5. Übung - Institut für Geometrie und Praktische Mathematik

Institut für Geometrie und Praktische Mathematik
Institut für Mathematik
Mathematische Grundlagen IV (CES) - SoSe 2005
Prof. Dr. A. Reusken, Priv.-Doz. Dr. F. Giannakopoulos
M. Jürgens
5. Übung
Abgabe: Mittwoch, den 25. Mai, zu Beginn der Übung
Aufgabe 1: Das Paraboloid P hat die Parameterdarstellung
⎛ ⎞
x(u, v) = 1 u + v
⎝u − v⎠ , (u, v) ∈ R 2 .
2
2uv
a) Berechnen Sie x u , x v und die Flächennormale N(u, v). Welche Raumkurven
werden durch u = const und v = const dargestellt? In welchen
Punkten der Fläche schneiden sich die Parameterlinien senkrecht?
b) Welche Bogenlänge hat die Kurve C auf P mit der Parameterdarstellung
u = 2t, v = 3t, 0 ≤ t ≤ 1 ?
Aufgabe 2: Wir betrachten das halbe Rotationsellipsoid
x 2
15 + y2
2 15 + z2
= 1, z ≥ 0.
2 302 Bestimmen Sie eine Parametrisierung der Fläche mit den Polarkoordinaten r, φ
als Flächenparameter, und berechnen Sie den Flächeninhalt.
Aufgabe 3: Es sei f : Ω → R ein glatte Funktion auf dem konvexen Gebiet
Ω ⊂ R 2 . Beweisen Sie
∫
f dx = |Ω|f(x S ) + O(|Ω| diam(Ω) 2 ),
Ω
wobei x S den Schwerpunkt, |Ω| den Flächeninhalt und
diam(Ω) = sup ‖x − y‖ 2
x,y∈Ω
den Durchmesser von Ω bezeichnet.
Hinweis: Für den Schwerpunkt gilt
∫
(x S − y) dy = 0.
Ω

5. Übung 2
Aufgabe 4: Die Konvektions-Advektions-Gleichung
∇ · (cu − ∇u) = f auf Ω = (0, 1) 2 , c =
(
c1
)
∈ R 2 ,
c 2
soll mit Hilfe eines Finite-Volumen-Schemas diskretisiert werden. Wir führen
dazu das äquidistante Gitter (x i , y j ) = (ih, jh), h = 1/N, die Problemvariablen
u ij ≈ u(x i , y j ) und die Kontrollvolumina
ein.
Ω ij = (x i , x i+1 ) × (y j , y j+1 )
a) Stellen Sie mit Hilfe des Gaußschen Satzes für jedes Kontrollvolumen
eine Bilanzgleichung auf.
b) Diskretisieren Sie die Bilanzgleichung, indem Sie die Integrale über die
Kanten von Ω ij durch die Trapezregel und die ersten Ableitungen durch
symmetrische Differenzen
1
2h (u i+1,j − u i−1,j ) ≈ u x (x i , y j )
approximieren. Berechnen Sie das Integral über f so, wie in der vorigen
Aufgabe besprochen.
Aufgabe 5: Wir betrachten die Gleichung
div (K∇u) = f
mit einer symmetrisch positiv definiten Matrix K ∈ R 2×2 . Stellen Sie zu dem
Kontrollvolumen
Ω = { (x, y) ∈ R 2 : x > 0, y > 0, x + y = 1 }
(„Einheitsdreieck“)
die entsprechende Bilanzgleichung auf, und berechnen Sie die Flüsse über die
einzelnen Kanten von Ω.