Übung 3 (pdf)

Rheinisch Westfälische Technische Hochschule
Institut Mathematik CCES — IGPM
Numerische Analysis IV — SS 09
Prof. Dr. techn. Joachim Schöberl — Dipl. Math. Christian Plesken
3. Übung
Abgabe: bis Montag den 18.05. um 14:00 Uhr in den Einwurfkasten vor Raum 149, Hauptgebäude
oder in der Übung
Aufgabe 12: (schwache Ableitung)
a) Sei Ω := (−1, 2) und
f(x) :=
{ x, x < 1
1, x > 1
Bestimme die schwache Ableitung D 1 wf ∈ L loc
1 (Ω).
b) Sei Ω := (−1, 2) und
f(x) :=
{ x, x < 1
2, x > 1
Zeige, daß die schwache Ableitung Dwf 1 in L loc
1 (Ω) nicht existiert.
Hinweis: Nehme zunächst an, dass u ∈ L 2 (Ω) die schwache Ableitung ist und zeige daß
−
∫ 2
−1
uφ dx = −
∫ 1
−1
φ dx − φ(1)
∀ φ ∈ C ∞ 0 (Ω)
und konstruiere eine passende Folge von Funktionen, mit der sich ein Widerspruch ergibt.
Punkte: 2+3=5
Aufgabe 13: (Lipschitz Rand)
a) Zeige, daß die Menge (0, 1) 2 ⊂ R 2 einen Lipschitz Rand hat.
b) Finde ein Beispiel für eine Menge ohne Lipschitz Rand und weise dies nach.
Punkte: 2+2=4
Aufgabe 14: (Spursatz)
Gegeben sei g ∈ W = {tr u : u ∈ H 1 (Ω)} mit Ω := (0, 1) 2 ⊂ R 2 . Wobei durch g = (e −x +e −y )| ∂Ω
gegeben ist. Finde eine Funktion u ∈ H 1 (Ω), die
minimiert.
‖g‖ W =
inf ‖v‖ H 1
v∈H 1 ,tr u=g
Punkte: 4

Aufgabe 15: (schwache Ableitung v ′ = 0 ⇒ v = konst.)
Für glatte Funktionen ist der Schluss ∇ v = 0 ⇒ v = konst. bekannt. Für L 2 –Funktionen
und bei Verwendung der schwachen Ableitung taucht dieser Schluss in vielen Beweisen auf. Wir
beweisen seine Gültigkeit ∫ hier im eindimensionalen Fall. Im Folgenden sei Ω := (a,b) ⊂ R und
ein ψ ∈ C0 ∞ (Ω) mit ψ(x)dx = 1 fest gewählt.
Ω
a) Zeige, dass es zu jedem φ ∈ C ∞ 0 (Ω) genau ein Paar λ,φ ∗ gibt mit
wobei λ ∈ R und φ ∗ ∈ C ∞ ∗ (Ω) :=
φ = φ ∗ + λψ ,
{ ∫ }
φ ∈ C0 ∞ (Ω) : φ(x)dx = 0 . Gib λ an.
b) Zeige, ∫ dass für jedes φ ∗ ∈ C∗ ∞ (Ω) ein ˜φ ∗ ∈ C0 ∞ (Ω) existiert mit (˜φ ∗ ) ′ = φ ∗ und dass
v φ ∗ dx = 0, wenn v ∈ H 1 (Ω) mit schwacher Ableitung v ′ = 0.
Ω
c) Zeige, dass für v ∈ H 1 (Ω) mit |v| 1 = 0 folgt, dass v = konst .
Ω
Punkte: 2+3+3=8
Gesamtpunktzahl: 21 Punkte