Kapitel 4 - Institut für Grundlagen und Theorie der Elektrotechnik

Ergänzende Unterlagen zu
437.105 Elektrische Netzwerke 2
Werner Renhart
Institut für Grundlagen und Theorie der Elektrotechnik
Technische Universität Graz
Sommersemester 2004

Inhaltsverzeichnis
1 Einleitung 1
1.1 NetzwerktheorieoderFeldtheorie?...................... 1
1.2 SystemeundSystemeigenschaften...................... 2
1.2.1 Linearität ............................... 4
1.2.2 Zeitunabhängigkeit.......................... 5
1.2.3 Stabilität ............................... 5
1.2.4 Kausalität............................... 6
1.3 DaselektrischeNetzwerkalsspeziellesSystem............... 6
1.3.1 Zählpfeile ............................... 6
1.3.2 Gesetze der Zusammenschaltung: Kirchhoffsche Gesetze . . . . . . 8
1.3.2.1 Erstes Kirchhoffsches Gesetz: Knotenregel . . . . . . . . 8
1.3.2.2 Zweites Kirchhoffsches Gesetz: Maschenregel . . . . . . . 8
1.4 Aufgabenstellungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
2 Netzwerkelemente 10
2.1 PassiveNetzwerkelemente .......................... 10
2.1.1 OhmscherWiderstand ........................ 10
2.1.2 Kleinsignalverhalten nichtlinearer Widerstände........... 13
2.1.3 Die Spule . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2.1.4 DerKondensator ........................... 16
2.2 AktiveNetzwerkelemente........................... 17
2.2.1 Unabhängige,idealeSpannungesquellen............... 17
2.2.2 Unabhängige,idealeStromquellen.................. 19
2.2.3 Unabhängige,realeSpannungsquelle ................ 20
2.2.4 Unabhängige,realeStromquelle ................... 20
2.2.5 AbhängigeQuellen .......................... 21
3 Analyse linearer Gleichstromnetzwerke 23
3.1 ElementareMethoden ............................ 23
3.1.1 Reihenschaltung und Spannungsteilerregel . . . . . . . . . . . . . 23
3.1.2 ParallelschaltungundStromteilerregel ............... 24
3.2 ÄquivalenzvonQuellen............................ 27
II

Inhaltsverzeichnis
3.3 ZusammenschaltungvonQuellen ...................... 27
3.3.1 Quellenvervielfachung......................... 28
3.4 Ersatzquellenverfahren ............................ 28
3.5 Überlagerungsprinzip,Superpositionsprinzip ................ 29
3.6 DaselektrischeNetzwerkalsGraph..................... 31
3.6.1 Topologische Grundbegriffe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
3.6.2 Fundamentales Schnittmengensystem und fundamentales Maschensystem.................................
32
3.6.3 Erweiterte Inzidenzmatrix [A a ].................... 33
3.6.4 Inzidenzmatrix[A] .......................... 34
3.6.5 Fundamentale Schnittmengenmatrix [Q f ].............. 35
3.6.6 Fundamentale Maschenmatrix [B f ] ................. 35
3.7 Zweigstromanalyse .............................. 37
3.8 Zweigstromanalyse mit der fundamentalen Maschenmatrix [B f ]...... 39
3.9 Knotenspannungsverfahren.......................... 42
3.9.1 KnotenspannungsverfahrenmitMatrizen.............. 45
3.9.2 Behandlung idealer Spannungsquellen . . . . . . . . . . . . . . . . 48
3.9.3 BehandlunggesteuerterQuellen................... 51
3.10Maschenstromverfahren............................ 53
3.10.1 MaschenstromverfahrenmitMatrizen................ 56
4 Lineare Netzwerke mit sinusförmiger Erregung 59
4.1 Sinusförmige Wechselgrößen ......................... 59
4.2 Netzwerkelemente und Kirchhoffsche Gesetze bei sinusförmiger Erregung 63
4.3 Komplexe Schreibweise für sinusförmige Wechselgrößen . . . . . . . . . . 64
4.3.1 Die Anwendung auf passive, ideale Netzwerkelemente . . . . . . . 67
4.4 Ersatzschaltungen fürZweipole ....................... 69
4.5 LeistungenimWechselstromkreis ...................... 73
III

4 Lineare Netzwerke mit sinusförmiger
Erregung
Besondere Bedeutung kommt den zeitabhängigen elektrischen Größen zu, welche sich sinusförmig
ändern (zeitharmonisch). Einige wesentliche Punkte hierfür seien nachfolgend
aufgelistet.
• Die meisten Energieumformer (Generatoren) liefern sinusförmige Ströme und Spannungen.
• Die Herstellung einfacher Antriebe (Motoren) ist möglich.
• Das Spannungsniveau in Transformatoren ist leicht zu ändern.
• Auf hohem Spannungsniveau ist die Energieübertragung verlustarm (bei sehr hohen
Spannungen fließen relativ geringe Ströme, wodurch geringe Verluste entstehen).
• In der Informationstechnik lassen sich sinusförmige Größen relativ leicht unter
Verwendung von Resonanzsystemen (Schwingkreise) erzeugen.
• Mathematisch kann jede periodische Funktion als Summe von Sinus- und Cosinusfunktionen
dargestellt werden (Fourierreihendarstellung).
4.1 Sinusförmige Wechselgrößen
Durch die drei Angaben von
• Scheitelwert ···Û, Î
• Frequenz ···f
• Nullphasenwinkel ···ϕ u , ϕ i
ist eine zeitharmonische Funktion vollständig beschrieben.
Die analytischen Formen der in Abb. 4.1 dargestellten Größen ergeben sich zu:
u(t) = Û cos(ωt+ ϕ u)
i(t) = Î cos(ωt+ ϕ i)
59

4 Lineare Netzwerke mit sinusförmiger Erregung
u(t)
Û
Î
i(t)
t
u
i
Abbildung 4.1: Darstellung zeitharmonischer Größen.
Û Amplitude oder Scheitelwert der Spannung
Î Amplitude oder Scheitelwert des Stromes
ωt+ ϕ u Phasenwinkel der Spannung
ωt+ ϕ i Phasenwinkel des Stromes
ϕ u Nullphasenwinkel der Spannung (Winkel bei t =0)
ϕ i Nullphasenwinkel des Stromes (Winkel bei t =0)
ω Kreisfrequenz
T Periodendauer
f Frequenz.
Die Periodizität ist durch
ωT + ϕ u +2π = ω (t + T )+ϕ u
ωT =2π, T = 2 π
ω = 1 f
f = ω
(4.1)
2 π
gegeben.
Effektivwert oder quadratische Mittelwert:
Für den Vergleich der elektrischen Leistung an einem Widerstand, in einem Falle mit
Gleichstrom, im anderen Falle mit Wechselstrom durchflossen, müssen folgende Überlegungen
gelten. Im Falle von Gleichstrom gilt für die Leistung P = UI = I 2 R = U 2 /R.
Für den Wechselstromfall gilt sinngemäß:
P = i 2 (t) R bzw. P = u2 (t)
R . (4.2)
Führt man darin das Quadrat zB. über den sinusförmigen Strom aus, so folgt:
i 2 (t) =Î2 sin 2 (ωt). (4.3)
In Abb. 4.2 sind die Verläufe der einzelnen Größen grafisch dargestellt.
60

4 Lineare Netzwerke mit sinusförmiger Erregung
#
#
E J
1
E J 1
#
! " # $ % & '
#
M J
EJ
#
Abbildung 4.2: Zum Effektivwert.
Der Mittelwert des Quadrates der Kurve i 2 (t) wird, da es sich um eine Gleichgröße
handelt, mit I 2 bezeichnet. Für das Integral über die Periode T ergibt sich :
I 2 = 1 T
∫ T
0
i 2 (t)dt = Î2
T
∫ T
0
sin 2 (ωt)dt = Î2
ωT
∫ T
0
sin 2 (ωt)d(ωt) =Î2
2 . (4.4)
Der Mittelwert I 2 entspricht daher dem halben Quadrat des Scheitelwertes Î2 .Der
erhaltene quadratische Mittelwert I bzw. U
I =
U =
√
1
T
√
1
T
∫ T
0
∫ T
0
i 2 (t)dt = Î√
2
u 2 (t)dt = Û√
2
(4.5)
wird als Effektivwert bezeichnet. Es wird vorwiegend der Effektivwert verwendet.
In einem linearen Netzwerk sind alle Größen sinusförmig, falls alle Erregungen sinusförmig
mit der gleichen Frequenz sind. Nachfolgende Operationen können bei der
Netzwerkanalyse vorkommen:
• Multiplikation mit einer Konstanten (Charakteristika von Widerständen).
u(t) = √ 2 U cos(ωt+ ϕ u )
u ′ (t) = cu(t) =c √ 2 U cos(ωt+ ϕ u )= √ 2 U ′ cos(ωt+ ϕ ′ u)
U ′ = cU ϕ ′ u = ϕ u
61

4 Lineare Netzwerke mit sinusförmiger Erregung
• Addition (Kirchhoffsche Gesetze).
u 1 (t) =
u 2 (t) = √ 2 U 1 cos(ωt+ ϕ 1 )= √ 2 U 1 cos ϕ 1 cos ωt− √ 2 U 1 sin ϕ 1 sin ωt
2 U 2 cos(ωt+ ϕ 2 )= √ 2 U 2 cos ϕ 2 cos ωt− √ 2 U 2 sin ϕ 2 sin ωt
u(t) = u 1 (t)+u 2 (t) =
= ( √ 2 U 1 cos ϕ 1 + √ 2 U 2 cos ϕ 2 )cosωt−
( √ 2 U 1 sin ϕ 1 + √ 2 U 2 sin ϕ 2 )sinωt=
= √ 2 U cos(ωt+ ϕ) = √ 2 U cos ϕ cos ωt− √ 2 U sin ϕ sin ωt
U cos ϕ = U 1 cosϕ 1 + U 2 cosϕ 2
U sin ϕ = U 1 sinϕ 1 + U 2 sinϕ 2
U =
√
U 2 1 + U 2 2 +2U 1 U 2 cos(ϕ 1 − ϕ 2 )
ϕ = arctan U 1 sin ϕ 1 + U 2 sin ϕ 2
U 1 cos ϕ 1 + U 2 cos ϕ 2
• Differentiation (Charakteristika von energiespeichernden Elementen, (L und C)).
u(t) = √ 2 U cos(ωt+ ϕ u )
du(t)
dt
= √ 2 ˙U cos(ωt+ ϕ˙
u )=
= − √ 2 U ω sin(ωt+ ϕ u )= √ 2 Uωcos(ωt+ ϕ u + π 2 )
˙U = ωU,
ϕ˙
u = ϕ u + π 2
• Integration (Charakteristika von energiespeichernden Elementen, (L und C)).
∫
t
u(t) = √ 2 U cos(ωt+ ϕ u )
u(τ) dτ = √ 2 U ′ cos(ωt+ ϕ ′ u)=
√
2 U
=
ω
sin(ωt+ ϕ u)=
√
2 U
ω cos(ωt+ ϕ u − π 2 )
U ′ = U ω , ϕ′ u = ϕ u − π 2
62

4 Lineare Netzwerke mit sinusförmiger Erregung
4.2 Netzwerkelemente und Kirchhoffsche Gesetze bei
sinusförmiger Erregung
• Ohmscher Widerstand
i(t) =
u(t) = √ 2 I cos(ωt+ ϕ i )
Ri(t) =R √ 2 I cos(ωt+ ϕ i )= √ 2 U cos(ωt+ ϕ u )
U = RI, ϕ u = ϕ i = ϕ.
Leistung:
p(t) = √ 2 U cos(ωt+ ϕ) √ 2 I cos(ωt+ ϕ) =
2 UI cos 2 (ωt+ ϕ) =UI[1 + cos 2(ωt+ ϕ)].
Die Leistung ist immer positiv: =⇒ Wirkleistung.
• Induktivität
i(t) = √ 2 I cos(ωt+ ϕ i )
u(t) = L di(t) = ωL √ 2 I cos(ωt+ ϕ i + π dt
2 )=
√
2 U cos(ωt+ ϕu )
U = ωLI, ϕ u = ϕ i + π 2 .
Die Spannung eilt dem Strom um 90 ◦ vor. ωL: induktiver Blindwiderstand.
Leistung:
p(t) = √ 2 U cos(ωt+ ϕ i + π 2 ) √ 2 I cos(ωt+ ϕ i )=
2 UI cos(ωt+ ϕ i )cos(ωt+ ϕ i + π 2 )=
UI cos[2(ωt+ ϕ i )+ π 2 ].
Der Mittelwert der Leistung ist Null. Schwingleistung, induktive Blindleistung.
63

4 Lineare Netzwerke mit sinusförmiger Erregung
• Kapazität
i(t) = √ 2 I cos(ωt+ ϕ i )
u(t) = 1 ∫
i(τ) dτ = 1 √
2 I cos(ωt+ ϕi ) − π C t ωC
2 =
√
2 U cos(ωt+ ϕu ).
U = 1
ωC I, ϕ u = ϕ i − π 2 .
Die Spannung eilt dem Strom um 90 ◦ 1
nach. : kapazitiver Blindwiderstand.
ωC
Leistung:
p(t) = √ 2 U cos(ωt+ ϕ i − π 2 ) √ 2 I cos(ωt+ ϕ i )=
2 UI cos(ωt+ ϕ i )cos(ωt+ ϕ i − π 2 )=
UI cos[2(ωt+ ϕ i ) − π 2 ].
Der Mittelwert der Leistung ist Null. Schwingleistung, kapazitive Blindleistung.
• Kirchhoffsche Gesetze
– Maschen
∑
± √ 2 U µ cos(ωt+ ϕ µ )=0.
µ
– Knoten (Schnittmengen)
∑
± √ 2 I ν cos(ωt+ ϕ ν )=0.
ν
4.3 Komplexe Schreibweise für sinusförmige
Wechselgrößen
Die Beziehungen zwischen den Effektivwerten und Phasen der Ströme und Spannungen
in einem lineraen Netzwerk mit sinusförmiger Erregung sind mathematisch kompliziert
zu erfassen (siehe Addition, Differentiation, Integration). Meist umfassende trigonometrische
Gleichungen sind zu behandeln.
64

4 Lineare Netzwerke mit sinusförmiger Erregung
Es ist nun das Ziel, eine Schreibweise zu finden, mit welcher alle Beziehungen zwischen
Spannungen und Strömen algebraische Gleichungen sind, ähnlich wie bei den resistiven
Netzwerken. Dann sind die für resistive Netzwerke entwickelten Methoden der Netzwerkanalyse
auch hier anwendbar.
Die Lösung ist die Verwendung der komplexen Schreibweise.
Einer beliebigen sinusförmigen Funktion wird eine komplexe Zahl zugeordnet:
u(t) = √ 2U cos(ωt+ ϕ u ):
⇓ Zeitfunktion im Zeitbereich
U = Ue jϕu = U cos ϕ u + jU sin ϕ u :
Komplexer Effektivwert im Frequenzbereich.
Diese Darstellung entspricht einer einfachen mathematischen Transformation:
Der Betrag des komplexen Effektivwertes ist gleich dem Effektivwert der Zeitfunktion.
Die Phase des komplexen Effektivwertes ist gleich dem Nullphasenwinkel der Zeitfunktion.
Im Frequenzbereich entsprechen die Operationen:
• Multiplikation mit einer Konstanten
• Addition
• Differentiation
• Integration
jeweils algebraischen Beziehungen:
• Multiplikation mit einer Konstanten
u(t) = √ 2U cos(ωt + ϕ u )=⇒ U = Ue jϕu
u ′ (t) = cu(t) =c √ 2U cos(ωt + ϕ u )=⇒ U ′ = cUe jϕu = cU.
Im Frequenzbereich: Multiplikation des komplexen Effektivwertes mit der gleichen
Konstanten!
• Addition
u 1 (t) = √ 2U 1 cos(ωt + ϕ 1 ) =⇒ U 1 = U 1 e jϕ 1
=
U 1 cos ϕ 1 + jU 1 sin ϕ 1
u 2 (t) = √ 2U 2 cos(ωt + ϕ 2 ) =⇒ U 2 = U 2 e jϕ 2
=
U 2 cos ϕ 2 + jU 2 sin ϕ 2
65

4 Lineare Netzwerke mit sinusförmiger Erregung
U 1 + U 2 =(U 1 cos ϕ 1 + U 2 cos ϕ 2 )+j (U 1 sin ϕ 1 + U 2 sin ϕ 2 )
u(t) =u 1 (t)+u 2 (t) = √ 2U cos(ωt + ϕ) =⇒ U = Ue jϕ =
U cos ϕ + jUsin ϕ.
Für U = U 1 + U 2 muß daher
U cos ϕ = U 1 cos ϕ 1 + U 2 cos ϕ 2
U sin ϕ = U 1 sin ϕ 1 + U 2 sin ϕ 2 .
gelten. Dies sind dieselben Bedingungen wie sie für die Zeitfunktionen gelten. Der
komplexe Effektivwert der Summe zweier Zeitfunktionen ist die Summe der komplexen
Effektivwerte der einzelnen Zeitfunktionen.
• Differentiation
u(t) = √ 2U cos(ωt + ϕ u ) ⇒ Ue jϕu
du(t)
= ω √ 2U cos(ωt + ϕ u + π dt
2 ) ⇒ ωU π ej(ϕu+ 2 ) = jωU e jϕu
Die Differentiation im Zeitbereich entspricht der Multiplikation mit jω im Frequenzbereich.
• Integration
u(t) = √ 2U cos(ωt + ϕ u ) ⇒ Ue jϕu
∫ √
2U
u(τ) dτ =
t
ω cos(ωt + ϕ u − π 2 ) ⇒ U π ω ej(ϕu− 2 ) = Uejϕu
jω
Die Integration im Zeitbereich entspricht der Division durch jω im Frequenzbereich.
Die Transformation vom Zeitbereich in den Frequenzbereich behält Multiplikationen mit
einer Konstanten und Addition, ersetzt hingegen Differentiation und Integration durch
algebraische Operationen. Dadurch werden die Differentialgleichungen im Zeitbereich zu
algebraischen Funktionen im Frequenzbereich.
66

4 Lineare Netzwerke mit sinusförmiger Erregung
4.3.1 Die Anwendung auf passive, ideale Netzwerkelemente
• Widerstand
u(t) =Ri(t) oder i(t) =Gu(t)
⇓
U = RI oder I = GU.
• Induktivität
• Kapazität
u(t) =L di(t) oder i(t) = 1 ∫
u(τ)dτ
dt
L t
⇓
U = jωLI oder I = 1
jωL U.
u(t) = 1 ∫
i(τ)dτ oder i(t) =C du(t)
C t
dt
⇓
U = 1 I oder I = jωC U.
jωC
Der Zusammenhang zwischen den komplexen Effektivwerten im Frequenzbereich ist
durch Multiplikation mit den komplexen Werten Z(jω) bzw.Y (jω) gegeben:
U = Z(jω)I, Z(jω) ···Impedanz
I = Y (jω)U, Y(jω) ···Admittanz
Z R = R, Z L = jω L, Z C = 1
jω C
Y R = G, Y L = 1
jω L , Y C = jω C.
Die Kirchhoffschen Gesetze gelten für die komplexen Effektivwerte:
Maschen:
∑
±U µ =0.
µ
67

4 Lineare Netzwerke mit sinusförmiger Erregung
Knoten (Schnittmengen):
∑
±I ν =0.
ν
Damit sind alle Methoden der Netzwerkanalyse, welche für Gleichstromnetzwerke entwickelt
wurden, in gleicher Weise für Netzwerke mit sinusförmiger Erregung anwendbar.
Dabei sind die Zeitfunktionen der Erregungen durch die komplexen Effektivwerte zu ersetzen
und die Impedanzen (Admittanzen) der passiven Elemente im Ohmschen Gesetz
zu verwenden (Transformation in den Frequenzbereich).
Problem im Zeitbereich
Transformation in den Frequenzbereich
Analyse im Frequenzbereich
Rücktransformation in den Zeitbereich
Ergebnisse im Zeitbereich
Beispiel:
u q
i
u R u L
R
L
C u C
Transformation in den Frequenzbereich:
u q (t) = √ 25cosωt V
R =1Ω,L=6.366 mH, C = 3183 µF, f =50Hz.
gesucht: i(t), u R (t), u L (t), u C (t), Zeigerdiagramm.
U q =5V, Z R = R =1Ω,Z L = jωL =2j Ω, Z C = 1
jωC = −jΩ.
I
U R U L
U C
Z R Z L
Z C
68
U q

4 Lineare Netzwerke mit sinusförmiger Erregung
Analyse im Frequenzbereich:
I =
U q
Z R + Z L + Z C
=
5
1+j 2 − j = 5
1+j = 5
√
2e
j45 ◦ =2.5 √ 2e −j45◦ A,
U R = U q
Z R
Z R + Z L + Z C
= Z R I =2.5 √ 2e −j45◦ V,
U L = U q
Z L
Z R + Z L + Z C
= Z L I =2j 2.5 √ 2e −j45◦
= 2e j90◦ 2.5 √ 2e −j45◦ =5 √ 2e j45◦ V,
U C = U q
Z C
Z R + Z L + Z C
= Z C I = −j 2.5 √ 2e −j45◦
= e −j90◦ 2.5 √ 2e −j45◦ =2.5 √ 2e −j135◦ V.
Rücktransformation in den Zeitbereich:
i(t) = 5 cos(ωt − 45 ◦ ) A,
u R (t) = 5 cos(ωt − 45 ◦ ) V,
u L (t) = 10 cos(ωt +45 ◦ ) V,
u C (t) = 5 cos(ωt − 135 ◦ ) V.
Zeigerdiagramm:
Re
U L
U L + U C
U C
U q= U R + U L + U C
U R
I
4.4 Ersatzschaltungen für Zweipole
Man betrachte einen beliebigen passiven Zweipol:
69

4 Lineare Netzwerke mit sinusförmiger Erregung
....
i(t)
....
....
u( t)
u(t) =
i(t) = √ √ 2U cos(ωt + ϕ u )
2I cos(ωt + ϕ i )
U = Ue jϕu
I = Ie jϕ i
.
Welcher einfache Zweipol hat an den Klemmen dieselbe Beziehung zwischen Spannung
und Strom?
• Reihenersatzschaltung
Z = U I = U I ej(ϕu−ϕ i) = Ze jϕ Z
= Z cos ϕ Z + jZ sin ϕ Z = R r + jX r
Z = |Z| = U I = √R 2 r + X 2 r : Scheinwiderstand, Impedanz
R r = R{Z}: Resistanz, Wirkwiderstand, Ohmscher Widerstand
X r = I{Z}: Reaktanz, Blindwiderstand
ϕ Z = ϕ u − ϕ i = arctan X r
R r
:
Phase der Impedanz
Die Impedanz ist folgender Reihenschaltung äquivalent:
R r jX r
Die Impedanz R
I
r entspricht einem Wirkwiderstand und
U W U B
die Impedanz jX r entspricht entweder einer Induktivität
oder einer Kapazität.
U
70

4 Lineare Netzwerke mit sinusförmiger Erregung
Induktiver Fall, X r > 0:
Kapazitiver Fall, X r < 0:
jX r = jω L r ,
L r = X r
ω
1
jX r = −j , C r = − 1
ωC r ωX r
i(t)
R r
L r
i(t)
R r
C r
u( t)
u( t)
Zeigerdiagramm:
U
I
Zeigerdiagramm:
U W
I
Re
U B
U W
Re
ϕ Z > 0;
ϕ u >ϕ i
U
Die Wirk- und die Blindpannungen
U W und U B sind fiktive
Spannungen. Die Spannung eilt
dem Strom um den Winkel ϕ Z
vor!
U B
ϕ Z < 0;
ϕ u

4 Lineare Netzwerke mit sinusförmiger Erregung
U
I
I W
I B
Die Admittanz G p entspricht einem Wirkwiderstand
und die Admittanz jB
G p jB p entspricht entweder einer Induktivität
oder einer p
Kapazität.
Kapazitiver Fall, B p > 0:
jB p = jω C p ,
i(t)
C p = B p
ω
Induktiver Fall, B p < 0:
1
jB p = −j , L p = − 1
ωL p ωB p
i(t)
u( t)
G p
Cp
u( t)
G p
Lp
Zeigerdiagramm:
Zeigerdiagramm:
I
I W
I B
ϕ Y > 0; ϕ i >ϕ u
U
Re
I W
U
I
Re
Die Wirk- und die Blindströme
I W und I B sind fiktiv. Der Strom
eilt der Spannung um den Winkel
ϕ Y vor!
I B
ϕ Y < 0;
ϕ i

4 Lineare Netzwerke mit sinusförmiger Erregung
Zusammenhänge zwischen den Parametern der Reihen- und der Parallelersatzschaltung:
Y = 1 Z , ϕ Y = −ϕ Z
G p + jB p =
G p =
Z = 1 Y , ϕ Z = −ϕ Y
R r
R 2 r + X 2 r
R r + jX r =
G p
1
R r + jX r
= R r − jX r
R 2 r + X 2 r
, B p = −X r
R 2 r + X 2 r
1
G p + jB p
= G p − jB p
G 2 p + B 2 p
R r = , X
G 2 p + Bp
2 r = −B p
.
G 2 p + Bp
2
Eine induktive Reihenersatzschaltung entspricht einer induktiven Parallelersatzschaltung
und eine kapazitive Reihenersatzschaltung einer kapazitiven Parallelersatzschaltung.
Die Widerstände, Induktivitäten und Kapazitäten in der Reihenersatzschaltung und
in der Parallelersatzschaltung sind hingegen verschieden!
Die Elemente der Ersatzschaltung sind frequanzabhängig! Die Ersatzschaltungen
gelten somit nur für eine Frequenz.
4.5 Leistungen im Wechselstromkreis
Ausgangspunkt sind die Strom- und Spannungsbeziehungen eines passiven Zweipols:
u(t) =
i(t) = √ 2U cos(ωt + ϕ u )
2I cos(ωt + ϕ i )
√
Die Leistung im Zeitbereich (Momentanleistung) folgt zu:
p(t) = u(t) i(t) =UI 2cos(ωt + ϕ u )cos(ωt + ϕ i )
= UI [cos(ϕ u − ϕ i ) +cos(2ωt + ϕ u + ϕ i )]
} {{ } } {{ }
zeitlich konstant doppelte F requenz
mit: 2 cos α cos β =cos(α − β)+cos(α + β).
Die Leistung ist die Summe eines zeitlich konstanten und eines mit doppelter Frequenz
schwingenden Anteiles. Die momentane Wirkleistung ist als die Momentanleistung des
Wirkleitwertes (Konduktanz) in der Parallelersatzschaltung definiert:
p W (t) = u(t) i W (t) = √ 2U cos(ωt + ϕ u ) √ 2I cos(ϕ u − ϕ i )cos(ωt + ϕ u )
= UI cos(ϕ u − ϕ i )[1 + cos 2(ωt + ϕ u )]
73

4 Lineare Netzwerke mit sinusförmiger Erregung
0,8
u(t)
i(t)
p(t)=u(t)*i(t)
0,3
P=UI cos ( )
0 45 90 135 180 225 270 315 360
-0,2
-0,7
-1,2
Abbildung 4.3: Leistung im Zeitbereich.
Entsprechend der Identität
cos(2ωt + ϕ u − ϕ i ) = cos[2(ωt + ϕ u ) − (ϕ u − ϕ i )]
= cos(ϕ u − ϕ i ) cos 2(ωt + ϕ u )+sin(ϕ u − ϕ i )sin2(ωt + ϕ u )
ergibt sich für die Momentanleistung:
p(t) = UI cos(ϕ u − ϕ i )[1 + cos 2(ωt + ϕ u )] + UI sin(ϕ u − ϕ i )sin2(ωt + ϕ u ).
Der erste Term ist die momentane Wirkleistung, der zweite Term wird als momentane
Blindleistung definiert.
p B (t) = UI sin(ϕ u − ϕ i )sin2(ωt + ϕ u ).
Wirkleistung [Einheit: W] P = UI cos(ϕ u − ϕ i )
Blindleistung [Einheit: Var] Q = UI sin(ϕ u − ϕ i )
Scheinleistung [Einheit: VA] S = UI = √ P 2 + Q 2 .
Mit diesen Definitionen gilt :
p W (t) = P [1 + cos 2(ωt + ϕ u )]
p B (t) = Q sin 2(ωt + ϕ u ).
p W (t) pendelt mit doppelter Kreisfrequenz um den Mittelwert P , wechselt jedoch nie
das Vorzeichen. Dies entspricht einer ständigen Aufnahme von Energie.
p B (t) schwankt mit doppelter Kreisfrequenz um den Wert Null. Der Maximalwert ist Q.
Dies entspricht dem Pendeln der Energie zwischen aktivem und passivem Zweipol.
• Zusammenhänge mit der Impedanz bzw. Admittanz und den Parametern der Ersatzschaltungen:
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4 Lineare Netzwerke mit sinusförmiger Erregung
P = UI cos(ϕ Z )=UI cos(ϕ Y )=UI W = U 2 G p = U W I = I 2 R r
Q = UI sin(ϕ Z )=−UI sin(ϕ Y )=−UI B = −U 2 B p = U B I = I 2 X r .
Die komplexe Leistung
S = P + jQ = UI[cos(ϕ u − ϕ i )+j sin(ϕ u − ϕ i )]
= UI e j(ϕu−ϕi) = Ue jϕu Ie −jϕ i
S = UI ∗
P = R(S), Q = I(S), S = S.
Zusammenhang zwischen Z und S:
S = UI ∗ = ZII ∗ = Z|I| 2 = ZI 2 = R r I 2 + jX r I 2
P = R r I 2 , Q = X r I 2
S = UI ∗ = UY ∗ U ∗ = Y ∗ |U| 2 = Y ∗ U 2 = G p U 2 − jB p U 2
Anpassung:
P = G p U 2 , Q = −B p U 2 .
Z q = R q + jX q ,
Z = R + jX
U q
Z q
I
Z
U
I =
U q
, P = R(S) =|I| 2 R(Z)
Z + Z q
P = |U q | 2 R(Z)
|Z + Z q | = U 2 R
2 q
(R q + R) 2 +(X q + X) 2
Die Leistung ist maximal wenn X = −X q und R = R q .
Z max = Z ∗ q, P max = U 2 q
4R(Z q ) .
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