Übung 3 (pdf)

Aufgabe 15: (schwache Ableitung v ′ = 0 ⇒ v = konst.)
Für glatte Funktionen ist der Schluss ∇ v = 0 ⇒ v = konst. bekannt. Für L 2 –Funktionen
und bei Verwendung der schwachen Ableitung taucht dieser Schluss in vielen Beweisen auf. Wir
beweisen seine Gültigkeit ∫ hier im eindimensionalen Fall. Im Folgenden sei Ω := (a,b) ⊂ R und
ein ψ ∈ C0 ∞ (Ω) mit ψ(x)dx = 1 fest gewählt.
Ω
a) Zeige, dass es zu jedem φ ∈ C ∞ 0 (Ω) genau ein Paar λ,φ ∗ gibt mit
wobei λ ∈ R und φ ∗ ∈ C ∞ ∗ (Ω) :=
φ = φ ∗ + λψ ,
{ ∫ }
φ ∈ C0 ∞ (Ω) : φ(x)dx = 0 . Gib λ an.
b) Zeige, ∫ dass für jedes φ ∗ ∈ C∗ ∞ (Ω) ein ˜φ ∗ ∈ C0 ∞ (Ω) existiert mit (˜φ ∗ ) ′ = φ ∗ und dass
v φ ∗ dx = 0, wenn v ∈ H 1 (Ω) mit schwacher Ableitung v ′ = 0.
Ω
c) Zeige, dass für v ∈ H 1 (Ω) mit |v| 1 = 0 folgt, dass v = konst .
Ω
Punkte: 2+3+3=8
Gesamtpunktzahl: 21 Punkte