Untersuchung und Reduzierung von numerisch bedingten ... - IAG

ITLR 

Diplomarbeit 

Untersuchung und Reduzierung von numerisch 

bedingten, parasitären Strömungen in FS3D 

cand. aer. Markus Boger 

Universität Stuttgart 

Institut für Thermodynamik der Luft- und Raumfahrt (ITLR) 

Direktor: Prof. Dr.-Ing. habil. Bernhard Weigand

Zusammenfassung 

In der vorliegenden Arbeit wird das Phänomen der parasitären Strömungen im FS3D- 

Code anhand einer Parameterstudie zum Testfall eines von Luft umgebenen Wassertropfens 

in der Schwerelosigkeit untersucht. Bei Variation der Stoffparameter, geometrischer 

Größen und relevanter numerischer Einstellungen des Problemes, wird die Entstehung parasitärer 

Strömung systematisch beobachtet. Anschließend wird ein neues Oberflächenspannungsmodell 

entwickelt, das die Oberflächenkraft in Grenzflächenzellen mit Hilfe 

einer Rekonstruktion der freien Oberfläche berechnet. Die Rekonstruktion ist von zweiter 

Ordnung und es werden quadratische Bézier-Flächen eingesetzt. 

Die mit Hilfe des in FS3D implementierten Modelles durchgeführten Rechnungen zur 

Validierung zeigen starke parasitäre Strömungen. Die Ursachen hierfür sind in der Wahl 

der Flächenpunkte zur Rekonstruktion der Grenzfläche zu suchen. 

i

Vorwort 

Die vorliegende Diplomarbeit ist am Institut für Thermodynamik der Luft- und Raumfahrt 

(ITLR) an der Universität Stuttgart in der Arbeitsgruppe Tropfendynamik entstanden. 

Ich bedanke mich bei Herrn Professor Weigand für die Ermöglichung und Betreuung 

dieser Diplomarbeit zum Thema parasitäre Strömungen. 

Mein besonderer Dank gilt Herrn Hendrik Weking und Herrn Hassan Gomaa. Ich danke 

ihnen für die in die Betreuung meiner Arbeit investierte Zeit und die hervorragende 

Unterstützung, die ich während der sechs Monate meiner Diplomarbeit von ihnen erhalten 

habe. 

Weiterhin möchte ich mich an dieser Stelle bei allen Personen bedanken, die mir durch 

ihre Unterstützung geholfen haben, diese Arbeit zu erstellen 

ii

Inhaltsverzeichnis 

Zusammenfassung 

Vorwort 

Abbildungsverzeichnis 

Tabellenverzeichnis 

Symbolverzeichnis 

i 

ii 

viii 

ix 

x 

1 Einleitung 1 

2 Grundlagen 3 

2.1 Das CFD-Programm FS3D (Free Surface 3D) . . . . . . . . . . . . . . . 3 

2.1.1 Die Volume-of-Fluid-Methode (VOF) . . . . . . . . . . . . . . . 3 

2.1.2 Stückweise lineare Oberflächenrekonstruktion (PLIC) . . . . . . 4 

2.1.3 Die Erhaltungsgleichungen zur Beschreibung inkompressibler Zweiphasenströmungen 

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 

2.1.4 Oberflächenspannungsmodelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 

2.1.4.1 Das CSF-Modell (Continuum Surface Force) . . . . . . 8 

2.1.4.2 Das CSS-Modell (Continuum Surface Stress) . . . . . 8 

2.1.5 Diskretisierung in Raum und Zeit . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 

2.1.5.1 Raumdiskretisierung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 

2.1.5.2 Zeitdiskretisierung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 

2.1.6 Zeitschritt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 

2.2 Bézier-Kurven und -Flächen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 

2.2.1 Bézier-Kurven . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 

2.2.2 Bézier-Flächen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 

3 Parasitäre Strömungen 16 

3.1 Testfall ruhender Wassertropfen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 

3.1.1 Indikatoren für parasitäre Strömungen . . . . . . . . . . . . . . . 18 

3.2 Parameterstudie zum ruhenden Wassertropfen . . . . . . . . . . . . . . . 20 

3.2.1 Variation der Viskosität . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 

3.2.2 Variation der Dichte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 

3.2.3 Variation des Tropfenradius . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 

iii

INHALTSVERZEICHNIS 

3.2.4 Variation des Grenzflächenspannungskoeffizienten . . . . . . . . 26 

3.2.5 Variation der Gitterauflösung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 

3.2.6 Vergleich der Oberflächenspannungsmodelle CSS und CSF . . . . 28 

3.2.7 Ausdehnung des Betrachtungszeitraumes . . . . . . . . . . . . . 31 

3.2.8 Ort der Maximalgeschwindigkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 

3.2.9 Betrachtung des Ergebnisses nach einem Zeitschritt δt . . . . . . 33 

3.3 Zusammenfassung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 

4 Modell zur Berechnung der Oberflächenkraft 35 

4.1 Die Grundidee des Modells . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 

4.2 Die Gliederung des Oberflächenkraftmodelles . . . . . . . . . . . . . . . 36 

4.2.1 Oberflächenrekonstruktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 

4.2.1.1 Punkte aus dem zelllokalen PLIC-Algorithmus . . . . . 37 

4.2.1.2 Punkte durch Interpolation der Flächenschwerpunkte 

auf die Kanten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 

4.2.1.3 Interpolation der Bézier-Fläche . . . . . . . . . . . . . 40 

4.2.2 Berechnung der Oberflächenkraft . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 

4.3 Das numerische Verfahren zur Bestimmung der Oberflächenkraft . . . . . 42 


4.3.1.1 PLIC: Bestimmung der Kantenschnittpunkte . . . . . . 42 

4.3.1.2 PLIC: Bestimmung des Flächenschwerpunktes . . . . . 44 

4.3.1.3 Interpolation der PLIC-Flächenschwerpunkte auf die 

Zellkanten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 

4.3.1.4 Datenstruktur der Punkte für die Bézier-Fläche . . . . . 49 

4.3.1.5 Interpolation der Flächenpunkte auf den Zellseiten und 

des zentralen Flächenpunktes . . . . . . . . . . . . . . 50 

4.3.1.6 Sortieren der Bézier-Punkte . . . . . . . . . . . . . . . 51 

4.3.1.7 Verwendung des Flächenschwerpunktes als Punkt der 

Bézier-Fläche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55 

4.3.1.8 Interpolation der Kontrollpunkte P der Bézier-Fläche . 56 

4.3.1.9 Parametrisierung der Kurve . . . . . . . . . . . . . . . 57 

4.3.1.10 Bestimmung der Kontrollpunkte . . . . . . . . . . . . 58 

4.3.2 Bestimmung der Oberflächenkraft . . . . . . . . . . . . . . . . . 60 

4.3.2.1 Bestimmung des Normalenvektors N . . . . . . . . . . 61 

4.3.2.2 Numerische Integration zur Berechnung der Kraft F γ . 62 

5 Anwendung des neuen Modelles auf den Fall des ruhenden Wassertropfens 65 

5.1 Ergebnisse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65 

5.1.1 Spezifische kinetische Energie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66 


5.1.3 Verteilung der Oberflächenkraft auf der Tropfenoberfläche . . . . 73 

5.2 Zusammenfassung und Perspektiven . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74 

6 Fazit und Ausblick 77 

Literaturverzeichnis 79 

iv

INHALTSVERZEICHNIS 

Anhang: 

A Algorithmen zur Belegung des Punktefeldes Q für die Bézier-Flächen 80 

A.1 3-Punkte-Algorithmus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80 




B Ergebnisse der Parameterstudie zum ruhenden Wassertropfen 84 

B.1 Maximalgeschwindigkeit bei Variation der Viskosität . . . . . . . . . . . 84 

B.2 Maximalgeschwindigkeit bei Variation der Dichte . . . . . . . . . . . . . 86 

B.3 Maximalgeschwindigkeit bei Variation des Grenzflächenspannungskoeffizienten 

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88 

B.4 Maximalgeschwindigkeit bei Variation des Tropfenradius . . . . . . . . . 88 

B.5 Maximalgeschwindigkeit bei Variation der Gitterauflösung . . . . . . . . 88 

C FS3D-Input-Datei 90 

v

Abbildungsverzeichnis 

2.1 Beschreibung des Volumenanteiles durch VOF. . . . . . . . . . . . . . . . 4 

2.2 Stückweise lineare Grenzflächenrekonstruktion auf Basis der Volumenanteilsfunktion 

f . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 

2.3 Transformation des Koordinatensystems vom globalen ins zelllokale System. 6 

2.4 Rekonstruierte Ebene in einer Grenzflächenzelle. . . . . . . . . . . . . . 7 

2.5 MAC-Gitter mit Stützstellen für Massen- und Impulskontrollvolumina. . . 9 

2.6 Bézier-Spline vom Grad n = 2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 

2.7 Interpolierte biquadratische Bézier-Fläche. Die mit einem Punkt gekennzeichneten 

Flächenpunkte sind vorgegeben. Dazu werden die mit Kreuz 

markierten Kontrollpunkte interpoliert. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 

3.1 Parasitäre Strömungen an einem ruhenden Wassertropfen in der Schwerelosigkeit 

(Schnitt durch den Tropfenmittelpunkt, v max = 0, 253 m ). . . . . 16 

s 

3.2 Initialisierung des sphärischen Tropfens im Zentrum eines Quaders. . . . 17 

3.3 Vergleich der Indikatoren maximale Geschwindigkeit und spezifische kinetische 

Energie anhand des Referenzfalles ruhender Tropfen. . . . . . . 19 

3.4 Maximalgeschwindigkeit zum Zeitpunkt t = 0, 03 s bei Variation der Viskosität 

der flüssigen Phase. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 

3.5 Maximalgeschwindigkeit zum Zeitpunkt t = 0, 03 s bei Variation der Viskosität 

der gasförmigen Phase. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 

3.6 Maximalgeschwindigkeit zum Zeitpunkt t = 0, 03 s bei Variation der Dichte 

der gasförmigen Phase. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 


der gasförmigen Phase und verschwindender Viskosität der beiden Phasen. 

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 

3.8 Verlauf der gesamten spezifischen kinetischen Energie bei Variation der 

Dichte der gasförmigen Phase bei verschwindender Viskosität. . . . . . . 23 


der flüssigen Phase. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 

3.10 Gesamte spezifische kinetische Energie bei Variation der Dichte der flüssigen 

Phase bei verschwindender Viskosität. . . . . . . . . . . . . . . . . 24 

3.11 Maximalgeschwindigkeit zum Zeitpunkt t = 0, 03 s bei Variation des Tropfenradius. 

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 

3.12 Gesamte spezifische kinetische Energie bei Variation des Tropfenradius 

und verschwindender Viskosität. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 

vi

ABBILDUNGSVERZEICHNIS 

3.13 Zeitlicher Verlauf der Maximalgeschwindigkeit für den Fall des Wandfilms 

bei verschwindender Viskosität. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 

3.14 Gesamte spezifische kinetische Energie für den Fall des Wandfilms bei 

verschwindender Viskosität. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 

3.15 Maximalgeschwindigkeit zum Zeitpunkt t = 0, 03 s bei Variation des Grenzflächenspannungskoeffizienten. 

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 

3.16 Maximalgeschwindigkeit zum Zeitpunkt t = 0, 03 s bei Variation der Gitterauflösung. 

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 

3.17 Gesamte spezifische kinetische Energie bei Variation der Gitterauflösung 

und verschwindender Viskosität. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 

3.18 Vergleich der spezifischen kinetischen Energie bei Verwendung der Oberflächenspannungsmodelle 

CSS und CSF für den Fall des ruhenden Tropfens 

bei verschwindender Viskosität. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 

3.19 Verlauf der spezifischen kinetischen Energie bei Vorgabe der exakten Krümmung 

und verschwindender Viskosität . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 

3.20 Zeitlicher Verlauf der spezifischen kinetischen Energie bei einer Rechnung 

bis zum Zeitpunkt t = 3, 0 s. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 

3.21 Geschwindigkeitsfeld in einem Schnitt durch den Wassertropfen nach dem 

ersten Zeitschritt. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 

4.1 Berechnung der Oberflächenkraft durch Integration entlang der Schnittkurve 

von Zellseiten und Oberfläche. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 

4.2 PLIC-Ebenen mit unterschiedlicher Anzahl an Kantenschnittpunkten. . . 38 

4.3 PLIC-Rekonstruktion der Oberfläche mit Flächenschwerpunkt. . . . . . . 38 

4.4 Referenzfall mit 4 Kantenschnittpunkten und Nachbarzellen. . . . . . . . 39 

4.5 Interpolierte Bézier-Fläche für den Referenzfall. . . . . . . . . . . . . . . 40 

4.6 Bestimmung der Oberflächenkraft F γ aus den Teilkräften an den Zellseiten 

(F γ ist vergrößert dargestellt). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 

4.7 Ablaufdiagramm des Algorithmus zur Berechnung der Oberflächenkraft. . 43 

4.8 Zelle mit gedrehtem Koordinatensystem x ′′ , y ′′ , z ′′ . . . . . . . . . . . . . . 45 

4.9 Drehung des Normalenvektors n ′ um die Winkel γ und β. . . . . . . . . . 45 

4.10 Polygon mit N = 6 Eckpunkten. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 

4.11 Zentrale Zelle mit 3 Kantenschnittpunkten. . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 

4.12 Punkte zur Interpolation der Bézier-Fläche innerhalb einer Zelle mit Richtung 

der Parametrisierung in u und v. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 

4.13 Obeflächenrekonstruktion für den Fall von drei Kantenschnittpunkten. . . 52 

4.14 Obeflächenrekonstruktion für den Fall von vier Kantenschnittpunkten. . . 53 

4.15 Obeflächenrekonstruktion für den Fall von fünf Kantenschnittpunkten. . . 54 

4.16 Obeflächenrekonstruktion für den Fall von sechs Kantenschnittpunkten. . 55 

4.17 Korrektur des Flächenschwerpunktes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56 

4.18 Interpolation einer biquadratischen Bézier-Flaeche. . . . . . . . . . . . . 59 

4.19 Bestimmung des Normalenvektors N. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63 

5.1 Deformierter Tropfen mit Geschwindigkeitsfeld zum Zeitpunkt t = 0, 01 s. 66 

5.2 Vergleich der spezifischen kinetischen Energie bei Anwendung der drei 

Oberflächenspannungsmodelle. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67 

vii

ABBILDUNGSVERZEICHNIS 

5.3 Verteilung der Kantenschnittpunktsanzahl im Referenzfall. . . . . . . . . 68 

5.4 Oberflächenrekonstruktion mit resultierender Kraft im Falle von drei Kantenschnittpunkten. 

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69 

5.5 Oberflächenrekonstruktion mit resultierender Kraft im Falle von vier Kantenschnittpunkten. 

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70 

5.6 Oberflächenrekonstruktion mit resultierender Kraft im Falle von fünf Kantenschnittpunkten. 

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71 

5.7 Oberflächenrekonstruktion mit resultierender Kraft im Falle von sechs 

Kantenschnittpunkten. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72 

5.8 Beschleunigungsvektoren infolge der modellierten Oberflächenkraft nach 

dem ersten Zeitschritt. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73 

5.9 Schnitt durch den Tropfen mit Beschleunigungsvektoren infolge der modellierten 

Oberflächenkraft. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73 

5.10 Oberflächenrekonstruktion im Fall von drei Kantenschnittpunkten bei veränderter 

Wahl des Flächenpunktes im Zellinneren. . . . . . . . . . . . . . 75 

5.11 Verfahren zur Interpolation der Punkte auf den Zellseiten. . . . . . . . . . 75 

viii

Tabellenverzeichnis 

3.1 Stoffwerte für den Testfall ruhender Tropfen. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 

3.2 Maximalgeschwindigkeiten nach dem ersten Zeitschritt. . . . . . . . . . . 33 

3.3 Maximalgeschwindigkeiten nach dem ersten Zeitschritt bei verschiedenen 

Oberflächenspannungsmodellen und Randbedingungen für den Wandfilm- 

Testfall. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 

B.1 Maximalgeschwindigkeit zum Zeitpunkt t = 0, 03 s bei Variation der Viskosität 

der flüssigen Phase. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84 

B.2 Maximalgeschwindigkeit zum Zeitpunkt t = 0, 03 s bei Variation der Viskosität 

der gasförmigen Phase. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85 

B.3 Maximalgeschwindigkeit zum Zeitpunkt t = 0, 03 s bei Variation der Dichte 

der flüssigen Phase. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86 


der gasförmigen Phase. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86 


der gasförmigen Phase (keine Viskosität). . . . . . . . . . . . . . . . . 87 

B.6 Maximalgeschwindigkeit zum Zeitpunkt t = 0, 03 s bei Variation des Grenzflächenspannungskoeffizienten. 

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88 

B.7 Maximalgeschwindigkeit zum Zeitpunkt t = 0, 03 s bei Variation des Tropfenradius. 

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88 

B.8 Maximalgeschwindigkeit zum Zeitpunkt t = 0, 03 s bei Variation der Auflösung. 

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89 

C.1 Flags für die Randbedingungen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92 

C.2 Flags für die Oberflächenspannungsmodelle. . . . . . . . . . . . . . . . 93 

ix

Symbolverzeichnis 

Lateinische Symbole 

a m/s Ausbreitungsgeschwindigkeit 

a γ m 2 /m 3 Grenzflächendichte 

C m Kurve 

C γ m Schnittkurve zwischen Kontrollvolumen und Grenzfläche 

C u − Tangente an die Bézier-Fläche in u-Parameterrichtung 

C v − Tangente an die Bézier-Fläche in v-Parameterrichtung 

E kin J kinetische Energie 

f − Volumenanteil 

˜f − räumlich geglätteter Volumenanteil 

f γ N/m 3 Volumenkraft, resultierend aus der Grenzflächenspannung 

g m/s 2 Vektor der Erdbeschleunigung 

l ∗ m Lageparameter der PLIC-Ebene 

m kg Masse 

N − Einheitsvektor senkrecht auf der Schnittkurve und tangential 

zur Grenzfläche 

n 1/m dimensionsbehafteter Normalenvektor auf der Phasengrenzfläche 

n γ − Einheitsvektor, normal auf der Phasengrenzfläche 

n S − Normalenvektor der Bézier-Fläche 

n Seite − Normalenvektor der Zellseite 

P − Kontrollpunkt einer Bézier-Kurve 

P − Matrix der Kontrollpunkte einer Bézier-Fläche 

p N/m 2 Druck 

Q − Kurvenpunkt einer zu interpolierenden Bézier-Kurve 

Q − Matrix der Flächenpunkte einer zu interpolierenden Bézier-Fläche 

R m Tropfenradius 

R − interpolierte Kontrollpunkte einer Bézier-Fläche 

S − Bézier-Fläche 

S N/m 2 Zähigkeitsspannungstensor 

t s Zeit 

δt s Zeitschritt 

x

t γ − Tangente an die Schnittkurve C γ 

u m/s Geschwindigkeitsvektor 

ũ m/s vorläufiger Geschwindigkeitsvektor 

u − Parameter der Bézier-Fläche 

v − Parameter der Bézier-Fläche 

v max m/s Maximalgeschwindigkeit 

x m Ortsvektor 

Griechische Symbole 

β rad Drehwinkel 

γ rad Drehwinkel 

ǫ γ − Kriterium für Zellen mit freier Grenzfläche; ǫ γ = 10 −6 

κ 1/m Krümmung 

µ kg/(m s) dynamische Viskosität 

ν m 2 /s kinematische Viskosität 

ρ kg/m 3 Dichte 

σ N m/m 2 Grenzflächenspannung 

Tiefgestellte Indizes 

fl 

g 

γ 

Flüssigkeit 

Gas 

Grenzfläche 

Hochgestellte Indizes 

′ 

Größen im zelllokalen Koordinatensystem 

n 

Zeitindex 

tot 

total 

Abkürzungen 

CFL 

CSF 

CSS 

FS3D 

MAC 

PLIC 

VOF 

Courant-Friedrichs-Lewy 

Continuum Surface Force 

Continuum Surface Stress 

Free Surface 3D 

Marker and Cell 

Piecewise linear interface calculation 

Volume of Fluid 

xi

Kapitel 1 

Einleitung 

Jeder Mensch kommt täglich mit Zweiphasenströmungen in Kontakt. Sei es unter der Dusche, 

beim Öffnen eines Wasserhahnes oder wenn am Himmel vor der Sonne dunkle Wolken 

aufziehen und die Regentropfen vom Himmel fallen. In Natur und Technik spielen 

Zweiphasenströmungen eine wichtige Rolle. Sprühströmungen wie man sie bei Einspritzund 

Verbrennungsvorgängen antrifft findet man ebenso bei medizinischen Sprays oder im 

Bereich der Lackierung. Interaktionen von Tropfen mit umgebenden Wänden und die 

daraus resultierenden Einflüsse auf die Strömung sind ebenso von Interesse für technische 

Anwendungen wie die Untersuchung von Blasenströmungen. 

Gerade bei technischen Vorgängen ist man neben dem intuitiven Verständnis, das man 

sich auf Grund jahrelanger Erfahrungen mit Zweiphasenströmungen im Alltag erworben 

hat, aber darauf angewiesen die strömungstechnischen Vorgänge besser zu verstehen und 

sowohl qualitativ als auch quantitativ erfassen zu können. 

Zu diesem Zweck kann die Strömung im Rahmen von Experimenten näher untersucht 

werden. Auf Grund der stetig anwachsenden Rechenleistung moderner Computer, gewinnt 

die numerische Simulation von Zweiphasenströmungen zunehmend an Bedeutung. 

Hierzu wurde am Institut für Thermodynamik der Luft- und Raumfahrt (ITLR) das Programm 

FS3D entwickelt [1]. Das Programm löst die inkompressiblen Navier-Stokes- 

Gleichungen durch direkte numerische Simulation. Somit werden keinerlei Turbulenzmodelle 

eingesetzt. Strömungsvorgänge, die sich auf Grund der Turbulenz ausbilden, können 

vom Programm direkt durch eine entsprechende räumliche und zeitliche Diskretisierung 

aufgelöst werden. Hierbei ist zu beachten, dass die Methode der direkten numerischen Simulation 

sehr rechenintensiv ist. Deshalb kann sie mit den aktuell verfügbaren Rechnern 

nur auf kleine Problemabmessungen angewendet werden. 

Bei der Simulation einer Zweiphasenströmung mit FS3D treten sogenannte parasitäre 

Strömungen auf. Dieses Phänomen beschreibt die Überlagerung des Strömungsfeldes der 

zu untersuchenden Konfiguration mit künstlichen Geschwindigkeiten, die sich durch die 

numerische Modellierung ergeben. Infolge von parasitärer Strömung kommt es zu einer 

Verfälschung des Simulationsergebnisses, was im Extremfall sogar dazu führen kann, 

dass die erhaltenen Ergebnisse nicht verwertbar sind. 

In der vorliegenden Arbeit wird das Phänomen der parasitären Strömungen untersucht 

und es wird ein neues Modell zur Berechnung der Oberflächenkraft für den FS3D-Code 

entwickelt, um der Entstehung parasitärer Strömung entgegenzuwirken. Der Grundgedan- 

1

1 Einleitung 

ke dieses Modelles ist es, die Oberflächenkraft unmittelbar aus einer Rekonstruktion der 

freien Oberfläche zu berechnen. Zum jetzigen Zeitpunkt ist das Modell fähig, die Oberflächenkräfte 

in Grenzflächenzellen zu berechnen. Jedoch zeigen die erhaltenen Ergebnisse, 

dass die Wahl der zur Oberflächenrekonstruktion verwendeten Flächenpunkte, als Gegenstand 

künftiger Entwicklungen überarbeitet werden muss, damit das Modell eingesetzt 

werden kann. 

Im Folgenden werden zunächst die nötigen theoretischen Grundlagen zu FS3D und der 

zur Oberflächenrekonstruktion eingesetzten Bézier-Flächen beschrieben. Anschließend 

wird im Rahmen einer Parameterstudie das Phänomen der parasitären Strömungen im 

FS3D-Code genauer untersucht. 

Danach wird das entwickelte Modell zur Berechnung der Oberflächenkraft vorgestellt und 

mit Hilfe des implementierten Modelles werden erste Rechnungen für einen Testfall ausgeführt. 

Die erhaltenen Ergebnisse werden diskutiert, woraus sich die Perspektiven für 

die Weiterentwicklung des Modelles ergeben. 

2

Kapitel 2 

Grundlagen 

2.1 Das CFD-Programm FS3D (Free Surface 3D) 

Das Programm FS3D ist ein Finite-Volumen-Code zur direkten numerischen Simulation 

inkompressibler Zweiphasenströmungen mit komplexen Verformungen der Grenzfläche. 

Auf Grund der direkten numerischen Simulation werden turbulente Schwankungen durch 

ein ausreichend feines Rechengitter aufgelöst, so dass keine Turbulenzmodelle eingesetzt 

werden. Das Programm wurde am Institut für Thermodynamik der Luft- und Raumfahrt 

(ITLR) an der Universität Stuttgart entwickelt und wird beständig erweitert. In den folgenden 

Abschnitten werden die für die vorliegende Arbeit wichtigen Bereiche von FS3D 

näher beschrieben. Detaillierte Informationen zum numerischen Verfahren finden sich in 

[1]. 

2.1.1 Die Volume-of-Fluid-Methode (VOF) 

Bei der Simulation von Zweiphasenströmungen ist es nötig, die Verteilung der beiden 

Phasen und den Ort der Phasengrenze zu kennen, da diese eine Diskontinuität darstellt 

und dort Sprungbedingungen zur korrekten Beschreibung der Strömung notwendig sind. 

Die Verteilung der Phasen im Rechengebiet wird in FS3D mit Hilfe der Volume-of-Fluid- 

Methode (VOF-Methode) nach [2] beschrieben. 

Das VOF-Verfahren führt eine Volumenanteilsvariable f ein, die den Volumenanteil der 

flüssigen Phase beschreibt. Dabei wird die Funktion f(x, t) wie folgt definiert 

⎧ 

⎪⎨ 0 im Gas, 

f(x, t) = 0 < f < 1 an der Phasengrenze, 

(2.1) 

⎪⎩ 

1 in der Flüssigkeit. 

Abbildung 2.1 zeigt beispielhaft die Beschreibung der Phasenverteilung anhand des Volumenanteiles 

durch die VOF-Methode. 

Durch Konvektion der f -Verteilung mit dem zuvor ermittelten Geschwindigkeitsfeld, ist 

es möglich die Bewegung der Grenzfläche zu berechnen. Dazu bedient man sich der 

3

2 Grundlagen 

0,9 0,6 0,2 0 

1 1 0,8 0,2 

y 

1 1 1 

0,6 

x 

1 1 1 

0,9 

Abbildung 2.1: Beschreibung des Volumenanteiles durch VOF. 

Transportgleichung für die Volumenverteilung 

∂f 

∂t 

+ ∇ · (fu) = 0. (2.2) 

Ein der Konvektion vorgelagerter Rekonstruktionsschritt verhindert ein Verschmieren der 

freien Grenzfläche und garantiert somit, dass diese stets scharf definiert ist. Zusätzlich 

können das Verschmelzen bzw. Auftrennen von Gebieten, wie es beispielsweise bei Tropfenkollisionen 

auftritt, direkt von der VOF-Methode erfasst werden. 

Mit der VOF-Methode ist es weiterhin möglich, aus der Volumenverteilung die Stoffeigenschaften 

an jedem Ort des Rechengebietes durch jeweils eine Gleichung festzulegen, 

so z.B. für die Dichte und die Viskosität 

ρ(x, t) = ρ g + (ρ fl − ρ g )f(x, t), (2.3) 

µ(x, t) = µ g + (µ fl − µ g )f(x, t). (2.4) 

Außerdem lassen sich aus dem Volumenanteil f zahlreiche Größen ableiten, die zur Beschreibung 

der Geometrie der freien Oberfläche benötigt werden. 

So bestimmt man den Normalenvektor auf der freien Grenzfläche n γ als negativen Gradienten 

der Volumenanteilsfunktion. Da der Gradient einer Sprungfunktion nicht definiert 

ist, wird eine geglättete Volumenanteilsfunktion ˜f verwendet 

n γ = − ∇˜f 

|∇˜f | . (2.5) 

Als weitere geometrische Größe lässt sich auch die Grenzflächendichte, der Flächeninhalt 

der Grenzfläche pro Volumen, ableiten 

a γ = |∇f |. (2.6) 

2.1.2 Stückweise lineare Oberflächenrekonstruktion (PLIC) 

Auf Grundlage der aus der VOF-Methode zur Verfügung stehenden Informationen über 

die Lage der Grenzfläche, wird in FS3D eine stückweise lineare Oberflächenrekonstruktion 

durchgeführt, die den Namen PLIC (Piecewise linear interface calculation) trägt und 

4


auf dem von Rider et al. vorgestellten Algorithmus beruht [3]. 

PLIC ist von erster Ordnung. Im FS3D-Code ist dieser Rekonstruktionsschritt nötig, um 

bei der Konvektion ein Verschmieren des Volumenanteils f zu vermeiden. 

Die Phasengrenze in jeder Grenzflächenzelle wird durch eine Ebene angenähert. Die genaue 

Lage der Ebene wird durch die f -Verteilung bestimmt. In Abbildung 2.2 wird an einem 

zweidimensionalen Beispiel die PLIC-Rekonstruktion gezeigt. Der PLIC-Algorithmus 

f=0 

0 

0 0 

0,7 

0,2 

0 

n 

0 

y 

1 0,85 

1 

1 

0,6 

1 

0,1 

0,8 

x 

Abbildung 2.2: Stückweise lineare Grenzflächenrekonstruktion auf Basis der Volumenanteilsfunktion 

f . 

lässt sich im Wesentlichen in drei Schritte gliedern: 

1. Durchlauf aller Zellen mit freier Grenzfläche. Die Phasengrenze befindet sich in 

einer Zelle, falls die Bedingung ǫ γ < f i < 1 − ǫ γ erfüllt ist. Der Parameter ǫ γ ist 

eine Zahl wenig größer als null. 

2. Berechnung des Normalenvektors n auf der freien Grenzfläche in jeder der Zellen 

mit Phasengrenze. Dabei wird der Normalenvektor aus der Volumenverteilung f 

berechnet. Dies geschieht auf Basis des ungeglätteten f -Feldes unter Einsatz eines 

27-Punkte-Gradientenoperators. Weiterhin ist der von PLIC verwendete Normalenvektor 

dimensionsbehaftet und nicht normiert, so dass er sich direkt als Gradient 

der f -Verteilung ergibt: n = −∇f . 

3. Bestimmung der PLIC-Ebene in jeder Grenzflächenzelle. In diesem Schritt wird 

für jede Zelle mit Phasengrenze diejenige Ebene senkrecht zum zuvor bestimmten 

Normalenvektor n ermittelt, die mit den Zellseiten exakt das Volumen fδxδyδz einschließt. 

Die genaue Lage der Ebene wird iterativ bestimmt und die Iteration wird 

abgebrochen, sobald der Fehler im Volumen unter eine zuvor festgelegte Schranke 

fällt. 

Bei der anschließenden Konvektion des f -Feldes ist zusätzlich auf eine Beschränkung der 

f -Werte zu achten. Es ist prinzipiell möglich, dass nach Abschluss des Konvektionsschrittes 

Zellen mit f < 0 bzw. f > 1 auftreten. Für diese Fälle existieren Korrekturterme, 

die für eine lokale Umverteilung der Volumenanteile sorgen, so dass das Gesamtvolumen 

konstant bleibt. 

5


Im Folgenden soll die Vorgehensweise des PLIC-Algorithmus noch etwas detaillierter beschrieben 

werden. Zur Rekonstruktion wird in jeder Grenzflächenzelle ein lokales Koordinatensystem 

eingeführt, dessen Ursprung in der Zellecke liegt, die bei einer Verschiebung 

der rekonstruierten Ebene parallel zum Normalenvektor und in Richtung der Flüssigkeit 

als letzte trocken fällt. Die Achsen des lokalen Koordinatensystems x ′ , y ′ und z ′ verlaufen 

parallel zu den globalen Achsen, ihre Orientierung ist jedoch so gewählt, dass innerhalb 

der Zelle sämtliche Koordinaten positiv sind. Somit hat der Normalenvektor im lokalen 

System n ′ nur positive Koordinaten 

⎛ ⎞ 

|n x | 

n ′ = ⎝|n y | ⎠ . (2.7) 

|n z | 

Die Transformation der Koordinaten ins lokale System geschieht mittels der Transformationsvorschrift 

⎛ 

⎞ 

sign(n x ) 0 0 

x ′ = ⎝ 0 sign(n y ) 0 ⎠ (x − x i ) + d 2 , (2.8) 

0 0 sign(n z ) 

wobei der Vektor d die Zellabmessungen 

⎛ ⎞ 

δx 

d = ⎝δy⎠ , (2.9) 

δz 

und der Vektor x i die Koordinaten des Zellmittelpunktes enthält. Für den zweidimensionalen 

Fall ist in Abbildung 2.3 die Wahl des lokalen Koordinatensystems gezeigt. Im 

δy 

n ′ x i 

x ′ y ′ 

y 

δx 

x 

Abbildung 2.3: Transformation des Koordinatensystems vom globalen ins zelllokale System. 

lokalen System erfolgt nun die Rekonstruktion der Grenzfläche. Die dazu verwendete 

Ebene ist durch die Ebenengleichung 

n ′ x ′ − l ∗ = 0 (2.10) 

6


eindeutig bestimmt. Dabei bezeichnet l ∗ den Lageparameter der Ebene, der den Abstand 

der Ebene vom lokalen Koordinatensystem angibt. Basierend auf dieser Ebenengleichung 

und einem Startwert für l ∗ iteriert der Algorithmus so lange, bis die Ebene in Kombination 

mit den Zellseiten das gesuchte Volumen fδxδyδz einschließt. 

In Abbildung 2.4 wird das Ergebnis einer Oberflächenrekonstruktion mit PLIC gezeigt. 

δx 

δz 

y ′ n ′ 

δy 

x ′ z ′ 

Abbildung 2.4: Rekonstruierte Ebene in einer Grenzflächenzelle. 

2.1.3 Die Erhaltungsgleichungen zur Beschreibung inkompressibler 

Zweiphasenströmungen 

Die inkompressible Zweiphasenströmung lässt sich mit Hilfe der integralen Erhaltungsgleichungen 

für Volumen, Masse und Impuls beschreiben. Dies ermöglicht es, beide Phasen 

mit Hilfe eines Satzes von Gleichungen gleichzeitig zu beschreiben, wobei auch die 

Phasengrenzfläche berücksichtigt wird. Dabei führen, wie in [1] gezeigt, die integralen 

Erhaltungsgleichungen auf die Sprungbedingungen an der Phasengrenzfläche. 

Zum Zweck der numerischen Approximation werden die integralen Erhaltungsgleichungen 

für Volumen, Masse und Impuls mit Hilfe der Leibnizschen Regel in differentielle 

Form überführt 

∂(ρu) 

∂t 

∂ρ 

∂t 

∇ · u = 0, (2.11) 

+ ∇ · (ρu) = 0, (2.12) 

+ ∇ · [(ρu) ⊗ u] = −∇p + ∇ · S + ρg + f γ . (2.13) 

Hierbei bezeichnet u den Geschwindigkeitsvektor, t die Zeit, ρ die Dichte, µ die dynamische 

Viskosität, S den Zähigkeitsspannungstensor, g den Erdbeschleunigungsvektor und 

f γ die aus der Grenzflächenspannung resultierende, volumenspezifische Kraft. 

Für inkompressible Newtonsche Fluide lässt sich der Zähigkeitsspannungstensor wie folgt 

schreiben 

S = µ[∇u + (∇u) T ]. (2.14) 

7


In jeder Phase sind sowohl Dichte als auch Viskosität konstant, können jedoch beim Überschreiten 

der scharfen Phasengrenze zwischen den Fluiden ihren Wert ändern. Die differentielle 

Form der Erhaltungsgleichungen ist lediglich innerhalb jeder Phase definiert, 

nicht jedoch an der Phasengrenze. Dort muss der Grenzflächenterm f γ berücksichtigt werden, 

um die Wechselwirkungen der beiden Fluide an der Grenzfläche zu beschreiben. Der 

Grenzflächenterm f γ hat außerhalb der Grenzfläche den Wert null. 

Im folgenden Abschnitt werden die in FS3D integrierten Oberflächenspannungsmodelle 

vorgestellt, die den an der Phasengrenze benötigten Grenzflächenterm f γ modellieren. 

2.1.4 Oberflächenspannungsmodelle 

In der Strömungsmechanik kommen normalerweise makroskopische Betrachtungsweisen 

zur Anwendung. Dies bedeutet im Fall der Oberflächenspannung, dass die Phasengrenze 

als unendlich dünne Oberfläche angesehen wird. Auf diese Art gelangt man für den 

Drucksprung an einer gekrümmten Oberfläche zum Laplaceschen Gesetz 

mit der Grenzflächenspannung σ und der Krümmung 

p 2 − p 1 ≡ ∆p = σκ, (2.15) 

κ = −∇ · n γ . (2.16) 

Der an der Grenzfläche auftretende Drucksprung ist somit nach Gleichung (2.15) direkt 

proportional zur Krümmung der Oberfläche und zur Grenzflächenspannung. 

2.1.4.1 Das CSF-Modell (Continuum Surface Force) 

Das CSF-Modell wurde von Brackbill et al. entwickelt [4]. Es beruht auf der oben erwähnten 

makroskopischen Sichtweise. Die grundlegende Idee dieses Verfahrens ist es, 

die Oberflächenspannung als kontinuierlich über die Grenzfläche anzusehen, so dass es 

keinen scharfen Sprung zwischen den beiden Phasen gibt. Die Kraft wirkt folglich nicht 

nur in Grenzflächen-, sondern auch in deren Nachbarzellen. Man ersetzt also die Unstetigkeit 

an der Phasengrenze durch einen Übergangsbereich. 

Das CSF-Modell drückt die Oberflächenkraft als Volumenkraft f γ aus. Diese lässt sich mit 

Hilfe der aus Gleichung (2.6) bekannten Grenzflächendichte a γ und des Normalenvektors 

n γ aus Gleichung (2.5) als 

f γ = σκn γ a γ , (2.17) 

schreiben. Das CSF-Modell ist ein nicht-konservatives Verfahren. Dies bedeutet, dass die 

Volumenkraft f γ nicht als Divergenz eines Tensors geschrieben werden kann. 

2.1.4.2 Das CSS-Modell (Continuum Surface Stress) 

Als zweites Modell zur Berechnung der Oberflächenkraft in FS3D ist das CSS-Modell 

von Lafaurie [5] implementiert. Die Oberflächenkraft wird im CSS-Modell ebenso durch 

eine Volumenkraft angenähert. Es handelt sich im Vergleich zum CSF-Modell jedoch um 

8


ein konservatives Verfahren, so dass in diesem Fall die Volumenkraft f γ als Divergenz 

eines Tensors geschrieben werden kann. 

Neben der makroskopischen Sichtweise, die im CSF-Modell Verwendung findet, kann 

man auch eine mikroskopische Betrachtung vornehmen. In diesem Fall wird ein Fluid 

in einzelne Teilchen diskretisiert und nicht mehr als Kontinuum angesehen. Damit werden 

intermolekulare Anziehungskräfte und die thermische Bewegung der Teilchen zur 

Berechnung der Oberflächenkraft herangezogen. Zwischen der makroskopischen und der 

mikroskopischen Betrachtungsweise ist das CSS-Modell angesiedelt, das auf einer mesoskopischen 

Sichtweise basiert. Materie wird als kontinuierlich angesehen, wohingegen 

Grenzflächen eine endliche Dicke besitzen. Die gemittelten Effekte der Kräfte auf einzelne 

Moleküle werden durch eine Druckverteilung in der Übergangszone modelliert. 

Dabei resultiert die Grenzflächenspannung in diesem Modell aus einer Verringerung des 

Druckes in tangentialer Richtung zur Oberfläche p t gegenüber dem Druck in normaler 

Richtung p n . 

Auf Grund der konservativen Eigenschaft des Verfahrens lässt sich die gesuchte Volumenkraft 

f γ als 

f γ = ∇ · T, (2.18) 

ausdrücken, wobei T den Grenzflächenspannungstensor bezeichnet, der wie folgt berechnet 

wird 

T = σa γ [I − n γ ⊗ n γ ]. (2.19) 

Ebenso wie beim CSF-Modell wird der Normalenvektor n γ mit Hilfe von Gleichung (2.5) 

bestimmt. 

2.1.5 Diskretisierung in Raum und Zeit 

2.1.5.1 Raumdiskretisierung 

Der FS3D-Code arbeitet auf strukturierten kartesischen Gittern, wobei die Zellen in ihren 

drei Raumrichtungen nicht äquidistant sein müssen. Für die Raumdiskretisierung kommt 

eine versetzte Anordnung von Druck- und Geschwindigkeitsstützstellen zum Einsatz, wie 

sie aus dem Marker-and-Cell-Verfahren (MAC) bekannt ist. Durch die versetzte Anordnung 

der Kontrollvolumina lässt sich die exakte Divergenzfreiheit der Lösung garantieren. 

Bei den verwendeten Kontrollvolumina wird zwischen Massen- und Impulskontrollvolumina 

unterschieden. Abbildung 2.5 zeigt beispielhaft einen zweidimensionalen Schnitt 

y 

p,f 

u 

v 

x 

Abbildung 2.5: MAC-Gitter mit Stützstellen für Massen- und Impulskontrollvolumina. 

9


durch das Rechengitter. Dabei entsprechen die eingezeichneten Zellen den Massenkontrollvolumina 

in deren Zentren die Mittelwerte der Skalare Druck p und Volumenanteil 

f gespeichert werden. Auf den Rändern der Massenkontrollvolumina werden die Mittelwerte 

der entsprechenden Geschwindigkeitskomponenten gespeichert. 

Am Rand des Rechengebietes werden die Kontrollvolumina der umliegenden Dummy- 

Zellen, entsprechend der gewählten Randbedingung, mit Werten für Druck, Volumenanteil 

und Geschwindigkeit belegt. 

2.1.5.2 Zeitdiskretisierung 

Zur Zeitdiskretisierung kommt ein konservatives Verfahren erster Ordnung zum Einsatz. 

Dabei werden die Erhaltungsgleichungen (Gleichungen (2.11)-(2.13)) und die Transportgleichung 

des Volumenanteils (Gleichung (2.2)) in semidiskreter Schreibweise wie folgt 

formuliert 

∇ · u n+1 = 0, (2.20) 

ρ n+1 u n+1 − ρ n u n 

δt 

= −∇ · [(ρu) ⊗ u] n 

+ ρn+1 

ρ(f n+1 ) [−∇pn+1 + ∇ · S(µ n+1 ,u n ) + f n+1 ], (2.21) 

ρ n+1 − ρ n 

= −∇ · (ρu) n , (2.22) 

δt 

f n+1 − f n 

= −∇ · (fu) n , (2.23) 

δt 

wobei f = ρg + f γ . 

Die Transportgleichungen für f und ρ sind jeweils explizit diskretisiert und können deshalb 

unmittelbar gelöst werden. Aus der Impulsgleichung wird das Geschwindigkeitsfeld 

u n+1 zum neuen Zeitpunkt ermittelt. Dazu wird in einem ersten Schritt ein vorläufiges Geschwindigkeitsfeld 

ũ berechnet, das unter Berücksichtigung sämtlicher konvektiver und 

nicht-konvektiver Beschleunigungen, mit Ausnahme der Druckbeschleunigung, entsteht. 

Die Druckbeschleunigung muss gesondert betrachtet werden. Im rein inkompressiblen 

Fall ist auf Grund der unendlich schnellen Ausbreitungsgeschwindigkeit von Druckwellen 

eine komplett explizite Lösung der Impulsgleichung nicht möglich. Mit Hilfe der diskreten 

Divergenzbedingung (2.20) und der nach der Geschwindigkeit u n+1 aufgelösten 

Impulsgleichung (2.21) erhält man die diskrete Druckpoissongleichung 

1 

∇ · [ 

ρ(f n+1 ) ∇pn+1 ] = ∇ · ũ 

δt 

(2.24) 

Die Lösung der impliziten Druckpoissongleichung verlangt es ein Gleichungssystem zu 

lösen. Um dies möglichst effizient durchführen zu können, ist in FS3D ein Mehrgitterlöser 

implementiert. 

Letztendlich ergibt sich die gesuchte divergenzfreie Geschwindigkeit u n+1 zum neuen 

Zeitschritt durch Addition der Druckbeschleunigung zur vorläufigen Geschwindigkeit ũ 

u n+1 = ũ − 

δt 

ρ(f n+1 ) ∇pn+1 . (2.25) 

10


2.1.6 Zeitschritt 

Bei einem expliziten Verfahren ist der Zeitschritt durch Stabilitätsbedingungen begrenzt. 

Rieber hat hierzu in [1] die Stabilitätsanalyse einer expliziten Zeitdiskretisierung erster 

Ordnung für die eindimensionale, lineare Konvektions-Diffusions-Gleichung durchgeführt 

∂u 

∂t = −a∂u ∂x + u 

ν∂2 ∂x . (2.26) 

2 

Hieraus ergeben sich zwei Bedingungen für den Zeitschritt: 

1. Eine Störung mit der Ausbreitungsgeschwindigkeit a darf sich in einem Zeitschritt 

maximal um eine Zellbreite fortbewegen. Die sogenannte CFL-Bedingung lautet 

aδt 

δx 

≤ 1. (2.27) 

2. Durch den Diffusionsterm, der die kinematische Viskosität ν enthält, dürfen keine 

neuen Extremwerte in der Lösung entstehen. Diese Bedingung liefert den Zusammenhang 

2νδt 

≤ 1. (2.28) 

δx2 Für die inkompressible Zweiphasentrömung wird die maximal auftretende Ausbreitungsgeschwindigkeit 

einer Störung in FS3D durch das Modell eines frei in x-Richtung fallenden 

und gleichzeitig schwingenden Tropfens ermittelt. Hierzu überlagert man die momentane 

Fallgeschwindigkeit des Tropfens mit der größten auftretenden Phasengeschwindigkeit 

einer über den Tropfen laufenden Kapillarwelle. 

Neben den aus der Konvektions-Diffusions-Gleichung (2.26) folgenden Bedingungen, 

gibt es für den Zeitschritt auch eine Beschränkung, die sich aus der Oberflächenspannung 

herleitet 

√ 

δt 4σπ 

≤ 1. (2.29) 

δx 3/2 ρ fl + ρ g 

Unter Berücksichtigung der Dreidimensionalität in FS3D lassen sich auf Basis der eindimensionalen 

Ergebnisse Zeitschrittbeschränkungen δt cfl,x ,δt cfl,y ,δt cfl,z aus der CFL-Bedingung 

(2.27) und δt σ,x ,δt σ,y ,δt σ,z aus der Beschränkung durch die Oberflächenspannung (2.29) 

für die drei Raumrichtungen finden. 

Ebenso ergibt der 3D-Fall des Diffusionsterms ein Limit δt ν für den Zeitschritt. Damit 

lässt sich der maximale Zeitschritt wie folgt bestimmen 

δt ≤ min[δt cfl,x ,δt cfl,y ,δt cfl,z ,δt σ,x ,δt σ,y ,δt σ,z ,δt ν ]. (2.30) 

2.2 Bézier-Kurven und -Flächen 

Das in den folgenden Kapiteln vorgestellte Modell zur Berechnung der Oberflächenkraft 

basiert auf einer Oberflächenrekonstruktion mit Hilfe von quadratischen Bézier-Flächen. 

Die Grundlage der Bézier-Fläche bildet die Bézier-Kurve, weshalb zunächst die Bézier- 

Splines vorgestellt werden sollen, bevor im Anschluss daran die Bézier-Flächen eingeführt 

werden. 

11


2.2.1 Bézier-Kurven 

Bézier-Kurven stellen eine parametrisierte Form einer Interpolations-Kurve über mehrere 

Punkte dar. Dazu wird der Parameter u eingeführt. Durch Variation des Parameters u 

im Intervall [0; 1] gelangt man so auf der Kurve C(u) vom Anfangs- zum Endpunkt des 

Splines. 

Ein allgemeiner Bézier-Spline vom Grad n lässt sich wie folgt schreiben 

C(u) = 

n∑ 

B i,n (u)P i ; 0 ≤ u ≤ 1. (2.31) 

i=0 

Dabei bezeichnen die B i,n (u) die als Ansatzfunktionen verwendeten Bernstein-Polynome 

vom Grad n 

n! 

B i,n (u) = 

i!(n − i)! ui (1 − u) (n−i) . (2.32) 

In Abbildung 2.6 ist ein Bézier-Spline vom Grad n = 2 zu sehen. Dabei ist gleichzeitig 

auch das zugehörige Kontrollpolygon eingezeichnet, das sich aus den Punkten P 0 , P 1 , P 2 

ergibt. Diese Punkte müssen zur Erzeugung des Splines vorgegeben werden. Es liegen 

jedoch nur P 0 und P 2 als Anfangs- bzw. Endpunkt auf dem Spline. Wie gut zu erkennen 

ist, stimmen die beiden Geraden des Kontrollpolygons mit den Tangenten des Splines im 

Anfangs- bzw. Endpunkt überein. Piegl et al geben in [6] die folgenden Vor- und Nachteile 

1.5 

P 1 

1 

P 2 

= C(u=1) 

y 

0.5 

von Bézier-Kurven an: 

P = C(u=0) 

0 

0 

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 

x 

Abbildung 2.6: Bézier-Spline vom Grad n = 2. 

+ Bei Vorgabe von n Kontrollpunkten wird eine Kurve der Ordnung n − 1 erzeugt. 

Dabei bilden der erste und der letzte Kontrollpunkt den Anfangs- und den Endpunkt 

der erzeugten Bézier-Kurve. 

+ Die Kurve liegt innerhalb der Fläche, die von den Kontrollpunkten gebildet wird. 

12


- Wird die Position eines Kontrollpunktes verändert, so verändert das den kompletten 

Verlauf der Bézier-Kurve ⇒ die Kurve besteht lediglich aus einem Segment. 

- Um komplexere Formen anzunähern ist eine Kurve höherer Ordnung nötig. Dazu 

benötigt man automatisch mehr Punkte. 

- Kurven höherer Ordnung neigen in ihrem Verhalten zu numerischen Instabilitäten, 

was sich beispielsweise in Form von Oszillationen äußert. 

Soll eine Kurve durch mehrere Punkte gelegt werden, so ist die Kenntnis dieser Punkte 

zur Erzeugung einer Bézier-Kurve nicht ausreichend, da die Kurve nach Gleichung 

(2.31) durch die Kontrollpunkte P i definiert wird. Wie aus Abbildung 2.6 ersichtlich ist, 

sind die Kontrollpunkte mit Ausnahme des Anfangs- und Endpunktes der Kurve selbst 

keine Kurvenpunkte. Folglich ist es notwendig, die zu den vorgegebenen Kurvenpunkten 

gehörenden Kontrollpunkte durch eine Interpolation zu ermitteln. 

Interpolation eines quadratischen Bézier-Splines 

Ein quadratischer Bézier-Spline ist nach Gleichung (2.31) durch die drei Kontrollpunkte 

P 0 , P 1 , P 2 sowie die zugehörigen Parameter u 0 , u 1 , u 2 eindeutig definiert. Zur Interpolation 

eines quadratischen Bézier-Splines ist es also ausreichend, drei Punkte Q 0 , Q 1 , Q 2 

inklusive ihrer zugehörigen Parametrisierung u 0 , u 1 , u 2 vorzugeben. Dabei muss es sich 

beim Punkt Q 0 um den Anfangspunkt der Kurve handeln. Dieser hat somit die Parametrisierung 

u 0 = 0. Der dritte Punkt Q 2 muss den Endpunkt der Kurve darstellen und liegt 

folglich bei u 2 = 1. Beide Punkte sind gleichzeitig auch Kontrollpunkte, wie man in Abbildung 

2.6 erkennen kann. Folglich gilt P 0 = Q 0 und P 2 = Q 2 . 

Der Punkt Q 1 kann ein beliebiger Kurvenpunkt sein. Es muss lediglich seine Parametrisierung 

u 1 bekannt sein. Somit sind bis auf P 1 alle Größen bekannt und Gleichung (2.31) 

kann umgeformt werden zu 

P 1 = Q 1 − B 0,2 (u 1 ) · Q 0 − B 2,2 (u 1 ) · Q 2 

. (2.33) 

B 1,2 (u 1 ) 

Der Punkt P 1 lässt sich unmittelbar bestimmen und mit den drei Kotrollpunkten P 0 , P 1 , P 2 

ist der Verlauf des quadratischen Bézier-Splines bekannt. 

2.2.2 Bézier-Flächen 

Ausgehend von einzelnen Bézier-Splines ist es möglich durch Kombination zweier orthogonaler 

Bézier-Kurven in den Parametern u, v eine Fläche zu erzeugen. Die Fläche S(u, v) 

hat somit die folgende Gestalt 

S(u, v) = 

n∑ 

i=0 

m∑ 

B i,n (u)B j,m (v)P i,j ; 0 ≤ u, v ≤ 1, (2.34) 

j=0 

wobei n bzw. m den jeweiligen Grad der beiden Splines bezeichnen. Wählt man n = 

m = 2, so erhält man eine biquadratische Bézier-Fläche, wie sie zum Beispiel in Abbildung 

2.7 dargestellt ist. Zur Erzeugung einer solchen biquadratischen Fläche bedarf es 

13


Abbildung 2.7: Interpolierte biquadratische Bézier-Fläche. Die mit einem Punkt gekennzeichneten 

Flächenpunkte sind vorgegeben. Dazu werden die mit Kreuz markierten Kontrollpunkte 

interpoliert. 

der Vorgabe von neun Punkten. Wie man Gleichung (2.34) entnehmen kann, sind dies die 

Kontrollpunkte P. Diese Punkte sind in der Abbildung durch Kreuze gekennzeichnet. Es 

ist offensichtlich, dass diese Punkte lediglich in den vier Flächeneckpunkten direkt auf 

der Fläche liegen. 

Interpolation einer biquadratischen Bézier-Fläche 

Analog zur Interpolation des quadratischen Splines verläuft die Interpolation der Fläche. 

Die Fläche, die durch die Kombination mehrerer in u und v orthogonaler Splines entsteht, 

wird zur Interpolation wieder in ihre Bestandteile und somit in einzelne quadratische Splines 

zerlegt. 

Bei der Flächeninterpolation werden neun Punkte vorgegeben und in einer 3 × 3-Matrix 

Q gespeichert. Wie bereits bekannt, stimmen in den vier Eckpunkten die Kontrollpunkte 

mit den vorgegebenen Flächenpunkten überein, so dass dort keine Interpolation stattfinden 

muss. Es handelt sich um die Anfangs- bzw. Endpunkte einzelner Splines in u- bzw. 

v-Parametrisierung. Zur Interpolation der restlichen fünf Kontrollpunkte werden nun die 

Zeilen bzw. Spalten der Matrix Q jeweils einzeln durchlaufen. Somit verwendet man stets 

drei Punkte, mit deren Hilfe ein Kontrollpunkt interpoliert werden kann. Dabei kommt direkt 

Gleichung (2.33) zur Anwendung, die den gesuchten Kontrollpunkt liefert. 

Durchläuft man die Zeilen der Matrix, so erzeugt man Splines, die eine Parametrisierung 

in u aufweisen, während der Durchlauf über die Spalten, Splines mit einer Parametrisierung 

in v erzeugt. 

Eine detailliertere und auf die Nomenklatur des Oberflächenspannungsmodells angepas- 

14


ste Beschreibung der Interpolation ist in Kapitel 4.3.1.8 zu finden. Außerdem werden die 

Interpolations-Algorithmen auch in [6] ausführlich beschrieben. 

15

Kapitel 3 

Parasitäre Strömungen 

Bei der Simulation von Zweiphasenströmungen mit dem FS3D-Code lassen sich sogenannte 

parasitäre Strömungen beobachten. Diese Strömungen haben nichts mit der Physik 

des Problems zu tun und ihr Ursprung ist im Bereich des numerischen Verfahrens zu 

suchen. 

Betrachtet man beispielsweise einen ruhenden, von Luft umgebenen Wassertropfen in der 

Schwerelosigkeit, so sollte man erwarten, dass die Felddaten, d.h. Geschwindigkeit u und 

Volumenanteil f , in den folgenden Zeitschritten, auf Grund der Diskretisierungsfehler des 

numerischen Verfahrens nur unwesentliche Abweichungen gegenüber der Initialisierung 

aufweisen. 

Tatsächlich stellen sich jedoch nach einigen Zeitschritten bereits beachtliche Geschwindigkeiten 

im Rechengebiet ein, wie in Abbildung 3.1 zu sehen ist. Die Geschwindigkeiten 

Abbildung 3.1: Parasitäre Strömungen an einem ruhenden Wassertropfen in der Schwerelosigkeit 

(Schnitt durch den Tropfenmittelpunkt, v max = 0, 253 m s ). 

verstärken sich mit fortdauernder Rechenzeit dabei so sehr, dass der Wassertropfen eine 

Beschleunigung erfährt, die ihn in Bewegung versetzt, so dass er letztendlich das Rechengebiet 

verlässt. 

16

3 Parasitäre Strömungen 

Parasitäre Strömungen können im schlimmsten Fall die tatsächliche Strömung so stark 

stören, dass die Ergebnisse der Simulation mit der Physik des Problems nichts mehr zu 

tun haben. 

Das Phänomen der parasitären Strömungen im FS3D-Code wird in dieser Arbeit im Rahmen 

einer Parameterstudie näher untersucht. Dazu wird als Testfall der bereits angesprochene 

ruhende Wassertropfen in der Schwerelosigkeit herangezogen. 

3.1 Testfall ruhender Wassertropfen 

Im vorliegenden Testfall wird ein ruhender, von Luft umgebener Wassertropfen in einem 

quaderförmigen Rechengebiet bei Schwerelosigkeit betrachtet. Dieser Fall wurde bereits 

von Brackbill [4], Jafari [7] und Gonser [8] herangezogen, um parasitäre Strömungen zu 

untersuchen. 

In Abwesenheit externer Kräfte wird ein statischer Fluidtropfen auf Grund der Oberflächenspannung 

stets bemüht sein, seine Oberfläche zu minimieren, so dass der Tropfen 

eine kugelförmige Gestalt annimmt. Der Drucksprung beim Überschreiten der Phasengrenze 

zwischen dem Tropfen und dem umgebenden Fluid wird durch das Laplacesche 

Gesetz aus Gleichung (2.15) beschrieben. 

In der vorliegenden Arbeit werden die geometrischen Größen und die Stoffeigenschaften 

des Testfalles wie folgt gewählt: Der Tropfen befindet sich im Zentrum eines quaderför- 

Abbildung 3.2: Initialisierung des sphärischen Tropfens im Zentrum eines Quaders. 

migen Kontrollvolumens. Er befindet sich in Ruhe und es herrscht Schwerelosigkeit. Für 

den Tropfen lassen sich somit die Bedingungen 

• Tropfenradius: R = 10 −3 m 

• Geschwindigkeiten: u = v = w = 0 m s 

• Erdbeschleunigungsvektor: g = 0 m s 2 

festlegen. 

Die Kantenlänge des Würfels ist so gewählt, dass sie dem doppelten Tropfendurchmesser 

17


entspricht. Das Kontrollvolumen wird in den drei Raumrichtungen durch 32 × 32 × 32 

Gitterzellen unterteilt. Somit wird der Durchmesser des Tropfens mit 16 Zellen aufgelöst. 

Die Ränder des Rechengebietes werden mit einer kontinuierlichen Randbedingung 

belegt. Die Simulation beginnt zum Zeitpunkt t = 0 s und wird beendet, wenn nach der 

Ausführung eines Zeitschrittes δt der Zeitpunkt t = 0, 03 s erreicht oder überschritten ist. 

Auf diese Weise ergibt sich für das Rechengebiet die folgende Diskretisierung: 

• Kantenlänge: 4 · 10 −3 m 

• Auflösung: 32 × 32 × 32 Gitterzellen 

• Randbedingung: kontinuierliche Randbedingung an jeder Quaderseite 

• Zeitraum: t = 0 − 0, 03 s 

Der Grenzflächenspannungskoeffizient hat den Wert σ = 0, 073 kg 

s 2 und die Stoffwerte 

der beiden Phasen sind in der Tabelle 3.1 zusammengefasst. Im Programm werden die 

Wasser Luft Verhältnis 

Dichte ρ [ kg ] 1000 1, 2 833 

m 3 

Viskosität µ [ kg ] m·s 10−3 1, 8 · 10 −5 54,3 

Tabelle 3.1: Stoffwerte für den Testfall ruhender Tropfen. 

folgenden numerischen Verfahren ausgewählt: 

• Zeitdiskretisierung: Euler explizit 

• Oberflächenspannungsmodell: CSS (konservativ) 

Die Rechnungen dieser Parameterstudie wurden mit FS3D Release 18 durchgeführt. Die 

FS3D-Input-Datei, die sämtliche, von den Default-Einstellungen dieser Version abweichenden 

Einstellungen für den Referenzfall enthält, befindet sich in Anhang C. 

Wirft man nach Erreichen der Zeit t = 0, 03 s einen Blick auf die betragsmäßig größte Geschwindigkeit 

im Rechenfeld, so stellt man fest, dass sie von nicht zu vernachlässigbarer 

Größenordnung ist und den Wert v max = 0, 253 m s hat. 

3.1.1 Indikatoren für parasitäre Strömungen 

Zur Untersuchung des Tropfens in der Schwerelosigkeit bedarf es geeigneter Indikatoren, 

um eine Aussage über die parasitäre Strömung treffen zu können. Zu diesem Zweck kommen 

in der vorliegenden Parameterstudie zwei Indikatoren zum Einsatz. Dabei handelt 

es sich zum einen um die Maximalgeschwindigkeit v max , die nach Erreichen des Endzeitpunktes 

im Rechengebiet festgestellt wird. Zum anderen wird die Entwicklung der parasitären 

Strömung über die Zeit, mit Hilfe der sich im Rechengebiet befindlichen kinetischen 

Energie verfolgt. Die Dichte der beiden Phasen unterscheidet sich um den Faktor 833. Aus 

diesem Grund ist es nötig eine spezifische Größe zu verwenden, um die Entstehung der 

18


parasitären Strömung in den beiden Phasen vergleichen zu können. Deshalb wird die spezifische 

kinetische Energie E kin betrachtet. Ihr Betrag in den beiden Phasen wird auf die 

Masse der betrachteten Phase bzw. die Gesamtmasse der beiden Phasen bezogen. 

0.35 

0.3 

0.25 

v max 

[m/s] 

0.2 

0.15 

0.1 

0.05 

0 

0 0.005 0.01 0.015 0.02 0.025 0.03 0.035 

t [s] 

(a) Maximale parasitäre Geschwindigkeit. 

8 x 10−3 t [s] 

Spezifische kin. Energie [J/kg] 

7 

6 

5 

4 

3 

2 

1 

fl 

E /m fl 

kin 

g 

E /m 

g 

kin 

tot 

E /m 

tot 

kin 

0 

0 0.005 0.01 0.015 0.02 0.025 0.03 0.035 

(b) Spezifische kinetische Energie der Phasen. 

Abbildung 3.3: Vergleich der Indikatoren maximale Geschwindigkeit und spezifische kinetische 

Energie anhand des Referenzfalles ruhender Tropfen. 

In den Abbildungen 3.3(a) und 3.3(b) ist die zeitliche Entwicklung beider Indikatoren dargestellt. 

Betrachtet man die Maximalgeschwindigkeit und die gesamte spezifische kinetische 

Energie Ekin tot/mtot 

zu jedem Zeitpunkt, so stellt man fest, dass sich die Kurven in ihrer 

Entwicklung ähnlich sind. In beiden Fällen findet man eine steile Steigung der Kurve zu 

Beginn der Rechnung. Während der Maximalwert der Geschwindigkeit anschließend für 

den Rest des betrachteten Zeitraumes um einen Wert von etwa v max = 0, 3 m zu oszillieren 

s 

scheint, ist für die spezifische kinetische Energie ein stetiges Ansteigen zu erkennen. 

Schaut man sich die Aufteilung der Energie auf die Phasen in Abbildung 3.3(b) genauer 

an, so stellt man fest, dass der Großteil der Energie sich in der flüssigen Phase befindet. 

Zudem ist zu sehen, dass die Oszillationen der gesamten spezifischen kinetischen Energie 

in Phase sind zu denjenigen der kinetischen Energie in der flüssigen Phase. Der Anteil 

der spezifischen kinetischen Energie der gasförmigen Phase steigt mit sehr schwach aus- 

19


geprägten Oszillationen an. 

In der vorliegenden Arbeit wird die Maximalgeschwindigkeit jeweils punktuell zum Ende 

der Rechnung erfasst. Sie ist ein Indikator, der es ermöglicht auf Grund seiner Größenordnung 

eine Abschätzung bezüglich der Stärke der parasitären Strömungen vorzunehmen. 

Eine Aussage bezüglich der Aufteilung auf die beiden Phasen ist mit ihr nicht möglich. 

Zur näheren Untersuchung und Quantifizierung des Phänomens eignet sich die Betrachtung 

der spezifischen kinetischen Energie. Sie bietet den Vorteil, dass mit ihr die Auswirkungen 

der parasitären Strömung im gesamten Rechengebiet registriert und die beiden 

Phasen separat erfasst werden. 

3.2 Parameterstudie zum ruhenden Wassertropfen 

Um den Einfluss der einzelnen Parameter des Testfalles auf die Entstehung der parasitären 

Strömung zu ermitteln, wird in den folgenden Abschnitten eine Parameterstudie 

durchgeführt. Dazu werden bei Variation eines der Parameter, sämtliche anderen konstant 

gehalten. Die Variation der Parameter umfasst jeweils zwei Größenordnungen. Neben den 

Diagrammen der folgenden Abschnitte, befinden sich in Anhang B die zugehörigen Ergebnisse 

in Tabellenform. 

Die Daten der Maximalgeschwindigkeit zum Zeitpunkt t = 0, 03 s sind in Diagrammen 

mit doppeltlogarithmischer Skala aufgetragen. Um den Trend der Ergebnisse zu erfassen, 

wird aus ihnen mit Hilfe einer Least-Squares-Näherung eine Ausgleichsgerade ermittelt. 

Zur Quantifizierung der Ergebnisse, ist in der doppeltlogarithmischen Darstellung der 

Maximalgeschwindigkeiten die Steigung der jeweiligen Ausgleichsgeraden angegeben. 

3.2.1 Variation der Viskosität 

Die Viskosität hat auf das Geschwindigkeitsfeld direkten Einfluss über den Zähigkeitsspannungstensor 

(2.14) in der Impulsgleichung (2.13). Sie ist in ihrer Wirkung stets dämpfend. 

Diese dämpfende Wirkung lässt sich sehr gut am Beispiel der Variation der Viskosität der 

flüssigen Phase erkennen. Zunächst soll in Abbildung 3.4 das Ergebnis der Variation im 

Hinblick auf die Maximalgeschwindigkeit zum Zeitpunkt t = 0, 03 s betrachtet werden. 

Es ist ersichtlich, dass eine Erhöhung der Viskosität eine deutliche Reduzierung der Maximalgeschwindigkeit 

bewirkt. 

Abbildung 3.5 zeigt die Maximalgeschwindigkeit am Ende der Rechnung bei Variation 

der Viskosität der gasförmigen Phase. Es ist erkennbar, dass die Viskosität der gasförmigen 

Phase nur einen sehr geringen Einfluss auf die Maximalgeschwindigkeit hat. 

Im direkten Vergleich der Größenordnung der beiden Viskositäten ist festzustellen, dass 

die Viskosität der gasförmigen Phase von ihrem Zahlenwert her um mehrere Größenordnungen 

unter dem der Viskosität der flüssigen Phase liegt. Dies erklärt den verschwindenden 

Einfluss der gasförmigen Phase. 

20


10 0 µ fl 

[kg/(m s)] 

y ∝ −0,296 ⋅ x 

v max 

[m/s] 

10 −1 

10 −2 

10 −4 10 −3 10 −2 

Abbildung 3.4: Maximalgeschwindigkeit zum Zeitpunkt t = 0, 03 s bei Variation der Viskosität 

der flüssigen Phase. 

y ∝ 0,0022 ⋅ x 

10 −0.58 

v max 

[m/s] 

10 −0.59 

10 −0.6 

10 −0.61 

10 −6 10 −5 10 −4 10 −3 

10 −0.57 µ [kg/(m s)] 

g 

Abbildung 3.5: Maximalgeschwindigkeit zum Zeitpunkt t = 0, 03 s bei Variation der Viskosität 

der gasförmigen Phase. 

3.2.2 Variation der Dichte 

Neben der Viskosität ist die Dichte der zweite, zu variierende Stoffparameter dieses Testfalles. 

Bei einer Variation der Dichte der gasförmigen Phase bleibt die Maximalgeschwindigkeit 

zum Ende der Rechnung über einen weiten Variationsbereich konstant, wie in Abbildung 

3.6 zu sehen ist. Jedoch zeigt sich bei Erreichen eines Wertes von ρ fl = 0, 3 kg ein 

m 3 

starker Anstieg der Maximalgeschwindigkeit. Führt man die Rechnung hingegen bei verschwindender 

Viskosität der beiden Phasen durch (µ fl = µ g = 0 kg ), so erhält man über 

m·s 

die Dichtevariation, einen nahezu konstanten Verlauf der Maximalgeschwindigkeit am 

21


10 0.2 ρ g 

[kg/m 3 ] 

10 0.1 

10 0 

v max 

[m/s] 

10 −0.1 

10 −0.2 

10 −0.3 

10 −0.4 

10 −0.5 

10 −1 10 0 10 1 10 2 

Abbildung 3.6: Maximalgeschwindigkeit zum Zeitpunkt t = 0, 03 s bei Variation der Dichte 


10 −0.5 ρ g 

[kg/m 3 ] 

y ∝ −9,68 ⋅ 10 −4 ⋅ x 

v max 

[m/s] 

10 −0.51 

10 −0.52 

10 −1 10 0 10 1 10 2 


der gasförmigen Phase und verschwindender Viskosität der beiden Phasen. 

Ende der Rechenzeit (siehe Abbildung 3.7). Der Sprung in den Daten verschwindet. Generell 

sind sämtliche Maximalgeschwindigkeiten bei fehlender Viskosität leicht erhöht, 

was sich auf ihre im vorigen Abschnitt angesprochene dämpfende Wirkung zurückführen 

lässt. 

Da die Viskosität den Charakter der Lösung nicht verändert, wird in den folgenden Untersuchungen 

hinsichtlich des zeitlichen Verlaufes der spezifischen kinetischen Energie, die 

Viskosität zu null gesetzt. Somit entfällt eine dämpfende Komponente für die parasitäre 

Strömung, mit der es aber wie bei der Dichte der gasförmigen Phase, im Rahmen des 

FS3D-Codes zu fraglichen Ergebnissen kommen kann. 

In Abbildung 3.8 ist der zeitliche Verlauf der spezifischen kinetischen Energie im Rechen- 

22


gebiet bei Variation der Dichte der gasförmigen Phase bei verschwindender Viskosität zu 

sehen. Der relativ geringe Einfluss der Dichte der gasförmigen Phase wird hier nochmals 

bestätigt, nachdem er sich bereits bei den Maximalgeschwindigkeiten in Abbildung 3.7 

angedeutet hatte. 

9 x 10−3 t [s] 

8 

7 

6 

tot 

E /mtot [J/kg] 

kin 

5 

4 

3 

2 

1 

ρ g 

=0,12 kg/m 3 

ρ g 

=0,3 kg/m 3 

ρ =1,2 kg/m 3 

g 

ρ =4,8 kg/m 3 

g 

0 

0 0.005 0.01 0.015 0.02 0.025 0.03 0.035 

Abbildung 3.8: Verlauf der gesamten spezifischen kinetischen Energie bei Variation der Dichte 

der gasförmigen Phase bei verschwindender Viskosität. 

10 0 ρ fl 

[kg/m 3 ] 

y ∝ −0,386 ⋅ x 

v max 

[m/s] 

10 −1 

10 −2 

10 2 10 3 10 4 



Im nächsten Schritt wird die Dichte der flüssigen Phase ρ fl variiert. Die zugehörigen Maximalgeschwindigkeiten 

sind in Abbildung 3.9 dargestellt. Es ist ersichtlich, dass eine 

23


0.08 

tot 


kin 

0.07 

0.06 

0.05 

0.04 

0.03 

ρ =100 kg/m 3 

fl 

ρ fl 

=250 kg/m 3 

ρ =1000 kg/m 3 

fl 

ρ =4000 kg/m 3 

fl 

0.02 

0.01 

0 

0 0.005 0.01 0.015 0.02 0.025 0.03 0.035 

t [s] 

Abbildung 3.10: Gesamte spezifische kinetische Energie bei Variation der Dichte der flüssigen 

Phase bei verschwindender Viskosität. 

größere Dichte der flüssigen Phase einhergeht mit einer direkten Reduzierung der Maximalgeschwindigkeit 

im Feld. Dieses Verhalten zeigt sich ebenfalls bei der Untersuchung 

der spezifischen kinetischen Energie bei verschwindender Viskosität. 

Neben der deutlichen Abnahme der parasitären Strömungen ist in Abbildung 3.10 auch 

ersichtlich, dass bei gesteigerter Dichte der flüssigen Phase, die Oszillationen der kinetischen 

Energie in Frequenz und Amplitude abnehmen. 

Wie bereits bei der Viskosität, so muss auch im Fall der Dichte der Größenunterschied 

zwischen den beiden Phasen berücksichtigt werden, um die Ergebnisse einordnen zu 

können. Da sich die Stoffwerte der beiden Phasen um zwei bis drei Größenordnungen 

unterscheiden, ist der stärkere Einfluss der Stoffwerte der flüssigen Phase erklärbar. 

3.2.3 Variation des Tropfenradius 

Als geometrische Größe dieser Parameterstudie wird der Radius des Wassertropfens verändert. 

Dabei wird im Rahmen der Radiusvariation auch die Größe des Kontrollvolumens 

angepasst, so dass der Durchmesser des Tropfens stets mit 16 Zellen aufgelöst wird. In 

Abbildung 3.11 ist zu erkennen, dass mit steigendem Radius und damit abnehmender 

Krümmung, die parasitären Strömungen abnehmen. Der selbe Effekt lässt sich bei der 

Betrachtung der spezifischen kinetischen Energie bei verschwindender Viskosität in Abbildung 

3.12 feststellen. Mit abnehmender Krümmung verringert sich die erzeugte spezifische 

kinetische Energie. Für den Fall, dass der Radius über alle Maße ansteigt und 

R → ∞, verschwindet die Krümmung κ = 0. Dies hat nach Gleichung (2.15) wiederum 

zur Folge, dass der Drucksprung über die Phasengrenze verschwindet. Der Fall κ = 0 

entspricht einem ebenen Film. 

Führt man für diese Konfiguration eine Rechnung durch, so erhält man bei verschwindender 

Viskosität die in den Abbildungen 3.13 und 3.14 dargestellten zeitlichen Verläufe 

der Maximalgeschwindigkeit und der spezifischen kinetischen Energie. Den beiden Ab- 

24


10 0 R [m] 

y ∝ −0,378 ⋅ x 

v max 

[m/s] 

10 −1 

10 −2 

10 −5 10 −4 10 −3 10 −2 

Abbildung 3.11: Maximalgeschwindigkeit zum Zeitpunkt t = 0, 03 s bei Variation des Tropfenradius. 

0.018 

0.016 

0.014 

0.012 

tot 


kin 

0.01 

0.008 

0.006 

0.004 

0.002 

R=5*10 −4 m 

R=10 −3 m 

R=5*10 −3 m 

R=10 −2 m 

0 

0 0.005 0.01 0.015 0.02 0.025 0.03 0.035 

t [s] 

Abbildung 3.12: Gesamte spezifische kinetische Energie bei Variation des Tropfenradius und 

verschwindender Viskosität. 

bildungen ist zu entnehmen, dass es auch in diesem Fall ein deutliches Anwachsen der 

parasitären Strömung über die Zeit gibt. Allerdings zeigt ein Blick auf die Skala, dass sich 

das Wachstum in einem Bereich abspielt, der um mehr als zehn Größenordnungen unter 

dem Niveau des Referenzfalles für den Wassertropfen liegt. Um den Fall des ruhenden 

Tropfens mit dem Fall des Wandfilmes direkt zu vergleichen, müsste man beide Probleme 

auf einer dimensionslosen Zeitskala untersuchen. Mit einer solchen Entdimensionalisierung 

kann man die Übertragbarkeit der Ergebnisse gewährleisten. Auf eine Anpassung 

der Zeitskala wurde im Rahmen dieser Arbeit verzichtet. 

25


4.5 

4 

3.5 

v max 

[m/s] 

3 

2.5 

2 

1.5 

1 

0.5 

0 

0 0.005 0.01 0.015 0.02 0.025 0.03 0.035 

5 x 10−13 t [s] 

Abbildung 3.13: Zeitlicher Verlauf der Maximalgeschwindigkeit für den Fall des Wandfilms 

bei verschwindender Viskosität. 

9 x 10−27 t [s] 

8 

7 

6 

tot 


kin 

5 

4 

3 

2 

1 

0 

0 0.005 0.01 0.015 0.02 0.025 0.03 0.035 

Abbildung 3.14: Gesamte spezifische kinetische Energie für den Fall des Wandfilms bei verschwindender 

Viskosität. 

3.2.4 Variation des Grenzflächenspannungskoeffizienten 

Im Folgenden wird der Einfluss des Grenzflächenspannungskoeffizienten untersucht. Bei 

Variation desselben, lässt sich sein starker Einfluss auf die parasitäre Strömung erkennen. 

Dies zeigt sich direkt in den Werten der Maximalgeschwindigkeit zum Ende der Rechenzeit, 

wie in Abbildung 3.15 zu erkennen ist. 

26


10 0 σ [N/m] 

v max 

[m/s] 

10 −1 

y ∝ 0,609 ⋅ x 

10 −2 

10 −3 10 −2 10 −1 10 0 

Abbildung 3.15: Maximalgeschwindigkeit zum Zeitpunkt t = 0, 03 s bei Variation des Grenzflächenspannungskoeffizienten. 

3.2.5 Variation der Gitterauflösung 

Um den Einfluss der Diskretisierung des Rechengebietes auf die parasitären Strömungen 

zu untersuchen, wird im Folgenden die Zellanzahl innerhalb des Kontrollvolumens variiert. 

Die Betrachtung der Maximalgeschwindigkeit nach Abschluss der Simulation zeigt 

in Abbildung 3.16 einen deutlichen Trend zu stärkerer parasitärer Strömung auf feineren 

Gittern. 

y ∝ 0,129 ⋅ x 

10 −0.4 Anzahl Gitterpunkte [−] 

v max 

[m/s] 

10 −0.5 

10 −0.6 

10 −0.7 

10 3 10 4 10 5 10 6 10 7 

Abbildung 3.16: Maximalgeschwindigkeit zum Zeitpunkt t = 0, 03 s bei Variation der Gitterauflösung. 

Untersucht man den zeitlichen Verlauf der spezifischen kinetischen Energie bei Variation 

der Gitterauflösung und verschwindender Viskosität, so ergibt sich Abbildung 3.17. Dort 

27


0.018 

0.016 

0.014 

16 3 

32 3 

64 3 

128 3 

0.012 

tot 


kin 

0.01 

0.008 

0.006 

0.004 

0.002 

0 

0 0.005 0.01 0.015 0.02 0.025 0.03 0.035 

t [s] 

Abbildung 3.17: Gesamte spezifische kinetische Energie bei Variation der Gitterauflösung 

und verschwindender Viskosität. 

ist zu erkennen, dass die anfängliche Steigung der Kurve bei Hinzunahme zusätzlicher 

Gitterpunkte immer steiler wird. Dies untermauert das bezüglich der Maximalgeschwindigkeiten 

erhaltene Ergebnis. Betrachtet man den weiteren Verlauf der Kurven, so fällt 

auf, dass entgegen des Trends der Maximalgeschwindigkeiten, am Ende der Rechnung 

für den Fall mit 64 3 Gitterzellen ein größerer Betrag an spezifischer kinetischer Energie 

vorliegt, als für die Rechnung mit 128 3 Zellen. 

3.2.6 Vergleich der Oberflächenspannungsmodelle CSS und CSF 

Zur Untersuchung des Einflusses der Oberflächenspannungsmodellierung, werden die Ergebnisse 

der Modelle CSS und CSF näher untersucht. Dazu ist für beide Modelle der 

zeitliche Verlauf der spezifischen kinetischen Energie bei verschwindender Viskosität in 

Abbildung 3.18 dargestellt. Betrachtet man zunächst die gesamte spezifische kinetische 

Energie in Abbildung 3.18(c), so lassen sich im Verlauf der beiden Kurven Unterschiede 

feststellen. Es ist ersichtlich, dass bei Verwendung des CSF-Modells zu jedem Zeitpunkt 

mehr kinetische Energie im Rechengebiet vorhanden ist, als dies beim CSS-Modell der 

Fall ist. Ebenso weist die Kurve des CSF-Modells zu Beginn der Rechnung eine deutlich 

größere Steigung auf, als jene des CSS-Modells. 

Weitere Unterschiede lassen sich durch die Betrachtung der Aufteilung der kinetischen 

Energie auf die beiden Phasen erkennen. Hierbei zeigen die Abbildungen 3.18(a) und 

3.18(b) ein umgekehrtes Verhalten der beiden Modelle. Bei der CSF-Modellierung befindet 

sich der Großteil der erzeugten kinetischen Energie in der gasförmigen Phase, während 

beim CSS-Modell mehr spezifische kinetische Energie in der flüssigen Phase zu 

finden ist. 

Vergleicht man die Modelle im Hinblick auf ihre Modellierung, wie sie in Abschnitt 2.1.4 

beschrieben ist, so stellt man fest, dass letztendlich beide auf die von FS3D anhand der f - 

Verteilung berechneten Normalenvektoren in den Grenzflächenzellen zurückgreifen. Werden 

die Vektoren vom CSS-Modell direkt zur Erzeugung des Grenzflächenspannungsten- 

28


8 x 10−3 t [s] 

7 

6 

g 

E /mg kin 

[J/kg] 

5 

4 

3 

CSS 

CSF 

2 

1 

0 

0 0.005 0.01 0.015 0.02 0.025 0.03 0.035 

(a) Spezifische kinetische Energie der gasförmigen 

Phase. 

7 x 10−3 t [s] 

6 

5 

/m fl 

[J/kg] 

E kin 

fl 

4 

3 

2 

1 

CSS 

CSF 

0 

0 0.005 0.01 0.015 0.02 0.025 0.03 0.035 

(b) Spezifische kinetische Energie der flüssigen Phase. 

0.014 

0.012 

0.01 

tot 


kin 

0.008 

0.006 

0.004 

CSS 

CSF 

0.002 

0 

0 0.005 0.01 0.015 0.02 0.025 0.03 0.035 

t [s] 

(c) Gesamte spezifische kinetische Energie. 

Abbildung 3.18: Vergleich der spezifischen kinetischen Energie bei Verwendung der Oberflächenspannungsmodelle 

CSS und CSF für den Fall des ruhenden Tropfens bei verschwindender 

Viskosität. 

29


sors T genutzt, so werden sie beim CSF-Modell zur Berechnung der Krümmung κ nach 

Gleichung (2.16) herangezogen. 

Damit gibt es für das CSF-Modell mit der Krümmung einen geometrischen Parameter, 

der für den Fall des Tropfens exakt vorgegeben werden kann. Die Krümmung lässt sich 

bestimmen zu 

κ = 1 R . (3.1) 

Es ist nun naheliegend, im vorliegenden Fall für das CSF-Modell die Berechnung der 

Krümmung (2.16) im Code durch den konstanten Wert κ = 1 zu ersetzen. Die analytisch 

R 

bestimmte Krümmung wird anschließend direkt in die Kraftmodellierung (2.17) des CSF- 

Modelles eingesetzt 

f γ = σ 1 R n γa γ . (3.2) 

Durch die Vorgabe der Krümmung lassen sich jedoch keine besseren Ergebnisse erzielen, 

wie Abbildung 3.19 zu entnehmen ist. Bei im Code fest vorgegebener Krümmung 

werden bei Betrachtung des Endergebnisses zur Zeit t = 0, 03 s sogar schlechtere Ergebnisse 

erzielt, als mit dem gewöhnlichen CSF-Modell. Zu Beginn der Rechnung erfolgt 

bei vorgegebener Krümmung ein langsamerer Anstieg als dies beim CSF-Modell der Fall 

ist. Anschließend wird das Niveau des CSF-Modells aber überschritten und am Ende der 

Rechenzeit ist man beinahe beim doppelten Wert der spezifischen kinetischen Energie 

des gewöhnlichen CSF-Modelles angekommen. Hierbei ist zu berücksichtigen, dass auf 

Grund der parasitären Strömungen, die tatsächliche Krümmung des Tropfens mit fortschreitender 

Rechendauer lokal von der exakten Krümmung abweichen wird. Der Fehler 

in der Krümmung wird dabei immer größer, so dass die Vorgabe der exakten Krümmung, 

zu einem stärkeren Anwachsen der parasitären Strömungen führt. 

Abbildung 3.19: Verlauf der spezifischen kinetischen Energie bei Vorgabe der exakten Krümmung 

und verschwindender Viskosität . 

Im Fall des sphärischen Tropfens ist es prinzipiell möglich neben der exakten Krümmung 

in jeder Grenzflächenzelle auch den Normalenvektor auf der Tropfenoberfläche exakt 

vorzugeben. Deshalb ist es naheliegend eine Rechnung durchzuführen, bei der sowohl 

Krümmung als auch Normalenvektoren analytisch vorgegeben sind. Eine solche Rechnung 

erfordert einigen zusätzlichen Aufwand und wurde im Rahmen dieser Arbeit aus 

30


dem folgenden Grund nicht näher untersucht: Die beiden Oberflächenspannungsmodelle 

CSF und CSS setzen einen dimensionsbehafteten Normalenvektor voraus, der aus der 

Volumenanteilsfunktion f gewonnen wird. Damit reicht es nicht aus, die Richtung des 

jeweiligen Vektors exakt vorzugeben. Vielmehr muss dieser für die Verwendung in den 

beiden Oberflächenspannungsmodellen auch die vom Gradienten des f -Feldes vorgegebene 

Länge besitzen. 

3.2.7 Ausdehnung des Betrachtungszeitraumes 

Um das Verhalten des Tropfens bei fortdauernder Rechnung zu beobachten, wird die Simulation 

des Referenzfalles bis zum Erreichen des Zeitpunktes t = 3, 0 s fortgeführt. 

Wird die Rechnung über einen solch langen Zeitraum ausgeführt, so stellt man fest, dass 

sich die parasitären Strömungen derart verstärken, dass der Tropfen so stark beschleunigt 

wird, dass er das Kontrollvolumen verlässt. 

0.45 

0.45 

0.4 

0.4 


0.35 

0.3 

0.25 

0.2 

0.15 

0.1 


0.35 

0.3 

0.25 

0.2 

0.15 

0.1 

0.05 

0.05 

0 

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 

t [s] 

0 

0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 

t [s] 

(a) Gesamtrechendauer bis t = 3,0s . 

(b) Ausschnitt bis zu t = 0,4s. 

Abbildung 3.20: Zeitlicher Verlauf der spezifischen kinetischen Energie bei einer Rechnung 

bis zum Zeitpunkt t = 3, 0 s. 

In Abbildung 3.20 ist der zeitliche Verlauf der spezifischen kinetischen Energie für den 

Fall des ruhenden Wassertropfens abgebildet. Wie man der Abbildung 3.20(a) entnehmen 

kann, ist das Niveau der spezifischen kinetischen Energie im Kontrollvolumen bei Rechnungsende 

bereits auf den Wert null abgesunken. Der Tropfen verlässt das Rechengebiet 

etwa zum Zeitpunkt t = 0, 4 s, wie in Abbildung 3.20(b) zu sehen ist. 

Nach dem Anstieg der spezifischen kinetischen Energie zu Beginn der Rechnung bleibt 

das Niveau der Energie über einen langen Zeitraum hinweg nahezu konstant. Bei Erreichen 

des Zeitpunktes t = 0, 4 s ist ein deutlicher Anstieg der spezifischen kinetischen 

Energie zu verzeichnen. Anschließend geht der Wert der Energie auf null zurück, der 

Tropfen verlässt das Kontrollvolumen und mit ihm die kinetische Energie der flüssigen 

Phase. 

Dieses Verhalten ändert sich auch nicht bei Variation der Stoffgrößen bzw. der geometrischen 

Parameter des Tropfens und seiner Umgebung. Bei ausreichend langer Rechendauer 

ist stets festzustellen, dass sich der Tropfen nach einer gewissen Zeit auf Grund der 

parasitären Strömungen bewegt. 

31


Somit kann man feststellen, dass generell durch die Variation von Dichte, Auflösung, Radius 

und Viskosität der Zeitpunkt, zu dem sich der Tropfen in Bewegung setzt, lediglich 

hinauszögert werden kann. 

3.2.8 Ort der Maximalgeschwindigkeit 

Um die Entwicklung der parasitären Strömungen besser nachvollziehen zu können, wird 

der Ort der Maximalgeschwindigkeit über den zeitlichen Verlauf hinweg betrachtet. Es 

ist festzustellen, dass zu Beginn der Rechnung der Ort maximaler Geschwindigkeit von 

Iteration zu Iteration wechselt. Nach einigen Zeitschritten hat das Maximum jedoch die 

Tendenz über mehrere Zeitschritte hinweg am selben Ort zu bleiben. 

Die Maximalgeschwindigkeit tritt im Allgemeinen in Zellen auf, die sich in unmittelbarer 

Nähe der Grenzfläche befinden. Betrachtet man hingegen den Tropfenmittelpunkt, 

so stellt man fest, dass dort zu Beginn der Rechnung die Geschwindigkeiten annähernd 

den Wert null aufweisen. Über mehrere Zeitschritte hinweg breiten sich die parasitären 

Geschwindigkeiten, die zuerst an der Grenzfläche erzeugt werden, jedoch langsam ins 

Tropfeninnere aus, so dass die Geschwindigkeiten im Inneren des Tropfens nach einigen 

Zeitschritten stetig zunehmen. 

Abbildung 3.21: Geschwindigkeitsfeld in einem Schnitt durch den Wassertropfen nach dem 

ersten Zeitschritt. 

Zudem lässt sich insbesondere innerhalb der ersten Iterationen feststellen, dass es mehrere 

Zellen im Rechengebiet gibt, an denen der Wert der Maximalgeschwindigkeit erreicht 

wird. Dies lässt sich beispielsweise in Abbildung 3.21 erkennen, die einen Schnitt durch 

den Tropfen nach dem ersten Zeitschritt zeigt. Die Abbildung lässt mit Blick auf die Geschwindigkeitsvektoren 

eine deutliche Symmetrie erkennen. 

Betrachtet man die Felddaten der Geschwindigkeit nach dem ersten Schritt, so lässt sich 

erkennen, dass für eine Zelle mit den Indizes (i, j, k) die Geschwindigkeit identisch ist zu 

32


den Zellen, mit einer Zelladresse, die sich als Permutation besagter Indizes (i, j, k) ergibt. 

Dabei werden die Geschwindigkeiten in x-,y-,z-Richtung derart permutiert, dass der Geschwindigkeitsbetrag 

gleich ist. Dies lässt sich in Abbildung 3.21 erkennen. 

Dieses Verhalten ist jedoch nur unmittelbar nach der ersten Iteration anzutreffen. Nach 

mehreren Zeitschritten findet man nach Permutation der Indizes in den entsprechenden 

Zellen unterschiedliche Geschwindigkeitskomponenten. 

3.2.9 Betrachtung des Ergebnisses nach einem Zeitschritt δt 

Die Betrachtung der Ergebnisse nach dem ersten Zeitschritt δt liefert weitere Erkenntnisse 

bezüglich der parasitären Strömungen. Das Programm FS3D ermittelt den maximalen 

Zeitschritt für eine Rechnung nach den in Kapitel 2.1.6 beschriebenen Kriterien. Der 

hieraus für den Fall des ruhenden Wassertropfens ermittelte maximale Zeitschritt δt max 

ergibt sich im vorliegenden Fall aus der Begrenzung infolge der Oberflächenspannung 

δt max = δt σ . Er beträgt δt max = 4, 6 · 10 −5 s. Bezogen auf die Rechendauer von t = 0, 03 s 

entspricht dies 0, 15% der Gesamtdauer. 

Betrachtet man die nach dem ersten Zeitschritt auftretende Maximalgeschwindigkeit, so 

entspricht diese bereits etwa 5% der nach t = 0, 03 s vorhandenen. Tabelle 3.2 enthält die 

maximalen Geschwindigkeiten nach dem jeweils ersten Zeitschritt. Ausgehend vom maximal 

möglichen Schritt, werden zusätzlich zwei Rechnungen mit geringerer Schrittweite 

ausgeführt, was zu einer linearen Abnahme der Maximalgeschwindigkeit führt. 

Zeitschritt δt [s] v max [m/s] 

4, 6 · 10 −5 1, 294 · 10 −2 

4, 6 · 10 −6 1, 294 · 10 −3 

4, 6 · 10 −7 1, 294 · 10 −4 

Tabelle 3.2: Maximalgeschwindigkeiten nach dem ersten Zeitschritt. 

Betrachtet man den ersten Zeitschritt für den Fall des ebenen Wandfilmes in Kombination 

mit einer Variation der beiden Oberflächenspannungsmodelle CSS und CSF sowie mit 

verschiedenen Randbedingungen, so ergeben sich die Resultate aus Tabelle 3.3. Im Falle 

des Wandfilmes beträgt der maximal mögliche Zeitschritt δt max = 5, 5 · 10 −6 s. Besonders 

Oberflächenspannungsmodell Randbedingung v max [ m s ] 

CSS kontinuierlich 9, 14 · 10 −15 

CSS geschlossen, no slip 2, 02 · 10 −7 

CSF kontinuierlich 1, 27 · 10 −16 

CSF geschlossen, no slip 1, 27 · 10 −16 

Tabelle 3.3: Maximalgeschwindigkeiten nach dem ersten Zeitschritt bei verschiedenen Oberflächenspannungsmodellen 

und Randbedingungen für den Wandfilm-Testfall. 

33


auffällig hierbei ist die starke Abhängigkeit des CSS-Modells von der gewählten Randbedingung. 

3.3 Zusammenfassung 

Die vorangehenden Parametervariationen haben den Einfluss der einzelnen Faktoren auf 

die Entstehung parasitärer Strömung im Fall des ruhenden Wassertropfens bei Schwerelosigkeit 

gezeigt. 

Dabei ist festzustellen, dass bei geeigneter Wahl der Stoffparameter und des geometrischen 

Faktors Tropfenradius die parasitäre Strömung reduziert werden kann. Möchte ein 

Benutzer mit FS3D eine Simulation durchführen, sind dies jedoch problemspezifische 

Größen, die auf Grund des zu untersuchenden Problems nicht verändert werden können. 

Möchte man die Entstehung der parasitären Strömungen verhindern, so gilt es vielmehr 

im Bereich der numerischen Modellierung anzusetzen. Die Untersuchung des Einflusses 

der Oberflächenspannungsmodellierung in Abschnitt 3.2.6 hat gezeigt, dass es durchaus 

Unterschiede zwischen den beiden Modellen CSS und CSF gibt und dass die Wahl des 

Oberflächenspannungsmodelles die Entstehung parasitärer Strömung beeinflusst. 

34

Kapitel 4 

Modell zur Berechnung der 

Oberflächenkraft 

In diesem Kapitel wird das im Rahmen der vorliegenden Arbeit entwickelte Modell zur 

Berechnung der Oberflächenkraft vorgestellt. Dazu wird das Vorgehen zur Bestimmung 

der Oberflächenkraft zunächst anhand einer exemplarischen Grenzflächenzelle erläutert. 

Diese Zelle wird im Folgenden als Referenzfall bezeichnet. 

Im Anschluss an den Referenzfall finden sich in Abschnitt 4.3 weitere Informationen zum 

genauen Ablauf des numerischen Verfahrens. In diesem Abschnitt wird der Algorithmus 

zur Berechnung der Oberflächenkraft in all seinen Details und Fallunterscheidungen beschrieben. 

4.1 Die Grundidee des Modells 

Die bisher in FS3D implementierten Oberflächenspannungsmodelle CSS und CSF, beruhen 

auf einer Modellierung der Oberflächenkraft als Volumenkraft. Dabei orientierten 

sich die Modelle nur indirekt an der Oberflächengeometrie, indem sie die Volumenanteilsfunktion 

f aus VOF dazu benutzen, einen dimensionsbehafteten Normalenvektor auf 

der Oberfläche zu berechnen. Dieser wird als Gradient des f -Feldes bestimmt und von 

beiden Modellen zur Berechnung der Kraft herangezogen. 

Der im Folgenden vorgestellte Ansatz zur Berechnung der Oberflächenkraft F γ basiert 

unmittelbar auf ihrer Definition und ist direkt am Oberflächenverlauf innerhalb einer Zelle 

orientiert. Beim Entwurf des Verfahrens wurde der Aspekt Rechenzeit zunächst außer 

Acht gelassen. 

In Abbildung 4.1 ist der Referenzfall einer Grenzflächenzelle dargestellt. Die Kraft auf 

die Grenzfläche in einer Zelle ergibt sich als Ringintegral über die Grenzkurve C γ 

∮ 

F γ = σNdC. (4.1) 

C γ 

Der Vektor N bezeichnet den Normalenvektor tangential zur Grenzfläche und senkrecht 

zur Schnittkurve C γ der Grenzfläche mit den Zellseiten des Kontrollvolumens. Diese Formulierung 

der Oberflächenkraft lässt sich unmittelbar aus der integralen Form der Impulserhaltung 

ableiten [1]. Da es sich bei der Grenzflächenspannung σ um eine Konstante 

35

4 Modell zur Berechnung der Oberflächenkraft 

handelt, kann diese vor das Integral gezogen werden und die Bestimmung der Kraft vereinfacht 

sich zu 

∮ 

F γ = σ NdC. (4.2) 

C γ 

Die Auswertung des Integrales aus Gleichung (4.2) erfordert die Kenntnis des Grenzflächenverlaufes 

innerhalb des Kontrollvolumens. Dazu wird eine Rekonstruktion der freien 

Oberfläche durchgeführt, die innerhalb der Zelle nicht volumenerhaltend ist. Da zu jedem 

Zeitschritt auf Basis der gerade aktuellen Felddaten eine Oberflächenrekonstruktion erfolgt, 

kann auf die Volumenerhaltung verzichtet werden. 

Für die Rekonstruktion ist es wichtig, dass benachbarte Grenzflächenzellen auf ihrer gemeinsamen 

Zellseite auch eine gemeinsame Schnittkurve aufweisen. Dies ist eine bedeutende 

Anforderung an die Oberflächenrekonstruktion. Der genaue Ablauf der Ober- 

Abbildung 4.1: Berechnung der Oberflächenkraft durch Integration entlang der Schnittkurve 

von Zellseiten und Oberfläche. 

flächenrekonstruktion wird in den folgenden Abschnitten beschrieben, für den Moment 

wird der Oberflächenverlauf des in Abbildung 4.1 dargestellten Referenzfalles als bekannt 

vorausgesetzt. Mit dieser Kenntnis lässt sich für die Schnittkurven auf den Zellseiten an 

jedem Ort der in Gleichung (4.2) zur Integration benötigte Vektor N bestimmen. Er ist 

derjenige Einheitsvektor, der normal auf der Schnittkurve steht und gleichzeitig tangential 

zur Oberfläche verläuft. 

Mit ihm erhält man durch Auswertung des Wegintegrals (4.2) auf den Zellseiten die gesuchte 

Kraft auf die Phasengrenzfläche innerhalb des Kontrollvolumens. 

4.2 Die Gliederung des Oberflächenkraftmodelles 

Die Umsetzung des soeben vorgestellten Modelles gliedert sich in zwei wesentliche Schritte: 

36


1. Rekonstruktion der Oberfläche in jeder Grenzflächenzelle. 

2. Auswertung des Ringintegrales zur Bestimmung der Oberflächenkraft. 

Beide Punkte werden im Anschluss anhand des Referenzfalles aus Abbildung 4.1 der 

Reihe nach beschrieben. 

4.2.1 Oberflächenrekonstruktion 

Das übergeordnete Ziel der Oberflächenrekonstruktion ist es, eine möglichst geschlossene, 

zusammenhängende Oberfläche zu erhalten, die keine Sprungstellen zwischen einzelnen 

Gitterzellen aufweist. Dabei gilt es zwei grundlegende Entscheidungen zu treffen, 

nämlich: 

1. Art der Fläche, 

2. Bestimmung von zur Flächen-Interpolation nötigen Punkten, die auf der Fläche liegen. 

In der vorliegenden Arbeit wird zu diesem Zweck die Oberfläche in jeder Grenzflächenzelle 

durch eine biquadratische Bézier-Fläche angenähert. Details zur Arbeit mit Bézier- 

Kurven und -Flächen zweiter Ordnung finden sich in Abschnitt 2.2. 

Zur Rekonstruktion einer quadratischen Bézier-Fläche werden neun Punkte auf dieser 

Fläche benötigt. Um diese Punkte in jeder Grenzflächenzelle zu erhalten, sind zwei Schleifen 

über sämtliche Grenzflächenzellen nötig. Im ersten Durchgang findet eine rein zelllokale 

Betrachtungsweise statt. In diesem Schritt wird innerhalb jeder Grenzflächenzelle der 

PLIC-Algorithmus zur linearen Oberflächenrekonstruktion ausgeführt. Er liefert durch 

die Kantenschnittpunkte seiner PLIC-Ebene eine erste Information über den Grenzflächenverlauf. 

Da für benachbarte Zellen die Punkte dieser lokalen Rekonstruktion an den 

gemeinsamen Zellgrenzen in der Regel nicht übereinstimmen, wird ein zweiter Schritt 

durchgeführt. 

Dieser Schritt ist ein Interpolationsschritt, der die umliegenden Zellen einbezieht. Damit 

wird gewährleistet, dass für zwei benachbarte Zellen die Punkte auf gemeinsamen 

Zellseiten identisch sind. Diese Eigenschaft ist besonders wichtig, da die Oberflächenrekonstruktion 

zusammenhängend und ohne Sprungstellen erfolgen soll. 

4.2.1.1 Punkte aus dem zelllokalen PLIC-Algorithmus 

Die lokale, stückweise lineare Oberflächenrekonstruktion PLIC basiert, wie in Abschnitt 

2.1.2 beschrieben, auf dem Volumenanteil f der VOF-Methode und dem daraus abgeleiteten 

Normalenvektor n auf der Grenzfläche. 

Der PLIC-Algorithmus erzeugt in jeder Grenzflächenzelle eine Ebene, die abhängig von 

ihrer Lage, drei, vier, fünf oder sechs Schnittpunkte mit den Zellkanten aufweist. In Abbildung 

4.2 ist für jeden dieser vier möglichen Fälle ein Beispiel abgebildet. 

Auf Basis der PLIC-Ebene werden im Folgenden zwei Informationen gewonnen. Zuerst 

werden die Kantenschnittpunkte der Ebene gespeichert. In einem zweiten Schritt wird als 

weitere Information der Flächenschwerpunkt der PLIC-Fläche ermittelt. In Abbildung 4.3 

37


δz 

δz 

δx 

δx 

y ′ 

x ′ z ′ 

δy 

y ′ 

x ′ z ′ 

δy 

(a) 3 Schnittpunkte mit den Zellkanten. 

δz 

δx 

(b) 4 Schnittpunkte mit den Zellkanten. 

δz 

δx 

y ′ 

x ′ z ′ 

δy 

y ′ 

x ′ z ′ 

δy 

(c) 5 Schnittpunkte mit den Zellkanten. 

(d) 6 Schnittpunkte mit den Zellkanten. 

Abbildung 4.2: PLIC-Ebenen mit unterschiedlicher Anzahl an Kantenschnittpunkten. 

Abbildung 4.3: PLIC-Rekonstruktion der Oberfläche mit Flächenschwerpunkt. 

ist die PLIC-Fläche des Referenzfalles inklusive ihres Flächenschwerpunktes dargestellt. 

Es ist ersichtlich, dass für den Referenzfall der Flächenschwerpunkt und vier Kantenschnittpunkte 

vorliegen. 

38


Der Algorithmus zur Bestimmung der Punkte der Bézier-Fläche ist so aufgebaut, dass er 

die Kantenschnittpunkte und Flächenschwerpunkte aus PLIC als Basis für den folgenden 

Interpolationsschritt verwendet. 

4.2.1.2 Punkte durch Interpolation der Flächenschwerpunkte auf die Kanten 

Nachdem der PLIC-Algorithmus einmal alle Grenzflächenzellen durchlaufen hat, verfügt 

man über eine erste Näherung bezüglich des Verlaufes der Grenzfläche. In jeder Grenzflächenzelle 

sind mindestens drei und höchstens sechs Kanten durch gespeicherte PLIC- 

Kantenpunkte markiert. 

Die markierten Kanten werden nun für die weitere Rekonstruktion verwendet. In Abbil- 

Abbildung 4.4: Referenzfall mit 4 Kantenschnittpunkten und Nachbarzellen. 

dung 4.4 ist der Referenzfall mit den 26 benachbarten Zellen abgebildet. Die Gitterzelle 

des Referenzfalles befindet sich dabei in der Mitte der Darstellung und ihre PLIC-Fläche 

ist dunkler eingefärbt als die Flächen der umgebenden Zellen. Wie man erkennen kann, 

befinden sich die vier Kantenschnittpunkte der Zelle auf den vier vertikalen z-Kanten 

des Kontrollvolumens. Es ist ebenso ersichtlich, dass es in der linearen Rekonstruktion 

der Oberfläche Sprünge an den Zellgrenzen gibt. Dies äußert sich in der Tatsache, dass 

es an jeder der vier vertikalen Zellkanten auch vier verschiedene Kantenschnittpunkte 

gibt. Da diese Sprünge vermieden werden sollen, werden auf den Zellkanten neue, allen 

Nachbarzellen gemeinsame, Kantenpunkte ermittelt. Dazu betrachtet man die markierten 

Kanten einzeln. Greift man beispielsweise die vorderste der markierten Kanten heraus 

(x = 3, y = 3), um auf ihr einen neuen Punkt zu interpolieren, so stellt man fest, dass 

in allen vier an sie grenzenden Zellen eine PLIC-Fläche vorliegt. Als neuer Punkt auf 

dieser vertikalen Kante wird folglich das arithmetische Mittel der z-Koordinaten der vier 

Flächenschwerpunkte aus den vier betreffenden Zellen gespeichert. 

Auf diese Weise verschwindet der Sprung an der Kante. Auf analoge Art und Weise wird 

39


nun mit den anderen drei markierten Zellkanten verfahren. Somit ergibt sich an jeder der 

vier belegten Kanten ein neuer Punkt, der nun direkt für die Erzeugung der Bézier-Fläche 

verwendet werden kann. 

4.2.1.3 Interpolation der Bézier-Fläche 

Durch die Interpolation der Kantenpunkte, verfügt man bereits über erste Punkte zur Flächeninterpolation. 

Im Fall der Referenzzelle sind dies vier Kantenpunkte. Da insgesamt 

jedoch neun Punkte für die Bézier-Fläche benötigt werden, müssen zusätzlich fünf weitere 

Punkte bestimmt werden. 

Bei den verbleibenden Punkten handelt sich dabei um vier Punkte auf den Zellseiten und 

einen Punkt, der innerhalb der Zelle auf der Grenzfläche liegt. Dies wird deutlich, wenn 

man einen Blick auf das Ergebnis der Flächeninterpolation für den Referenzfall in Abbildung 

4.5 wirft. Dort ist die für den Referenzfall rekonstruierte quadratische Bézier-Fläche 

Abbildung 4.5: Interpolierte Bézier-Fläche für den Referenzfall. 

mitsamt ihrer neun, zur Interpolation verwendeten Punkte abgebildet. 

Für den Flächenpunkt innerhalb der Zelle wird direkt der zuvor ermittelte Flächenschwerpunkt 

der Zelle verwendet. 

Die Punkte auf den Seiten entstehen hingegen durch Interpolation. Dazu sei nochmals auf 

Abbildung 4.4 verwiesen, in der die benachbarten Zellen zu sehen sind. Da die Kantenpunkte 

immer paarweise auf einer Zellseite liegen, muss auf dieser Seite ein dritter Punkt 

gefunden werden. Dazu greift man auf die Flächenschwerpunkte der beiden an diese Seite 

angrenzenden Zellen zurück. 

Als Beispiel soll die Zellseite x = 3 betrachtet werden. In der links an sie grenzenden Zelle 

befindet sich eine PLIC-Fläche inklusive Flächenschwerpunkt. Der zu interpolierende 

Punkt hat die x-Koordinate x = 3. Seine y- und z-Komponente ergeben sich jeweils als 

arithmetisches Mittel der y- und z-Komponenten der Flächenschwerpunkte der zentralen 

40


Zelle und der Zelle links von ihr. 

Für die verbleibenden drei Zellseiten ergibt sich der dritte Punkt ebenso als arithmetisches 

Mittel der auf die Zellseite projizierten Flächenschwerpunkte der beiden an die Seite grenzenden 

Zellen. 

Somit verfügt man über den benötigte Datensatz von neun Punkten zur Erzeugung einer 

quadratischen Bézier-Fläche. 

4.2.2 Berechnung der Oberflächenkraft 

Der erste Abschnitt des Algorithmus endet mit der Erzeugung der Bézier-Fläche. Im zweiten 

Teil geht es nun um die Auswertung des Ringintegrales aus Gleichung (4.2) zur Bestimmung 

der Oberflächenkraft. 

Abbildung 4.1, die den Referenzfall darstellt und die Definition der Kraft in Gleichung 

(4.2), machen deutlich, welche Schritte im weiteren Vorgehen notwendig sind. Zunächst 

ist es erforderlich, den Vektor N an jeder Stelle der Schnittkurve C γ der Oberfläche mit 

den Zellseiten zu kennen. Dieser lässt sich dank der Kenntnis der Bézier-Fläche S (Gleichung 

(2.34)) leicht bestimmen. Dank der im vorigen Abschnitt interpolierten Fläche hat 

man Zugriff auf sämtliche geometrischen Größen. 

Abbildung 4.6: Bestimmung der Oberflächenkraft F γ aus den Teilkräften an den Zellseiten 

(F γ ist vergrößert dargestellt). 

Somit kann das Ringintegral abschnittsweise auf jeder der vier Zellseiten ausgewertet 

werden. Dabei ist darauf zu achten, dass die Integration im Parameterraum der Bézier- 

Fläche stattfindet. Da es sich um die Auswertung eines zweidimensionalen Wegintegrales 

handelt, wird jeweils einer der Parameter u, v der Fläche konstant gehalten. Somit lässt 

41


sich Gleichung (4.2) umschreiben zu 

∮ 

F γ = σ · NdC = σ · ( 

C γ 

+ 

∫ 1 

u=0,v=const. 

∫ 0 

u=1,v=const. 

N(u)|C u |du + 


∫ 1 

v=0,u=const 

∫ 0 

v=1,u=const. 

N(v)|C v |dv 

N(v)|C v |dv). (4.3) 

Hier bezeichnen C u und C v die Tangenten in u- bzw. v-Richtung der Schnittkurve auf den 

Zellseiten. 

Das Ergebnis von Gleichung (4.3) besteht aus vier Teilkräften. Deren Addition liefert die 

gesuchte Oberflächenkraft F γ , wie in Abbildung 4.6 erkennbar ist. In dieser Abbildung 

ist die Gesamtkraft F γ gegenüber den Teilkräften auf den Zellseiten aus Gründen der 

besseren Darstellung vergrößert dargestellt. 

4.3 Das numerische Verfahren zur Bestimmung der Oberflächenkraft 

In den ersten Abschnitten dieses Kapitels wird das Modell zur Berechnung der Oberflächenkraft 

am Beispiel eines Referenzfalles erklärt. Dabei handelt es sich um den speziellen 

Fall einer Grenzflächenzelle mit vier Kantenschnittpunkten. 

Die folgenden Abschnitte geben Auskunft über die Umsetzung des Modelles in ein numerisches 

Verfahren. Der entwickelte Algorithmus ist dazu fähig, sämtliche möglichen 

Fälle im Hinblick auf die Anzahl der Kantenschnittpunkte, und damit der Lage und Art 

der interpolierten Fläche, zu unterscheiden und die Berechnung der Oberflächenkraft entsprechend 

anzupassen. Die Beschreibung des Algorithmus gliedert sich in zwei Teilbereiche. 

Im ersten Teil wird die Erzeugung der Grenzfläche innerhalb einer Zelle beschrieben. 

Im zweiten Teil wird, basierend auf der rekonstruierten Oberfläche, die Oberflächenkraft 

bestimmt. 

Dabei durchläuft der Algorithmus in zwei Schleifen die Grenzflächenzellen. Eine Übersicht 

zum Ablauf des Algorithmus befindet sich in Abbildung 4.7. 


Der Algorithmus zur Rekonstruktion der Grenzfläche innerhalb einer Gitterzelle stützt 

sich auf die von FS3D durchgeführte stückweise lineare Oberflächenrekonstruktion PLIC. 

Mittels der linearen Rekonstruktion wird jede Grenzflächenzelle zunächst für sich betrachtet. 

Dabei werden in Form von Kantenschnittpunkten und Flächenschwerpunkten 

der PLIC-Flächen erste Informationen bezüglich der Lage der Grenzfläche gewonnen. In 

einem zweiten Schritt werden diese Punkte unter Einbeziehung der Informationen aus den 

Nachbarzellen zur Interpolation neuer Punkte benutzt. 

4.3.1.1 PLIC: Bestimmung der Kantenschnittpunkte 

Im ersten Schritt werden die Schnittpunkte der PLIC-Ebene mit den Zellkanten bestimmt. 

Der PLIC-Algorithmus liefert den sogenanten Lageparameter l ∗ . Dieser lässt sich direkt 

42


Schleife über alle Grenzflächenzellen 

PLIC 

Kantenschnittpunkte 

Flächenschwerpunkt 

Schleife über alle Grenzflächenzellen 

Interpolation der Kantenschnittpunkte 

Interpolation Flächenpunkte auf den Zellseiten 

Sortieren der Bézier-Punkte 

Interpolation der Bézier-Fläche 

Bestimmen der Oberflächenkraft durch Auswerten des 

Ringintegrals 

Abbildung 4.7: Ablaufdiagramm des Algorithmus zur Berechnung der Oberflächenkraft. 

43


in die allgemeine Ebenengleichung (2.10) einsetzen 

n ′ x ′ − l ∗ = 0. (2.10) 

Hier bezeichnet n ′ den Normalenvektor und x ′ die Koordinaten, jeweils im lokalen System 

der Zelle. Mit Hilfe von Gleichung (2.10) lassen sich zunächst sämtliche Schnittpunkte 

der Zellkanten mit der PLIC-Ebene bestimmen. Diese Schnittpunkte liegen auf 

Grund der Form von Gleichung (2.10) im lokalen Koordinatensystem vor. Bei Auswertung 

der Schnittpunkte findet man sowohl Punkte innerhalb als auch außerhalb der Zelle. 

Da jedoch nur die Schnittpunkte innerhalb der betrachteten Zelle von Bedeutung sind, 

werden alle Punkte mit einer Koordinate, die die Zellabmessungen δx,δy,δz überschreitet, 

aussortiert. 

Die verbleibenden Punkte werden für die weitere Verwendung abgespeichert. Wie aus 

Abbildung 4.2 ersichtlich ist, gibt es genau vier Fälle bezüglich der Anzahl der Kantenschnittpunkte. 

In jeder Grenzflächenzelle befinden sich entweder drei, vier, fünf oder 

sechs Kantenschnittpunkte. Diese werden zunächst den Zellseiten x = 0, x = δx, y = 

0, y = δy, z = 0, z = δz zugeordnet. Diese Einteilung ermöglicht eine bessere Orientierung 

der folgenden Routinen innerhalb der Zelle. Somit sind also in der betrachteten 

Zelle, je nach Fall, auf drei bis sechs Seiten jeweils zwei Schnittpunkte abgespeichert. 

Abschließend müssen diese noch vom lokalen ins globale Koordinatensystem überführt 

werden. Dazu bedient man sich der folgenden Transformationsvorschrift nach [1] 

⎛ 

⎞ 


x = x i + ⎝ 0 sign(n y ) 0 ⎠ (x ′ − d ). (4.4) 

2 


Der Vektor d enthält die Zellabmessungen δx,δy,δz und die Koordinaten des Zellzentrums 

sind im Vektor x i gespeichert. Außerdem ist zu beachten, dass entgegen der mathematischen 

Definition die Funktion sign(x) für x = 0 den Wert sign(x = 0) = 1 annimmt. 

Die Beziehung zwischen lokalem und globalem Koordinatensystem wird in Abbildung 

2.3 verdeutlicht. 

Nach der Transformation müssen die ermittelten Punkte nach ihren Koordinaten im globalen 

System den x-,y- und z-parallelen Kanten zugeordnet werden. Dies wird durch einen 

entsprechenden Sortieralgorithmus durchgeführt. 

4.3.1.2 PLIC: Bestimmung des Flächenschwerpunktes 

Die zweite Information, die aus PLIC gewonnen wird, ist die Lage des Flächenschwerpunktes 

der PLIC-Fläche im lokalen Koordinatensystem. 

Abbildung 4.8 zeigt das Beispiel einer Grenzflächenzelle mit ihrer PLIC-Ebene. Will man 

deren Flächenschwerpunkt bestimmen, so muss man offensichtlich den Schwerpunkt des 

Polygons berechnen, das von den Kantenschnittpunkten gebildet wird. Hierbei liegt ein 

ebenes Problem vor, so dass der gesuchte Punkt im zweidimensionalen Raum ermittelt 

wird. Dazu führt man eine Drehung des lokalen Koordinatensystems aus, so dass die lokale 

x ′ -Achse parallel zum Normalenvektor der Ebene n ′ verläuft. Dieser Prozess umfasst 

44


δz 

δx 

n ′ 

y ′′ 

y ′ x ′′ 

z ′′ 

x ′ z ′ 

δy 

Abbildung 4.8: Zelle mit gedrehtem Koordinatensystem x ′′ , y ′′ , z ′′ . 

zwei Drehungen. Dabei wird zunächst um den Winkel 

( ) 

′ 

n y 

γ = −arctan , (4.5) 

n ′ x 

um die z ′ -Achse und anschließend um den Winkel 

( ′ ) n z 

β = arcsin , (4.6) 

|n ′ | 

um die y ′ -Achse gedreht. Die Winkel können der Abbildung 4.9 entnommen werden. 

z ′ ′ 

n z 

′ 

n y 

′ 

n x 

y ′ 

x ′ 

γ β n ′ 

Abbildung 4.9: Drehung des Normalenvektors n ′ um die Winkel γ und β. 

Mit ihnen kann man im Anschluss direkt die beiden Drehmatrizen D γ und D β wie folgt 

45


besetzen 

⎛ 

⎞ 

cos(γ) −sin(γ) 0 

D γ = ⎝sin(γ) cos(γ) 0⎠ , (4.7) 

0 0 1 

⎛ 

⎞ 

cos(β) 0 sin(β) 

D β = ⎝ 0 1 0 ⎠. (4.8) 

−sin(β) 0 cos(β) 

Somit lassen sich die neuen Koordinaten der Kantenpunkte im gedrehten System x ′′ , y ′′ , z ′′ 

wie folgt ermitteln 

P ′′ 

i = D β D γ P ′ i (4.9) 

In Abbildung 4.8 ist das gedrehte Koordinatensystem zu sehen. Betrachtet man die Kantenpunkte, 

die jetzt die Bezeichnung P ′′ 

i mit den Koordinaten (x ′′ 

i , y ′′ 

i , z ′′ 

i ) tragen, so bilden 

sie ein Polygon mit N = 6 Eckpunkten in der y ′′ , z ′′ -Ebene. Abbildung 4.10 zeigt das 

Sechseck der Kantenschnittpunkte aus Abbildung 4.8 in der y ′′ , z ′′ -Ebene. Die Berech- 

(y ′′ 

1, z ′′ 

1) 

(y ′′ 

2, z ′′ 

2) 

(y ′′ 

3, z ′′ 

3) 

N = 6 

(y ′′ 

0, z ′′ 

0) 

(y ′′ 

4, z ′′ 

4) 

(y ′′ 

5, z ′′ 

5) 

Abbildung 4.10: Polygon mit N = 6 Eckpunkten. 

nung des Schwerpunktes eines Polygonzuges verläuft nach [9] wie folgt. Die Fläche A 

eines nicht überschlagenen, geschlossenen Polygons mit N Eckpunkten lässt sich im vorliegenden 

Fall bestimmen zu 

A = 1 2 

∑N−1 

(y ′′ 

i z ′′ 

i+1 − y ′′ 

i+1z ′′ 

i ). (4.10) 

i=0 

Der nullte Eckpunkt (y ′′ 

0, z ′′ 

0) und der N-te Punkt (y ′′ N, z ′′ N) sind hierbei identisch. Aus der 

Betrachtung der einzelnen Teilstücke des Polygons lassen sich die Koordinaten des Flä- 

46


chenschwerpunktes ermitteln zu 

C ′′ 

y = 1 ∑N−1 

(y ′′ 

i + y ′′ 

6A 

i+1)(y ′′ 

i z ′′ 

i+1 − y ′′ 

i+1z ′′ 

i ), (4.11) 

i=0 

C ′′ 

z = 1 ∑N−1 

(z ′′ 

i + z ′′ 

6A 

i+1)(y ′′ 

i z ′′ 

i+1 − y ′′ 

i+1z ′′ 

i ). (4.12) 

i=0 

Wie anhand der Gleichungen (4.10)-(4.12) ersichtlich ist, müssen die Punkte des Polygons 

in der richtigen Reihenfolge eingesetzt werden. Wie im vorigen Abschnitt beschrieben, 

werden die Kantenschnittpunkte paarweise auf den Zellseiten gespeichert. Mit Hilfe 

dieser Datenstruktur kann man einen Umlauf über die Zellseiten vornehmen, bei dem 

gleichzeitig auch stets der korrekte Umlaufsinn gewährleistet wird. 

Da nach der Drehung sämtliche Punkte die gleiche x ′′ -Koordinate aufweisen, kann der 

Wert für C ′′ 

x von einem beliebigen, gedrehten Punkt entnommen werden. 

Abschließend muss der Flächenschwerpunkt C ′′ wieder ins ursprüngliche lokale Koordinatensystem 

zurückgedreht werden. Dazu wird neben einer Umorientierung der Winkel 

( ) 

′ 

n 

γ ∗ y 

= −γ = arctan , (4.13) 

n ′ x 

und 

auch die Reihenfolge der Drehungen vertauscht 

( ′ ) n 

β ∗ z 

= −β = −arcsin , (4.14) 

|n ′ | 

C ′ = D γ ∗D β ∗C ′′ . (4.15) 

Eine anschließende Koordinatentransformation nach Gleichung (4.4) überführt den Flächenschwerpunkt 

vom lokalen ins globale Koordinatensystem. 

Ein Blick auf das Ablaufdiagramm des Algorithmus in Abbildung 4.7 lässt erkennen, dass 

nach Bestimmung sämtlicher Kantenschnittpunkte und Flächenschwerpunkte, eine neue 

Schleife über die Grenzflächenzellen begonnen wird. 

4.3.1.3 Interpolation der PLIC-Flächenschwerpunkte auf die Zellkanten 

Der nächste Schritt in der Rekonstruktion besteht in der Interpolation der aus PLIC erhaltenen 

Flächenschwerpunkte auf die Zellkanten. Nach Abschluss des ersten Durchlaufes 

durch alle Grenzflächenzellen, sind sämtliche Kantenschnittpunkte und Flächenschwerpunkte 

im Rechenfeld bekannt. 

Das bereits in Abschnitt 4.2.1.2 für den Referenzfall gezeigte Vorgehen zur Interpolation, 

wird nun auf den allgemeinen Fall ausgedehnt. 

Zu Beginn einer jeden Berechnung mit FS3D wird vom Programm das f -Feld in Abhängigkeit 

von der durch den Benutzer vorgegebenen Geometrie initialisiert. Bei diesem 

Vorgang kommt es auf Grund der initialisierten f -Verteilung zu Sprüngen in der Oberfläche. 

47


Ein Beispiel, das die Sprünge in der PLIC-Rekonstruktion und der Initialisierung deutlich 

macht, ist in Abbildung 4.11 zu sehen. 

Anhand der zentralen Zelle dieser Abbildung, soll das Vorgehen bei der Interpolation erläutert 

werden. Die PLIC-Fläche der zentralen Zelle ist dunkel eingefärbt. Bei der Fläche 

handelt es sich um eine Dreiecksfläche. Folglich sind drei Kanten der Grenzflächenzelle 

mit Schnittpunkten belegt. Dabei handelt es sich um zwei horizontale Zellkanten und eine 

vertikal verlaufende Zellkante in z-Richtung. Die vertikale Zellkante soll im Folgenden 

näher betrachtet werden. In den an sie grenzenden Zellen gibt es lediglich eine Zelle, links 

von ihr, die ebenfalls eine Grenzfläche enthält. Folglich wird das arithmetische Mittel aus 

der z-Koordinate des Flächenschwerpunktes in der zentralen Zelle und der z-Koordinate 

des Flächenschwerpunktes in der links angrenzenden Zelle gebildet. Der erhaltene Zahlenwert 

wird als neuer Kantenschnittpunkt gespeichert. 

Analog wird nun mit der horizontalen Kante in y-Richtung verfahren. In diesem Fall stehen 

allerdings zwei Zellnachbarn zur Verfügung, so dass insgesamt über drei Flächenschwerpunkte 

gemittelt wird. Im Fall der zweiten horizontalen Kante in x-Richtung, gibt 

es wiederum lediglich eine Nachbarzelle, oberhalb der zentralen Zelle, die zur Mittelung 

verwendet werden kann. 

Abbildung 4.11: Zentrale Zelle mit 3 Kantenschnittpunkten. 

Im Allgemeinen werden für jede mit einem PLIC-Schnittpunkt belegte Kante die Nachbarzellen 

untersucht. Finden sich dort Zellen mit Grenzfläche, so ergibt sich der neue 

Kantenschnittpunkt durch Mittelung der entsprechenden Koordinate des Flächenschwerpunktes 

der zentralen Zelle mit den Flächenschwerpunkten der umliegenden Zellen. 

Um den Algorithmus möglichst robust zu gestalten, wird der PLIC-Kantenschnittpunkt 

beibehalten, falls mit den umliegenden Zellen keine Interpolation durchgeführt werden 

kann, da sie keine Grenzfläche enthalten. 

Anschließend werden die Kantenschnittpunkte der betrachteten Zelle den globalen Zellseiten 

x = x i−1/2 , x = x i+1/2 , y = y j−1/2 , y = y j+1/2 , z = z k−1/2 , z = z k+1/2 zugeordnet. 

48


Dieses Vorgehen erleichtert die folgenden Schritte, da insbesondere für die Erzeugung der 

Bézier-Fläche eine Sortierung der Punkte durchgeführt werden muss. 

Somit kann also gewährleistet werden, dass in jeder Grenzflächenzelle auf den Zellkanten 

ebenso viele Punkte abgespeichert sind, wie es Schnittpunkte zwischen der PLIC-Ebene 

und den Zellkanten gibt. 

Nachdem die interpolierten Punkte und die Flächenschwerpunkte in den Grenzflächenzellen 

vorliegen, kann im nächsten Schritt aus diesen Punkten die angestrebte Bézier-Fläche 

zweiter Ordnung rekonstruiert werden. Die erzeugte Fläche ist innerhalb der Zellen nicht 

volumenerhaltend. Diese Eigenschaft kann jedoch in Kauf genommen werden, da die 

Fläche lediglich zur Bestimmung der Oberflächenkraft und nicht zur Konvektion des Volumenanteils 

f eingesetzt wird, die Oberflächenrekonstruktion erfolgt zu jedem Zeitschritt 

auf Basis des aktuell vorliegenden f -Feldes. 

4.3.1.4 Datenstruktur der Punkte für die Bézier-Fläche 

Die Erzeugung der biquadratischen Bézier-Fläche erfordert, dass die nötigen neun Punkte 

in einer fest vorgegebenen Reihenfolge an den Algorithmus übergeben werden. Es 

handelt sich dabei um drei Punktegruppen mit jeweils drei Punkten, so dass der Flächen- 

Interpolations-Algorithmus die Übergabe einer 3 × 3-Matrix erwartet. 

u 

Q 1,2 

Q 2,1 

z ′ Q 

Q 3,1 

2,2 

x ′ y ′ Q 3,2 

Q 1,3 Q 2,3 

δy 

Q 1,1 

Abbildung 4.12: Punkte zur Interpolation der Bézier-Fläche innerhalb einer Zelle mit Richtung 

der Parametrisierung in u und v. 

Abbildung 4.12 verdeutlicht die Situation. Innerhalb der Zelle sind neun Punkte eingezeichnet. 

Die 3 × 3-Matrix Q wird nun für das Beispiel in der Abbildung wie folgt besetzt. 

Die Punkte auf der Zellseite y ′ 

= 0 bilden die Einträge der ersten Zeile. Die drei 

Punkte auf der Zellseite y ′ 

= δy werden in die dritte Zeile der Matrix Q geschrieben. 

Folglich bilden die drei Punkte mit 0 < y ′ 

< δy die zweite Zeile der Matrix. Oberhalb 

der Zelle findet man die Richtungen der Parametrisierung in u und v. Die Punkte sind 

aus Gründen der Darstellung untereinander durch gestrichelte Linien verbunden. Diese 

Linien deuten gleichzeitig auch die Zugehörigkeit der Punkte zu Bézier-Kurven mit konstanten 

u- bzw. v-Parameterwerten an. Betrachtet man beispielsweise die drei Punkte der 

ersten Zeile der Matrix Q auf der Zellseite y ′ 

= 0, so bilden diese eine Bézier-Kurve. 

Diese Kurve ergibt sich direkt aus der Gleichung der Bézier-Fläche (2.34) durch Wahl der 

49 

v 

Q 3,3 

δx 

δz


Parameter u = 0...1 und v = 0 = const., wobei durch ein analoges Vorgehen sämtliche 

Bézier-Kurven der Fläche einzeln erzeugt werden können. 

Um innerhalb jeder Grenzflächenzelle die gesuchte Bézier-Fläche erzeugen zu können, 

ist eine Rückkehr ins lokale Koordinatensystem nötig. Die auf den Kanten im globalen 

Koordinatensystem gespeicherten Punkte müssen folglich transformiert werden. Dies geschieht 

mit Hilfe der in Abschnitt 2.1.2 zu findenden Transformationsbeziehung (2.8) 

⎛ 

⎞ 


x ′ = ⎝ 0 sign(n y ) 0 ⎠ (x − x i ) + d 2 . (2.8) 


Der Algorithmus verfügt nun über maximal sechs Punkte auf den Zellkanten. Zur Vollständigen 

Besetzung der 3 ×3-Matrix Q, müssen die verbleibenden Punkte auf geeignete 

Weise interpoliert werden. 

4.3.1.5 Interpolation der Flächenpunkte auf den Zellseiten und des zentralen Flächenpunktes 

Auf jeder Zellseite liegen lediglich zwei Kantenschnittpunkte vor, die jeweils den Anfangsbzw. 

Endpunkt einer Bézier-Kurve bilden. Zur Erzeugung einer Bézier-Kurve auf dieser 

Seite ist es jedoch nötig drei Punkte zu kennen. Folglich muss ein weiterer Punkt zwischen 

Anfangs- und Endpunkt der Kurve auf der Zellseite gefunden werden. Dieser Punkt 

wird durch einen Interpolationsschritt gewonnen. Zu diesem Zweck wird im vorliegenden 

Verfahren auf die Flächenschwerpunkte der an die Zellseite grenzenden Gitterzellen zurückgegriffen. 

Steht in beiden Zellen ein Flächenschwerpunkt zur Verfügung, so werden 

die Koordinaten der beiden Schwerpunkte auf die betroffene Zellseite gemittelt. Falls 

eine der angrenzenden Zellen keine Grenzfläche enthalten sollte, wird der Punkt durch 

lineare Interpolation des Anfangs- und Endpunktes ermittelt. Konkret bedeutet dies am 

Beispiel der Zelle aus Abbildung 4.12 folgendes. Für den mittleren Punkt Q(1, 2) auf der 

Zellseite y ′ = 0 wird überprüft, ob die in negativer y ′ -Richtung an diese Zellseite angrenzende 

Zelle ebenfalls Grenzflächenzelle ist. Trifft dies zu, so ergeben sich die x ′ - und die 

z ′ -Koordinate des Punktes Q(1, 2) als arithmetisches Mittel der beiden Flächenschwerpunkte. 

Allgemein lässt sich dies wie folgt formulieren 

⎛ 

⎞ 

Q(m, 2) = 1 C x (i, j, k) + C x (i ∗ , j ∗ , k ∗ ) 

⎝C y (i, j, k) + C y (i ∗ , j ∗ , k ∗ ) ⎠ . (4.16) 

2 

C z (i, j, k) + C z (i ∗ , j ∗ , k ∗ ) 

Dabei bezeichnen die Indizes i ∗ , j ∗ , k ∗ die jeweils an die Zellseite angrenzende Nachbarzelle, 

während m = 1, 3 die Zeile der Matrix Q angibt. 

Handelt es sich bei der Nachbarzelle nicht um eine Grenzflächenzelle, so wird der gesuchte 

Punkt durch lineare Interpolation innerhalb der aktuellen Punktreihe erzeugt 

Q(m, 2) = 1 (Q(m, 1) + Q(m, 3)). (4.17) 

2 

Die zweite Punktreihe m = 2 bildet einen Sonderfall. Wie in Abbildung 4.12 zu sehen ist, 

liegen in diesem Fall die drei Punkte nicht alle auf ein und derselben Zellseite. Die Punkte 

50


Q(2, 1) und Q(2, 3) werden analog zu Gleichung (4.16) ermittelt. Der Punkt Q(2, 2) wird 

im Allgemeinen zunächst dem Flächenschwerpunkt der Zelle gleichgesetzt 

⎛ ⎞ 

C x (i, j, k) 

Q(2, 2) = ⎝C y (i, j, k) ⎠. (4.18) 

C z (i, j, k) 

4.3.1.6 Sortieren der Bézier-Punkte 

In jeder Grenzflächenzelle sind auf den Kanten entweder drei, vier, fünf oder sechs Schnittpunkte 

gespeichert. Zusätzlich sind die sonstigen Flächenpunkte, die zur Erzeugung der 

Bézier-Fläche nötig sind, durch das soeben beschriebene Interpolationsverfahren bestimmt. 

Somit müssen die Flächenpunkte lediglich in der richtigen Reihenfolge sortiert werden, 

bevor aus ihnen eine Bézier-Fläche erzeugt werden kann. In Abhängigkeit vom vorliegenden 

Fall übernimmt ein Algorithmus den Sortiervorgang. 

Im Wesentlichen basieren die Fälle mit drei, fünf und sechs Kantenpunkte alle auf dem 

Fall mit vier Kantenschnittpunkten. Im Fall von drei Kantenschnittpunkten und somit 

drei Schnittkurven der Grenzfläche mit den Zellseiten, wird eine degenerierte Fläche eingesetzt. 

Dazu wird prinzipiell eine Fläche mit vier Schnittkurven erzeugt, wobei jedoch 

eine der Kurven auf die Länge null gesetzt wird. 

Bei fünf und sechs Kantenschnittpunkten wird die Fläche zweigeteilt. Folglich erzeugt 

man also zwei Teilflächen, die jeweils vier Randkurven aufweisen. 

In den folgenden Abschnitten wird das Vorgehen zur Belegung der Matrix Q in Abhängigkeit 

von der vorliegenden Punktanzahl beschrieben. Die zugehörigen Struktogramme 

befinden sich in Anhang A. 

3-Punkte-Algoritmus 

Liegen drei Kantenschnittpunkte vor, so beginnt die Belegung der Matrix Q auf der Seite 

y ′ 

= 0. Diese Zellseite ist von besonderer Bedeutung, da sie den Ursprung des lokalen 

Koordinatensystems enthält. Da dieses so gewählt wird, dass es in der Zellecke liegt, die 

bei einer Verschiebung der PLIC-Fläche zuletzt trocken fällt, enthält die Seite y ′ = 0 sehr 

oft Kantenschnittpunkte, weshalb sie als Startseite für den Algorithmus geeignet ist. 

Falls dort Punkte existieren, werden diese als Q(1, 1) bzw. Q(1, 3) gespeichert. Da es im 

Falle von drei Kantenpunkten auf Basis der gegebenen Schnittpunkte nicht möglich ist, 

eine dritte Punktreihe zu erzeugen, handelt es sich bei ihr um eine degenerierte Reihe. 

Dies bedeutet, dass man den noch nicht verwendeten dritten Kantenschnittpunkt der Zelle 

als Punkt Q(3, 3) abspeichert. Die Punkte Q(3, 2) und Q(3, 1) besitzen die gleichen 

x ′ − und y ′ −Koordinaten wie der dritte Punkt Q(3, 3). Lediglich die z ′ −Koordinate wird 

minimal um 10 −10 ·δz variiert, so dass letztendlich ein degenerierter Spline mit der Länge 

2 · 10 −10 · δz entsteht. 

Die zweite Reihe wird durch Interpolation belegt, wobei das genaue Vorgehen in Abschnitt 

4.3.1.5 beschrieben ist. 

Weist die Zelle einen Volumenanteil von f > 0, 5 auf, so findet man auf der Seite y ′ = 0 

keine Punkte. In diesem Fall werden die Punkte der Seite x ′ = δx als Q(1, 1) bzw. Q(1, 3) 

51


Abbildung 4.13: Obeflächenrekonstruktion für den Fall von drei Kantenschnittpunkten. 

gespeichert, während das weitere Vorgehen analog zum bereits beschriebenen Fall abläuft. 

In Abbildung 4.13 ist das Ergebnis einer Oberflächenrekonstruktion auf Basis von drei 

Kantenschnittpunkten abgebildet. 


Bei vier Kantenschnittpunkten greift man auf einen stärker verzweigten Sortieralgorithmus 

zurück. Zu Beginn wird zunächst die Seite y ′ = 0 überprüft und die eventuell vorhandenen 

Punkte als Q(1, 1) bzw. Q(1, 3) gespeichert. Liegen dort jedoch keine Punkte vor, 

so werden Q(1, 1) und Q(1, 3) mit Hilfe der Kantenschnittpunkte auf der Seite x ′ 

= δx 

belegt. In beiden Fällen wird der Punkt Q(1, 2) auf der jeweiligen Zellseite durch das Interpolationsverfahren 

aus Abschnitt 4.3.1.5 bestimmt. 

Die angesprochenen Verzweigungen des Algorithmus ergeben sich nun bei der Belegung 

der Punkte Q(3, 1) und Q(3, 3) in Form von Fallunterscheidungen. Zunächst wird die den 

Punkten Q(1, 1) und Q(1, 3) gegenüberliegende Zellseite (y ′ = δy bzw. x ′ = 0) auf die 

Anwesenheit von Flächenpunkten überprüft. Liegen dort keine Punkte vor, so befinden 

sich diese auf einer der benachbarten Seiten der Zellseite, welche die zu Beginn ermittelten 

Flächenpunkte Q(1, 1) und Q(1, 3) enthält. Der Punkt Q(3, 2) und die Punkte Q(2, 1) 

und Q(2, 3) werden auf die bekannte Art interpoliert. Für den Flächenpunkt Q(2, 2) wird 

der Flächenschwerpunkt der PLIC-Ebene in der Zelle verwendet. 

Auf eine genauere Beschreibung des Algorithmus soll hier verzichtet werden. Der detaillierte 

Ablauf ist dem Struktogramm in Anhang A zu entnehmen. Die zweite Punkt-Reihe 

entsteht durch Interpolation, wie in Abschnitt 4.3.1.5 beschrieben. 

Abbildung 4.14 zeigt das Beispiel einer Oberflächenrekonstruktion ausgehend von vier 

Kantenschnittpunkten. 

52


Abbildung 4.14: Obeflächenrekonstruktion für den Fall von vier Kantenschnittpunkten. 


Im Falle von fünf Punkten auf den Zellkanten wird die Bézier-Fläche durch zwei einzelne 

Flächen erzeugt. Generell sind in diesem Fall die Seiten y ′ = 0 und y ′ = δy stets 

mit Kantenschnittpunkten belegt. Der zusätzliche fünfte Kantenschnittpunkt befindet sich 

entweder auf der Seite x ′ = 0 oder x ′ = δx. 

Dieser fünfte Punkt darf weder Bestandteil der Schnittkurve auf der Seite y ′ 

= 0, noch 

der Schnittkurve auf der Seite y ′ = δy sein, da die Kurven ansonsten zu einem Richtungswechsel 

um 90 ◦ gezwungen wären. Dies führt dann dazu, dass die Kurve die Zellseite 

verlässt. Wird der fünfte Punkt als Anfangs- bzw. Endpunkt für die zweite Punktreihe 

Q(2, i) verwendet, so verlässt die Kurve ebenso die Zelle und ist somit nicht zu gebrauchen. 

Um derartige Probleme zu vermeiden, wird der Fall mit fünf Kantenschnittpunkten auf 

den bekannten Fall mit vier Kantenschnittpunkten zurückgeführt. Dazu wird die Fläche 

in zwei Teilbereiche aufgeteilt. Dabei bilden die Punktreihen Q(1, i),Q(2, i) und Q(3, i) 

die erste und Q(3, i), Q(4, i) und Q(5, i) die zweite Fläche. Somit haben beide Flächen als 

gemeinsame Punkte die Reihe Q(3, i). Man muss also fünf Punktreihen abspeichern, so 

dass eine Matrix Q der Dimension 5 × 3 benötigt wird. 

Es können, wie oben beschrieben, die Punkte der Reihen Q(1, i) und Q(5, i) direkt mit 

den stets vorhandenen Kantenschnittpunkten der Seiten y ′ = 0 bzw. y ′ = ∆y belegt werden. 

Für die gemeinsame dritte Reihe Q(3, i), die den fünften Kantenschnittpunkt enthält, 

muss eine Fallunterscheidung durchgeführt werden. Falls der fünfte Punkt auf der Zellseite 

x ′ 

= 0 liegt, so wird er als Punkt Q(3, 1) gespeichert und der Punkt Q(3, 3) ergibt 

sich durch Anwendung des Interpolationsalgorithmus aus 4.3.1.5. Befindet sich der fünfte 

Punkt auf der Seite x ′ 

= δx, so wird er als Punkt Q(3, 3) behandelt, während der Punkt 

Q(3, 1) interpoliert wird. In beiden Fällen ist der Flächenschwerpunkt der Zelle der Punkt 

53


Q(3, 2). 

Die Punkte Q(2, i) und Q(4, i) ergeben sich nun komplett durch Interpolation. Dabei wird 

falls möglich auf die Flächenschwerpunkte der umliegenden Zellen zurückgegriffen. Stehen 

jedoch keine weiteren Informationen aus den Nachbarzellen zur Verfügung, wie dies 

z.B. bei den Punkten Q(2, 2) und Q(4, 2) stets der Fall ist, greift man direkt auf eine 

lineare Interpolation zurück. So erhält man beispielsweise den Punkt Q(2, 2) durch 

Q(2, 2) = 1 (Q(1, 2) + Q(3, 2)). (4.19) 

2 

Einzelheiten zum 5-Punkte-Algorithmus sind im Anhang A zu finden. Die folgende Ab- 

Abbildung 4.15: Obeflächenrekonstruktion für den Fall von fünf Kantenschnittpunkten. 

bildung 4.15 zeigt beispielhaft die Rekonstruktion der Oberfläche für eine Zelle mit fünf 

Kantenschnittpunkten. 

6-Punkte-Algorithmus 

Bei sechs Kantenschnittpunkten kommt ebenfalls eine zweigeteilte Fläche zum Einsatz. 

Im Gegensatz zum Vorgehen bei fünf Punkten, sind für diesen Fall jedoch keinerlei Fallunterscheidungen 

im Algorithmus nötig, da stets alle sechs Zellseiten Schnittpunkte aufweisen. 

Wie schon im Fall der fünf Punkte, ergeben sich die Zeilen Q(1, i) und Q(5, i) 

direkt aus den Punkten der Seiten y ′ = 0 bzw. y ′ = δy unter zusätzlicher Anwendung 

des Interpolations-Algorithmus aus Abschnitt 4.3.1.5. Die Kantenschnittpunkte fünf und 

sechs, die nicht auf diesen beiden Zellseiten liegen, stellen folglich die Punkte Q(3, 1) 

und Q(3, 3) der dritten Punktreihe dar, die Bestandteil beider Teilflächen ist. Der Punkt 

Q(3, 2) ist der Flächenschwerpunkt der PLIC-Fläche in dieser Zelle. Die Punkte der Reihen 

Q(2, i) und Q(4, i) ergeben sich wieder durch Interpolation nach Abschnitt 4.3.1.5, 

54


Abbildung 4.16: Obeflächenrekonstruktion für den Fall von sechs Kantenschnittpunkten. 

bzw. direkt durch lineare Interpolation, wie bereits am Beispiel der Gleichung (4.19) gezeigt. 

Der Fall der sechs Kantenschnittpunkte innerhalb einer Grenzflächenzelle wird exemplarisch 

in Abbildung 4.16 verdeutlicht. 

4.3.1.7 Verwendung des Flächenschwerpunktes als Punkt der Bézier-Fläche 

In den oben beschriebenen Algorithmen, kommt der Flächenschwerpunkt als Punkt der 

Bézier-Fläche zum Einsatz. Er wird als Punkt Q(2, 2) in den Zellen mit drei bzw. vier 

Kantenschnittpunkten verwendet. In den Fällen von fünf bzw. sechs Kantenschnittpunkten, 

wird er als Punkt Q(3, 2) gespeichert. 

Der Flächenschwerpunkt aus PLIC befindet sich innerhalb der Zelle im mittleren Flächenbereich, 

weshalb er die Wölbung der Fläche maßgeblich beeinflusst. Durch das direkte 

Einsetzen des Flächenschwerpunktes als Flächenpunkt, können jedoch Flächen mit 

falscher Wölbungsrichtung entstehen. Soll die Oberfläche eines sphärischen Tropfens rekonstruiert 

werden, so kann es vorkommen, dass der Flächenschwerpunkt zu weit im 

Zellinneren liegt, so dass eine, aus Sicht des lokalen Koordinatenursprungs konkav gekrümmte 

Fläche entsteht. Dies hat zur Folge, dass die Oberflächenkraft vom lokalen Ursprung 

weg zeigt, was zu falschen Ergebnissen führt. 

Um derartige Probleme zu vermeiden, wird im Fall des untersuchten sphärischen Tropfens 

das folgende Vorgehen angewendet, das am Beispiel der Fälle mit drei und vier Kantenschnittpunkten 

erläutert werden soll. 

Zuerst berechnet man als Referenzpunkt Q ref das arithmetische Mittel aus den beiden 

Punkten Q(1, 2) und Q(3, 2) 

Q ref = 1 (Q(1, 2) + Q(3, 2)). (4.20) 

2 

55


Anschließend vergleicht man nun die x- und y- Komponenten des Flächenschwerpunktes 

mit dem jeweiligen Wert von Q ref . Sollte dabei festgestellt werden, dass die x- bzw. die 

y-Komponenten des Flächenschwerpunktes kleiner ist, als die des Referenzpunktes, so 

wird die entsprechende Komponente des Flächenschwerpunktes wie folgt ersetzt 

Q x (2, 2) = 1, 01 · Q x,ref , (4.21) 

Q y (2, 2) = 1, 01 · Q y,ref . (4.22) 

Somit wird stets eine konvexe Krümmung aus Sicht des lokalen Koordinatensystems gewährleistet. 

Für die Fälle mit fünf und sechs Kantenschnittpunkten wird die Berechnung 

des Referenzpunkts umgestellt auf 

Q ref = 1 (Q(1, 2) + Q(5, 2)). (4.23) 

2 

In Abbildung 4.17 ist ein solches Beispiel für den Fall von fünf Kantenschnittpunkten 

gezeigt. Man erkennt deutlich die veränderte Wölbung beim Vergleich der beiden Abbildungen. 

Allerdings kann man keine gesicherte Aussage über die Güte dieser Approximation treffen. 

Da die Krümmung maßgeblichen Einfluss auf die Kraftberechnung hat, ist die Wahl 

dieses Punktes unbedingt zu untersuchen. 

(a) Bézier-Fläche ohne Korrektur des Flächenschwerpunktes. 

(b) Bézier-Fläche mit Korrektur des Flächenschwerpunktes. 

Abbildung 4.17: Korrektur des Flächenschwerpunktes. 

4.3.1.8 Interpolation der Kontrollpunkte P der Bézier-Fläche 

Nachdem im vorherigen Abschnitt beschrieben ist, wie die zur Interpolation der Fläche 

notwendigen neun Punkte erzeugt und sortiert werden müssen, geht es in diesem Abschnitt 

um die Interpolation der Bézier-Fläche. 

Aus Gleichung (2.34) ist ersichtlich, dass zur Definition der Fläche die sogenannten Kontrollpunkte 

P i,j gebraucht werden. Ihre Bedeutung lässt sich in Abbildung 2.6 am Beispiel 

des Bézier-Splines erkennen. Der Verlauf der Kurve wird hierbei durch das sogenannte 

56


Kontrollpolygon festgelegt, das als Verbindungslinie der Kontrollpunkte entsteht. Es ist 

also zu erkennen, dass die Kontrollpunkte P im Allgemeinen von den Flächenpunkten Q 

abweichen. Aus diesem Grund müssen die zu den gegebenen Flächenpunkten Q gehörenden 

Kontrollpunkte P berechnet werden. 

Im Fall der biquadratischen Fläche entsprechen die vier Flächen-Eckpunkte Q(1, 1), Q(1, 3) 

Q(3, 1) und Q(3, 3) gleichzeitig auch den vier Kontrollpunkten P(1, 1), P(1, 3) P(3, 1) 

und P(3, 3). In der Parameterschreibweise der Bézier-Fläche, befinden sich diese Punkte 

also an Orten mit u, v = 0 bzw. u, v = 1. 

Die verbleibenden fünf Kontrollpunkte sind an Orten u, v = 0...1 zu finden. Der genaue 

Ort muss dabei zunächst ermittelt werden. Um eine möglichst gute Parametrisierung der 

Fläche zu erhalten, werden die Orte der Kontrollpunkte mit Hilfe eines Verfahrens nach 

[6] bestimmt. Im Anschluss an die Parametrisierung müssen in einem zweiten Schritt aus 

den Flächenpunkten Q die noch unbekannten fünf Kontrollpunkte P bestimmt werden, 

so dass letztendlich die Fläche S sich über die Gleichung (2.34) beschreiben lässt. 

4.3.1.9 Parametrisierung der Kurve 

Zu jedem Punkt Q k (k = 1, 2, 3) auf einer zu interpolierenden, quadratischen Kurve ist es 

erforderlich einen Ort in Form des Parameters u k festzulegen. Die Wahl der u k beeinflusst 

dabei jedoch die Form der Kurve, weshalb sie nicht willkürlich festgelegt werden dürfen. 

Im Folgenden soll die Bestimmung der Parameter u k exemplarisch gezeigt werden. Die 

Parameter v l , die zur Erzeugung einer Fläche zusätzlich benötigt werden, können analog 

zu diesem Vorgehen berechnet werden. 

Im Falle eines quadratischen Splines wird die Kurve C durch drei Punkte definiert. Dabei 

befinden sich der erste und der dritte Punkt am Kurvenanfang bzw. -ende und haben somit 

die Parametrisierung u 1 = 0 bzw. u 3 = 1. Damit muss man lediglich dem verbleibenden 

zweiten Punkt den Wert des Parameters u 2 zuweisen. Grundsätzlich bestünde die Möglichkeit, 

für u 2 den Wert u 2 = 0, 5 zu wählen, was einer gleichmäßigen Verteilung der 

Kontrollpunkte über die Länge des Splines entspräche. Diese Wahl kann jedoch nach [6] 

zu Problemen führen, wenn die Abstände der Punkte Q, die die zu interpolierende Kurve 

festlegen, untereinander stark abweichen. Deshalb wird in dieser Arbeit ein auf der Sehnenlänge 

der Verbindungslinie zwischen den Kurvenpunkten Q k basierendes Verfahren 

eingesetzt, das in [6] vorgeschlagen wird. 

Es sei d die Gesamtlänge der Sehne im quadratischen Fall 

d = 

3∑ 

|Q k − Q k−1 |. (4.24) 

k=2 

Während die Parameter u 1 = 0 und u 3 = 1 bereits feststehen, wird nun der Wert von u 2 

wie folgt ermittelt 

u 2 = u 1 + |Q 2 − Q 1 | 

. (4.25) 

d 

Diese Methode ist laut [6] am weitesten verbreitet und liefert auch bei ungleichmäßiger 

Verteilung der Punkte Q gute Ergebnisse. 

57


4.3.1.10 Bestimmung der Kontrollpunkte 

Nach der Berechnung der Parameter für die Kontrollpunkte, kann man die Punkte auf Basis 

der gegebenen Flächenpunkte Q bestimmen. In Abbildung 4.18 wird das Vorgehen zur 

Bestimmung der Kontrollpunkte in drei Schritten verdeutlicht. Dabei sind in Abbildung 

4.18(a) zunächst die Flächenpunkte Q im Raum zu sehen. Aus Gründen der besseren Darstellung, 

sind sie durch gestrichelte Linien miteinander verbunden. 

Bei der Flächeninterpolation werden die Punkte der Matrix Q in zwei Durchgängen 

zeilen- bzw. spaltenweise durchlaufen. Durchläuft man die Zeilen der Matrix, so erzeugt 

man Kurven, die eine Parametrisierung in u aufweisen, während der Durchlauf über die 

Spalten Kurven mit einer Parametrisierung in v erzeugt. Es ist also zu erkennen, dass man 

die Bézier-Fläche zur Bestimmung der Kontrollpunkte in ihre Bestandteile zerlegt. Die 

Punkte in jeder Zeile bzw. Spalte der Matrix definieren somit eine Kurve. Im Fall der 

quadratischen Kurve muss lediglich einer der drei Kontrollpunkte interpoliert werden, da 

Anfangs- und Endpunkt der Kurve bereits als Kontrollpunkte feststehen. 

Bei der Arbeit mit Bézier-Flächen wird auf die in Kapitel 2 eingeführten Gleichungen 

zurückgegriffen. Zuerst bedient man sich hierzu der Gleichung (2.31), die die allgemeine 

Form der Bézier-Kurve beinhaltet. Sie definiert also sämtliche Punkte auf der Kurve mit 

Hilfe der Kontrollpunkte P i und der Bernsteinpolynome B i,n . 

Um die Interpolation eines Kontrollpunktes zu demonstrieren, soll im Folgenden die Kurve 

durch die Punkte der ersten Zeile der Matrix Q der Flächenpunkte betrachtet werden. 

Das Vorgehen kann direkt auf die beiden verbleibenden Zeilen der Matrix Q übertragen 

werden. 

Die Punkte Q(1, 1) und Q(1, 3) stimmen als Anfangs- und Endpunkt der Kurve mit ihren 

Kontrollpunkten überein. Somit gilt P(1, 1) = Q(1, 1) und P(1, 3) = Q(1, 3). Für den 

zum Punkt Q(1, 2) an der Stelle u 2 gehörenden Kontrollpunkt auf einem quadratischen 

Bézier-Spline lässt sich Gleichung (2.31) wie folgt ausschreiben 

B 0,2 (u 2 ) · Q(1, 1) + B 1,2 (u 2 ) · P(1, 2) + B 2,2 (u 2 ) · Q(1, 3) = Q(1, 2). (4.26) 

Durch einfaches Umformen von Gleichung (4.26) erhält man 

P(1, 2) = Q(1, 2) − B 0,2(u 2 ) · Q(1, 1) − B 2,2 (u 2 ) · Q(1, 3) 

. (4.27) 

B 1,2 (u 2 ) 

Der Punkt P(1, 2) wird als R(1, 2) bezeichnet, um zu kennzeichnen, dass er im ersten 

Interpolationsschritt ermittelt wurde. Er wird in der Matrix P der Kontrollpunkte abgespeichert. 

Nach dem zeilenweisen Durchlauf der Matrix Q hat diese die folgende Gestalt 

⎛ 

⎞ 

Q(1, 1) R(1, 2) Q(1, 3) 

P = ⎝Q(2, 1) R(2, 2) Q(2, 3) ⎠ . (4.28) 

Q(3, 1) R(3, 2) Q(3, 3) 

Es ist erkennbar, dass nach diesem Schritt drei Kontrollpunkte interpoliert wurden, die 

sich in der zweiten Spalte der Matrix befinden. 

Wirft man nun einen Blick auf die Abbildung 4.18(b), so sieht man das Ergebnis dieses 

ersten Schrittes. Dabei sind die Splines, die eine Parametrisierung in u aufweisen, mit 

58


2 

1.5 Q 1,1 

Q 2,1 

Q 3,1 

z 

1 

Q 2,2 

Q 3,2 

Q 3,3 

Q 1,2 

0.5 

0 

1 

Q 1,3 

Q 2,3 

2 

0 0.5 1 1.5 2 

x 

y 

(a) Im Raum vorgegebene Flächenpunkte Q. 

2 

1.5 

Q 1,1 

Q 2,1 

Q 3,1 

z 

1 

R 1,2 

R 2,2 R3,2 

0.5 

0 

1 

Q 1,3 

Q 2,3 

Q 3,3 

x 

2 

0 0.5 1 1.5 2 

(b) Kontrollpunkte nach dem ersten Interpolationsdurchlauf in u- 

Parameterrichtung. 

y 

2 

Q 

1.5 1,1 

R ∗ 2,1 

Q 3,1 

z 

1 

R R ∗ 1,2 2,2 R3,2 

0.5 

0 

1 

x 

Q 1,3 

Q 3,3 

2 

R ∗ 2,3 

0 0.5 1 1.5 2 

(c) Kontrollpunkte nach dem zweiten Interpolationsdurchlauf in v- 

Parameterrichtung. 

y 

Abbildung 4.18: Interpolation einer biquadratischen Bézier-Flaeche. 

59


durchgezogenen Linien gezeichnet, während die Kurven mit Strich-Punkt den in v parametrisierten 

Splines entsprechen. Die vorgegebenen Punkte Q sind wie in Abbildung 

4.18(a) durch Punkte angedeutet, jedoch der besseren Übersicht wegen nicht nochmals 

beschriftet. Dafür sind die im ersten Schritt berechneten Kontrollpunkte der Matrix P aus 

Gleichung (4.28) mit Kreuzen gekennzeichnet und beschriftet. Es ist deutlich sichtbar, 

dass die vorgegebenen Punkte Q(1, 2) und Q(3, 2) ebenso auf den in u parametrisierten 

Randkurven liegen, wie die vier Eckpunkte der Fläche. 

Die Splines in v-Parametrisierung und der mittlere Spline in u-Parametrisierung weichen 

jedoch von den vorgegebenen Punkten ab. Folglich bedarf es hier noch eines weiteren 

Interpolationsschrittes in Richtung der v-Parametrisierung. 

Dazu betrachtet man die Matrix P (Gleichung (4.28)) der Kontrollpunkte als Ausgangsmatrix. 

Sie wird nun spaltenweise ausgelesen. Für die erste Spalte ergibt sich die Interpolation 

des Kontrollpunktes R ∗ (2, 1) zu 

R ∗ (2, 1) = R(2, 1) − B 0,2(v 1 ) · R(1, 1) − B 2,2 (v 1 ) · R(3, 1) 

. (4.29) 

B 1,2 (v 1 ) 

Um die interpolierten Kontrollpunkte der beiden Durchläufe unterscheiden zu können, 

werden die im zweiten, spaltenweisen Durchgang ermittelten Punkte mit einem ∗ gekennzeichnet. 

Analoges Vorgehen für die verbleibenden beiden Spalten führt letztendlich auf die restlichen 

Kontrollpunkte, so dass man die Matrix der Kontrollpunkte P unter Einbeziehung 

aller zuvor interpolierter Kontrollpunkte wie folgt schreiben kann 

⎛ 

⎞ 

Q(1, 1) R(1, 2) Q(1, 3) 

P = ⎝R ∗ (2, 1) R ∗ (2, 2) R ∗ (2, 3) ⎠. (4.30) 

Q(3, 1) R(2, 3) Q(3, 3) 

Anhand der Matrix-Einträge kann man erkennen, dass in den vier Eckpunkten Flächenund 

Kontrollpunkte übereinstimmen. Außerdem finden sich die im ersten Durchgang 

interpolierten Kontrollpunkte R in der ersten und letzten Zeile, während die im zweiten 

Durchgang interpolierten Kontrollpunkte die zuvor in er zweiten Zeile gespeicherten 

Punkte ersetzen. 

Das endgültige Ergebnis der Interpolation ist in Abbildung 4.18(c) dargestellt. Im Vergleich 

zu Abbildung 4.18(b) ist die veränderte Position der Kontrollpunkte für die mittlere 

Reihe P(2, i) deutlich zu erkennen. Nun gehen sowohl die Splines mit u- als auch mit 

v-Parametrisierung durch die vorgegebenen Punkte Q. 

Nach Abschluss sämtlicher vorangehender Schritte verfügt man mit den Kontrollpunkten 

nach Gleichung (4.30) und den Bernstein-Polynomen aus Gleichung (2.32) über alle notwendigen 

Größen, um mit Hilfe von Gleichung (2.34) eine biquadratische Bézier-Fläche 

beschreiben zu können. 

Als abschließender Punkt des Algorithmus zur Bestimmung der Oberflächenkraft, wird 

im folgenden Abschnitt die Kraftberechnung auf Basis der Bézier-Fläche beschrieben. 

4.3.2 Bestimmung der Oberflächenkraft 

Die im vorigen Abschnitt erzeugte Oberfläche wird im Folgenden zur Bestimmung der 

gesuchten Oberflächenkraft verwendet. Die Berechnung erfolgt durch Auswertung des 

60


bereits bekannten Ringintegrals aus Gleichung (4.2) 

∮ 

F γ = σ NdC. (4.2) 

C γ 

Zur Bestimmung der Kraft muss folglich der senkrecht auf der Schnittkurve C γ stehende 

und gleichzeitig in der Tangentialebene der Grenzfläche liegende Normalenvektor N berechnet 

und entlang der Schnittkurve C γ integriert werden. 

In den folgenden Abschnitten soll zunächst die Bestimmung des Normalenvektors N an 

jedem Randpunkt der Oberfläche gezeigt werden, bevor mit Hilfe der Integration entlang 

der Schnittkurve C γ die gesuchte Oberflächenkraft bestimmt wird. 

4.3.2.1 Bestimmung des Normalenvektors N 

Der Normalenvektor N steht senkrecht auf der Schnittkurve C γ und liegt gleichzeitig in 

der Tangentialebene der Grenzfläche. Seine Berechnung erfolgt in mehreren Schritten. 

In einem ersten Schritt wird der Normalenvektor der Bézier-Fläche bestimmt. 

Betrachtet man eine biquadratische Bézier-Fläche der Gestalt 

S(u, v) = 

2∑ 

i=0 

2∑ 

B j,2 (u)B i,2 (v)P i,j ; 0 ≤ u, v ≤ 1, (4.31) 

j=0 

so lassen sich die Tangenten in u- bzw. v-Richtung als die Ableitungen der Bézier-Fläche 

nach den Parametern u bzw. v berechnen. Dazu werden in einem ersten Schritt die Bernstein- 

Polynome in Gleichung (4.31) eingesetzt 

S(u, v) =(1 − v 2 )[(1 − u 2 )P 0,0 + 2u(1 − u)P 0,1 + u 2 P 0,2 ]+ 

2v(1 − v)[(1 − u 2 )P 1,0 + 2u(1 − u)P 1,1 + u 2 P 1,2 ]+ 

v 2 [(1 − u 2 )P 1,0 + 2u(1 − u)P 1,1 + u 2 P 1,2 ] 

(4.32) 

Daraus ergeben sich die Tangenten t u und t v unmittelbar als Ableitungen nach u bzw. v 

t u = S u (u, v) = − 2(1 − u)[(1 − v 2 )P 0,0 + 2v(1 − v)P 1,0 + v 2 P 2,0 ]+ 

2(1 − 2u)[(1 − v) 2 P 0,1 + 2v(1 − v)P 1,1 + v 2 P 2,1 ]+ 

2u[(1 − v) 2 P 0,2 + 2v(1 − v)P 1,2 + v 2 P 2,2 ], 

t v = S v (u, v) = − 2(1 − v)[(1 − u 2 )P 0,0 + 2u(1 − u)P 0,1 + u 2 P 0,2 ]+ 

2(1 − 2v)[(1 − u) 2 P 1,0 + 2u(1 − u)P 1,1 + u 2 P 1,2 ]+ 

2v[(1 − u) 2 P 2,0 + 2u(1 − u)P 2,1 + u 2 P 2,2 ]. 

(4.33) 

(4.34) 

Auf Grundlage der beiden Tangenten aus den Gleichungen (4.33) und (4.34), ergibt sich 

der Normalenvektor n S an jeder beliebigen Stelle u, v der Fläche als Kreuzprodukt der 

beiden Tangenten 

n = t u × t v . (4.35) 

Abbildung 4.19(a) zeigt die beiden Tangenten t u und t v an einer Stelle der Flächenrandkurve. 

Das Kreuzprodukt der beiden Vektoren ist der Normalenvektor der Fläche n S , der 

61


ebenfalls dargestellt ist. 

Als Zwischenprodukt auf dem Weg zum senkrecht auf der Schnittkurve C γ stehenden und 

gleichzeitig in der Tangentialebene der Grenzfläche liegenden Normalenvektor N, wird 

als nächstes die Tangente an die Schnittkurve der Bézier-Fläche mit den Zellseiten bestimmt. 

Dazu greift man zum einen auf den aus dem Zellvolumen herauszeigenden Normalenvektor 

n Seite und zum anderen auf den soeben in Gleichung (4.35) berechneten Normalenvektor 

der Bézier-Fläche n S zurück. Die gesuchte Tangente t γ ergibt sich wieder durch 

Anwendung eines Kreuzproduktes 

t γ = n S × n Seite . (4.36) 

Die zugehörigen Vektoren sind in Abbildung 4.19(b) dargestellt. Damit steht der direkten 

Bestimmung des für die Integration benötigten Normalenvektors N nichts mehr im Wege 

und man erhält ihn als das Kreuzprodukt von tangentialem Vektor t γ und Normalenvektor 

der Fläche n 

N = t γ × n. (4.37) 

Hierzu liegt in Abbildung 4.19(c) eine Darstellung des Kreuzproduktes vor. 

4.3.2.2 Numerische Integration zur Berechnung der Kraft F γ 

Um das Integral aus Gleichung (4.2) numerisch auszuwerten, wird auf ein Gauß-Quadratur- 

Verfahren mit neun Gauß-Punkten zurückgegriffen, wie es z.B. in [10] beschrieben wird. 

Dabei erfolgt die Integration nun seitenweise entlang der Randkurven der Bézier-Fläche. 

In parametrisierter Schreibweise bedeutet dies, dass die vier folgenden Fälle betrachtet 

werden müssen 

1. u ∈ [0, 1] und v = 0, 

2. u = 1 und v ∈ [0, 1], 

3. u ∈ [0, 1] und v = 1, 

4. u = 0 und v ∈ [0, 1]. 

Hierbei ist darauf zu achten, dass lediglich im Falle von vier Kantenschnittpunkten die 

Integration in allen vier Fällen durchgeführt wird. Für drei Kantenschnittpunkte handelt 

es sich bei dem Spline unter 3. (u ∈ [0, 1] und v = 1) um einen degenerierten Spline mit 

verschwindender Länge (siehe Abbildung 4.13), so dass dieser für die Bestimmung der 

Kraft nicht berücksichtigt wird. Bei fünf und sechs Kantenschnittpunkten wird die Fläche 

innerhalb der Zelle zweigeteilt (siehe Abbildungen 4.15 und 4.16), so dass für die erste 

Teilfläche der Spline unter 3. (u ∈ [0, 1] und v = 1) und für die zweite Teilfläche der 

Spline unter 1. (u ∈ [0, 1] und v = 0) unberücksichtigt bleiben kann. 

Zur Auswertung des Ringintegrals (4.2) muss die Bogenlänge der Kurve berücksichtigt 

werden. Bei den betrachteten Randkurven der Fläche bleibt stets einer der beiden Parameter 

u bzw. v konstant. Somit kann die Gleichung einer solchen Kurve C wie folgt 

62


(a) Bestimmung des Normalenvektors der Bézier- 

Fläche n S aus dem Kreuzprodukt der Tangenten t u und 

t v . 

(b) Bestimmung des tangentialen Vektors t γ aus dem 

Kreuzprodukt des Normalenvektors der Zellseite n Seite 

und des Normalenvektors der Fläche n S . 

(c) Bestimmung des Normalenvektors N aus dem 

Kreuzprodukt des tangentialen Vektors t γ und des 

Normalenvektors der Fläche n S . 

Abbildung 4.19: Bestimmung des Normalenvektors N. 

63


geschrieben werden 

C = C(u), bzw. (4.38) 

C = C(v), (4.39) 

Hierbei handelt es sich um eine parametrisierte Kurve der Form 

C(u) = (x(u), y(u), z(u)) T , bzw. (4.40) 

C(v) = (x(v), y(v), z(v)) T . (4.41) 

Das Bogenelement dC ergibt sich daraus unmittelbar durch Differentiation 

dC = |C u |du = √ x u2 (u) + y u2 (u) + z u2 (u)du, bzw. (4.42) 

dC = |C v |dv = √ x v2 (v) + y v2 (v) + z v2 (v)dv. (4.43) 

Hier bezeichnen |C u | bzw. |C v | den Betrag der jeweiligen Tangente an die Kurve C. Nach 

Gleichung 4.3 kann das Ringintegral schließlich wie folgt formuliert werden 

∮ 

F γ,lok = σ NdC 

C γ 

= σ · ( 

+ 

∫ 1 

u=0,v=const. 

∫ 0 

u=1,v=const. 



∫ 1 

v=0,u=const 

∫ 0 

v=1,u=const. 

N(v)|C v |dv 

N(v)|C v |dv). (4.44) 

Die Komponenten dieser Kraft liegen zunächst im lokalen Koordinatensystem vor. Zur 

Transformation ins globale System ist es deshalb nötig die Zuordnung der Achsen vom 

lokalen ins globale System herzustellen. Dazu müssen die Einträge des Vektors F γ,lok so 

sortiert werden, dass der erste Eintrag der globalen x-, der zweite der globalen y- und 

der dritte Eintrag der globalen z-Komponente entspricht. Anschließend muss ebenfalls 

berücksichtigt werden, dass die Achsen im lokalen System eine Richtungsumkehr aufweisen 

können, so dass sich die gesuchte Kraft letztendlich bestimmt zu 

⎛ ⎞ 

sign(n x ) 

F γ = F γ,lok · ⎝sign(n y ) ⎠. (4.45) 

sign(n z ) 

Die Implementierung in den FS3D-Code setzt voraus, dass die Oberflächenkraft als volumenspezifische 

Kraft f γ vorliegt, um sie in der Impulsgleichung (2.13) verwenden zu 

können. Zu diesem Zweck wird die Kraft auf das Zellvolumen bezogen 

f γ = 

F γ 

δx · δy · δz . (4.46) 

64

Kapitel 5 

Anwendung des neuen Modelles auf den 

Fall des ruhenden Wassertropfens 

Das im Kapitel 4 entwickelte Modell zur Berechnung der Oberflächenkraft wird in diesem 

Kapitel auf den Referenztestfall des ruhenden Wassertropfens bei Schwerelosigkeit 

aus Kapitel 3 angewendet. 

Dazu wurde das Modell in den FS3D-Code Release 40 implementiert, so dass es möglich 

ist die Ergebnisse der einzelnen Oberflächenspannungsmodelle direkt miteinander 

zu vergleichen. In Bezug auf die Oberflächenspannung, weist die Version 40 gegenüber 

der Version 38, mit der die Parameterstudie durchgeführt wurde, keine Veränderungen 

auf. Im Folgenden werden die bei Verwendung des neuen Modelles für den Referenzfall 

erhaltenen Ergebnisse sowohl qualitativ, als auch quantitativ analysiert. 

5.1 Ergebnisse 

Der Fall des ruhenden Wassertropfens in Schwerelosigkeit ist sehr gut dazu geeignet, das 

neue Modell zur Berechnung der Oberflächenkraft zu erproben und mit den beiden Modellen 

CSS und CSF zu vergleichen. 

Hierzu wird bei der Simulation des Referenzfalles aus Kapitel 3 lediglich die Oberflächenspannungsmodellierung 

verändert, während sämtliche anderen Parameter unverändert 

bleiben. Das Ergebnis der Rechnung mit dem neuen Modell ist in Abbildung 5.1 zu 

sehen. Sie zeigt einen Schnitt durch den Tropfen nach einem Drittel der Rechenzeit zum 

Zeitpunkt t = 0, 01 s. 

In der Abbildung ist ersichtlich, dass der Tropfen zu diesem Zeitpunkt bereits seine sphärische 

Gestalt verloren hat. Die Oberfläche ist stark deformiert und es haben sich in ihrem 

Verlauf Ecken ausgebildet. An diesen Ecken sind die parasitären Strömungen besonders 

stark, wie aus dem in der Abbildung eingezeichneten Geschwindigkeitsfeld abzulesen ist. 

Dieses Verhalten deutet darauf hin, dass im Vergleich zu den beiden Modellen CSS und 

CSF das Niveau der parasitären Strömungen sehr stark angestiegen ist. Quantitative Aussagen 

hierzu lassen sich bei Betrachtung der spezifischen kinetischen Energie treffen. 

65

5 Anwendung des neuen Modelles auf den Fall des ruhenden Wassertropfens 

Abbildung 5.1: Deformierter Tropfen mit Geschwindigkeitsfeld zum Zeitpunkt t = 0, 01 s. 

5.1.1 Spezifische kinetische Energie 

Im direkten Vergleich der spezifischen kinetischen Energie im Rechengebiet ist festzustellen, 

dass das neue Modell ein durchweg höheres Niveau an kinetischer Energie aufweist, 

wie der Abbildung 5.2 zu entnehmen ist. Die Abbildung enthält die Daten für zwei verschiedene 

Varianten des neuen Modelles. Sie unterscheiden sich in der Wahl des innerhalb 

der Zelle liegenden Flächenpunktes. Die durch gestrichelte Kurven dargestellte Variante 

des Modelles arbeitet mit der in Abschnitt 4.3.1.7 vorgestellten Methode. Hierzu werden 

die x ′ - und y ′ -Koordinaten des Flächenpunktes untersucht und gegebenenfalls korrigiert. 

Im Falle der durch die gepunkteten Linien dargestellten Variante des Modelles, wird zusätzlich 

auch die z ′ -Koordinate, analog zu den anderen beiden Koordinaten, korrigiert. 

Vergleicht man die auftretenden Maximalwerte der gesamten kinetischen Energie in Abbildung 

5.2(c), so erzeugt das neue Modell eine um den Faktor zehn größere spezifische 

kinetische Energie im Kontrollvolumen. Hierbei ist ersichtlich, dass die beiden Varianten 

des neuen Modelles zur Berechnung der Oberflächenkraft unterschiedliche Ergebnisse 

liefern. 

Betrachtet man die Verteilung der spezifischen kinetischen Energie auf die beiden Phasen, 

so ist zu erkennen, dass das neu entwickelte Modell sowohl in der gasförmigen als auch in 

der flüssigen Phase deutlich mehr spezifische kinetische Energie und damit auch stärkere 

parasitäre Strömungen erzeugt, als CSS und CSF. 

In der Gasphase erhält man mit dem CSF-Modell mehr als doppelt so viel spezifische 

kinetische Energie als mit dem CSS-Modell. Die Ergebnisse des neuen Modelles in Abbildung 

5.2(a) zeigen jedoch, dass die kinetische Energie, je nach Variante, für diesen 

Fall auf einen Maximalwert ansteigt, der dem fünf- bzw. siebenfachen Maximalwert des 

CSF-Modelles entspricht und somit um mehr als eine Größenordnung über dem Wert des 

CSS-Modelles liegt. 

66


0.014 

g 

E /mg [J/kg] 

kin 

0.012 

0.01 

0.008 

0.006 

Bezier 

Bezier2 

CSS 

CSF 

0.004 

0.002 

0 

0 0.005 0.01 0.015 0.02 0.025 0.03 0.035 

t [s] 

(a) Verlauf der spezifischen kinetischen Energie der 

gasförmigen Phase. 

0.12 

/m fl 

[J/kg] 

E kin 

fl 

0.1 

0.08 

0.06 

0.04 

Bezier 

Bezier2 

CSS 

CSF 

0.02 

0 

0 0.005 0.01 0.015 0.02 0.025 0.03 0.035 

t [s] 

(b) Verlauf der spezifischen kinetischen Energie der 

flüssigen Phase. 

0.14 

tot 

E /mtot kin 

[J/kg] 

0.12 

0.1 

0.08 

0.06 

Bezier 

Bezier2 

CSS 

CSF 

0.04 

0.02 

0 

0 0.005 0.01 0.015 0.02 0.025 0.03 0.035 

t [s] 

(c) Verlauf der gesamten spezifischen kinetischen 

Energie. 

Abbildung 5.2: Vergleich der spezifischen kinetischen Energie bei Anwendung der drei Oberflächenspannungsmodelle. 

67


Die Ergebnisse der flüssigen Phase in Abbildung 5.2(b) zeigen denselben Trend auf. Der 

Vergleich der Maximalwerte ergibt in etwa einen Faktor zehn zwischen den Ergebnissen 

des neuen Modelles und denjenigen des CSS- bzw. CSF-Modelles. 

Der direkte Vergleich der beiden Varianten des neuen Modelles lässt erkennen, dass die 

Wahl des Flächenpunktes innerhalb der Zelle deutliche Konsequenzen hat. Der Verlauf 

der beiden Kurven zu Beginn der Rechnung ist nahezu identisch, beide weisen die selbe, 

starke Steigung der Kurve auf. Im weiteren Verlauf der Kurven sind jedoch deutliche Unterschiede 

sichtbar. In beiden Fällen wird der Tropfen so stark beschleunigt, dass dieser 

bei seiner Verformung Teile der Flüssigkeit abspaltet. Diese bewegt sich im Anschluss 

über die Ränder des Rechengebietes, so dass die Masse im betrachteten Kontrollvolumen 

abnimmt. 


Zur Rekonstruktion der Oberfläche des Wassertropfens werden im vorliegenden Fall 776 

Grenzflächenzellen verwendet. Diese lassen sich wiederum anhand der Anzahl ihrer Kantenschnittpunkte 

unterscheiden. Abbildung 5.3 zeigt die zugehörige Aufteilung. Es ist ersichtlich, 

dass der Fall der Zellen mit vier Kantenschnittpunkten mit 50% am stärksten 

vertreten ist, gefolgt von den Zellen mit fünf Kantenschnittpunkten, die 28% der gesamten 

Grenzflächenzellen ausmachen. Somit repräsentieren diese beiden Fälle gemeinsam 

mehr als drei Viertel der Grenzflächenzellen. 

Abbildung 5.3: Verteilung der Kantenschnittpunktsanzahl im Referenzfall. 

Eine genauere Betrachtung der rekonstruierten Oberflächen in Abhängigkeit von der Anzahl 

der Kantenschnittpunkte liefert nähere Informationen zu den Ursachen, die für die 

Entstehung der parasitären Strömungen verantwortlich sind. Dabei lässt sich erkennen, 

dass die Oberflächenrekonstruktion zur Erzeugung von Kräften führt, die in ihrer Richtung 

und Stärke nicht immer korrekt berechnet werden. Die Wahl des Flächenpunktes 

innerhalb der Zelle entspricht für die im Folgenden dargestellten Ergebnisse dem in Abschnitt 

4.3.1.7 beschriebenen Verfahren. 

Rekonstruktion im Fall von drei Kantenschnittpunkten 

Bei den Zellen mit drei Kantenschnittpunkten gibt es im gesamten Rechengebiet nur 

zwei verschieden Fälle der Oberflächenrekonstruktion. Dies bedeutet, dass jede der 72 

68


(a) Beispiel 1. (b) Beispiel 2. 

Abbildung 5.4: Oberflächenrekonstruktion mit resultierender Kraft im Falle von drei Kantenschnittpunkten. 

Grenzflächenzellen mit drei Kantenschnittpunkten entweder dem Beispiel 1 aus Abbildung 

5.4(a) oder dem Beispiel 2 aus Abbildung 5.4(b) entspricht. In Abhängigkeit von 

der Beziehung zwischen zelllokalem und globalem Koordinatensystem hat die Kraft im 

globalen System eine veränderliche Richtung, während bei betragsmäßiger Betrachtung 

der Kräfte wiederum nur zwei Fälle vorliegen. Die in den Abbildungen eingezeichnete 

Kraft ist zur besseren Darstellung skaliert, wobei die Skalierung in allen Abbildungen 

einheitlich gewählt ist. Damit kann eine erste qualitative Abschätzung vorgenommen werden. 

Sowohl Abbildung 5.4(a) als auch Abbildung 5.4(b) lassen erkennen, dass in den Grenzflächenzellen 

mit drei Kantenschnittpunkten Oberflächen mit starker lokaler Wölbung erzeugt 

werden. Diese führt wiederum zur Generierung von verhältnismäßig starken Kräften, 

was insbesondere für die Oberfläche aus Abbildung 5.4(b) gilt. Im Fall der in Abbildung 

5.4(a) vorliegenden Fläche, zeigt die ermittelte Oberflächenkraft auf Grund der 

nicht korrekten Verwölbung der Fläche in die falsche Richtung. 

Die Wahl der Flächenpunkte, die zur Interpolation der Bézier-Fläche eingesetzt werden, 

beeinflusst maßgeblich das Ergebnis der Kraftberechnung. Im Fall der drei Kantenschnittpunkte 

zeigt sich, dass die mit dem gegenwärtigen Verfahren interpolierten Punkte in Bezug 

auf die Wölbung der Fläche keine optimalen Ergebnisse liefern. 

Rekonstruktion im Fall von vier Kantenschnittpunkten 

Die Zellen mit vier Kantenschnittpunkten stellen mit ihrem Anteil von 50% die Mehrheit 

der Grenzflächenzellen. Im Gegensatz zu den lediglich zwei Oberflächentypen des Falles 

mit drei Kantenschnittpunkten, gibt es im Fall von vier Kantenschnittpunkten eine Vielzahl 

verschiedener Oberflächen. Stellvertretend für die 384 Grenzflächenzellen sind in 

Abbildung 5.5 vier Beispiele dargestellt. Bei der Auswahl der gezeigten Grenzflächenzellen 

wurde darauf geachtet, dass möglichst verschiedene Volumenanteile f in den Zellen 

vorliegen. Die Abbildungen 5.5(a) und 5.5(b) zeigen zwei Zellen, für die die Volumenanteilsfunktion 

f einen Wert nahe f = 0, 5 besitzt. Bei dem Beispiel aus Abbildung 5.5(c) 

69



(c) Beispiel 3. (d) Beispiel 4. 

Abbildung 5.5: Oberflächenrekonstruktion mit resultierender Kraft im Falle von vier Kantenschnittpunkten. 

liegt hingegen ein f -Wert nahe f = 1 vor, während die Grenzflächenzelle in Abbildung 

5.5(d) einen geringen Volumenanteil f enthält. 

Im Gegensatz zu den Flächen aus Abbildung 5.4 ist die Wölbung der Flächen im Falle 

von vier Kantenschnittpunkten geringer. Die Abbildung 5.5(b) zeigt eine rekonstruierte 

Oberfläche, die sehr gleichmäßig verläuft und keine starken lokalen Wölbungen zeigt. 

Im Falle der Abbildungen 5.5(a) und 5.5(d) kann man erkennen, dass einzelne Schnittkurven 

der Oberfläche mit den Zellseiten eine deutlichere Wölbung aufweisen, ohne dass 

dies jedoch zu starken Einfluss auf die ermittelte Kraft hat. 

Das Beispiel aus Abbildung 5.5(c) zeigt neben einer stark gekrümmten Grenzkurve auf 

der Oberseite des Kontrollvolumens auch eine lokal sehr stark gewölbte Grenzfläche. In 

diesem Fall ist deutlich erkennbar, dass die Wahl des im mittleren Bereich der Fläche gelegenen 

Punktes zu einer starken Verwölbung der Fläche und somit zur Erzeugung einer 

großen Oberflächenkraft führt. Mit Bezug auf den Abschnitt 4.3.1.7 orientiert sich die 

Wahl dieses Punktes direkt am Flächenschwerpunkt der PLIC-Fläche in der Zelle. 

Das Ergebnis der Rekonstruktion aus Abbildung 5.5(d) ist somit ein Indiz dafür, dass die 

Wahl dieses Flächenpunktes überdacht werden muss. 

70


Rekonstruktion im Fall von fünf Kantenschnittpunkten 

Mit einem Anteil von 28% sind die Zellen mit fünf Kantenschnittpunkten unter allen 

Grenzflächenzellen am zweithäufigsten vertreten. Auch in diesem Fall werden mehrere, 

verschiedene Oberflächen in den Zellen erzeugt, so dass die in Abbildung 5.6 dargestellten 

Beispiele lediglich eine Auswahl darstellen. 


(c) Beispiel 3. (d) Beispiel 4. 

Abbildung 5.6: Oberflächenrekonstruktion mit resultierender Kraft im Falle von fünf Kantenschnittpunkten. 

Im Falle von fünf Kantenschnittpunkten kommt es infolge der Rekonstruktion nach Abschnitt 

4.3.1.5 zu einer Zweiteilung der Fläche. Dieser Effekt ist an einer lokalen Unstetigkeit 

der Wölbung im Verlauf der Flächen sichtbar, wie in der Abbildung 5.6 festzustellen 

ist. 

In Abbildung 5.6(a) zeigt die berechnete Oberflächenkraft aus Sicht des Tropfens von 

innen nach außen. Dieser Fall lässt sich durch den Verlauf der Krümmung der rechten 

Teilfläche erklären. Diese weist aus Sicht des Ursprungs des lokalen Koordinatensystems 

eine konkave Wölbung auf, weshalb die Teilkraft dieser Fläche nach außen gerichtet ist. 

Der linke Teil der Fläche ist nur sehr gering gewölbt, so dass sein Einfluss auf die Gesamtkraft 

nicht sehr groß ist. Auf diese Weise dominiert die rechte, konkav gewölbte Fläche 

bei der Bestimmung der Oberflächenkraft dieser Zelle. 

71


Die in den anderen Abbildungen zu sehenden Flächen haben zwar keine falsch orientierten 

Kräfte, jedoch weisen einige ihrer Teilflächen teilweise starke lokale Krümmungen 

auf. 

Rekonstruktion im Fall von sechs Kantenschnittpunkten 

Die Grenzflächenzellen mit sechs Kantenschnittpunkten sind weniger zahlreich vertreten 

als die Zellen mit vier oder fünf Punkten. Zur Rekonstruktion der Oberfläche wird eine 

zweigeteilte Fläche eingesetzt, analog zum Fall der fünf Kantenschnittpunkte. 

Wie schon im Fall der drei Kantenschnittpunkte, existieren in den Grenzflächenzellen 

mit sechs Kantenschnittpunkten lediglich eine geringe Anzahl verschiedener Oberflächen. 

Konkret handelt es sich um drei Flächentypen, die in Abbildung 5.7 dargestellt sind. 


(c) Beispiel 3. 

Abbildung 5.7: Oberflächenrekonstruktion mit resultierender Kraft im Falle von sechs Kantenschnittpunkten. 

Die abgebildeten Flächen weisen eine starke lokale Wölbungen auf, die aus Sicht des lokalen 

Koordinatensystems teilweise konkav verlaufen. Aus diesem Grund werden Oberflächenkräfte 

erzeugt, die vom Tropfeninneren aus gesehen nach außen zeigen (Abbildung 

5.7(a)) bzw. nahezu parallel zur rekonstruierten Oberfläche verlaufen (Abbildungen 

5.7(b) und 5.7(c)). 

72


5.1.3 Verteilung der Oberflächenkraft auf der Tropfenoberfläche 

Betrachtet man den kompletten Tropfen mit seiner freien Oberfläche und den auf sie wirkenden 

Beschleunigungen, so erhält man Abbildung 5.8. Die Aufnahme zeigt die Verteilung 

der auf die Zellzentren der Massenkontrollvolumina interpolierten Beschleunigungsvektoren 

nach dem ersten FS3D-Zeitschritt. Der Interpolationsvorgang bewirkt eine Verschmierung 

der ermittelten Oberflächenkraft. 

3 Schnittpunkte 




Abbildung 5.8: Beschleunigungsvektoren infolge der modellierten Oberflächenkraft nach 

dem ersten Zeitschritt. 



Abbildung 5.9: Schnitt durch den Tropfen mit Beschleunigungsvektoren infolge der modellierten 

Oberflächenkraft. 

Die einzelnen Vektoren unterscheiden sich in ihrer Farbe. Diese kennzeichnet die Anzahl 

73


der Kantenschnittpunkte innerhalb der Grenzflächenzellen. Schwarz eingefärbte Vektoren 

stehen für Zellen mit drei Kantenschnittpunkten, rot eingefärbte für Zellen mit vier 

Kantenschnittpunkten, blaue Vektoren kennzeichnen Zellen mit fünf Kantenschnittpunkten 

und grüne Vektoren stehen für Zellen mit sechs Kantenschnittpunkten. 

Die Abbildung bestätigt die Feststellung aus dem vorigen Abschnitt zur Oberflächenrekonstruktion 

in einzelnen Gitterzellen. Bei der Betrachtung der Beschleunigungsvektoren 

ist ersichtlich, dass diese keinesfalls immer senkrecht zur Oberfläche stehen. Besonders 

bei den grünen Vektoren ist zu erkennen, dass sie teilweise eher tangential zur Oberfläche 

verlaufen. 

Eine bessere Einschätzung bezüglich der Richtung der Vektoren liefert Abbildung 5.9, die 

einen Schnitt durch den Mittelpunkt des Tropfens enthält. Dabei ist zu erwähnen, dass die 

Schnitte auf Grund der Symmetrie in allen drei Koordinatenebenen zu einem identischen 

Ergebnis führen. 

In der Schnittebene gibt es lediglich Zellen mit drei und vier Kantenschnittpunkten, wie 

an den roten und blauen Vektoren zu erkennen ist. Besonders auffällig sind die nach außen 

gerichteten Vektoren, die jeweils unter 45 ◦ gegenüber der Horizontalen auftreten. Sie sind 

im Vergleich zu den anderen Vektoren betragsmäßig kleiner, haben aber eine falsche Orientierung, 

da sie nach außen zeigen. Die rote Farbe der vier Vektoren zeigt, dass es sich 

bei den betroffenen Zellen um Grenzflächenzellen mit vier Kantenschnittpunkten handelt. 

5.2 Zusammenfassung und Perspektiven 

Die Ergebnisse für den Testfall des ruhenden Wassertropfens bei Schwerelosigkeit zeigen 

sehr deutlich, dass das neue Modell zur Berechnung der Oberflächenkraft in seiner bestehenden 

Form zu starken parasitären Strömungen führt. 

Die nähere Betrachtung der Grenzflächenzellen hat dabei gezeigt, dass die berechneten 

Oberflächenkräfte in ihrem Betrag und ihrer Richtung nicht immer korrekt sind. Als verhältnismäßig 

unproblematisch erweisen sich dabei die Grenzflächenzellen mit vier Kantenschnittpunkten. 

Die berechneten Kräfte sind zumeist richtig orientiert. Lediglich in 

einzelnen Zellen treten kleine Kräfte mit falscher Orientierung auf (Abbildung 5.9) und 

die Größenordnung der Kraft wird in Einzelfällen durch eine zu starke Wölbung der Fläche 

verfälscht (Abbildung 5.5(c)). 

Im Hinblick auf die Oberflächenrekonstruktion bei drei Kantenschnittpunkten ist festzustellen, 

dass durch eine falsch orientierte Verwölbung der Fläche Kräfte entstehen, die 

ebenfalls falsch orientiert sind. Zusätzlich zeigt auch dieser Fall, dass durch starke lokale 

Wölbungen starke Oberflächenkräfte entstehen. 

Betrachtet man die Oberflächenzellen mit fünf und sechs Kantenschnittpunkten, so findet 

man hier die größten Abweichungen. Starke lokale Wölbungen mit falscher Orientierung 

führen zu falsch gerichteten Kräften. Dies ist in den Abbildungen aus Abschnitt 5.1.2 

deutlich erkennbar. 

Um die Erzeugung von Flächen mit falsch orientierter oder zu starker Wölbung zu vermeiden, 

gilt es im Wesentlichen die Interpolation der Flächenpunkte auf den Zellseiten (s. 

Abschnitt 4.3.1.5) und die Wahl des im Zellinneren gelegenen Flächenpunktes zu überarbeiten. 

Wie bereits in Abschnitt 4.3.1.7 angesprochen, handelt es sich bei der Verwendung des 

74


Flächenschwerpunktes als Flächenpunkt der Bézier-Fläche, um ein einfaches Verfahren 

zur Erzeugung des benötigten Punktes im Zellinneren. Die Ergebnisse zeigen jedoch eine 

starke Sensitivität des Verfahrens in Bezug auf diesen Punkt, was durch das folgende 

Beispiel aus Abbildung 5.10 sehr deutlich wird. Vergleicht man die in den Abbildungen 

Abbildung 5.10: Oberflächenrekonstruktion im Fall von drei Kantenschnittpunkten bei veränderter 

Wahl des Flächenpunktes im Zellinneren. 

5.4(a) und 5.10 eingezeichneten Oberflächenkräfte, so stellt man fest, dass sie in ihrer 

Orientierung voneinander abweichen. Dabei zeigt die Kraft aus Abbildung 5.4(a) aus dem 

Kontrollvolumen heraus, während im Fall von Abbildung 5.10 die Kraft nach innen zeigt. 

In beiden Fällen sind die Punkte auf den Zellseiten identisch. Alleine die z ′ -Komponente 

des Flächenpunktes im Zellinneren wurde verändert. 

Durch eine verbesserte Interpolation der Flächenpunkte auf den Zellseiten, wird die Krümmung 

der Grenzkurven besser wiedergegeben. Ziel der künftigen Entwicklungen muss es 

sein, für die Gewinnung dieser Punkte eine Methode auszuarbeiten, die unter Einbeziehung 

der Informationen aus benachbarten Zellen eine gleichmäßigere Rekonstruktion ermöglicht. 

Gleichzeitig muss über die direkte Verwendung des PLIC-Flächenschwerpunkts 

als Flächenpunkt der Bézier-Fläche nachgedacht werden. 

Ein mögliches Verfahren zur Interpolation der Flächenpunkte auf den Zellseiten stützt 

sich auf die Volumenanteilsfunktion f . Hierzu zeigt Abbildung 5.11 einen Schnitt durch 

das Rechengebiet. Für die mittlere Zelle soll der Punkt Q 2 auf der Zellseite bestimmt werf 

= 0,25 f = 0,3 

y 

Q 2 

Q 1 

Q 3 

t 

t 3 

1 f = 0,8 

x 

Abbildung 5.11: Verfahren zur Interpolation der Punkte auf den Zellseiten. 

den. Dazu verfügt man über die mit einem Kreuz gekennzeichneten Schnittpunkte Q 1 und 

75


Q 3 auf den Kanten, die durch Interpolation der Flächenschwerpunkte gewonnen werden. 

Der dritte Punkt Q 2 auf dieser Zellseite muss nun so gewählt werden, dass die Grenzkurve 

in ihrem Verlauf eine korrekte Wölbung aufweist. 

Der zentrale Gedanke dieses Verfahrens ist es, zur Bestimmung des Punktes Q 2 auf der 

Zellseite ein Polynom dritter Ordnung zu erzeugen, das als Start- bzw. Endpunkt die 

Punkte Q 1 bzw. Q 3 enthält. Diese Kurve wird lediglich dazu eingesetzt den Punkt Q 2 

zu ermitteln. Durch sie soll nicht der Grenzflächenverlauf auf der Zellseite angenähert 

werden. Zur Ermittlung des Polynoms ist es notwendig, neben dem Anfangs- und Endpunkt 

auf den Zellkanten, zusätzliche Informationen in Bezug auf die Steigung der Kurve 

in diesen Punkten zu besitzen. Diese Information bezüglich des Gradienten wird aus dem 

bekannten Feld des Volumenanteils f ermittelt. Damit verfügt man über die Steigung der 

Tangenten t 1 im Punkt Q 1 und t 3 im Punkt Q 3 . 

Mit den Kantenschnittpunkten und der Steigung der zugehörigen Tangenten, verfügt man 

über genügend Informationen, um ein Polynom dritten Grades eindeutig berechnen zu 

können. 

Zur Bestimmung des gesuchten Punktes Q 2 parametrisiert man die Grenzkurve und man 

findet den Punkt bei der Hälfte der Bogenlänge. In der Skizze ist er ebenfalls durch ein 

Kreuz gekennzeichnet. 

76

Kapitel 6 

Fazit und Ausblick 

Im Rahmen der vorliegenden Arbeit wurde das Phänomen der parasitären Strömungen 

bei Simulationen mit dem FS3D-Code untersucht. Dabei wurde neben einer Analyse der 

parasitären Strömungen anhand einer Parameterstudie zu einem Referenztestfall, auch ein 

neues Oberflächenkraftmodell für FS3D entwickelt und in den Code implementiert. Rechnungen 

zur Validierung des Modelles haben gezeigt, dass die verwendete Oberflächenrekonstruktion 

bei der Berechnung der Oberflächenkraft in einzelnen Grenzflächenzellen 

zu Kräften führt, welche die parasitären Strömungen anfachen. 

Den Grundstein dieser Arbeit bildet eine Parameterstudie zu parasitärer Strömung. Mit 

Hilfe der Simulation eines von Luft umgebenen Wassertropfens bei Schwerelosigkeit 

wurde durch systematisches Variieren aller Stoffparameter, geometrischer Größen und 

relevanter numerischer Einstellungen, die Entstehung parasitärer Strömung beobachtet. 

Die erhaltenen Ergebnisse zeigen, dass mit Hilfe einer geschickten Wahl der Stoffparameter 

die Entstehung parasitärer Geschwindigkeiten eingedämmt werden kann. Dieses 

Vorgehen hat jedoch unmittelbar zur Folge, dass der ursprüngliche physikalische Charakter 

der Simulation verlorengeht und die Ergebnisse nichts mehr mit dem tatsächlichen 

Problem zu tun haben. 

Der gewählte Ansatz zur Reduzierung parasitärer Strömungen führt deshalb über eine 

Verbesserung der eingesetzten numerischen Verfahren. Hierzu wurde für diese Arbeit eine 

genauere Untersuchung der Oberflächenspannungsmodellierung in FS3D vorgenommen. 

Nach einer Analyse der vorhandenen Modelle CSF und CSS bildete die Entwicklung 

eines neuen Modelles zur Berechnung der Oberflächenkraft den Schwerpunkt der vorliegenden 

Arbeit. 

Die gewählte Modellierung der Oberflächenkraft baut direkt auf ihrer Definition als Wegintegral 

über die Randkurven der Grenzfläche auf. Hierzu wurde die erforderliche Oberflächenrekonstruktion 

zweiter Ordnung in das Modell integriert. Grundgedanke dieser 

Rekonstruktion ist es, eine möglichst zusammenhängende Fläche ohne Sprungstellen zu 

erzeugen. Durch ein Interpolationsverfahren an den Zellgrenzen wird gewährleistet, dass 

benachbarte Zellen auf ihren identischen Zellseiten auch identische Flächenpunkte aufweisen. 

Die Simulation des Tropfens weist bei Verwendung des neu entwickelten und in FS3D 

implementierten Modelles ein stark erhöhtes Niveau an parasitärer Strömung auf. De- 

77

6 Fazit und Ausblick 

tailliertere Betrachtungen der hierbei rekonstruierten freien Grenzfläche zeigen, dass die 

verwendete Oberflächenrekonstruktion zu verbessern ist. Durch die Entstehung von Flächen 

mit falsch orientierter Wölbung, wird die berechnete Kraft sowohl in ihrer Richtung, 

als auch in ihrem Betrag verfälscht. 

Der Fokus zukünftiger Arbeiten wird deshalb auf der Überarbeitung der Interpolation der 

Flächenpunkte auf den Zellseiten und im Zellinneren liegen. Hierbei kommt es im Wesentlichen 

darauf an, zu gewährleisten, dass die Wölbung der rekonstruierten Fläche den 

tatsächlichen Verlauf der freien Grenzfläche korrekt wiedergibt. Erste Ansätze zur besseren 

Wahl der Flächenpunkte werden im Rahmen dieser Dokumentation erwähnt und 

können als Grundlage für eine Weiterentwicklung der Flächeninterpolation dienen. 

Zusätzlich muss über die unmittelbare Verwendung des PLIC-Flächenschwerpunktes als 

Flächenpunkt der Bézier-Fläche nachgedacht werden. Es hat sich gezeigt, dass dieses Vorgehen 

zwar den zur Rekonstruktion benötigten Flächenpunkt innerhalb der Zelle liefert. 

Jedoch können durch den direkten Einsatz des Flächenschwerpunktes sehr starke bzw. 

falsch orientierte Wölbungen der Grenzfläche auftreten, die eine Verfälschung der Oberflächenkraft 

zur Folge haben. 

Neben diesen Aspekten ist es aber auch von Interesse, die Interpolation der Kantenschnittpunkte 

aus den Flächenschwerpunkten näher zu betrachten. Im aktuellen Modell wird zur 

Interpolation der Kantenpunkte lediglich das arithmetische Mittel gebildet, ohne die Entfernung 

der beteiligten Flächenschwerpunkte von der jeweiligen Kante zu berücksichtigen. 

Liegt ein Flächenschwerpunkt näher an der Zellkante, so hat er einen größeren 

Einfluss auf den Verlauf der Oberfläche an dieser Stelle, als ein Punkt, der weiter entfernt 

liegt. Somit ist es durchaus denkbar eine Gewichtung der Flächenschwerpunkte in Abhängigkeit 

ihrer Entfernung von der betrachteten Zellkante einzuführen. 

Ein weiterer wichtiger Punkt bezüglich der Oberflächenrekonstruktion betrifft die Art der 

eingesetzten Fläche. Bisher wurde die Oberfläche mit Hilfe einer quadratischen Bézier- 

Fläche rekonstruiert. Um eventuelle Unterschiede in der Rekonstruktion zu ermitteln, ist 

es möglich, die freie Oberfläche beispielsweise durch eine Fläche mit Polynomansatz darzustellen, 

um die Bézier-Rekonstruktion mit dieser Fläche zu vergleichen. 

78

Literaturverzeichnis 

[1] M. RIEBER: Numerische Modellierung der Dynamik freier Grenzflächen in Zweiphasenströmungen, 

Universität Stuttgart, Diss., 2004 

[2] HIRT, C. W. AND NICHOLS, B. D.: Volume of Fluid (VOF) Method for the Dynamics 

of Free Boundaries. In: J. Comput. Phys. 39 (1981), S. 201–225 

[3] RIDER, W. J. AND KOTHE, D. B.: Reconstructing Volume Tracking. In: J. Comput. 

Phys. 141 (1998), S. 112–152 

[4] BRACKBILL, J. U., KOTHE, D. B. AND ZEMNACH, C. : A Continuum Method for 

Modeling Surface Tension. In: J. Comput. Phys. 100 (1992), S. 335–354 

[5] LAFAURIE, B., NARDONE, C., SCARDOVELLI R., ZALESKI, S. AND ZANETTI, 

G.: Modelling Merging and Fragmentation in Multiphase Flows with SURFER. In: 

J. Comput. Phys. 113 (1994), S. 134–147 

[6] PIEGL, L. AND TILLER, W.: The NURBS Book. 2nd edition. Springer, 1997 

[7] JAFARI, A., SHIRANI E. AND ASHGRIZ, N.: An improved three-dimensional model 

for interface pressure calculations in free-surface flows. In: Int. J. Comput. Fluid 

Dyn. 21 (2007), Nr. 2, S. 87–97 

[8] GONSER, H.: Numerische Modellierung der Grenzflächenspannungen im Volumeof-Fluid-Code 

FS3D, Universität Stuttgart, Diplomarbeit, 2002 

[9] DANKERT, J. UND DANKERT, H.: Technische Mechanik. 4. Auflage. Teubner 

Verlag, 2006 

[10] MUNZ, C.-D. UND WESTERMANN, T.: Numerische Behandlung gewöhnlicher und 

partieller Differenzialgleichungen. 1. Auflage. Springer, 2006 

79

Anhang A 

Algorithmen zur Belegung des 

Punktefeldes Q für die Bézier-Flächen 

Die folgenden Struktogramme verdeutlichen den Aufbau der benötigten Auswahl-Algorithmen. 

A.1 3-Punkte-Algorithmus 

Punkte auf Seite y 

❤❤❤❤❤❤❤❤❤❤❤❤❤❤❤❤❤❤❤❤❤❤❤ ❤✭ ✭✭✭✭✭✭✭✭✭✭✭✭✭✭✭✭✭✭✭✭✭✭✭ 

′ 

= 0? 

JA 

NEIN 

1. Matrixzeile 


Q(1, 1) und Q(1,3) von Seite y ′ = 0 

Q(1, 2): Interpolation Flächenpunkt auf Seite 

y ′ = 0 


Q(3, 3): Punkt mit z ′ = 0 von Seite x ′ = 0 

Q(3, 2): Q(3, 3), aber z ′ -Koordinate z ′ = 

10 −10 · δz 

Q(3, 1): Q(3, 3), aber z ′ -Koordinate z ′ = 2 · 

10 −10 · δz 



x ′ = 0 

Q(2, 2): Flächenschwerpunkt 


z ′ = 0 

Q(1, 1) und Q(1, 3) von Seite x ′ = δx 


x ′ = δx 


Q(3, 1): Punkt mit z ′ = δz von Seite y ′ = δy 

Q(3, 2): Q(3, 1), aber z ′ -Koordinate z ′ = (1 − 

10 −10 ) · δz 

Q(3, 3): Q(3, 1), aber z ′ -Koordinate z ′ = (1 − 

2 · 10 −10 ) · δz 



z ′ = δz 



y ′ = δy 

80

A Algorithmen zur Belegung des Punktefeldes Q für die Bézier-Flächen 


Punkte auf Seite y 

❤❤❤❤❤❤❤❤❤❤❤❤❤❤❤❤❤❤❤❤❤❤❤ ❤✭ ✭✭✭✭✭✭✭✭✭✭✭✭✭✭✭✭✭✭✭✭✭✭✭ 

′ 

= 0? 

JA 

NEIN 



Q(1, 1) und Q(1, 3) von Seite y ′ = 0 


y ′ = 0 

 

Punkte auf Seite y ′ 

= δy? 

JA 


Q(3, 1) und Q(3, 3) 

von Seite y ′ = δy 

Q(3, 2): Interpolation 

Flächenpunkt auf Seite 

y ′ = δy 


❅ Punkte auf Seite 

❅ 

 

❅ 

x ′ = 0? 

 

❅ 

JA ❅ NEIN 

❅ 


Flächenpunkt 

auf Seite 

x ′ = 0 

❅ 

❅ 

❅ 

x ′ 


Flächenpunkt 

auf Seite 

z ′ = δz 

 

 

 

Punkte auf Seite 

= δx? 

❅ 

JA ❅ NEIN 

❅ 

Q(2, 3): Interpolatioterpolation 

Q(2, 3): In- 

Flächenpunkpunkt 

Flächen- 

auf Seite auf Seite 

x ′ = δx z ′ = 0 


∅ 

Q(1, 1) und Q(1, 3) von Seite x ′ = δx 


x ′ = δx 

❍ ❍❍❍❍❍❍❍❍❍❍❍ 

✟ 

Punkte auf Seite y ′ 

= δy und Summe ✟ 

✟ 

✟ 

der z ′ -Werte gleich δz ? 

✏ ✏✏✏✏✏✏✏✏✏✏✏ 

✟ 

✟ 

NEIN 

✟ 

✟ 


JA 

✟ 

✟ NEIN 

✟ 

✟ 

Q(3, 1) und Q(3, 3) 3. Matrixzeile 


von Seite x ′ = 0 

Q(3, 1) und Q(3, 3) Q(3, 1) und Q(3, 3) 

Q(3, 2): Interpolation von Seite y ′ = δy von Seite x ′ = 0 


x ′ Q(3, 2): Interpolation Q(3, 2): Interpolation 

= 0 

Flächenpunkt auf Seite Flächenpunkt auf Seite 


y ′ = δy 

x ′ = 0 





z ′ = δz 

Q(2, 1): Interpolation Q(2, 1): Interpolation 



❅ 

z ′ = δz 

z ′ = δz 


❅ 

Punkte auf Seite 


❅ 

 

z = 0? 

 


❅ 

z ′ = 0 

Q(2, 3): Interpolation JA ❅ NEIN 

Flächenpunkt auf Seite ❅ 

z ′ = 0 

∅ 

∅ 


Flächenpunkt 

auf Seite 

z ′ = 0 

Flächen- 

Q(2, 2): 

schwerpunkt 

auf Seite 

y ′ = δy 


Flächenpunkt 

81





Q(1, 2): Interpolation Flächenpunkt auf Seite y ′ = 0 


Q(5, 1) und Q(5, 3) von Seite y ′ = δy 

Q(5, 2): Interpolation Flächenpunkt auf Seite y ′ = δy 

Punkte auf Seiten x 

❤❤❤❤❤❤❤❤❤❤❤❤❤❤❤❤❤❤❤❤❤❤❤ ❤✭ ✭✭✭✭✭✭✭✭✭✭✭✭✭✭✭✭✭✭✭✭✭✭✭ 

′ 

= δx und z ′ = 0? 

JA 

NEIN 



Q(3, 3):Punkt von Seite z ′ = 0 mit 0 < y ′ < 

δy 


 

Punkte auf Seite z ′ 

= δz? 

JA 

✏ ✏✏✏✏✏✏✏✏✏✏✏ 

NEIN 

JA 

✏ ✏✏✏✏✏✏✏✏✏✏✏ 

NEIN 

Q(3, 1): Interpolation Q(3, 1): Interpolation Q(3, 3): Interpolation Q(3, 3): Interpolation 

Flächenpunkt auf Seite Flächenpunkt auf Seite Flächenpunkt auf Seite Flächenpunkt auf Seite 

z ′ = δz 

x ′ = 0 

x ′ = δx 

z ′ = 0 

2. und 4. Matrixzeile 

2. und 4. Matrixzeile 

❍ 

Q(2, 1): Lineare Interpolation zwischen ❍❍❍❍❍❍❍❍❍❍❍ 

✟ 

Summe der y ′ -Werte der Punkte auf ✟ 

Q(1, 1), Q(3, 1) 

✟ 

✟ 

Seite z ′ 

= δz kleiner δy? ✟ 

✟ 

✟ 

Q(2, 2): Lineare Interpolation zwischen 

✟ 

JA 

✟ 

Q(1, 2), Q(3, 2) 

✟ NEIN 

✟ 

❍ ❍❍❍❍❍❍❍❍❍❍❍ 

✟ 

✟ 

✟ 

Summe der y ′ -Werte der Punkte auf 

✟ 

✟ Q(2, 1): Interpolation Q(2, 1): Interpolation 

Seite x ′ 

= δx kleiner δy? 

✟ 

✟ Flächenpunkt auf Seite Flächenpunkt auf Seite 

✟ 

✟ 

✟ 

z ′ = δz 

x ′ = 0 

JA 

✟ 

✟ NEIN 


✟ 




x ′ = 0 

z ′ = δz 

x ′ = δx 

z ′ = 0 



Q(1, 2), Q(3, 2) 


Flächenpunkt auf Seite Flächenpunkt auf Seite Q(2, 3): Lineare Interpolation zwischen 

z ′ = 0 

x ′ = δx 

Q(1, 3), Q(3, 3) 

Q(4, 1): Lineare Interpolation zwischen Q(4, 2): Lineare Interpolation zwischen 

Q(3, 1), Q(5, 1) 

Q(3, 2), Q(5, 2) 


Q(3, 2), Q(5, 2) 

Q(3, 1):Punkt von Seite x ′ = 0 mit 0 < y ′ < 

δy 


 

Punkte auf Seite x ′ 

= δx? 


Q(3, 3), Q(5, 3) 

82





Q(1, 2): Interpolation Flächenpunkt auf Seite y ′ = 0 


Q(5, 1) und Q(5, 3) von Seite y ′ = δy 

Q(5, 2): Interpolation Flächenpunkt auf Seite y ′ = δy 


Q(3, 1):Punkt von Seite z ′ = δz mit 0 < y ′ < δy 

Q(3, 3):Punkt von Seite z ′ = 0 mit 0 < y ′ < δy 



Q(2, 1): Interpolation Flächenpunkt auf Seite z ′ = δz 

Q(2, 2): Lineare Interpolation zwischen Q(1, 2), Q(3, 2) 

Q(2, 3): Interpolation Flächenpunkt auf Seite x ′ = δx 


Q(4, 1): Interpolation Flächenpunkt auf Seite x ′ = 0 

Q(4, 2): Lineare Interpolation zwischen Q(3, 2), Q(5, 2) 

Q(4, 3): Interpolation Flächenpunkt auf Seite z ′ = 0 

83

Anhang B 

Ergebnisse der Parameterstudie zum 

ruhenden Wassertropfen 

B.1 Maximalgeschwindigkeit bei Variation der Viskosität 

Die Variation der Viskosität der flüssigen bzw. der gasförmigen Phase liefert die folgenden 

Zahlenwerte. 

µ fl [ kg µ fl 

m·s µ g 

[-] v max [ m] 

s 

10 −4 5,55 0,298 

1, 25 · 10 −4 6,75 0,296 

2, 5 · 10 −4 13,5 0,285 

1, 25 · 10 −4 27 0,268 

10 −3 55,5 0,253 

2 · 10 −3 111 0,2111 

4 · 10 −3 222 0,1520 

8 · 10 −3 444 0,0834 

10 −2 555 0,0666 

Tabelle B.1: Maximalgeschwindigkeit zum Zeitpunkt t = 0, 03 s bei Variation der Viskosität 


84

B Ergebnisse der Parameterstudie zum ruhenden Wassertropfen 

µ g [ kg µ fl 

m·s µ g 

[-] v max [ m] 

s 

1, 8 · 10 −4 5,55 0,252 

1, 44 · 10 −4 6,75 0,257 

7, 2 · 10 −5 13,5 0,255 

3, 6 · 10 −5 27 0,253 

1,8 · 10 −5 55,5 0,253 

9 · 10 −6 111 0,253 

4, 5 · 10 −6 222 0,253 

2, 25 · 10 −6 444 0,252 

1, 8 · 10 −6 555 0,252 

Tabelle B.2: Maximalgeschwindigkeit zum Zeitpunkt t = 0, 03 s bei Variation der Viskosität 


85


B.2 Maximalgeschwindigkeit bei Variation der Dichte 

Variiert man die Dichten der beiden Phasen, so erhält man die in den Tabellen zu findenden 

Resultate. 

ρ fl 

ρ fl [ kg 

ρ 

] 

m 3 ρ g 

[-] 

fl +ρ g 

[ kg ] 

2 m 3 v max [ m] 

s 

100 83,3 50,6 0,5731 

125 104 68,5 0,4801 

250 208 125,6 0,4011 

500 416 250,6 0,3210 

1000 833 500,6 0,2530 

2000 1666 1000,6 0,1900 

4000 3332 2000,6 0,1420 

8000 6664 4000,6 0,1000 

10000 8333 5000,6 0,0914 

Tabelle B.3: Maximalgeschwindigkeit zum Zeitpunkt t = 0, 03 s bei Variation der Dichte der 

flüssigen Phase. 

ρ fl 

ρ g [ kg 

ρ 

] 

m 3 ρ g 

[-] 

fl +ρ g 

[ kg ] 

2 m 3 v max [ m] 

s 

12 83,3 506 0,254 

9,6 104 504,8 0,254 

4,8 208 502,4 0,254 

2,4 416 501,2 0,253 

1,2 833 500,6 0,253 

0,6 1666 500,3 0,253 

0,45 2222 500,225 0,253 

0,35 2857 500,175 0,253 

0,3 3332 500,15 1,342 

0,15 6664 500,075 1,322 

0,12 8333 500,06 1,588 


gasförmigen Phase. 

86


ρ fl 

ρ g [ kg 

ρ 

] 

m 3 ρ g 

[-] 

fl +ρ g 

[ kg ] 

2 m 3 v max [ m] 

s 

12 83,3 506 0,3060 

9,6 104 504,8 0,3001 

4,8 208 502,4 0,3061 

2,4 416 501,2 0,3080 

1,2 833 500,6 0,3051 

0,6 1666 500,3 0,3051 

0,3 3332 500,15 0,3051 

0,15 6664 500,075 0,3061 

0,12 8333 500,06 0,3051 


gasförmigen Phase (keine Viskosität). 

87


B.3 Maximalgeschwindigkeit bei Variation des Grenzflächenspannungskoeffizienten 

Die Variation des Grenzflächenspannungskoeffizienten wirkt sich wie folgt aus. 

Grenzflächenspannung σ [ kg ] 

s 2 v max [ m] 

s 

7, 3 · 10 −3 0,0543 

7,3 · 10 −2 0,253 

0,730 0,8961 

Tabelle B.6: Maximalgeschwindigkeit zum Zeitpunkt t = 0, 03 s bei Variation des Grenzflächenspannungskoeffizienten. 

B.4 Maximalgeschwindigkeit bei Variation des Tropfenradius 

Verändert man den geometrischen Parameter Tropfenradius, so erhält man die Ergebnisse 

aus Tabelle B.7. 

Tropfenradius R[m] Kantenlänge [m] v max [ m] 

s 

10 −4 4 · 10 −4 Tropfen verlässt Rechengebiet 

1, 25 · 10 −4 5 · 10 −4 0,4358 

2, 5 · 10 −4 10 −3 0,4011 

10 −3 4 · 10 −3 0,253 

10 −2 4 · 10 −2 0,042 

Tabelle B.7: Maximalgeschwindigkeit zum Zeitpunkt t = 0, 03 s bei Variation des Tropfenradius. 

B.5 Maximalgeschwindigkeit bei Variation der Gitterauflösung 

Eine Veränderung der räumlichen Diskretisierung zieht die Ergebnisse aus Tabelle B.8 

nach sich. 

88


Gitterpunkte v max [ m] 

s 

16 × 16 × 16 0,1898 

32 × 32 × 32 0,253 

64 × 64 × 64 0,3160 

128 × 128 × 128 0,432 

Tabelle B.8: Maximalgeschwindigkeit zum Zeitpunkt t = 0, 03 s bei Variation der Auflösung. 

89

Anhang C 

FS3D-Input-Datei 

Die folgende Input-Datei enthält sämtliche Einstellungen für den Referenzfall des Wassertropfens 

bei Schwerelosigkeit. Mit Hilfe der vorliegenden Datei wurde die Parameterstudie 

mit FS3D Release 38 durchgeführt. Die Einstellungen, die für die Parameterstudie 

von Bedeutung sind, bzw. in deren Rahmen variiert werden, sind mit Kommentaren versehen. 

Im Anschluss an die Input-Datei befinden sich zwei Tabellen mit den Flags für die Randbedingungen 

und die Oberflächenspannungsmodelle. Detailliertere Informationen finden 

sich im Benutzerhandbuch zur FS3D-Version 38. 

&r e g i o n ! Beschreibung des G e b i e t e s und s e i n e r Ränder 

gxmax = 0 . 4 , gymax = 0 . 4 , gzmax = 0 . 4 , ! maximale Koordinaten des G e b i e t e s 

g n i =32 , g n j =32 , gnk =32 , ! Anzahl Stützpunkte 

bdimx =1 , bdimy =1 , bdimz =1 , 

fx =1 , fy =1 , f z =1 , 

b l o c k ( 1 ) = 1 , 

rb ( 1 , 1 ) = 3 , 3 , 3 , 3 , 3 , 3 , ! Randbedingungen für d i e Kontrollvolumenwände 

xsym =0 , ysym =0 , zsym =0 , 

u l e f t 0 =0 , 

r e d o r d n u n g = 2 . 0 , 

x s t a r = 3 . 0 , 

/ 

&mesh 

/ 

&s e t u p ! I n i t i a l i s i e r u n g f−Feld und Geschwindigkeiten 

nfunc =1 , ! Anzahl Vorbelegungsfunktionen 

f t y p e ( 1 ) = 2 , ! Typ der Vorbelegungsfunktion (2= E l l i p s o i d ) 

f r ( 1 , 1 ) = 0 . 2 , f r ( 1 , 2 ) = 0 . 2 , f r ( 1 , 3 ) = 0 . 2 , ! E l l i p s o i d −Halbachsen 

90

C FS3D-Input-Datei 

f r ( 1 , 4 ) = 0 . 1 , f r ( 1 , 5 ) = 0 . 1 , f r ( 1 , 6 ) = 0 . 1 , ! E l l i p s o i d −Schwerpunkt 

d u f s d ( 1 ) = 0 . 0 , f s i g n ( 1 ) = 1 , 

/ 

&m a t e r i a l ! S t o f f g r ö ß e n der beiden Phasen 

r h o f =1.0 , r h o f c =0.0012 , ! Dichte 

muef = 0 . 0 1 , muefc =0.00018 , ! V i s k o s i t ä t 

sigma = 7 3 . , ! G r e n z f l ä c h e n s p a n n u n g s k o e f f i z i e n t 

/ 

&t r a n s p o r t 

f e n e r _ g l =0 , 

/ 

&w a l l 

/ 

&c h e m i c a l _ r e a c t i o n 

/ 

&i g e n 

/ 

&n u m e r i c s ! Numerische Parameter 

c o u r a n t = 0 . 4 5 , ! CFL−Zahl 

f c s f =2 , ! Oberflächenspannungsmodell 

f a c t s f t = 1 . , 

f f a c t o m e g a y z =1 , 

f f a c t o m e g a x = 0 . 0 2 , 

t i m e d i s c r =3 , 

smoother =2 , 

m g r l e v e l =3 , 

buoy =0 , 

/ 

&c o n t r o l ! Steuerung Programmablauf 

t w f i n = 0 . 0 3 , ! Endzeitpunkt 

cwfin = 500000 , 

f r e s t = 0 , 

dumpdc = 50000 , 

f o u t p u t =1 , 

h i s _ s t e p =1 , 

/ 

91


&w r i t e f l d ! Steuerung der Ausgabe 

p r t d t = 0 . 0 1 , ! A u s g a b e z e i t s c h r i t t 

fxy =0 , f s x y z =1 , fvxyz =1 , fwener =0 , 

f v o f =1 , f p r e s =1 , fv =1 , f f s v =0 , f s c a l =0 , f r e d u c e =0 , debug =0 , 

fbuoy =0 , 

/ 

&w r i t e h i s ! Steuerung Ausgabe i n t e g r a l e Kennwerte 

f r e s p =1 , fmass =1 , f i x y z =0 , f i x y z r e l =1 , f c e n t e r =1 , 

f e k i n =1 , fmomsum=1 , ffsvsum =1 , f m p r e s s =1 , fbox =0 , f a r e a =1 , 

f r a n g e =1 , fvelm =1 , 

/ 

&s p e c i a l s 

f i n t f l =0 , 

/ 

&r e f e r e n c e 

r h o b e z = 1 . 0 , ubez = 1 . 0 , l b e z = 1 . 0 , 

/ 

&g a t h e r c t r l 

/ 

Flag 

Randbedingung 

0 innerer Rand (Prozessgrenze) 

1 feste Wand ohne Haftung (=Symmetrie) 

2 feste Wand mit Haftung 

3 kontinuierlich 

4 konstanter Druck 

5 periodisch 

6 Robin 

7 Inflow 

Tabelle C.1: Flags für die Randbedingungen. 

92


Flag Oberflächenspannungsmodell 

1 CSF 

2 CSS 

6 Bézier 

Tabelle C.2: Flags für die Oberflächenspannungsmodelle. 

93

Untersuchung und Reduzierung von numerisch bedingten ... - IAG

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