Blatt 7 - Institut für Geometrie und Praktische Mathematik

Rheinisch Westfälische Technische Hochschule
Institut für Geometrie und Praktische Mathematik
Numerische Analysis I — WS 2005/06
Prof. Dr. Sebastian Noelle — Dipl. Math. Jörg Peters
Übungsblatt 7 Abgabe bis Donnerstag, 8.12., 11:45,
in den Einwurfkasten
vor Raum 149, Hauptgebäude
Aufgabe 23 (Linearer Ausgleich in verschiedenen Normen)
In der Vorlesung wird das lineare Ausgleichsproblem in der Euklidischen Norm behandelt. Das heißt, daß zu
einer gegebenen Matrix A ∈ R m×n (m ≥ n) und einem Vektor b ∈ R m ein Vektor x ∈ R n gesucht wird, so daß
‖Ax − b‖ 2 = min {‖Ay − b‖ 2 | y ∈ R n }
gilt. Die Wahl der Norm hat einen erheblichen Einfluß auf x.
a.) Gegeben sind
A =
⎛
⎝ 1 ⎞
⎛
1 ⎠ und b = ⎝ b ⎞
1
b 2
⎠
1
b 3
mit b 1 ≥ b 2 ≥ b 3 ≥ 0. Beweisen Sie, daß für den Vektor x, der das Ausgleichsproblem ‖Ax − b‖ p = min in
der p-Norm löst, folgendes gilt:
p = 1 ⇒ x = b 2 ,
p = 2 ⇒ x = (b 1 + b 2 + b 3 )/3,
p = ∞ ⇒ x = (b 1 + b 3 )/2
b.) Suchen Sie ein lineares Ausgleichsproblem ‖Ax − b‖ = min, in dem A vollen Rang hat, das mehr als eine
Lösung besitzt.
c.) In der Vorlesung wurde auf geometrische Weise hergeleitet, daß Lösungen des Ausgleichsproblems ‖Ax −
b‖ 2 = min Lösungen der Normalengleichung A T Ax = A T b sind.
Analytisch kann man eine notwendige Bedingung für die Lösungen des Ausgleichsproblems (in der 2-Norm)
gewinnen, indem man den Gradienten von f(x) := ‖Ax − b‖ 2 2 Null setzt. Wie lautet die resultierende
Bedingung?
Aufgabe 24 (Linearer Ausgleich via Normalengleichung)
(3+1.5+1.5 Punkte)
Zwischen zwei physikalischen Größen T und t wird ein eine funktionale Abhängigkeit vermutet, die durch eine
Funktion f ausgedrückt wird, also T = f(t). Zwei verschiedene Modelle legen nahe, daß die Funktion f eine der
beiden Formen
f(t) = f 1 (t) = α + βt 2 oder f(t) = f 2 (t) = µ + νe t
hat. Hierbei sind die Parameter α, β, µ, ν noch zu bestimmen. Um zu entscheiden, welches Modell besser
zur Beschreibung des Sachverhalts geeignet ist, wird ein Experiment durchgeführt. Dieses liefert die folgenden
Meßergebnisse:
t 0.0 0.6 1.1 1.8 2.6 3.0
T 0.8 1.1 1.4 2.3 4.4 6.4
a.) Formulieren Sie die beiden linearen Ausgleichsprobleme zur Bestimmung der Parameter α, β bzw. µ, ν.
b.) Lösen Sie die beiden Ausgleichsprobleme mit Hilfe der Normalengleichungen.
c.) Welches Modell scheint besser geeignet zu sein?
(2+3+1 Punkte)

Aufgabe 25 (Kondition der Normalengleichung)
Gegeben ist eine Matrix A ∈ R m×n mit m ≥ n.
a.) Zeigen Sie: Die Spalten von A sind genau dann linear unabhängig, wenn A T A nichtsingulär ist.
b.) Wie viele arithmetische Operationen sind hinreichend, um A T A zu berechnen?
c.) Zeigen Sie ausgehend von der Definition der 2-Norm, daß
‖A‖ 2 = max{|λ| | λ ist Eigenwert von A} und ‖A −1 ‖ 2 = 1/ min{|λ| | λ ist Eigenwert von A}
gelten, wenn m = n und A symmetrisch und invertierbar ist.
d.) Zeigen Sie: Ist m = n und A symmetrisch und invertierbar, so gilt κ 2 (A T A) = (κ 2 (A)) 2 .
Hinweis zu (c), (d): Verwenden Sie den Spektralsatz, um A in einer Eigenvektorbasis darzustellen.
(1+1+3.5+1.5 Punkte)
Aufgabe 26 (Linearer Ausgleich via QR-Zerlegung)
Das Ausmessen eines Quaders liefert für Länge, Breite und Höhe die Werte 28 cm, 21 cm und 12 cm, für die
Diagonalen der Seitenflächen 24 cm, 30 cm und 35 cm und schließlich für die Raumdiagonale 37 cm.
a.) Bestimmen Sie mit Hilfe des linearen Ausgleichs bessere Werte für Länge, Breite und Höhe des Quaders.
Führen Sie hierzu neue Variablen ein, um aus den zugrundeliegenden quadratischen Gleichungen lineare
zu machen. Lösen Sie das so gewonnene Ausgleichsproblem mit der QR-Zerlegung.
b.) Wie groß ist die Euklidische Norm des Residuums?
Hinweis: Verwenden Sie Maple oder Matlab, um die QR-Zerlegung zu berechnen.
(4+1 Punkte)