Formelsammlung - IAG

Grundlagen der Strömungslehre
Formelsammlung
Sommersemester 2010
1.8 Druck
Druck: p = Kraft/Fläche, Druckkraft: F p = p · A
2.2 Grundgleichung der Fluidstatik
∂p
∂z = −ρ g ⇒ p = p 0 − ρ g z (inkompressibles Fluid, also ρ = const.)
2.3 Fluidkräfte auf Wände
Kräfte und Momente infolge hydrostatischen Drucks p = p a + ρ g y
dierenziell
integriert
dF = ∆p ds dz = (p − p a ) ds dz
x
dF x = dF sin α = ∆p dy dz F y = 2
x
x 1
dF y = ρ g dz
2
x 1
y(x) dx
y
dF y = dF cos α = ∆p dx dz F x =
2
y 1
dF x = 1 2 ρ g ( y2 2 − y1) 2 dz
dM A = ⃗r × dF ⃗
y
= y · dF x − x · dF y dM A =
2
x
y 1
y dF x −
2
x 1
x dF y =
[ ( ]
1
ρ g dz
3 y
3
2 − y1) 3 x2
−
x 1
x y(x) dx
2.4 Atmosphärenschichtung
3. Grenzächen
Isotherm
Fluidspiegel unter Rotation z(r) = ω2
2 g r2 + z(0)
Isentrop
(
p(z) p 0 · exp(−ρ 0 g z/p 0 ) p 0 1 −
κ−1
κ
ρ ) κ
κ−1
0 g z/p 0
(
ρ(z) ρ 0 · exp(−ρ 0 g z/p 0 ) ρ 0 1 −
κ−1
κ ρ ) 1
κ−1
(
0 g z/p 0
T (z) T 0 T 0 1 −
κ−1
κ ρ )
0 g z/p 0
Im Zylinder: z(r) = H + ω2
2 g (r2 − 1 2 R2 ), z(0) = H − ω2
4 g R2 , z(R) = H + ω2
4 g R2
4.1 Auftrieb
Auftrieb = Gewicht des verdrängten Fluidvolumens: F A = −ρ Fluid g V Körper (zeigt senkrecht nach oben)
Körper schwebt oder schwimmt: ρ K g V K = ρ F g V V , Körpergewicht = Gewicht verdrängtes Fluidvolumen
4.2 Schwimmstabilität
A über S → absolut stabil, S über A → bedingt stabil, wenn M über S liegt
h m = Is
V − e > 0 ⇔ I s
V
> e
mit h M = Höhe Metazentrum über Schwerpunkt, I S = Flächenträgheitsmoment der Schwimmäche
V = verdrängtes Volumen, e = Abstand zwischen Schwerpunkt und Auftriebsmittelpunkt
daher: e < 0 → absolut stabil (A über S),e < I S /V V → bedingt stabil (M über S)
1

5.3 Druck im bewegten Fluid
Gesamtdruck mit Pitot-Rohr gegen die Strömung: p ges = p stat + p dyn
Prandtl-Rohr: p dyn = 1 2 ρ v2 = p ges − p
√ stat
ρ Sperr g ∆H = 1 2 ρ Fluidv 2 und v = 2 g ∆H ρ Sperr
ρ Fluid
6.2 Massenerhaltungssatz
⃗n Einheitsvektor ⊥dA, nach auÿen zeigend
∂
ρ dV + ρ ⃗u · ⃗n dA = 0
∂t V
A
(A)
Bilanz aller ein- und ausströmenden Massen gleich Massenzuwachs im Kontrollvolumen
Sonderfälle der Konti-Gleichung:
1. Stationärer ∂
Vorgang:
∂t = 0
Gl.(A) → ρ ⃗u · ⃗ndA = 0
A (A.1)
2. (1.) & ⃗u ‖ ±⃗n ⇒ ⃗u · ⃗n = ±|u|
Gl.(A.1) → Σ i
A i
±ρ i |⃗u i | dA = 0 (A.2)
3. (2.) & inkompressibles Fluid ρ = const.
Gl.(A.2) → Σ i
A i
±|⃗u i | dA = 0 (A.3)
4. Geschwindigkeit ⃗u i über Querschnitt A i konstant
Gl.(A.2) → ∑ i ±ρ i |⃗u i | A i = 0
Gl.(A.3) → ∑ i ±u i A i = 0
5. Rohrströmung
Gl.(A.4) → −ρ 1 A 1 u 1 + ρ 2 A 2 u 2 = 0
Gl.(A.5) → A 1 u 1 = A 2 u 2
(A.4)
(A.5)
(A.6)
(A.7)
6.3 Impulserhaltung
Impulsstrom d˙⃗ I = ρ ⃗u d ˙V = ρ u 2 dA
Einuss von auÿen G i = F ⃗ i , angreifende Kräfte :
⃗F p = −
A p ⃗n dA Druckkraft; F ⃗ G = ρ g dV Gewichtskraft;
V
⃗F R = −
A τ ⃗n dA Reibungskraft; F ⃗ K Körperkraft
∂
ρ ⃗u dV + ρ ⃗u (⃗u · ⃗n) dA = Σ iFi
⃗
∂t V
A
(B)
Annahme: Reibungsfreiheit ⇒ Euler-Gleichung in Stromrichtung
längs: ∂v
∂t + v ∂v
∂s + g ∂z
∂s + ∂ p
∂s ρ = 0
quer: 1 ∂p
ρ ∂n + g ∂z
∂n + v2
R = 0
6.4 Energieerhaltung
dE
dt
= ˙Q + Ẇ mit E = gespeicherte Energie, ˙Q = Wärmestrom, Ẇ = mechanische Leistung am System
Mögliche Prozesse werden eingeschränkt durch den zweiten Hauptsatz: dS = dQ T ≥ 0
mit S = Entropie, Q = Wärmezufuhr, T = Temperatur
7. Bernoulli-Gleichung (Fluidkinetik)
Kräftegleichgewicht (Eulergleichung, also reibungsfrei, verlustfrei)
2
1
2
1
dv
dt ds + 2
1 v dv + 2 1
1 ρ dp + 2
1 g dz = 0
dazu ρ = const. (inkompressibel)
dv
dt ds + 1 2 (v2 2 − v1) 2 + 1 ρ (p 2 − p 1 ) + g(z 2 − z 1 ) = 0

Druckform (BG p ) p 1 + ρ 2 v2 1 + ρ g z 1 = p 2 + ρ 2 v2 2 + ρ g z 2 = const.
Energieform (BG E ) p 1
ρ
+ 1 2 v2 1 + g z 1 = p 2
ρ
+ 1 2 v2 2 + g z 2 = const.
Höhenform (BG H ) p 1
ρ g + 1 v 2 1
2 g
+ z 1 = p 2
ρ g + 1 v 2 2
2 g
+ z 2 = const.
7.1 Anwendungsbeispiele
Prandtl-Rohr: v ∞ =
√
Venturi-Rohr: v 1 =
√ √
2△p 2ρH2 O g △h
ρ Luft
=
ρ Luft
√
2(p 1 −p 2 )
2ρ (p1 −p 2 )
1
A 2 − 1
A
2
2 1
ρ( ( A1
A 2
) 2−1
), ṁ =
Stufenquerschnitte: v 2 = A 1
A 2
v 1 , p 2 = p 1 + 1 2 ρ v2 1
(
1 −
(
A1
A 2
) 2
)
Druckrückgewinnung via Diusor:A 1 = A 2
√
1 − 2(p 2−p 1 )
ρ v 2 1
Wasserstrahl-Vakuumpumpe: p 2 = p ges − (p ges − p a )
(
AM
A2
) 2
Fontäne: v 1 = √ 2 g (z 2 − z 1 )
7.2 Torricelli-Formel
Ausströmgeschwindigkeit v 2 =
√
2 g △h + 2 ρ (p 1 − p a )
falls p 1 = p a (oener Behälter): v 2 = √ 2 g △h
7.4 Quasistationärer Vorgang
Quasistationärer Vorgang: A 1 ≫ A 2
Ausströmgeschwindigkeit: v 2 = √ 2 g △h = √ 2 g z
Konti-Bedingung: A 2 v 2 = A 1 v 1 ⇒ v 1 ≪ v 2 , v 1 = − dz
dt = A 2
A 1
√ 2 g z
Eine lineare DGL 1. Ordnung, Lösung via Integration, Ausströmdauer △T = A 1
A 2
√
2
g
8.1 Zähigkeit von Fluiden
Dynamische Zähigkeit η = τ ∂u
∂z
Kinematische Zähigkeit ν = η ρ
8.3 Reynolds-Zahl
Schubspannung/Geschw. Gradient [Ns/m²]
Dynamische Zähigkeit/Dichte [m²/s]
Denition Re = u L
ν
=Trägheit/Reibung
mit u = charakteristische Geschwindigkeit, L = charakteristische Länge,
ν = kinematische Zähigkeit
(√
z1 − √ z 2
)
Für Rohrströmung: Re = u m D H
mit u m = mittlere Geschwindigkeit, D H = hydraulischer Durchmesser
ν
Re < 2300: Strömung laminar
Re > 2300: Strömung turbulent
8.4 Einbauten in der Rohrströmung
Verluste treten nur im Druck auf, nicht bei Geschwindigkeit (Konti!)
Einbauten mit sprunghaftem Druckverlust
Ventil, Schieber, Krümmer, Verengung, Erweiterung, Einlauf, Auslauf, Turbine, Pumpe, Rückschlagventil,
Abzweigung, Zulauf, Filtergitter
△p V,i = ζ i q i = 1 2 ρ u2 i ζ i
mit △p V,i = Druckverlust des i-ten Einbaus, ζ i = Verlustzahl (Versuche/Tabellen/Diagramme),
q i = 1 2 ρ u2 i dynamischer Druck, u i = mittlere Bezugsgeschwindigkeit

Rohrabschnitt
△p V,i = λ i L i q i
D H,i
mit L i = Rohrlänge, D H,i = hydraulischer Durchmesser, λ i = Verlustzahl f(Re, ks
D ),
Re = Reynolds-Zahl, k s = äquivalente Sandrauigkeit
Leistungsgewinn einer Turbine (verursacht Druckverlust)
P T = η T △p T Q → △p T =
P T
η T Q
mit η T = Wirkungsgrad (< 1), △p T = Druckdierenz > 0 (p nach < p vor , Druckverlust), Q = Volumenstrom
Leistungsbedarf einer Pumpe (negativer Druckverlust)
Q
P P = △p P → △p P = η P P
η P
Q
mit η P = Wirkungsgrad < 1, △p P = Druckdierenz < 0 (Druckgewinn)
Reibungszahlen λ
1. Laminar (Re < 2300): λ = 64
Re
2. Blasius (glatt, Re < 10 5 )λ = 0,3164
Re 0,25
3. Prandtl (glatt):
1 √λ = 2 log(Re √ λ) − 0,8
4. Übergangsbereich √ 1
λ
= 1,14 − 2 log( k s
D + Re 9,35 √ ) λ
5. hydraulisch rau λ = ( ) −2
1,14 − 2 log ks
D
8.5 BG für Rohrströmung mit Verlusten
p 1 + α ρ 2 v2 1 + ρ g h 1 = p 2 + α ρ 2 v2 2 + ρ g h + △p V,1→2
mit α = 1 für turbulente Strömung (Re> 2300), α = 2 für laminare Strömung (Re < 2300)
△p V,1→2 = △p p + △p T + ∑ i ζ i q i + ∑ λ i L i q i
D
i H,i
Summe aller Druckverluste entlang des Stromfadens
9. Impulssatz (Fluiddynamik)
2. Newtonsches Gesetz (Kraft gleich Impulsänderung):
⃗F = d⃗ I
dt = ∂ ∂t V ρ⃗v dV + (ρ⃗v) (⃗v · ⃗n) dA
A
mit dA = durchströmte KV-Fläche, ⃗n = Einheitsvektor ⊥ dA, nach auÿen zeigend
falls stationär ∂ ∂t = 0:⇒ F ⃗ ges =
A (ρ⃗v)(⃗v · ⃗n) dA = I ⃗ = Impulsstrom
9.1 Impulsstrom
Sonderfall: ρ = const., ⃗v über A konstant und ‖ ±⃗n:
Betrag des Impulsstroms: | ⃗ F I | = |ρ v 2 A i |, Richtung immer nach auÿen
9.2 Kräfte
Kräfte, die auf das Fluid im KV wirken: ⃗ F = ⃗ F f + ⃗ F R + ⃗ F p + ⃗ F K
⃗F f = Feldkraft: Gewichtskraft des Fluids: g V ρ dV
⃗F R = Reibungskräfte: Schubkräfte von Wänden auf Fluid: A
τ · ⃗n dA
⃗F p = Druckkraft: Druck auf Fluid an Grenzächen: − A
p ⃗n dA
⃗F K = Körperkraft: Kraft des Körpers auf das Fluid (z.B. durch Flügelauftrieb)