Skript zur Vorlesung Physik auf dem Computer - Universität Stuttgart

2 Lineare Algebra I
Dieses Gleichungssystem hat genau dann eine Lösung, wenn A regulär ist, also det A =
∏ n
i=1 a ii ≠ 0. Die Lösung kann dann durch Rücksubstitution direkt bestimmt werden:
x i = 1
a ii
(
b i −
n∑
k=i+1
a ik x k
)
für i = n(−1)1. (2.3)
Für reguläre linke untere Dreiecksmatrizen ergibt sich die Lösung entsprechend durch
Vorwärtssubstitution:
(
)
x i = 1 ∑i−1
b i − a ik x k für i = 1(1)n. (2.4)
a ii
Für Diagonalmatrizen ist die Situation natürlich einfacher, es gilt
k=1
x i = 1
a ii
b i für i = 1(1)n. (2.5)
SciPy stellt für Dreiecksmatrizen spezielle Löserroutinen zur Verfügung, scipy.
linalg.solve_triangular(A, b, lower=False), wobei lower angibt, ob A
eine linke untere statt rechte obere Dreiecksmatrix ist.
2.2 Gauÿelimination
Die Gauÿelimination ist ein Verfahren, um eine beliebiges Gleichungssystem Ax = b, mit
A ∈ R m×n , auf die äquivalente Form
( ) R K
x ′ = b ′ (2.6)
0 0
zu bringen, wobei R eine reguläre rechte obere Dreiecksmatrix und K ∈ R k×l beliebig
ist, und x ′ eine Permutation (Umordnung) von x. Dieses Gleichungssystem hat oenbar
nur dann eine Lösung, wenn b ′ i = 0 für i = m − k + 1(1)m.
Diese ist im allgemeinen auch nicht eindeutig, vielmehr können die freien Variablen
x K = (x ′ i )n i=n−k+1 frei gewählt werden. Ist x R = (x ′ i )n−k i=1
der Satz der verbleibenden
Lösungsvariablen, so gilt also
Die Lösungen ergeben sich daraus als
(
x ′ R
=
−1 b ′
0
x L = R −1 b ′ − R −1 Kx K .
)
+
〈( −R −1 )〉
K i
, (2.7)
e i
wobei K i die i-te Spalte von K und 〈〉 den aufgespannten Vektorraum bezeichnet. Die
Ausdrücke, die R −1 enthalten, können durch Rücksubstitution bestimmt werden.
Um das System Ax = b, das wir im folgenden als A|b zusammenfassen, auf diese Form
zu bringen, stehen folgende Elementaroperationen zur Verfügung, die oensichtlich die
Lösung nicht verändern:
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