Zum modellbasierten funktionalen Test reaktiver Systeme

B. Beweise
Eine syntaktische Charakterisierung – ein CLP-Programm – der Teilmengenbeziehung
[[ν]] ∩ [[σ]] ≠ ∅ ⇐⇒
∃e∀η ∈ Subst Cσ ∃x∃γ 1 ∈ GSubst ⊤ ∃γ 2 ∈ GSubst Cν •
¬unif (x, η(˜σ)) ∧ γ 1 (x) = e ∧ γ 2 (˜ν) = e
(B.11)
ist Gleichung 5.4, die jetzt bewiesen werden kann:
[[ν]] ∩ [[σ]] ≠ ∅ ⇐⇒ C ν ∧ (˜σ ≤ ˜ν ⇒ mgu (˜ν,˜σ) (C σ ∧ C ν ) ) .
Beweis von 5.4 In der Hinrichtung wird wiederum die Negation der Aussage
zu einem Widerspruch geführt. Da erneut ∃γ 2 ∈ GSubst Cν • ¬C ν ∧ γ 2 (˜ν) = e
nicht erfüllbar ist, bleibt (Quantorenpräfix bleibt bestehen)
¬unif (x, η(˜σ)) ∧ γ 1 (x) = γ 2 (˜ν) ∧ ˜σ ≤ ˜ν ∧ ¬mgu (˜ν,˜σ) (C σ ∧ C ν )
(B.12)
zu zeigen. x ist nach Definition ein Term, der nicht mit einer C σ erfüllenden
Instanz von ˜σ unifizierbar ist. Der Fall C σ = ⊤ wurde bereits behandelt, also
sei C σ ≠ ⊤. Der Beweis trifft eine Fallunterscheidung über das Verhältnis von
x und ˜σ.
• Wenn ˜σ und x nicht unifizierbar sind, dann gibt es wegen ˜σ ≤ ˜ν keine
gemeinsame Instanz e von x und ˜ν.
• Es seien also ˜σ und x unifizierbar. ¬mgu (˜ν,˜σ) (C σ ∧ C ν ) läßt sich als ∀ζ ∈
Subst • ζ(C σ ∧ C ν ) ⇒ ζ(˜ν) ≠ ζ(˜σ) schreiben. ∃ξ ∈ Subst • ξ(˜σ) = ˜ν wegen
˜σ ≤ ˜ν, also folgt durch Einsetzen ∀ζ ∈ Subst•ζ(C σ ∧C ν ) ⇒ ζ(ξ(˜σ)) ≠ ζ(˜σ).
Nach Voraussetzung ist C σ ≠ ⊤ und damit wegen V(C ν ) ∩ V(C σ ) = ∅
ζ(C σ ∧ C ν ) erfüllbar. Die Aussage läßt sich negieren in ∃ζ ∈ Subst • ζ(C σ ∧
C ν ) ∧ ζ(ξ(˜σ)) = ζ(˜σ), was offenbar gültig ist, denn Terme sind immer
mit umbenannten Instanzen von sich selbst unifizierbar. Damit ist die
ursprüngliche Aussage nicht gültig, und der Widerspruch ist gezeigt.
Für die Rückrichtung wird wiederum über die Beziehung von ˜ν und ˜σ unterschieden.
• Der Beweis für C ν ∧ ˜σ ≰ ˜ν erfolgt wegen [[˜σ]] ⊇ [[σ]], damit [[˜σ]] ⊆ [[σ]] und
also [[ν]] ∩ [[˜σ]] ≠ ∅ =⇒ [[ν]] ∩ [[σ]] ≠ ∅ in Analogie zum entsprechenden Fall
im Beweis von Gleichung B.4.
• ˜σ ≤ ˜ν und mgu (˜ν,˜σ) (C σ ∧C ν ) gelte. ζ ∈ Subst Cσ∧C ν
mit ζ(˜ν) = ζ(˜σ) existiert
nach Voraussetzung. Für x = ζ(˜ν) = ζ(˜σ), ein beliebiges γ 1 , γ 2 = γ 1 ◦ ζ
und schließlich e = γ 1 (x) = γ 2 (˜ν) gilt Gleichung B.11 nach Konstruktion.
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