Skript zur Vorlesung Physik auf dem Computer - Universität Stuttgart

4 Datenanalyse und Signalverarbeitung
Die Gaussglocke ist also eine Eigenfunktion der Fouriertransformation zum Eigenwert 1.
Die Fouriertransformation hat tatsächlich sehr viel mehr echt verschiedene Eigenfunktionen,
die Familie der Hermitefunktionen [Pin02]. Wegen der Isometrieeigenschaft kann
die Fouriertransformation aber nur Eigenwerte vom Betrag eins haben; tatsächlich hat
sie nur die vier Eigenwerte ±1 und ±i, da F 4 = 1. Daher ist jeder Eigenwert stark
degeneriert, und der Eigenraum zu jedem Eigenwert unendlichdimensional.
Die (formale) Fouriertransformierte der δ-Funktion ist
F(δ(t))(ω) = 1 √
2π
∫ ∞
−∞
δ(t)e −iωt dt = 1 √
2π
, (4.12)
also einfach die konstante Funktion 1/ √ 2π, die ebensowenig wie die δ-Funktion eine
quadratintegrable Funktion ist. Alternativ lässt sich die Beziehung aus der Fouriertransformierten
der Gauÿglocke mit sinkender Varianz herleiten.
4.1.2 Numerische kontinuierliche Fouriertransformation
Um die Eigenschaften der kontinuierlichen Fouriertransformation numerisch zu nutzen,
machen wir den Grenzübergang T → ∞ rückgängig und ziehen uns auf ein für die
betrachtetete Funktion hinreichend groÿes T zurück, sodass ∫ |t|>T |f(t)|2 dt hinreichend
klein ist. Ist das Signal wie in der Praxis endlich, so könnte T zum Beispiel so groÿ sein,
dass das Signal vollständig abgedeckt ist. In jedem Fall ist das Signal eine Funktion f,
die wir nur an auf einem äquidistanten Gitter t k = T ( − 1 2 + k N
) , k = 0(1)N − 1 kennen.
Dann ist mit ω 0 = 2π
T
F(f)(ω 0 n) ≈ 1 √
2π
∫ T/2
−T/2
= T N
f(t)e −inω0t dt ≈ √ 1 N−1
∑
f(t k )e −inω 0T(− 1 2 + k N ) T
2π N
e −2πin/2
√
2π
N−1
∑
k=0
k=0
f(t k )e −2πink/N
= T N
(−1) n
√
2π
DFT(f(t k )) n , (4.13)
wobei DFT die diskrete Fouriertransformation aus (3.53) bezeichnet. Die bekannten
schnellen FFT-Routinen lassen sich also auch für die numerische Bearbeitung der kontinuierlichen
Fouriertransformation nutzen. Auf diese Weise ist z.B. Abbildung 4.1 entstanden.
4.1.3 Abtasttheorem
In der Praxis sind Signale meist als diskrete Werte an (endlich vielen) äquidistanten
Stellen beziehungsweise Zeitpunkten gegeben, zum Beispiel, weil ein Messgerät Daten in
regelmäÿigen Abständen liefert. Eine wichtige Frage ist, wie gut man das reale Signal
und sein Frequenzspektrum aus den diskreten Datenpunkten rekonstruieren kann.
Hierzu betrachten wir zunächst ein bandbreitenbeschränktes Signal f, d.h. ein Signal,
dessen Fouriertransformierte einen kompakten Träger [−ω 0 ,ω 0 ] hat. Dann besagt die
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