Übungsblatt 3

Numerische Analysis I
WS 2012/13
Prof. Dr. Wolfgang Dahmen – Dipl.-Ing. Markus Bachmayr
Aufgabe 8.
Übungsblatt 3 für Mittwoch, 7. November 2012
(a) Es seien p, q ∈ [1, ∞] mit 1 p + 1 q = 1 (mit der Setzung 1/∞ := 0). Zeigen Sie für die p-Norm auf Rn , dass
für x ∈ R n ‖x‖ p = sup { (x, y) : y ∈ R n , ‖y‖ q = 1 }
mit dem Skalarprodukt (x, y) = x T y gilt.
(Hinweis: Für p, q wie oben gilt die Hölder-Ungleichung |(x, y)| ≤ ‖x‖ p‖y‖ q.)
(b) Verwenden Sie (a) und dass für A = (a i,j ) ∈ R m×n gilt
‖A‖ ∞ =
um zu zeigen dass
‖A‖ 1 =
max
i=1,...,m
j=1
max
j=1,...,n
i=1
n∑
|a i,j | ,
m∑
|a i,j | .
(c) Zeigen Sie, dass ‖A‖ 2 ≤ √ ‖A‖ 1 ‖A‖ ∞ für alle A wie in (b).
4+3+4=11 Punkte
Aufgabe 9. Sei A ∈ R m×n . Die Frobeniusnorm von A ist definiert durch ‖A‖ F = (∑ m
i=1
∑ n
j=1 |a i,j| 2) 1/2
.
(a) Zeigen Sie ‖Ax‖ 2 ≤ ‖A‖ F ‖x‖ 2 für x ∈ R n .
(b) Sei zusätzlich B ∈ R n×k . Zeigen Sie ‖AB‖ F ≤ ‖A‖ F ‖B‖ F .
(c) Zeigen Sie, dass keine Vektornorm ‖·‖ existieren kann, sodass ‖A‖ F = sup ‖x‖=1 ‖Ax‖ für alle A ∈ R n×n .
(Hinweis: Finden Sie eine einfache Matrix, für die eine solche Gleichheit nicht erfüllt sein kann.)
2+2+2=6 Punkte
Aufgabe 10. Es seien f, g : R → R zweimal stetig differenzierbar, α > 0 und x ∈ R so, dass f(x) ≠ 0, g(x) ≠ 0
und f(g(x)) ≠ 0. Zeigen oder widerlegen Sie die folgenden Aussagen:
(a) κ rel (αf, x) = κ rel (f, x),
(b) κ rel (f + g, x) = κ rel (f, x) + κ rel (g, x),
(c) κ rel (f g, x) ≤ κ rel (f, x) + κ rel (g, x),
(d) κ rel ( f g , x) ≤ κ rel(f, x) + κ rel (g, x),
(e) κ rel (f ◦ g, x) = κ rel (f, g(x)) κ rel (g, x), wobei (f ◦ g)(x) = f(g(x)).
1+1+1+1+1=5 Punkte
Aufgabe 11. Zeigen Sie, dass die Elemente der Gruppe GL(n, R) der invertierbaren reellen n×n-Matrizen (general
linear group) eine offene Teilmenge von R n×n bilden. Welche Bedeutung hat diese Aussage für numerische
Zwecke?
4 Punkte
Hinweise zur Programmieraufgabe:
• Verwenden Sie für dieses Übungsblatt (ausschließlich) die Headerdatei na1-version1.h.
• Verwenden Sie für Gleitkommaoperationen double precision (Datentyp double), und geben Sie jeweils
15 signifikante Stellen der Ergebnisse aus (dies lässt sich z.B. mit dem Aufruf cout.precision(15)
sicherstellen).
• Antworten zu Zusatzfragen können handschriftlich mit den Ausdrucken oder als Kommentare im Quellcode
abgegeben werden.
Seite 1 von 2

Aufgabe 12 (Programmieraufgabe). Die Funktion f(x) = cos x soll mit Hilfe der Taylorapproximationen
näherungsweise ausgewertet werden.
f K (x) :=
K∑
k=0
(−1) k x2k
(2k)!
(a) Finden Sie eine Fehlerabschätzung für |f(x) − f K (x)| in Abhängigkeit von x ∈ R.
(b) Schreiben Sie eine Funktion double cos series(double x, double tol), die für einen gegebenen absoluten
Fehler tol mittels der analytischen Fehlerschranke aus (a) ein passendes K bestimmt und anschließend
die Approximation f K in x numerisch auswertet. Die Anzahl der insgesamt von cos series benötigten
Operationen soll dabei linear vom jeweiligen Wert von K abhängen.
(c) Testen Sie die Funktion für tol = 10 −6 und tol = 10 −12 in den Werten x = nπ/4 für n = 0, . . . , 40. Geben
Sie dabei die von der Funktion aus (b) berechneten Werte sowie den absoluten Fehler zu den entsprechenden
direkt gerundeten analytischen Werten von f aus, und interpretieren Sie Ihre Beobachtungen.
(d) Was wäre eine geeignetere Methode zur numerischen Auswertung von cos x für große |x|?
1+4+2+1=8 Punkte
Seite 2 von 2