Übungsblatt 3

Aufgabe 12 (Programmieraufgabe). Die Funktion f(x) = cos x soll mit Hilfe der Taylorapproximationen
näherungsweise ausgewertet werden.
f K (x) :=
K∑
k=0
(−1) k x2k
(2k)!
(a) Finden Sie eine Fehlerabschätzung für |f(x) − f K (x)| in Abhängigkeit von x ∈ R.
(b) Schreiben Sie eine Funktion double cos series(double x, double tol), die für einen gegebenen absoluten
Fehler tol mittels der analytischen Fehlerschranke aus (a) ein passendes K bestimmt und anschließend
die Approximation f K in x numerisch auswertet. Die Anzahl der insgesamt von cos series benötigten
Operationen soll dabei linear vom jeweiligen Wert von K abhängen.
(c) Testen Sie die Funktion für tol = 10 −6 und tol = 10 −12 in den Werten x = nπ/4 für n = 0, . . . , 40. Geben
Sie dabei die von der Funktion aus (b) berechneten Werte sowie den absoluten Fehler zu den entsprechenden
direkt gerundeten analytischen Werten von f aus, und interpretieren Sie Ihre Beobachtungen.
(d) Was wäre eine geeignetere Methode zur numerischen Auswertung von cos x für große |x|?
1+4+2+1=8 Punkte
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