Skript zur Vorlesung Physik auf dem Computer - Universität Stuttgart

3.3 Polynom- oder Lagrangeinterpolation
1.5
1.0
0.5
0.0
0.5
1.0
1.5
3 2 1 0 1 2 3
Abbildung 3.1: Näherung der Sinusfunktion durch die abgeschnittene Taylorreihe. Als
schwarze durchgezogene Linie ist die tatsächliche Sinusfunktion dargestellt, blau gepunktet
ist die Näherung erster Ordnung um Null, x, grün durchgezogen ist die kubische Näherung
x−x 3 /6, und rot gestrichelt x−x 3 /6+x 5 /120. Die Kurven nutzen die Symmetrie
der Sinuskurve, sind also an ±π/2 gespiegelt.
Um zum Beispiel die oben angeführte Sinusfunktion mit 7 Stellen Genauigkeit im
Interval [0 : π/2] auszuwerten, genügen die ersten 7 Terme der Taylorreihe. Mit Hilfe der
Symmetrien der Funktion lässt sie sich damit bereits für alle Argumente auswerten. Da
ergibt sich die bekannte Reihe
sin ′ (x) = cos(x) und cos ′ (x) = − sin(x),
sin(x) =
∞∑
i=0
sin (i) (0)
x i =
i!
∞∑
i=0
(−1) i
(2i + 1)! x2i+1 . (3.6)
Wie gut diese Darstellung mit entsprechender Rückfaltung funktioniert, zeigt Abbildung
3.1. Für viele andere komplexe Funktionen ist es ebenfalls möglich, Taylorreihen
analytisch oder numerisch zu bestimmen, die dann zur Auswertung auf dem Computer
genutzt werden können.
3.3 Polynom- oder Lagrangeinterpolation
Wie besprochen ist eine abgeschnittene Taylorreihe nur im Entwicklungspunkt exakt
(dann allerdings auch die Ableitungen), innerhalb des Konvergenzradius nur eine Annäherung,
und auÿerhalb des Konvergenzradius sogar divergent. Oft möchte man aber eher
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