Blatt 7 - Institut für Geometrie und Praktische Mathematik

Aufgabe 25 (Kondition der Normalengleichung)
Gegeben ist eine Matrix A ∈ R m×n mit m ≥ n.
a.) Zeigen Sie: Die Spalten von A sind genau dann linear unabhängig, wenn A T A nichtsingulär ist.
b.) Wie viele arithmetische Operationen sind hinreichend, um A T A zu berechnen?
c.) Zeigen Sie ausgehend von der Definition der 2-Norm, daß
‖A‖ 2 = max{|λ| | λ ist Eigenwert von A} und ‖A −1 ‖ 2 = 1/ min{|λ| | λ ist Eigenwert von A}
gelten, wenn m = n und A symmetrisch und invertierbar ist.
d.) Zeigen Sie: Ist m = n und A symmetrisch und invertierbar, so gilt κ 2 (A T A) = (κ 2 (A)) 2 .
Hinweis zu (c), (d): Verwenden Sie den Spektralsatz, um A in einer Eigenvektorbasis darzustellen.
(1+1+3.5+1.5 Punkte)
Aufgabe 26 (Linearer Ausgleich via QR-Zerlegung)
Das Ausmessen eines Quaders liefert für Länge, Breite und Höhe die Werte 28 cm, 21 cm und 12 cm, für die
Diagonalen der Seitenflächen 24 cm, 30 cm und 35 cm und schließlich für die Raumdiagonale 37 cm.
a.) Bestimmen Sie mit Hilfe des linearen Ausgleichs bessere Werte für Länge, Breite und Höhe des Quaders.
Führen Sie hierzu neue Variablen ein, um aus den zugrundeliegenden quadratischen Gleichungen lineare
zu machen. Lösen Sie das so gewonnene Ausgleichsproblem mit der QR-Zerlegung.
b.) Wie groß ist die Euklidische Norm des Residuums?
Hinweis: Verwenden Sie Maple oder Matlab, um die QR-Zerlegung zu berechnen.
(4+1 Punkte)