5. Übung - Institut für Geometrie und Praktische Mathematik

5. Übung 2
Aufgabe 4: Die Konvektions-Advektions-Gleichung
∇ · (cu − ∇u) = f auf Ω = (0, 1) 2 , c =
(
c1
)
∈ R 2 ,
c 2
soll mit Hilfe eines Finite-Volumen-Schemas diskretisiert werden. Wir führen
dazu das äquidistante Gitter (x i , y j ) = (ih, jh), h = 1/N, die Problemvariablen
u ij ≈ u(x i , y j ) und die Kontrollvolumina
ein.
Ω ij = (x i , x i+1 ) × (y j , y j+1 )
a) Stellen Sie mit Hilfe des Gaußschen Satzes für jedes Kontrollvolumen
eine Bilanzgleichung auf.
b) Diskretisieren Sie die Bilanzgleichung, indem Sie die Integrale über die
Kanten von Ω ij durch die Trapezregel und die ersten Ableitungen durch
symmetrische Differenzen
1
2h (u i+1,j − u i−1,j ) ≈ u x (x i , y j )
approximieren. Berechnen Sie das Integral über f so, wie in der vorigen
Aufgabe besprochen.
Aufgabe 5: Wir betrachten die Gleichung
div (K∇u) = f
mit einer symmetrisch positiv definiten Matrix K ∈ R 2×2 . Stellen Sie zu dem
Kontrollvolumen
Ω = { (x, y) ∈ R 2 : x > 0, y > 0, x + y = 1 }
(„Einheitsdreieck“)
die entsprechende Bilanzgleichung auf, und berechnen Sie die Flüsse über die
einzelnen Kanten von Ω.