Übung 1 - Institut für Geometrie und Praktische Mathematik

16.10.2006
Institut für Geometrie und Praktische Mathematik
Modellierung und Simulation WS 06
Prof. Dr. S. Noelle
M. Sc. T. H. Nguyen Dipl. Math. Chr. Plesken
Ausarbeitung der Übungen durch Dr. M. Speetjens
Übung 1
Modell zum Wachstum von Lebewesen
1 Schwerpunkte der Vorlesung
Bei der Vorlesung wurden zwei kontinuierliche Modelle zur Beschreibung des Wachstums eines Lebewesens
vorgestellt, nämlich das lineare Modell (und dessen analytische Lösung)
d
dt (x(t)) = λx(t) ⇒ x(t) = x 0 e λt , (1)
und das nicht-lineare Modell (und dessen analytische Lösung)
d
dt (x(t)) = λ (C − x(t)) x(t) ⇒ x(t) = Cx 0 e Cλt
, (2)
C − x 0 + x 0 eCλt wobei x(t) die Zahl der Lebewesen zum Zeitpunkt t, x(0) = x 0 die Anfangsbedingung, λ die Wachstumsgeschwindigkeit
pro Lebewesen und C die maximale Zahl der Lebewesen bezeichnet. Da Rechner
nicht direkt mit kontinuierlichen Operatoren wie z.B. dem Dierentialoperator, sondern nur mit diskreten
Zahlen arbeiten können, muÿ für die Simulation von Modellen wie den obigen eine sogenannte Diskretisierung
durchgeführt werden. Diese Diskretisierung fuÿt auf dem folgenden Zusammenhang zwischen
Dierentialoperator und Dierenzenquotient:
d x(t + ∆t) − x(t)
(x(t)) = + O(∆t). (3)
dt ∆t
Dies ergibt sich aus einer Taylorentwicklung von x(t + ∆t). Der Term O(∆t) stellt einen Beitrag in
der Gröÿenordnung ∆t dar. Für genügend kleine jedoch endliche Zeitschritte ∆t ist dieser Beitrag
vernachlässigbar, und man erhält eine akzeptable Annäherung des kontinuerlichen Modells, indem man
den Dierentialoperator durch den Dierenzenquotient ersetzt. Dies führt für (1) zu
und für (2) zu
x j+1 − x j
∆t
x j+1 − x j
∆t
wobei x(j∆t) = x j und µ = λ∆t ist.
= λx j ⇒ x j+1 = (1 + µ)x j , (4)
= λ (C − x j ) x j ⇒ x j+1 = (1 + Cµ)x j − µx 2 j, (5)
2 Übungen
In den folgenden Übungen werden einige Aspekte der numerischen Simulation der vorgestellten Wachstumsmodelle
betrachtet. Die dafür erforderlichen Berechnungen und graphischen Darstellungen sind mit
Hilfe von MAPLE auszuführen.
2.1 Konvergenz der numerischen Approximation
Die Existenz analytischer Lösungen zu den Wachstumsmodellen (1) und (2) bietet die Möglichkeit zur
Ermittlung der Konvergenzrate der jeweiligen numerischen Approximationen (4) und (5).

Modellierung und Simulation Übung 1 WS 06 2
Lineares Modell
• Plotte für einen festen λ-Wert (λ > 0) und mehrere ∆t-Werte die analytische Lösung und die
jeweiligen numerischen Approximationen in dem endlichen Intervall 0 ≤ t ≤ T.
• Plotte für einen festen λ-Wert (λ < 0) und je einen ∆t-Wert in ∆t > 2/|λ| und ∆t < 2/|λ| sowie
∆t = 2/|λ| die analytische Lösung und die jeweiligen numerischen Approximationen.
Was läÿt sich in jedem der obigen Fälle zur Konvergenz der numerischen Approximation sagen?
Nicht-lineares Modell
• Plotte für einen festen λ-Wert (λ > 0), x 0 , T und ∆t ebenfalls die analytische Lösung und jeweilige
numerische Approximationen. Wähle dabei z.B. T = 0.001, x 0 = 1, λ = 1 und C = 22000.
Was läÿt sich jetzt zur Konvergenz der numerischen Approximation sagen? Zu betrachten ist hierbei vor
allem die Anfangsphase, wo x vom Startwert x 0 zur asymptotischen Langzeitlösung lim t→∞ x(t) = C
wächst, sowie der Vergleich zum linearen Modell.
Gezielte Wahl der Schrittweite Die Schrittweite ∆t spielt eine zentrale Rolle in der Simulation von
zeitabhängigen Prozessen. Einerseits resultiert eine zu groÿe Schrittweite in unzulässigen Abweichungen
zwischen numerischer Approximation und modelliertem Phänomen; andererseits bedeutet eine für die
angestrebte Genauigkeit zu kleine Schrittweite einen unnötig hohen Aufwand. Eine gezielte Wahl der
Schrittweite ist deswegen ein wichtiger Bestandteil jeder Simulation.
In den betrachteten Wachstumsmodellen sind zeitliche Veränderungen bestimmt durch Beiträge von der
Form e t/τ , wobei τ = |λ| −1 im linearen und τ = (C|λ|) −1 im nicht-linearen Fall. Die Zeitskala τ beschreibt
den typischen Zeitraum solcher zeitlichen Veränderungen und stellt deshalb einen guten Anhaltspunkt
zur Abschätzung der Schrittweite ∆t dar. 1
• Betrachte nochmals den Fall λ > 0 für das lineare und das nicht-lineare Modell für die Schrittweiten
∆t = τ, τ/5, τ/10, und τ gemäÿ obigen Denitionen.
Was läÿt sich jetzt im Vergleich zur Konvergenz der numerischen Approximationen sagen?
2.2 Die Eigendynamik der nicht-linearen numerischen Approximation
Langzeitverhalten Das nicht-lineare Modell (2) besitzt eine Langzeitlösung lim t→∞ x(t) = C für alle
λ und x 0 .
• Betrachte den Fall C = 1 und ermittle das Langzeitverhalten der numerischen Approximation für
µ = 1.9, 2.1, 2.5, 2.56, 2.65, 3 aus der Evolution [x 0 , x 1 , x 2 , . . . , x 5000 ] für x 0 = 0.1.
Was läÿt sich mit zunehmendem µ-Wert im Vergleich zum Langzeitverhalten des kontinuierlichen Modells
beobachten?
Verzweigungsdiagramm Die Nichtlinearität der numerischen Approximation (5) läÿt im Prinzip
mehrere Langzeitlösungen lim j→∞ x j = x ∞ gleichzeitig zu. Für µ ≤ 2 existiert bei C = 1 nur eine
Langzeitlösung, nämlich der stationäre Wert x ∞ = 1. Andererseits existiert für µ > 2 neben der
genannten stationären Lösung auch eine mit µ wachsende Anzahl von oszillierenden Langzeitlösungen
X (k) ∞ (µ) = [x (k)
∞,1 , . . . , x(k) ], mit ∞,N 1 ≤ k ≤ K, bei welchen x ∞ periodisch die Werte durchläuft:
x (k)
∞,1 → x(k) ∞,2 → . . . → x(k) ∞,N
→ x(k) ∞,1 → . . . usw. Im Falle von mehreren Langzeitlösungen X ∞(µ) =
[1, X (1) ∞ , . . . , X (K) ∞ ] wird allerdings nur eine Langzeitlösung tatsächlich auftreten. Dies ist die stabile Langzeitlösung
des Systems; alle andere Langzeitlösungen sind instabil. Die Ermittlung dieser stabilen Langzeitlösung
erfolgt mittels eines sogenannten Verzweigungsdiagramms, in dem die tatsächlich auftretenden
Langzeitlösungen als Funktion von µ graphisch dargestellt werden.
1Hier folgt die typische Zeitskala τ direkt aus der analytischen Lösung. Normalerweise ist eine solche Lösung nicht vorhanden
(in dem Fall wäre der Aufwand einer Simulation ja überüssig!), und τ wird abgeschätzt mit Hilfe von dynamischen
und geometrischen Eigenschaften des betrachtem Problems.

Modellierung und Simulation Übung 1 WS 06 3
1.5
1
X ∞
(µ)
0.5
0
1.9 2 2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 2.6 2.7 2.8 2.9
µ
Abbildung 1: Verzweigungsdiagramm der nicht-linearen numerischen Approximation.
Abbildung 1 zeigt das Verzweigungsdiagramm der nicht-linearen numerischen Approximation für 1.9 ≤
µ ≤ 3. Jede Verzweigung deutet auf das Entstehen einer neuen stabilen Langzeitlösung. Bei µ = 2 zum
Beispiel erweitert sich die Reihe von Langzeitlösungen von X ∞ (µ) = 1 für µ ≤ 2 auf X ∞ (µ) = [1, X (1) ∞ ]
für 2 < µ ≤ 2.45. Die stationäre Langzeitlösung x ∞ = 1 wird instabil zugunsten der oszillierenden
Langzeitlösung X (1) ∞ = [x (1)
∞,1 , x(1) ∞,2 ], wobei x(1) ∞,1 dem oberen und x (1)
∞,2 dem unteren Zweig des Diagramms
im Intervall 2 < µ ≤ 2.45 entspricht. Bei µ = 2.45 erweitert X ∞ (µ) sich auf X ∞ (µ) = [1, X (1) ∞ , X (2) ∞ ].
X (1) ∞ wird wiederum instabil zugunsten von X (2) ∞ (vier Zweige im Intervall 2.45 < µ ≤ 2.56). Diese
Verzweigungen setzen sich fort, bis für µ = 3 die stabile Langzeitlösung eine unendliche Zahl von diskreten
Werten umfasst, und das System völlig chaotisch geworden ist.
• Ermittle obiges Verzweigungsdiagramm an Hand der x-Werte im Intervall [x 5000 , x 5120 ].
Tip: Nutze aus, daÿ im obigen Bereich die x-Werte stets mit einem der Beiträge x (k) ∞,n der gesuchten
stabilen Langzeitlösung X (k) ∞ übereinstimmen.

Modellierung und Simulation Übung 1 WS 06 4
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Einige nützliche MAPLE Beispiele für den Anfang
• f:=x -> sin(x):plot(f(x),x=0..2*Pi);
• N:=50:x:=seq(2*Pi*(i-1)/N,i=1..N+1):
with(plots):pointplot(seq([x[i],sin(x[i])],i=1..N+1));
• N:=50:x:=seq(2*Pi*(i-1)/N,i=1..N+1):
for i from 1 to N+1 do f[i]:=sin(x[i]): end do:
with(plots):pointplot(seq([x[i],f[i]],i=1..N+1));
Für weitere Infos siehe MAPLE Help-Funktion.