4. Übungsblatt - Institut für Geometrie und Praktische Mathematik

Institut für Geometrie und Praktische Mathematik
Partielle Differentialgleichungen – WS 09/10
Prof. Dr. W. Dahmen – Prof. Dr. S. Müller
Dipl.-Ing. M. Rom – Dipl.-Math. P. Esser
Übung 4
Abgabe bis Do, 12.11.09, 15:00 Uhr, Kasten vor R149
Aufgabe 11: (Programmieraufgabe: Konvektions-Diffusionsgleichung)
Auf dem Gebiet Ω := (0, 1) 2 ist das Dirichlet-Randwertproblem
−a∆u + b(u x + u y ) = f,
u| ∂Ω = 0,
mit Konstanten a > 0, b ≥ 0 und einer stetigen Funktion f : Ω → R gegeben. Dieses
wird mit Hilfe der folgenden beiden Differenzenverfahren auf einem regelmäßigen Gitter
der Schrittweite h := 1/N (in x- und y-Richtung) diskretisiert:
⎤ ⎡ ⎤
⎡
a
⎣
h 2
⎡
a
⎣
h 2
−1
−1 4 −1
−1
−1
−1 4 −1
−1
⎦ u h + b 1
⎣−1 0 1⎦ u h = f, (zentrale Differenzen) (∗)
2h
−1
⎤ ⎡ ⎤
⎦ u h + b 0
⎣−1 2 0⎦ u h = f (Upwind) (∗∗)
h
−1
Schreibe ein Programm, das die beiden Verfahren implementiert. Als Löser für das lineare
Gleichungssystem kann man z.B. einen direkten Löser (Gauß-Algorithmus,...) benutzen.
(Hinweis: Bei Verwendung von direkten Lösern verursachen spezielle Matrixklassen für
dünnbesetzte Matrizen zusätzliche Probleme (Fill-In). In dieser Aufgabe kann z.B. ein
Standard-Vektor (std::valarray) verwendet werden). Alternativ können auch externe
Bibliotheken eingebunden werden, sofern diese frei zugänglich sind.
Teste Dein Programm für f ≡ 1, b = 1, a = 1, 1
gib jeweils u h ( 1, 1) und ‖u 2 2 h‖ ∞ aus. Was fällt auf?
, 1
10 100
, . . . sowie mit N = 4, 8, 16, . . . , und
Hinweis: Für b > 0 besitzt das Schema (∗) Konsistenzordnung 2, (∗∗) hat Konsistenzordnung
1.
Löse die Aufgabe in C++, C oder Fortran!
Punkte: 14
bitte wenden

2
Aufgabe 12: (Konsistenz und Stabilität)
Das Randwertproblem
−∆u = f in Ω = (0, 1) 2 ,
u = 0
auf ∂Ω,
wird auf einem äquidistanten Gitter der Schrittweite h = 1/N nach folgendem Schema
diskretisiert:
⎛
⎞ ⎛ ⎞
−1 −4 −1
1
⎝−4 20 −4⎠ u
6h 2 h = 1 0 1 0
⎝1 8 1⎠ f.
12
−1 −4 −1
0 1 0
Zeige:
a) Das Schema ist für Polynome 2. Grades p(x, y) = ax 2 + by 2 + cxy + d konsistent.
b) Das Schema ist stabil, d.h.
||u h || ∞ ≤ C||f|| ∞
mit einer von h > 0 unabhängigen Konstanten C < ∞. Hinweis: Betrachte die
Funktion u(x, y) = x(1 − x) + y(1 − y).
Punkte: 3+3