Teilchen im Kasten

Da diese Gleichung für alle Werte von X, Y, Z gilt, müssen die drei Summanden
auf der linken Seite jeweils konstant sein:
1
X
⋅
∂
2
∂ x
X
2
=
−
α
2
x
1
Y
⋅
∂
2
∂ y
Y
2
=
−
α
2
y
1
Z
⋅
∂
2
∂ z
Z
2
=
−
α
2
z
mit
2 2 2 2 2m E
= α + α + α =
x y z 2
α .
h
Analog zum eindimensionalen Potentialkasten erhält man:
α
x
=
1 π
a
n 2 π
b
n π
c
n 3
α y =
αz
=
n π
a
1
( x) = A sin x n 1,2,3...
X x 1 =
n π
b
2
( y) = A sin y n 1,2,3...
Y y 2 =
n π
c
3
( z) = A sin y n 1,2,3...
Z z 3 =
n1
πx
n 2 π y n3
πz
Ψ n1
n 2 n3
( x, y,z)
= Asin ⋅ sin ⋅ sin
a b c
Normierungskonstante
A =
8
a bc
E n1
n
2
n
3
=
h2
α
2m
2
=
2
8 h m
⎛
⎜
⎝
n
a
2
1
2
+
n
b
2
2
2
+
n
c
2
3
2
⎞
⎟
⎠
.