BCS-Beschreibung des supraleitenden Zustands

Einl Fermi-Fl Cooper BV-Trans GS ThS Gap Zus 

Helmut Eschrig 

Leibniz-Institut für Festkörper- und Werkstofforschung Dresden 

Leibniz-Institute for Solid State and Materials Research Dresden 

BCS-Beschreibung 

des supraleitenden Zustands 

Helmut Eschrig IFW Dresden BCS-Beschreibung des supraleitenden Zustands 


1 Einleitung 

2 Einfache Feldtheorie einer normalen Fermi-Flüssigkeit 

3 Das Cooper-Theorem und der BCS-Hamiltonian 

4 Die Bogoliubov-Valatin-Transformation 

5 Der BCS-Grundzustand 

6 Der Thermodynamische BCS-Zustand 

7 Das Gap-Problem – Higgs am Horizont 

8 Zusammenfassung 

Helmut Eschrig IFW Dresden BCS-Beschreibung des supraleitenden Zustands


1 Einleitung 










Die BCS-Theorie ist eine Modell-Theorie, die alle wesentlichen 

Züge des supraleitenden Zustands erstmals auf 

quantenfeldtheoretischem Niveau erklärt hat. 

Insbesondere erklärt sie, wie der von Ginsburg 1950 postulierte 

geladene bosonische Grundzustand zustande kommen kann. 

Bevor sie mit der Entdeckung der Hoch-T c -Supraleitung 

einerseits und der experimentellen Untersuchung kalter 

Atomgase erneute Aktualität erhielt, hat sie die gesamte 

gegenwärtige Quantenfeldtheorie wesentlich geprägt. 

Im Vortrag wird dazu eine Einführung gegeben. 



1 Einleitung 










Ein nicht wechselwirkendes Fermi-Gas mit der 

Energie-Impulsbeziehung 

ε = ε k 

p = k 

mit dem Wert µ des chemischen Potentials hat im 

Grundzustand (Temperatur T = 0, µ(T = 0) ≡ µ) alle 

Teilchenzustände mit ε < µ besetzt und alle Teilchenzustände 

mit ε > µ unbesetzt. 



Fermi-Gas: 

ǫ − µ 

ÐØÖÓÒ 

ǫ k 

η 

|ǫ k − µ| 

¼ 

k 

k 

ÄÓ 

k 

k 

Grundzustand |0〉: 

ε k < µ : ĉ † kσ |0〉 = 0, ĉ† kσĉkσ|0〉 = |0〉, 

ε k > µ : ĉ kσ |0〉 = 0, ĉ kσ ĉ † kσ 

|0〉 = |0〉, 



Fermi-Flüssigkeit: (Lebensdauereffekte ∼ I(ε k ) vernachlässigt) 

ǫ − µ 

ÉÙ×¹ÐØÖÓÒ 

ǫ k 

η 

|ǫ k − µ| 

¼ 

k 

k 

ÉÙ×¹ÄÓ 

k 

k 

Grundzustand |0〉: 

ε k < µ : ĉ † kσ |0〉 = 0, ĉ† kσĉkσ|0〉 = |0〉, 

ε k > µ : ĉ kσ |0〉 = 0, ĉ kσ ĉ † kσ 

|0〉 = |0〉, 

Approximation! Solche Fermion-Operatoren existieren nicht für 

den wahren Grundzustand |0〉, aber I(ε k ) ∼ (R(ε k ) − µ) 2 . 



Hamiltonian der Fermi-Flüssigkeit: 

ˆ˜H = X kσ 

ĉ † kσ (ε k − µ)ĉ kσ + 1 2 

+ 

+ 1 2 

ǫ k >µ, ǫ k ′>µ 

X 

kσ, k ′ σ ′ , q 

ǫ k >µ, ǫ k ′


Wechselwirkung zweier Quasiteilchen: 

Ĥ = ∑ ˆb † kσ η k ˆb kσ + 1 2 

kσ 

∑ 

ˆb 

k+qσˆb † † w 

k ′ −qσ ′ kk ′ qˆb k ′ σ ′ˆb kσ 

kσ,k ′ σ ′ ,q 

|k 1 σ 1 k 2 σ 2 〉 = ˆb † k 1 σ 1ˆb† 

k 2 σ 2 

|0〉 = −|k 2 σ 2 k 1 σ 1 〉 

Ĥ|k 1 σ 1 k 2 σ 2 〉 = |k 1 σ 1 k 2 σ 2 〉(η k 1 

+η k 2 

)+ ∑ q 

|k 1 +qσ 1 k 2 −qσ 2 〉w k 1 k 2 q 

Ĥ 

k 2 σ 2 k 2 σ 2 

k 2 σ 2 

k 2 − qσ 2 

k 1 σ 1 k 1 σ 1 

k 1 σ 1 

k 1 + qσ 1 

= (η k 1 

+ η k 2 

) + 

w k 1 k 2 q 



1 Einleitung 










Cooper-Problem: Für eine gegebene Wechselwirkung w kk ′ q : 

was ist der Zweiteilchenzustand |kσ k ′ σ ′ 〉 niedrigster Energie? 

Wegen der Translationsinvarianz des Gesamtsystems muss die 

niedrigste Energie für einen Zustand mit Gesamtimpuls 

K = k + k ′ = 0 erwartet werden: 

|ψ〉 = ∑ k 

a k |kσ, −kσ ′ 〉, 

Ĥ|ψ〉 = |ψ〉E 

|ψ〉 singlet 

triplet 

= X k 

a k (|kσ, −k ∓ σ〉 ∓ |kσ, −k ∓ σ〉) = 

= X k 

a k (|kσ, −k ∓ σ〉 ± | − k ∓ σ, kσ〉) : a k = ±a −k 

Zeitumkehrsymmetrie: w kk ′ q = w −k−k ′ −q 

E (a k − a −k δ σσ ′) =2η k (a k − a −k δ σσ ′)+ 

+ ∑ w k−q,−k+q,q (a k−q − a −k+q δ σσ ′) 

q 



Einfachster Fall: 

F 

a k = a k , δ ss ′ = 0 

w k ′ ,−k ′ ,k−k ′ = λw kw ∗ k ′ 

a k = λw kC 

E − 2η k 

, C = ∑ k ′ w ∗ k ′a k ′ 

1 = λ ∑ k 

|w k | 2 

E − 2η k 

= λF(E) 

1 

λ > 0 

1 

λ < 0 

E 

¼ 

2η k 

E 



E < 0 für λ < 0: für beliebig schwache anziehende 

Wechselwirkung ist |0〉 nicht mehr der Grundzustand. 

Paarkorrelationen bilden sich spontan, und 

der Grundzustand rekonstruiert sich. 

[L. N. Cooper, Phys. Rev. 104, 1189 (1956)] 

Bardeen und Pines hatten 1955 argumentiert, dass die 

Elektron-Phonon-Wechselwirkung eine Anziehung in der Nähe 

der Fermi-Energie ermöglichen könnte. 

[J. Bardeen and D. Pines, Phys. Rev. 99, 1140 (1955)] 



Der BCS Hamiltonian: 

Ĥ BCS = ∑ kσ 

ĉ † kσ (ε k −µ)ĉ kσ − λ V 

µ−ω c


1 Einleitung 










Der Grundzustand |Ψ 0 〉 und das Anregungsspektrum des BCS 

Hamiltonian wurden von Bardeen, Cooper and Schrieffer 1957 

gefunden. 

[J. Bardeen, L. N. Cooper and J. R. Schrieffer, Phys. Rev. 108, 1175 (1957)] 

1958 haben Bogoliubov und Valatin unabhängig eine 

kanonische Transformation der Feldoperatoren angegeben, die 

das Problem auf elegante Weise löst. 

[N. N. Bogoliubov, Soviet Phys. JETP 34, 41, 51 (1958)] 

[J. G. Valatin, Nouvo Cimento 7, 843 (1958)] 

Finde neue Operatoren ˆb kσ , ˆb † kσ 

mit den Eigenschaften 

ˆb kσ |Ψ 0 〉 = 0, 

ˆbkσˆb† 

kσ |Ψ 0〉 = |Ψ 0 〉 

wie früher für den Grundzustand |0〉 der normalen 

Fermi-Flüssigkeit (in der gleichen genäherten Bedeutung). 



Kanonische Transformation: 

ˆb kσ = u k ĉ kσ − v k σĉ † −k−σ , 

ˆb† 

kσ = u kĉ† kσ − v kσĉ −k−σ 

Der Vorzeichenfaktor σ im zweiten Glied sichert wieder 

[ˆb kσ , ˆb k ′ σ ′] + = 0 = [ˆb † kσ , ˆb † k ′ σ ′ ] + 

während 

die Bedingung 

erfordert. 

[ˆb kσ , ˆb † k ′ σ ′ ] + = δ kk ′δ σσ ′ 

u 2 k + v 2 k = 1 



Transformierter BCS Hamiltonian: 

Ĥ BCS = 2 ∑ k 

(ǫ k − µ)v 2 k + ∑ k 

(ǫ k − µ)(u 2 k − v 2 k )∑ σ 

ˆb † kσˆb kσ + 

+ 2 ∑ k 

(ǫ k − µ)u k v k 

(ˆb† k↑ˆb † −k↓ + ˆb −k↓ˆbk↑ 

) 

− λ V 

∑ 

kk ′ 

ˆB† 

k ′ ˆB k 

ˆB k = ĉ −k↓ ĉ k↑ : Paaroperator 

〈Ψ 0 |ĤBCS|Ψ 0 〉 = E 

E = 2 ∑ k 

(ǫ k − µ)vk 2 − λ [∑ ] 2 

u k v k 

V 

k 



1 Einleitung 










Minimierung von E bezüglich u : ∂E/∂u = 0: 

( 

2(ǫ k − µ)u k v k = ∆ 0 u 

2 

k − vk 

2 ) 

uk 2 + v k 2 = 1 

∆ 0 = λ V 

∑ 

u k v k 

k 

u 2 k 

v 2 k 

} [ 

= 1 1± 

2 

(ǫ k − µ) 

√ 

(ǫ k − µ) 2 + ∆ 2 0 

] 

v k 

2∆ 

½ 

u k 

1 = λ 

2V 

∑ 1 

√ 

k (ǫ k − µ) 2 + ∆ 2 0 

µ 

ǫ k 



1 = λ X 1 

p 

2V (ǫk − µ) 

k 

2 + ∆ = λN(0) Z ωc 

2 2 

−ω c 

dω 

1 

q 

ω 2 + ∆ 2 0 

≈ λN(0) 

2 

ln 4ω2 c 

∆ 2 0 

∆ 0 

λ = 1 V 

{ 

∆ 0 ≈ 2ω c exp − 1 } 

λN(0) 

∑ 

u k v k = 1 V 〈Ψ 0| ∑ k 

k 

für λ → 0 

ˆB k |Ψ 0 〉 : Paardichte 

Mean-field Näherung: −(λ/V) ∑ ˆB† ˆB ∑ 

k k ≈ −∆ 0 (ˆB† 

k + ˆB k ): 

Ĥ m-f = const. + ∑ √ 

ˆb † kσ η kˆb kσ , η k = (ε k − µ) 2 + ∆ 2 0 

kσ 



η k 

µ 

|ǫ k − µ| 

k 

∆ 

k 

ǫ k − µ 



1 Einleitung 










Der BCS Grundzustand |Ψ 0 〉 wurde durch 

ˆb kσ |Ψ 0 〉 = 0, 

ˆbkσˆb† 

kσ |Ψ 0〉 = |Ψ 0 〉 

definiert. Daher war 〈Ψ 0 |ˆn kσ |Ψ 0 〉 = 〈Ψ 0 |ˆb † kσˆb kσ |Ψ 0 〉 = 0. 

Im thermodynamischen Zustand ist 

〈ˆb † kσˆb kσ 〉 = n k = 

und die zu minimierende Freie Energie 

1 

exp(η k /kT) + 1 

F(T) = 〈ĤBCS〉 = 2 ∑ k 

(ǫ k − µ)v 2 k + ∑ k 

(ǫ k − µ)(u 2 k − v 2 k )2n k− 

− λ V 

[∑ 

k 

] 2 

u k v k (1 − 2n k ) 



Die einzige Änderung ist, dass jetzt 

∆(T) = λ ∑ 

u k v k (1 − 2n k ) = λ V 

V 

k 

∑ 

u k v k sinh(η k /kT) 

k 

anstelle von ∆ 0 tritt. 

Gapgleichung: 

1 = λN(0) 

2 

∫ ωc 

−ω c 

(√ ) 

dω ω 

√ 

ω 2 + ∆ 2 (T) tanh 2 + ∆ 2 (T) 

2kT 

∆(T c ) = 0 



2∆ 0 /kT c ≈ 3.52 

( T 

) 3 

∆(T) ≈ ∆ 0 

√1 − 

T c 

∆ 0 

∆ 

B c (0) = √ µ 0 N(0)∆ 0 

C s − C n 

C n 

≈ 1.43 

¼ 

T c 

T 



1 Einleitung 










1958 bemerkte Anderson in einer Arbeit von größtem Einfluss 

auf die gesamte moderne Physik, dass der BCS Grundzustand 

entartet ist. 

[P. W. Anderson, Phys. Rev. 112, 1900 (1958)] 

In der obigen Behandlung wurde stillschweigend angenommen, 

dass u k und v k reel sind. Tatsächlich schränkt das die 

Allgemeinheit praktisch nicht ein: 

u k → e iα k 

u k , v k → e −iα k 

v k , u 2 k → |u k| 2 , v 2 k → |v k| 2 

BCS Gleichungen, E, ∆, η k unverändert. 



Aber: 

ˆb ′ kσ |Ψ 0〉 = (e iα k 

u k ĉ kσ − e −iα k 

v k ĉ † −k−σ )|Ψ 0〉 ! = 0 für alle α k 

würde 

bedeuten, daher 

ĉ kσ |Ψ 0 〉 = 0, ĉ † kσ |Ψ 0〉 = 0 ⇒ |Ψ 0 〉 = 0 

|Ψ 0 〉 = |Ψ {α k } 

0 

〉 

Der BCS Grundzustand bricht spontan die U(1) Symmetrie der 

BCS Theorie. 

(Anderson benutzte eine Spin-Analogie mit einem von |Ψ {α k } 

0 

〉 

erzeugten ‘Austauschfeld’ in zwei Dimensionen, das auf ˆb ′ kσ 

wirkt.) 



Nambu nahm eine Analyse der Eichsymmetrie in der 

BCS-Theorie zum Anlass, das Prinzip der spontanen 

Symmetriebrechung einer inneren kontinuierlichen Symmetrie 

in die Feldtheorie einzuführen. 

[Y. Nambu, Phys. Rev. 117, 648 (1960); Phys. Rev. Lett. 4, 380 (1960)] 

Es folgte ein jahrelanger Disput um das Goldstone-Theorem, 

dass eine spontan gebrochene kontinuierliche Symmetrie 

gap-lose kollektive Anregungen zur Folge haben muss. 

[J. Goldstone, Nuovo cimento 19, 154 (1961)] 



Insbesondere wurde die Frage untersucht, ob im BCS-Modell 

gap-lose kollektive Anregungen auftreten müssten. Lange 

zeigte, dass eine kurze Reichweite der Wechselwirkung eine 

Voraussetzung für das nichtrelativistische Goldstone-Theorem 

ist. 

[R. V. Lange, Phys. Rev. Letters 14, 3 (1965)] 

Die BCS Wechselwirkung ist weitreichend im Ortsraum durch 

den cut-off im Impulsraum. 



Tatsächlich hatte Anderson in der 1958er Arbeit die BCS-Wechselwirkung 

wieder durch die realistische Wechselwirkung 

w kk ′ = − 

ω k−k ′M 2 k−k ′ 

ω 2 k−k ′ − (ε k − ε k ′) 2 + 4πe 2 

ǫ(k − k ′ )(k − k ′ ) 2 

ersetzt, wobei ǫ(q) die Abschirmfunktion der Coulomb-Wechselwirkung ist, 

und gezeigt, dass die weitreichende Coulombwechselwirkung alle kollektiven 

Anregungsenergien in die Nähe der Plasmaenergie verschiebt. 

1963 argumentierte Anderson, dass in einer lokalen 

Eichfeldtheorie mit einer zusätzlichen inneren kontinuierlichen 

Symmetrie des Materiefeldes sich die gap-losen Eichbosonen 

(Photonen in der Elektrodynamik) und die Goldstone-Bosonen 

des Materiefeldes zu hochenergetischen (massiven) 

Vektor-Eichbosonen mit drei Komponenten kombinieren. 

[P. W. Anderson, Plasmons, Gauge Invariance, and Mass, 

Phys. Rev. 130, 439 (1963)] 



1966 führte Higgs ein solches Programm erstmals für ein 

Maxwell-Feld und ein skalares Materiefeld durch, wofür er den 

Nobelpreis erhält. 

[P. W. Higgs, Phys. Rev. 145, 1156 (1966)] 

(Er zitiert Anderson, 1958, in einem früheren Letter auch Anderson, 1963.) 

Im BCS-Modell kommt das gap durch die weitreichende 

Wechselwirkung (ODLRO) infolge des cut-off im Impulsraum 

zustande, in einem natürlichen Supraleiter durch den 

Higgs-Mechanismus mit der elektromagnetischen 

Wechselwirkung. Insofern hatten BCS auch das Glück des 

Tüchtigen. 



1 Einleitung 










Ausgehend von einer einfachen feldtheoretischen 

Fock-Raum-Beschreibung einer normalen 

Fermi-Flüssigkeit für niedrige Anregungsenergien über 

dem Vakuum |0〉 erhält man die BCS-Theorie der 

Supraleitung mit Hilfe einer schwach anziehenden 

Modell-Wechselwirkung durch Rekonstruktion des 

Grundzustandes. 

Mit Hilfe der Bogoliubov-Valatin-Transformation erhält man 

eine genäherte Fock-Raum-Beschreibung des Supraleiters 

mit einem Paarkondensat als neues Vakuum |Ψ 0 〉. 



Für die Paare gelten die Auswahlregeln 

(gerade Parität und Spin-Singulett) oder 

(ungerade Parität und Spin-Triplett). 

(Für die bisher nicht gefundene, aber bei Frequenz- und 

Spin-abhängiger Wechselwirkung mögliche ungerade 

Abhängigkeit des Kondensats von den 

Matsubara-Frequenzen würden die umgekehrten 

Kombinationen von Parität und Spin gelten.) 

Im Grenzfall schwacher Kopplung, λN(0) ≪ 1, lässt sich 

die Thermodynamik des Supraleiters explizit berechnen; 

alle Größen hängen nichtanalytisch von λ ab. 

Die BCS-Theorie hatte neben der prinzipiellen 

mikroskopischen Erklärung der Supraleitung die 

weitreichendsten Konsequenzen für den heutigen Zustand 

der Quantenfeldtheorie überhaupt. 



ENDE 

Ein handout des Vortrags kann von meiner homepage unter 

www.ifw-dresden.de/∼helmut 

heruntergeladen werden.

BCS-Beschreibung des supraleitenden Zustands

Sie wollen auch ein ePaper? Erhöhen Sie die Reichweite Ihrer Titel.

Template löschen?

Als Template speichern?