4. Ãbungsblatt - Institut für Geometrie und Praktische Mathematik
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2<br />
Aufgabe 12: (Konsistenz <strong>und</strong> Stabilität)<br />
Das Randwertproblem<br />
−∆u = f in Ω = (0, 1) 2 ,<br />
u = 0<br />
auf ∂Ω,<br />
wird auf einem äquidistanten Gitter der Schrittweite h = 1/N nach folgendem Schema<br />
diskretisiert:<br />
⎛<br />
⎞ ⎛ ⎞<br />
−1 −4 −1<br />
1<br />
⎝−4 20 −4⎠ u<br />
6h 2 h = 1 0 1 0<br />
⎝1 8 1⎠ f.<br />
12<br />
−1 −4 −1<br />
0 1 0<br />
Zeige:<br />
a) Das Schema ist für Polynome 2. Grades p(x, y) = ax 2 + by 2 + cxy + d konsistent.<br />
b) Das Schema ist stabil, d.h.<br />
||u h || ∞ ≤ C||f|| ∞<br />
mit einer von h > 0 unabhängigen Konstanten C < ∞. Hinweis: Betrachte die<br />
Funktion u(x, y) = x(1 − x) + y(1 − y).<br />
Punkte: 3+3
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