Übungsblatt 4 - IGPM

Numerische Analysis III - WS 13/14
Prof. Dr. Wolfgang Dahmen — Felix Gruber, M. Sc.
4. Übung
Abgabe: bis Freitag den 8.11.2013 um 8:10 Uhr in den Einwurfkasten vor Raum 149, Hauptgebäude
oder in der Übung. Um die Korrektur der Übungen zu erleichtern, bitte Programme an gruber@igpm.
rwth-aachen.de schicken. Bitte zusätzlich immer einen Ausdruck des Programms abgeben.
Aufgabe 9: (Weiße Mäuse)
In den Ecken des Einheitsquadrates [0, 1] 2 sitzen vier weiße Mäuse. Zur Zeit t = 0 beginnen
diese so zu laufen, dass jede Maus jederzeit mit konstanter Geschwindigkeit v = 1 auf ihren
rechten Nachbarn zuläuft.
a) Geben Sie ein Anfangswertproblem an, welches die Laufwege (Trajektorien) der Mäuse
beschreibt.
b) Berechnen Sie mit dem Programm aus Aufgabe 7 eine Approximationslösung des in a)
aufgestellten Systems und plotten Sie die Laufwege der Mäuse.
Punkte: 3 + 3 = 6
Aufgabe 10: (Programmieraufgabe Einschrittverfahren Teil II)
Ziel dieser Aufgabe ist es, ihr Programm aus Aufgabe 7 so zu erweitern, dass nun auch implizite
Verfahren damit gerechnet werden können. Dazu vervollständigen Sie Schritt für Schritt das
vorliegende Framework (ssmA10.cpp).
a) Formulieren Sie das Newton-Verfahren für das implizite Euler-Verfahren.
b) Leiten Sie von der Klasse ssm eine Klasse ssmImplicitEuler ab, in welche Sie die Schrittfunktion
des impliziten Euler-Verfahrens implementieren. Das auftretende nichtlineare
Gleichungssystem soll mithilfe des Newton-Verfahrens gelöst werden.
c) Testen Sie ihr Programm mit dem folgenden Anfangswertproblem
y ′ (t) = y(t) · (1 − y(t)) , y(0) = 10,
und bestimmen Sie analog zu Aufgabe 7d) die Konvergenzordnung.
Hinweis: Zeigen Sie, dass y(t) = ( 1 − e −t 9
10 )) −1
die exakte Lösung des Anfangswertproblems
ist.
Punkte: 3 + 7 + 3 = 13

Aufgabe 11: (Inkrement-Vorschrift impliziter Verfahren)
Sei ein implizites Einschrittverfahren für das Anfangswertproblem
y ′ (t) = f(t, y(t)), y(t a ) = y a
gegeben durch die folgende Verfahrensvorschrift:
Zeigen Sie folgende Aussagen:
y j+1 = y j + h ˜φ f (t j , y j , y j+1 , h).
a) Falls ˜φ f : [a, b]×R m ×R m ×[0, h 0 ] → R m Lipschitz-stetig bezüglich der dritten Komponente
ist, dann existiert für hinreichend kleines h 0 ein φ f : [a, b] × R m × [0, h 0 ] → R m , so dass
gilt:
y j+1 = y j + hφ f (t j , y j , h).
Hinweis: Zeigen Sie, dass z = y j +h ˜φ f (t j , y j , z, h) für hinreichend kleines h eine eindeutige
Lösung besitzt.
b) Sei y ′ = Ay, für ein A ∈ R n×n . Leiten Sie für die Trapezregel die Verfahrensvorschrift
φ f (t j , y j , h) her.
c) Es existiere ein φ f : [a, b] × R m × [0, h 0 ] → R m mit
y j+1 = y j + hφ f (t j , y j , h).
Dann hat das implizite Einschrittverfahren genau dann Konsistenzordnung 1, wenn
gilt.
f(t a , y a ) = ˜φ f (t a , y a , y a , 0)
d) Sei ˜φ f Lipschitz-stetig bezüglich der zweiten und dritten Komponente. Weiterhin existiere
ein φ f : [a, b] × R m × [0, h 0 ] → R m mit
y j+1 = y j + hφ f (t j , y j , h).
Dann ist φ f Lipschitz-stetig bezüglich der zweiten Komponente.
Punkte: 5 + 3 + 3 + 5 = 16
Gesamtpunktzahl: 35 Punkte