Skript zur Vorlesung Physik auf dem Computer - Universität Stuttgart

3.6 Fourierreihen
1.5
1.0
0.5
0.0
0.5
1.0
1.5
0 1 2 3 4 5 6
3.5
3.0
2.5
2.0
1.5
1.0
0.5
0.0
0.5
0 1 2 3 4 5 6
Abbildung 3.5: Abgeschnittene Fourierreihen der Rechteckfunktion (links) und eines Dreeieckpulses
(rechts). Die Funktionen sind jeweils als schwarze durchgezogene Linien eingezeichnet,
die Näherungen mit einem Term blau gestrichelt, mit zwei Termen rot gepunktet,
und mit 20 Termen grün durchgezogen. Für den Dreieckpuls ist letztere Näherung
nicht mehr von der Funktion zu unterscheiden, während der Rechteckpuls noch deutliche
Artefakte an den Unstetigkeiten zeigt.
und
b n = −2Im( ˆf n ) = 2 T
∫ T
0
f(t) sin(nωt) dt. (3.45)
Für symmetrische Funktionen ist oenbar b n = 0, für ungerade Funktionen a n = 0.
Einige reelle Fourierreihen sind zum Beispiel:
• Konstante f(t) = f 0 :
a 0 = 2f 0 , a n , b n = 0 sonst (3.46)
• Rechteckfunktion
{
1 für 0 ≤ t < T
f(t) =
2
−1 für T 2 ≤ t < T = 4 ∞∑ 1
sin ((2n − 1)ωt) (3.47)
π 2n − 1
• kurzer Rechteckpuls. Wir betrachten nun die auf konstanten Flächeninhalt normierte
Funktion
{
1/S für 0 ≤ t < S
f S (t) =
0 für S ≤ t < T , (3.48)
n=1
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