FE physikalische Formulierung - IAG
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3.3.6 Physikalische <strong>Formulierung</strong><br />
Stab<br />
kinematische Beziehung:<br />
Elastizitätsgesetz :<br />
Gleichgewichtsbedingung:<br />
n n(<br />
x)<br />
N<br />
T<br />
E<br />
N / A<br />
du<br />
u<br />
<br />
dx<br />
E<br />
<br />
T T<br />
dN<br />
n 0<br />
dx<br />
u u( x)<br />
Verformung in Richtung Längsachse<br />
<br />
<br />
Streckenlast in Richtung Längsachse<br />
Normalkraft<br />
Normalspannung, A Querschnittsfläche<br />
Temperaturänderung<br />
Dehnung<br />
Elastizitätsmodul, EA Dehnsteifigkeit<br />
<br />
ohne Streckenlast, ohne Temperaturänderung und EA=constant<br />
Institut für<br />
Aerodynamik und Gasdynamik<br />
EAu <br />
0<br />
Kapitel 3: Randwertprobleme (RWP) 1
Ein Stabelement<br />
N<br />
l<br />
, u l<br />
N<br />
r<br />
, u r<br />
u Verschiebung, N Knoten-Normalkraft<br />
Gesucht ist ein Zusammenhang in der Form:<br />
l<br />
N<br />
<br />
N<br />
l<br />
r<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
u<br />
K <br />
u<br />
l<br />
r<br />
<br />
<br />
<br />
Einheitsverschiebungszustände: Ein Freiheitsgrad wird ausgelenkt und die<br />
anderen festgehalten.<br />
Die Verschiebungsdifferenzialgleichung ohne Last und mit konstanter<br />
Dehnsteifigkeit lautet<br />
EAu 0<br />
und besitzt die allgemeine Lösung<br />
EAu<br />
c<br />
1<br />
EAu c1x<br />
c2<br />
Institut für<br />
Aerodynamik und Gasdynamik<br />
Kapitel 3: Randwertprobleme (RWP) 2
Einheitsverschiebungszustände:<br />
u<br />
l<br />
,<br />
0 <br />
<br />
<br />
0<br />
<br />
u r<br />
<br />
<br />
<br />
Der lineare Verschiebungsverlauf ergibt sich dann aus der allgemeinen Lösung<br />
EAu c x durch Einsetzen der obigen Bedingungen:<br />
1<br />
c 2<br />
u(<br />
x<br />
<br />
u<br />
0) u<br />
l<br />
, u(<br />
x<br />
1<br />
u ( x)<br />
u<br />
l<br />
l)<br />
0<br />
x u<br />
1 l l<br />
u(<br />
x 0) 0, u(<br />
x l)<br />
u<br />
<br />
u<br />
u2(<br />
x)<br />
<br />
1<br />
u<br />
l<br />
r<br />
x<br />
r<br />
u l<br />
u r<br />
u 1<br />
u 2<br />
0<br />
0<br />
l<br />
l<br />
x<br />
0<br />
0<br />
l<br />
l<br />
x<br />
u r<br />
u l<br />
Institut für<br />
Aerodynamik und Gasdynamik<br />
Kapitel 3: Randwertprobleme (RWP) 3
Normalkraft im Stab<br />
EA<br />
EA<br />
N1 EA EAu<br />
1<br />
ul<br />
, N2 EA<br />
EAu<br />
2<br />
ur<br />
,<br />
l<br />
l<br />
und die entsprechenden Knotenkräfte sind<br />
N<br />
EA<br />
l<br />
EA<br />
l<br />
1,<br />
l<br />
N1<br />
ul<br />
, N1,<br />
r<br />
N1<br />
ul<br />
,<br />
N<br />
EA<br />
l<br />
2 , l<br />
N2<br />
ur,<br />
N2,<br />
r<br />
N2<br />
<br />
EA<br />
l<br />
u<br />
r<br />
N i,<br />
l<br />
Superposition der Knotenkräfte:<br />
N<br />
l<br />
EA<br />
l<br />
EA<br />
l<br />
N1 , l<br />
N2,<br />
l<br />
ul<br />
ur,<br />
Nr<br />
N1,<br />
r<br />
N2,<br />
r<br />
N i<br />
l<br />
N<br />
i , r<br />
<br />
EA<br />
l<br />
u<br />
l<br />
Normalkraft und<br />
Knotenkräfte<br />
<br />
EA<br />
l<br />
u<br />
r<br />
Institut für<br />
Aerodynamik und Gasdynamik<br />
Kapitel 3: Randwertprobleme (RWP) 4
Umschreiben in Matrixform:<br />
N<br />
<br />
N<br />
l<br />
r<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
EA<br />
l<br />
1<br />
<br />
1<br />
1<br />
u<br />
1<br />
<br />
u<br />
l<br />
r<br />
<br />
<br />
<br />
Dabei ist<br />
K<br />
<br />
EA<br />
l<br />
1<br />
<br />
1<br />
1<br />
1<br />
<br />
<br />
die Elementsteifigkeitsmatrix eines Stabes.<br />
Dies ist identisch zu der elementweisen Berechnung der<br />
Steifigkeitsmatrix mit der Darstellung der Näherungsfunktion durch<br />
die Linearkombination von Hutfunktionen<br />
Aus diesen finiten Elementen kann man nun komplexe Gebilde<br />
zusammen setzen, indem man solche Stabelemente zusammenfügt.<br />
Man kann damit auch Tragwerke aufbauen und zu Balken- oder Plattenelementen<br />
übergehen.<br />
Institut für<br />
Aerodynamik und Gasdynamik<br />
Kapitel 3: Randwertprobleme (RWP) 5
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