = e unerfüllbar ist, impliziert das (Quantorenpräfix
bleibt bestehen) ¬unif (x, ˜σ) ∧ γ 2 (η(˜σ)) = γ 1 (x), was wiederum
η(˜σ) ≤ γ 1 (x) bedeutet, und damit sind offenbar ˜σ und x wegen V(x)∩V(˜σ) = ∅
unifizierbar, was zu einem Widerspruch führt.
Für die Rückrichtung bezeichne O(t) die Menge der Positionen im Term t,
und t| p bezeichne für p ∈ O(t) den Subterm von t an Stelle p. Zu zeigen ist
˜σ ≰ ˜ν ∧ C ν =⇒
∃e∃x∃γ 1 ∈ GSubst ⊤ ∃γ 2 ∈ GSubst Cν • ¬unif (x, ˜σ) ∧ γ 1 (x) = e ∧ γ 2 (˜ν) = e.
(B.8)
Der Beweis erfolgt durch Fallunterscheidung über ˜σ ≰ ˜ν. Die Idee ist, eine
Variable in ˜σ so zu belegen, daß ˜σ und ˜ν nicht mehr unifizierbar sind. Es kann
o.B.d.A. angenommen werden, daß die Kardinalität der Extension aller Typen
größer ist als eins.
• Angenommen, ˜ν < ˜σ∧C ν . Dann ∃p ∈ O(˜ν)∩O(˜σ)• ˜ν| p ∈ V ∧˜σ| p ∉ V. Man
setzt x = γ 2 (˜ν) für γ 2 ∈ GSubst Cν mit γ 2 ⊇ {˜ν| p ↦→ k} für ein k ≠ ˜σ| p ,
γ 1 = ∅ und e = x. Da C˜ν|p ∧ ˜ν| p ≠ ˜σ| p nach Voraussetzung 1 erfüllbar ist,
folgt die Behauptung nach Konstruktion.
• Angenommen, ¬unif (˜σ, ˜ν) ∧ C ν . Wählt man irgendein γ 2 ∈ GSubst Cν ,
γ 1 = ∅ und setzt man x = γ 2 (˜ν) = e, so folgt die Behauptung nach
Konstruktion.
• Angenommen, C ν gilt und ˜ν und ˜σ sind bzgl. ≤ unvergleichbar, aber
unifizierbar. Dann ∃p ∈ O(˜ν) ∩ O(˜σ) • ˜ν| p ∈ V ∧ ˜σ| p ∉ V, und der Beweis
erfolgt wie im ersten Fall.
Im Fall C σ ≠ ⊤ müssen für die Komplementierung von [[σ]] zusätzlich die
Terme zugelassen werden, die Instanzen von ˜σ sind, die aber nicht C σ erfüllen.
Diese Menge ist beschrieben durch
[[σ]] = [[˜σ]] ∪
([[˜σ]] − ⋃ ) ⋂
[[η(˜σ)]] = [[η(˜σ)]], (B.9)
η∈Subst Cσ η∈Subst Cσ
und gemäß Gleichung B.3 ergibt sich daraus
e ∈ [[σ]] ⇐⇒ ∀η ∈ Subst Cσ ∃x∃γ ∈ GSubst ⊤ • ¬unif (x, η(˜σ)) ∧ γ(x) = e (B.10)
1 Forderungen nach minimaler Kardinalität und Instantiierung, wenn möglich.
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