Teilchen im Kasten

Zustandsdichte in einem Kasten mit a = b = c = L:
E n1 n2n3
=
2 2 2
( n + n + n )
1
1
8mL
Stellt man sich vor, dass die Quantenzahlen n einen Raum aufspannen, und dass
ein Satz von n-Werten einen Punkt in diesem Raum darstellt, so kann man argumentieren,
dass die mögliche Anzahl von Zuständen proportional zum "Volumen"
des "n-Raums" ist.
Hierzu wird der Radius R im „n-Raum“ definiert:
2
1
h
2
R =
2 2 2
1 + n1
n1
n +
Nun kann die Energie E durch R ausgedrückt werden:
2 2mE
R =
h
2
2
h R
E =
8mL
2
L
Beim Teilchen im Kasten können im n-Raum nur positive Werte für n auftreten,
daher muss das Volumen durch 8 geteilt werden. Da aber zwei verschiedene
Spinwerte für das Elektron möglich sind, muss mit 2 multipliziert werden. Die
Anzahl der Werte lautet dann:
N =
⎛ 1 ⎞ 4
⎝ 8 ⎠ 3
⎛ 8π
⎞
⎟
⎝ 3 ⎠
3
2
( 2) ⎜ ⎟ πR
= ⎜ ( 2mE) 3 /
3
und die Anzahl der Zustände pro Volumen:
3
L
h
n
z
=
N
3
L
⎛ 8π
⎞
= ⎜ ⎟
⎝ 3 ⎠
( 2mE)
h
3
3/ 2
Die Zustandsdichte als Funktion der Energie ist die Ableitung von n z nach der
Energie:
dn z
ρ E) =
dE
4π
=
( 2m)
(
3
h
3 / 2
E