Skript zur Vorlesung Physik auf dem Computer - Universität Stuttgart

3.6 Fourierreihen
und sind im allgemeinen komplex, auch wenn f reellwertig ist. Die Beiträge ˆf ±n haben
dieselbe Frequenz ±n/T , unterscheiden sich aber in ihrer Phase. Die Leistung zu dieser
Frequenz ist ˆf n ˆf−n .
(3.32) lässt sich auch so lesen, dass
eine orthonormale Basis bezüglich des Skalarprodukts
e −inωt = cos(nωt) + i sin(nωt) (3.33)
(f, g) = 1 T
∫ T
0
f(t)g(t) dt (3.34)
bilden. Ähnlich wie ein Vektor im R n wird die Funktion f also durch die Fouriertransformation
in ihre Schwingungskomponenten zerlegt. Insbesondere sind die Fourierkoezienten
linear in der Funktion, d.h.
̂ f + λg n = ˆf n + λĝ n . (3.35)
Die Voraussetzungen für die Konvergenz der Fourierreihe sind sehr schwach - solange
die Funktion wenigstens quadratintegrabel ist, konvergiert die Fourierreihe fast überall,
d.h.
∥ ∥ ∥∥∥∥ N∑ ∥∥∥∥
f(t) − ˆf n e inωt N→∞
−−−−→ 0. (3.36)
n=−N
Daneben ist die Transformation f → ˆf eine Isometrie, genauer gilt das Parsevaltheorem
∑
| ˆf n | 2 = 1 ω
n∈Z
∫ t
0
|f(t)| 2 dt. (3.37)
Das Parsevaltheorem besagt auch, dass die Restbeiträge von groÿen n immer kleiner werden,
so dass also eine abgeschnittene Fourierreihe eine Approximation an die gesuchte
Funktion darstellt. Anders als abgeschnittene Taylorreihen, die nur in einer schmalen
Umgebung um den Aufpunkt exakt sind, konvergiert die Fourierreihe gleichmäÿig. Allerdings
muss die abgeschnittene Fourierreihe im allgemeinen keinen einzigen Punkt mit
der Zielfunktion gemeinsam haben, anders als Taylorreihen oder Splines.
Weiter gilt:
• Die Fourierreihe über einem Interval [0,T ) kann aus der Fourierreihe für das Interval
[0,2π) durch Streckung mit ω berechnet werden:
• Es gilt
̂f(t) n
= 1 T
∫ T
0
f(t)e −inωt dt = 1
2π
∫ 2π
0
f(t ′ /ω)e −int′ dt ′ , (3.38)
̂ f(t + t 0 ) n
= e inωt 0 ̂f(t)n (3.39)
die Phase kann also nach Belieben verschoben werden. Die Leistung ˆf n ˆf−n bleibt
dabei natürlich erhalten.
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