Ãbung 1 - Institut für Geometrie und Praktische Mathematik
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Modellierung <strong>und</strong> Simulation Übung 1 WS 06 2<br />
Lineares Modell<br />
• Plotte für einen festen λ-Wert (λ > 0) <strong>und</strong> mehrere ∆t-Werte die analytische Lösung <strong>und</strong> die<br />
jeweiligen numerischen Approximationen in dem endlichen Intervall 0 ≤ t ≤ T.<br />
• Plotte für einen festen λ-Wert (λ < 0) <strong>und</strong> je einen ∆t-Wert in ∆t > 2/|λ| <strong>und</strong> ∆t < 2/|λ| sowie<br />
∆t = 2/|λ| die analytische Lösung <strong>und</strong> die jeweiligen numerischen Approximationen.<br />
Was läÿt sich in jedem der obigen Fälle zur Konvergenz der numerischen Approximation sagen?<br />
Nicht-lineares Modell<br />
• Plotte für einen festen λ-Wert (λ > 0), x 0 , T <strong>und</strong> ∆t ebenfalls die analytische Lösung <strong>und</strong> jeweilige<br />
numerische Approximationen. Wähle dabei z.B. T = 0.001, x 0 = 1, λ = 1 <strong>und</strong> C = 22000.<br />
Was läÿt sich jetzt zur Konvergenz der numerischen Approximation sagen? Zu betrachten ist hierbei vor<br />
allem die Anfangsphase, wo x vom Startwert x 0 zur asymptotischen Langzeitlösung lim t→∞ x(t) = C<br />
wächst, sowie der Vergleich zum linearen Modell.<br />
Gezielte Wahl der Schrittweite Die Schrittweite ∆t spielt eine zentrale Rolle in der Simulation von<br />
zeitabhängigen Prozessen. Einerseits resultiert eine zu groÿe Schrittweite in unzulässigen Abweichungen<br />
zwischen numerischer Approximation <strong>und</strong> modelliertem Phänomen; andererseits bedeutet eine für die<br />
angestrebte Genauigkeit zu kleine Schrittweite einen unnötig hohen Aufwand. Eine gezielte Wahl der<br />
Schrittweite ist deswegen ein wichtiger Bestandteil jeder Simulation.<br />
In den betrachteten Wachstumsmodellen sind zeitliche Veränderungen bestimmt durch Beiträge von der<br />
Form e t/τ , wobei τ = |λ| −1 im linearen <strong>und</strong> τ = (C|λ|) −1 im nicht-linearen Fall. Die Zeitskala τ beschreibt<br />
den typischen Zeitraum solcher zeitlichen Veränderungen <strong>und</strong> stellt deshalb einen guten Anhaltspunkt<br />
zur Abschätzung der Schrittweite ∆t dar. 1<br />
• Betrachte nochmals den Fall λ > 0 für das lineare <strong>und</strong> das nicht-lineare Modell für die Schrittweiten<br />
∆t = τ, τ/5, τ/10, <strong>und</strong> τ gemäÿ obigen Denitionen.<br />
Was läÿt sich jetzt im Vergleich zur Konvergenz der numerischen Approximationen sagen?<br />
2.2 Die Eigendynamik der nicht-linearen numerischen Approximation<br />
Langzeitverhalten Das nicht-lineare Modell (2) besitzt eine Langzeitlösung lim t→∞ x(t) = C für alle<br />
λ <strong>und</strong> x 0 .<br />
• Betrachte den Fall C = 1 <strong>und</strong> ermittle das Langzeitverhalten der numerischen Approximation für<br />
µ = 1.9, 2.1, 2.5, 2.56, 2.65, 3 aus der Evolution [x 0 , x 1 , x 2 , . . . , x 5000 ] für x 0 = 0.1.<br />
Was läÿt sich mit zunehmendem µ-Wert im Vergleich zum Langzeitverhalten des kontinuierlichen Modells<br />
beobachten?<br />
Verzweigungsdiagramm Die Nichtlinearität der numerischen Approximation (5) läÿt im Prinzip<br />
mehrere Langzeitlösungen lim j→∞ x j = x ∞ gleichzeitig zu. Für µ ≤ 2 existiert bei C = 1 nur eine<br />
Langzeitlösung, nämlich der stationäre Wert x ∞ = 1. Andererseits existiert für µ > 2 neben der<br />
genannten stationären Lösung auch eine mit µ wachsende Anzahl von oszillierenden Langzeitlösungen<br />
X (k) ∞ (µ) = [x (k)<br />
∞,1 , . . . , x(k) ], mit ∞,N 1 ≤ k ≤ K, bei welchen x ∞ periodisch die Werte durchläuft:<br />
x (k)<br />
∞,1 → x(k) ∞,2 → . . . → x(k) ∞,N<br />
→ x(k) ∞,1 → . . . usw. Im Falle von mehreren Langzeitlösungen X ∞(µ) =<br />
[1, X (1) ∞ , . . . , X (K) ∞ ] wird allerdings nur eine Langzeitlösung tatsächlich auftreten. Dies ist die stabile Langzeitlösung<br />
des Systems; alle andere Langzeitlösungen sind instabil. Die Ermittlung dieser stabilen Langzeitlösung<br />
erfolgt mittels eines sogenannten Verzweigungsdiagramms, in dem die tatsächlich auftretenden<br />
Langzeitlösungen als Funktion von µ graphisch dargestellt werden.<br />
1Hier folgt die typische Zeitskala τ direkt aus der analytischen Lösung. Normalerweise ist eine solche Lösung nicht vorhanden<br />
(in dem Fall wäre der Aufwand einer Simulation ja überüssig!), <strong>und</strong> τ wird abgeschätzt mit Hilfe von dynamischen<br />
<strong>und</strong> geometrischen Eigenschaften des betrachtem Problems.