Aufgabe 1: Neckar-Staustufe Cannstatt - IAG - Universität Stuttgart

F2011 Strömungslehre (Pflicht) 20.4.2011
Aufgabe 1: Neckar-Staustufe Cannstatt
(29 P.) Im Herzen Stuttgarts durchläuft der Neckar unter anderem die Staustufe an der
König-Karls-Brücke in Bad Cannstatt, wo ein Wehr und zwei Schleusen den Höhenunterschied
überwinden. Die identischen Schleusenkammern sind zusammen 24 m breit. Das
Wehr überspannt b Wehr = 100 m Flussbreite.
Aus einer Flussmessung an der
N
Stelle A (b A = 80 m) ist der Volumenstrom
des Flusses bekannt, der an jeder
Stelle eine Wassertiefe von h = 2,8 m
aufweist.
Nach der Mittagspause ist das Verkehrsaufkommen
gering und beide Kam-
C
mern des Hubwerkes sind geschlossen.
Dennoch bemerkt Schleusenwärter
Schäuffele eine leichte Strömung ✎☞vor
Schleusenkammer 1 (Stelle ✍✌ B ) in
B
Flussrichtung, nicht aber vor Schleusenkammer
2, wo alles ruhig ist. Als
Hobby-Aeronaut bastelt er sich ein
Pendel-Anemometer aus einer Birne
(angenäherte Kugel d Birne = 10 cm,
C W = 0,47) und einem langen Faden,
welches er von der Kaimauer in
die Strömung taucht und einen Winkelausschlag
von der Lotrechten α B = 5 ◦
misst.
Wehr
100 m
Schleuse 1
Schleuse 2
24 m
Neckar-Staustufe Cannstatt:
König-Karls-Brücke
Gegeben:
✎☞
˙Q A = 40 m3 /s Volumenstrom am Flussquerschnitt
✎☞ ✍✌ A
h A = 2,8 m Fahrwassertiefe an ✍✌ A und jeder anderen unverbauten Flussstelle
b A = 80 m Flussbreite an der Abflussmessung
2b B = 24 m Breite beider Schleusen zusammen
b Wehr = 100 m Breite des Wehrs
ρ Wasser = 1000 kg /m 3 Dichte des Flusswassers
ρ Birne = 1,028 g /cm 3 Dichte der Birne aus der Brotzeit von Herrn Schäuffele
d Birne = 10 cm Durchmesser der Kugelannäherung der Birne
C W = 0,47 Widerstandskoeffizient der Schäuffel’schen Birne
✎☞
α B = 5 ◦ Auslenkwinkel des Birnen-Anemometers an Stelle ✍✌ B
A
80 m
Fragen:
a) Skizzieren Sie das Schäuffel’sche Birnen-Anemomenter sowie die angreifenden Kräfte (6)
und berechnen Sie die Geschwindigkeit u B vor der Schleuse.
b)
✎☞
Bestimmen Sie nun die Geschwindigkeit u A an der Flussmesstelle ✍✌ A sowie uWehr
unmittelbar vor dem Wehr.
(4)
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Die Strömung vor Schleuse 1 ist auf einen Schließdefekt zurückzuführen, weshalb die
Schleuse trockengelegt und repariert ✎☞ werden muss. Anschließend wird die Schleuse von
der Nordseite her geflutet (Stelle ✍✌ C ), indem das Tor um b = 0,5 m angehoben wird
(siehe Skizze). Dabei bleibt das Flusswasser außerhalb der Schleuse nahezu in Ruhe und
in der Schleuse entwickelt sich eine schießende Wasserströmung mit einer Froude-Zahl
Fr 2 = u 2
√ = 2 und einen darauffolgenden Wassersprung unbekannter Höhe h 3 . Herr
g h2
Schäuffele sorgt sich um das Schleusentor und weiß aus Erfahrung, dass sich die Höhe h 2
nach dem Tor aus dem Ausströmkoeffizienten C AS = h 2
b
= 0,61 ergibt.
Schleusenstelle C:
y
A
Schleusentor
x
Wassersprung
h 1
h 2
h 3
b
c) Skizzieren Sie das Kontrollvolumen zur Bestimmung der Kraft auf das Schleusentor. (6)
Skizzieren sie die Druckverläufe entlang aller Grenzen des Kontrollvolumens und
geben Sie die Druckwerte in Abhängigkeit von den gegebenen Größen an. Zeichnen
Sie dann alle nötigen Komponenten der Impulserhaltung ein (Vernachlässigung der
Reibung am Grund).
d) Bestimmen Sie die Strömungsgeschwindigkeit in die Schleuse sowie die Kraft auf das (7)
Tor. Hinweis: Die Geschwindigkeit kann über die Wasserhöhe als konstant angenommen
werden (u(y) = const.), der Druck hingegen nicht.
e) Bestimmen Sie die Höhe des Wasserspiegels hinter dem Wassersprung h 3 . (3)
Hinweis: Impulsbilanz über den Sprung hinweg.
f) Über den Wassersprung hinweg verliert die Strömung an der Wasseroberfläche an (3)
hydraulischer (kinetische + potenzielle) Energie durch Dissipation. Wie groß ist der
spezifische Energieverlust e V erlust pro Volumen? Wie groß ist dieser Verlust bezogen
auf die potenzielle Energie des Flusswassers an der Stelle A?
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Aufgabe 2: Gasdruckfeder
(31 P.) Eine mit Stickstoff gefüllte Gasdruckfeder fährt entgegen einer Kraft F K mit
konstanter Geschwindigkeit v K aus. Der Druck p 1 kann dabei als konstant angenommen
werden und sei gegeben. Im Kolben seien 4 kreisförmige Bohrungen mit Durchmesser d B
angebracht. Wandreibung kann zunächst vernachlässigt werden.
Hinweis: Die Aufgabenteile e)/f) sowie g)/h) können unabhängig von den vorherigen
gelöst werden.
p a
p 1 ,ρ 1 p 2 ,ρ 2
dB
F K
dS
v K
dK
Gegeben:
d K = 0,1 m Durchmesser des zylindrischen Kolbens mit Kolbenfläche A K
d S = 0,02 m Durchmesser der Kolbenstange, kreisförmiger Querschnitt A S
d B = 4 mm Durchmesser der Bohrungen mit kreisförmigen Querschnitt A B
n = 4 Anzahl der Bohrungen im Kolben
p 1 = 5 · 10 5 Pa Druck in Kammer 1
p a = 1 · 10 5 Pa Umgebungsdruck
ρ 1 = 5,76 kg /m 3 Dichte von Stickstoff bei 5 bar
F K = 100 N Kraft auf den Kolben
Fragen:
Nehmen Sie zunächst ρ = ρ 1 ≈ ρ 2 = const. an und betrachten das Problem als inkompressibel.
a) Zeichnen Sie in einem 2D-Schnitt die Strömung um die obere Bohrung im kolbenfesten (4)
Bezugssystem und stellen Sie die Bernoulli-Gleichung entlang einer Stromlinie bis
zum Bohrungsende auf, der Strahl trete dabei mit der Geschwindigkeit v B (im kolbenfesten
Bezugssystem) in die Kammer 2 aus. (Die Strömung kann in guter Näherung
als verlustfrei angesehen werden.)
b) Geben Sie eine weitere Beziehung für die Geschwindigkeit in der Bohrung v B im (3)
kolbenfesten Bezugssystem in Abhängigkeit von v K und den gegebenen Größen an.
Zusatzfrage: Wie groß wäre das tatsächliche Dichteverhältnis von Kammer 1 zu
Kammer 2? (2 ZP)
c) Verwenden Sie nun p 2 = 4,95 bar. Berechnen Sie daraus die Geschwindigkeit des (2)
Kolbens.
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d) Betrachten Sie nun die Strömung als kompressibel und bestimmen Sie v K , wiederum (6)
für p 2 = 4,95 bar. (Annahme: ideales Gas, κ = 1,4, isentrope Strömung)
e) Berechnen Sie den tatsächlichen Wert von p 2 , wenn auf den Kolben von außen die (3)
konstante Kraft F K wirkt. (Skizzieren und verwenden Sie ein kolbenfestes Kontrollvolumen,
das sich in einiger Entfernung vom Kolben befindet.)
f) Begründen Sie, warum sich das Kontrollvolumen in einiger Entfernung vom Kolben (2)
befinden sollte. Welche wichtige Funktion besitzt die dicke Kolbenstange?
Abschließend soll ein geometrisch identisch aufgebauter Dämpfer betrachtet werden. Als
Dämpfungsflüssigkeit wird ein Silikonöl mit einer konstanten Dichte ρ verwendet. Zur
Einstellung der Dämpfung verengt wie abgebildet ein Schieber die Bohrung. Bestimmen
Sie zunächst die Geschwindigkeiten in der Bohrung und in der Verengung.
dV
dB
L
L
L
v K
Gegeben:
d K = 0,1 m Durchmesser des zylindrischen Kolbens mit Kolbenfläche A K
d S = 0,02 m Durchmesser der Kolbenstange, kreisförmiger Querschnitt A S
d B = 4 mm Durchmesser der Bohrungen mit kreisförmigen Querschnitt A B
d V = 3,6 mm hydraulischer Durchmesser der Verengung, Querschnitt A V
v K = 0,01 m /s Geschwindigkeit des Kolbens
p 1 = 15 · 10 5 Pa Druck in Kammer 1
ρ = 816 kg /m 3 Dichte des Silikonöls
η = 3,2 · 10 −3 Pa s dynamische Viskosität des Silikonöls
ζ E = 0,25 Verlustbeiwert am Eintritt der Bohrung bezogen auf v B
ζ f1 = 0,1 Verlustbeiwert am Eintritt der Verengung bezogen auf v V
ζ f2 = 0,2 Verlustbeiwert am Ende der Verengung bezogen auf v V
L = 0,01 m Länge der einzelnen Teilstücke.
g) Bestimmen Sie zunächst die Geschwindigkeiten in der Bohrung und in der Verengung. (3)
h) Berechnen Sie nun die zugehörigen Reynolds-Zahlen. Ermitteln sie dann den Druck (8)
p 2 , der sich hinter dem Kolben einstellt, unter Berücksichtigung der angegebenen
Verluste sowie Rohrreibung.
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Aufgabe 3: WM Stadion Katar
(23 1 / 2 P.) Für die Fußballweltmeisterschaft in Katar soll die Umströmung eines Fußballstadions
berechnet werden. Dafür wird das Stadion im Querschnit längs der Mittellinie
betrachtet (siehe Skizze). Die beiden Zuschauertribünen werden hier als Dipole der Stärke
µ modelliert, welche sich an der Stelle (x 1 ,y d ) bzw. (x 2 ,y d ) befinden. Die maximale Höhe
der Zuschauertribüne wird in den Punkten (x 1 ,H) bzw. (x 2 ,H) erreicht. Wegen der gelegentlich
in der Region auftretenden Sandstürme soll die Eignung des Stadions als WM
Spielort bei einem Sandsturm untersucht werden. Hierbei wird der Sandsturm als Translationsströmung
in x-Richtung mit einer konstanten Geschwindigkeit U ∞ modelliert.
y
U ∞
H
Zuschauertribüne
x
x k
x 1 x 2
µ y d
µ
Gegeben:
x 1 = −50 m x Position des Dipols 1
x 2 = 50 m x Position des Dipols 2
H = 30 m
Höhe der Zuschauertribune
µ = −2 · 10 5 m 3 /s Dipolstärke von Dipol 1 und 2
U ∞ = 25 m/s
Geschwindigkeit des Sandsturms
Fragen:
a) Stellen Sie die skalare Stromfunktion und die Geschwindigkeitskomponenten u und v (6 1 / 2 )
für dieses Problem auf. Geben Sie auch den Zusammenhang zwischen Stromfunktion
und den Geschwindigkeitskomponenten an.
b) Die Stadionkontur ist durch die Konturlinie gegeben, welche die x-Achse bei x k = (3)
−100 m schneidet. An welcher Vertikalposition y d müssen sich die beiden Dipole befinden,
wenn die Zuschauertribünen eine Maximalhöhe von H = 30 m erreichen sollen.
c) Bei Spielen der katarischen Nationalmannschaft ist natürlich auch der Scheich von (4)
Katar anwesend. Die Loge des Scheichs von Katar befindet sich dabei auf der Konturlinie
an der Position x l = −35 m. Damit dem Scheich nicht sein Beduinentuch vom
Kopf geweht wird, darf dafür in der Loge nur eine maximale Vertikalgeschwindigkeit
v max = 10 m /s wehen. Ist diese Bedingung erfüllt?
(Notwert für Teilaufgabe b): y D = −10,6 m)
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d) Um die Spieler vor den heißen Temperaturen zu schützen, soll ein durchgehendes (4)
Dach über das gesamte Stadion errichtet werden. Es befindet sich auf einer Höhe
H Dach = 45 m und wird als ebene Platte unenendlicher Länge potentialtheoretisch
angenähert. Skizzieren Sie die dafür notwendigen Singularitäten und mindestens zwei
Stromlinien. Hinweis: Eine geringfügige Konturänderung der Tribüne wird dafür in
Kauf genommen.
e) Ist durch die Dachkonstruktion noch gewährleistet, dass in der Loge des Scheichs die (4)
max. Vertikalgeschwindigkeit v max = 10 m/s nicht überschritten wird?
f) Bestimmen Sie allgemein den Druckverlauf auf der Innenseite des Stadiondachs und (2)
beschreiben Sie (ohne Rechnung!) wie daraus die Kraft pro Einheitstiefe auf das
Stadiondach berechnet werden kann. Dabei wird angenommen, dass das Stadiondach
nicht unendlich lang ist, sondern sich von x Dach,1 bis x Dach,2 erstreckt.
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Aufgabe 4: Kyle, der Keil
(30 P.) Im Folgenden wird ein zweidimensionaler Keil in einer Überschallströmung betrachtet.
Der halbe Öffnungswinkel θ 1 beträgt 10 ◦ . An der Hinterkante löst die Strömung
unter einem Winkel von θ 2 = 5 ◦ gegenüber der Horizontalen ab (siehe Abbildung). Der
Körper wird zunächst von Luft mit der Umgebungstemperatur T 1 = 300 K und dem
Umgebungsdruck p 1 = 1 bar angeströmt. Die Länge des Keils beträgt c = 1 m.
Hinweise:
• Geben Sie jeweils an, welche Formeln, Tabellen und Diagramme Sie verwenden.
• Tabellenwerte müssen nicht interpoliert werden (nächstliegenden Wert nehmen).
• Die Strömung sei im gesamten Gebiet mit Ausnahme von Diskontinuitäten isentrop.
• Die Grenzschicht ist zu vernachlässigen; die Umströmungen besitzen 2D-Eigenschaften.
• Luft sei als Idealgas anzunehmen. Der Adiabatenindex sei κ = 1,4 und die Gaskonstante
R = 287 J/(kg K).
1
x
3
2
θ 1
θ 2
c = 1 [m]
Fragen:
a) Skizzieren Sie in obiger Abbildung das Wellenbild.
(2)
b) Aus Schlierenaufnahmen wird ein Stoßwinkel von 30 ◦ ermittelt. Bestimmen Sie mit (1)
dieser Angabe die Anströmmachzahl M 1 .
c) Berechnen Sie die Machzahl, den statischen Druck und die statische Temperatur im (4)
✎☞
Gebiet ✍✌ 2 sowie die Entropieänderung s2 − s 1 über den schrägen Stoß.
d) Skizzieren Sie den Stoß an der Keilspitze, wenn die Anströmmachzahl auf M (1 1 1 = 1,2 / 2 )
reduziert würde.
e) Welchen Totaldruck zeigt eine auf der Keiloberseite platzierte Pitotsonde an? Gehen (3 1 / 2 )
Sie von M 2 = 2,24 aus.
f) Bestimmen Sie die Machzahl, den statischen Druck und die statische Temperatur im (6 1 / 2 )
✎☞
Gebiet ✍✌ 3 . Geben Sie außerdem die Winkel der beiden einhüllenden ✎☞ Machlinien des
Expansionsfächers gegenüber der Hauptströmungsrichtung (Gebiet ✍✌ 1 ) an.
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g) Berechnen Sie den Wellenwiderstand W pro Tiefeneinheit des Körpers. Gehen Sie (2)
hierfür von einem Druck an der Keilhinterseite von p KH = const. = 0,8 bar aus.
(Notwert: p 2 = 2 bar).
h) Berechnen Sie den Reibungswiderstand R pro Tiefeneinheit des Körpers. Die Schubspannung
auf der Keilober- und Keilunterseite sei τ w = 622 N /m 2 x −0.2.
(3)
(
c)
Dabei stellt
x die Laufvariable entlang der Oberflächen dar. Geben Sie außerdem das Verhältnis
von Reibungswiderstand zu Wellenwiderstand (R/W) an und kommentieren Sie das
Ergebnis.
i) Wie ändert sich der Stoßwinkel aus Aufgabenteil a), wenn statt des Keils ein Kegel (1)
betrachtet wird. Begründen Sie.
Der Keil befinde sich nun in einem Überschallwindkanal, der mit Helium betrieben wird
(Idealgas, κ He = 5/3, R He = 2077 J /K kg). Der Querschnitt der quadratischen Messsektion
beträgt A 1 = 2 m 2 . Temperatur und Druck der Strömung in der Messtrecke seien wie
zuvor.
j) Bestimmen Sie den Kesseldruck p 0 , die Kesseltemperatur T 0 und den Halsdurchmesser (4)
der Düse A ∗ , wenn in der Messsektion eine Machzahl von M 1 = 2,68 vorliegen soll.
Berechnen Sie darüber hinaus den Heliummassenstrom ṁ.
k) Berechnen Sie den Kesseldruck p (1 1 0a , für den die Strömung in der Düse komplett im / 2 )
✎☞
Unterschall bleibt und ausschließlich im Hals (Gebiet ✍✌ * ) die Schallgeschwindigkeit
erreicht wird. p 1 bleibe dabei konstant.
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