Übungsblatt 4 - IGPM

Aufgabe 11: (Inkrement-Vorschrift impliziter Verfahren)
Sei ein implizites Einschrittverfahren für das Anfangswertproblem
y ′ (t) = f(t, y(t)), y(t a ) = y a
gegeben durch die folgende Verfahrensvorschrift:
Zeigen Sie folgende Aussagen:
y j+1 = y j + h ˜φ f (t j , y j , y j+1 , h).
a) Falls ˜φ f : [a, b]×R m ×R m ×[0, h 0 ] → R m Lipschitz-stetig bezüglich der dritten Komponente
ist, dann existiert für hinreichend kleines h 0 ein φ f : [a, b] × R m × [0, h 0 ] → R m , so dass
gilt:
y j+1 = y j + hφ f (t j , y j , h).
Hinweis: Zeigen Sie, dass z = y j +h ˜φ f (t j , y j , z, h) für hinreichend kleines h eine eindeutige
Lösung besitzt.
b) Sei y ′ = Ay, für ein A ∈ R n×n . Leiten Sie für die Trapezregel die Verfahrensvorschrift
φ f (t j , y j , h) her.
c) Es existiere ein φ f : [a, b] × R m × [0, h 0 ] → R m mit
y j+1 = y j + hφ f (t j , y j , h).
Dann hat das implizite Einschrittverfahren genau dann Konsistenzordnung 1, wenn
gilt.
f(t a , y a ) = ˜φ f (t a , y a , y a , 0)
d) Sei ˜φ f Lipschitz-stetig bezüglich der zweiten und dritten Komponente. Weiterhin existiere
ein φ f : [a, b] × R m × [0, h 0 ] → R m mit
y j+1 = y j + hφ f (t j , y j , h).
Dann ist φ f Lipschitz-stetig bezüglich der zweiten Komponente.
Punkte: 5 + 3 + 3 + 5 = 16
Gesamtpunktzahl: 35 Punkte