E - Institut für Grundlagen und Theorie der Elektrotechnik

Ergänzende Unterlagen zur Vorlesung
Theorie der Elektrotechnik 2
(437.115)
von
Ao. Univ.-Prof. Dipl.-Ing. Dr.techn. Oszkár Bíró

1. Die Maxwellschen Gleichungen:
I.
∂D
rotH
= J + ,
∂t
II.
∂B
rotE
= − ,
∂t
III.
divB
= 0,
IV.
divD
= ρ,
verallgemeinerter Durchflutungssatz,
Induktionsgesetz,
Quellenfreiheit der magnetischen Induktion,
Gaußsches Gesetz.
Folgegleichung: Kontinuitätsgesetz:
divJ
∂ρ
= − .
∂t
(die Divergenz der I. Maxwellschen Gleichung
+ die IV. Maxwellsche Gleichung:
⎛ ∂D
div
⎞
⎜J
+ ⎟ = 0,
divD
= ρ.)
⎝ ∂t
⎠

Feldgrößen in Spannungsquellen
In Spannungsquellen erfolgt eine Ladungstrennung in Folge
von nichtelektrischen (z.B. chemischen) Vorgängen. Die
eingeprägte Feldstärke E e ist eine fiktive, äquivalente
elektrische Feldstärke, welche die gleiche Ladungstrennung
P1
P2
P2
hervorrufen würde: u = ∫ ⋅ = −∫
q
Ee
dr
Ee
⋅dr,
u = ∫ E⋅dr
P2
P1
P1
P 1
i
P
+ + + + + + + + +
1
P
Γ: Querschnitt
2
E e J E u
JΓ
J
γ : spezifische iR = ∫ ⋅ = −∫
⋅
_ _ _ _ _
q
dr
dr
γΓ
γ
P2
P1
P Leitfähigkeit
2
J
reale Spannungsquelle: u = u q
− iR q
⇒ E = −Ee
+
γ
ideale Spannungsquelle:
u = ⇒ E = −E
γ → ∞
u q
J = γ ( E + E ) e
e ,

Materialgleichungen:
D = εE, B = µ H,
J = γ ( E + Ee).
Energie- und Leistungsdichte:
w = w e
+ w m
=
p =
J
γ
2
.
1
2
E⋅
D +
1
2
H ⋅B
⎛
⎜
⎝
D
= ∫ E⋅dD
+ ∫
0
B
0
⎞
H ⋅dB
⎟,
⎠
Energie und Verlustleistung in einem Volumen Ω:
W
= ∫ wdΩ, P = ∫ pdΩ.
Ω
Ω

1.1 Einteilung der Elektrodynamik
⎛ ∂ ⎞
1. Statische und stationäre Felder ⎜ = 0⎟ ⎝ ∂t
⎠
rotH
= J, rotE
= 0,
divB
= 0, divD
= ρ,
divJ
=
0.
elektrostatisches Feld: rotE
= 0, divD
= ρ , D = εE.
stationäres Magnetfeld: rotH = J, divB
= 0, B = µ H.
stationäres Strömungsfeld: rotE = 0 divJ
= 0, J = γ ( E + E ).
,
e

⎛ ∂D
⎞
2. Quasistationäres Feld ⎜ J >> ⎟
⎝ ∂ t ⎠
rotH
= J,
∂B
rotE
= − ,
∂t
divB
= 0,
B = µ H, J = γ ( E + Ee).

3. Elektromagnetische Wellen
∂D
rotH
= J + ,
∂t
∂B
rotE
= − ,
∂t
divB
= 0,
divD
= ρ,
D = εE,
B = µ H,
J = γ ( E + Ee).

1.2 Grundlagen der Netzwerktheorie
Netzwerksignale:
2
u ∫ 12
= E⋅dr,
i ∫ Γ
= J ⋅ndΓ,
Q
Ω
1
Netzwerkelemente:
Widerstand: u = Ri,
Γ
= ∫ ρ dΩ = ∫ divDdΩ = ∫ D⋅ndΓ,
Φ ∫ Γ
= B ⋅ndΓ.
Ω
Ω
Γ
Γ
idealer Kondensator:
Q = Cu,
ideale Spule: Φ = Li.

Strom-Spannungsbeziehungen:
Kondensator
i
Ω
n
Γ
i
u
C
i
∂D
∂t
Integration des Kontinuitätsgesetzes über Ω:
⎛ ∂ρ
⎞
d
dQ
⎜divJ+ ⎟dΩ= J⋅ndΓ+ ρdΩ=− i + = 0.
⎝ ∂t ⎠
dt dt
∫ ∫ ∫
Ω Γ Ω
du
i = C
dt

Spule
B
i
L
i
Γ n
u
C Γ
u
Integration des Induktionsgesetzes über Γ:
∫
Γ
⎛ ∂B
⎞
d
⎜rotE
+ ⎟⋅ndΓ = ∫E⋅dr
+ ∫ B ⋅ndΓ = −u
⎝ ∂t
⎠
dt
C
Γ
Γ
+
dΦ
dt
= 0.
u = L
di
dt

Die Kirchhoffsche Knotenregel:
Γ
n
i 2
i 1
Ω
i 3
∂D
= 0 auf Γ,
da Γ keine
∂t
Kondensatoren schneidet.
i 4
Integration des Kontinuitätsgesetzes über Ω:
⎛ ∂ρ
⎞ ⎛ ∂D⎞ ⎛ ∂D⎞
⎜divJ+ ⎟dΩ= div⎜J+ ⎟dΩ= ⎜J+ ⎟⋅ndΓ= J⋅nd Γ= 0.
⎝ ∂t ⎠ ⎝ ∂t ⎠ ⎝ ∂t
⎠
∫ ∫ ∫ ∫
Ω Ω Γ Γ
∑ i ν
= 0
ν

Die Kirchhoffsche Maschenregel:
u L1
u C1uR1
u Rµ
u Cµ
u Lµ
Γ
u qµ
u qm
u Rm
u Cm
u Lm
u q1
C Γ
Integration des Induktionsgesetzes über Γ:
⎛ ∂B
⎞
d
∫⎜rotE
+ ⎟⋅ndΓ = ∫E⋅dr
+ ∫ B ⋅ndΓ = 0.
⎝ ∂t
⎠
dt
Γ
m
C
Γ
∑( u + + + )
qµ
uR
µ
uCµ
uLµ
= 0
µ = 1
Γ

1.3 Energieumwandlungen im elektromagnetischen Feld
+
− E⋅rotH
H ⋅rotE
∂D
= −E⋅
J − E⋅
∂t
∂B
= −H
⋅
∂t
H ⋅ rotE
− E⋅
rotH
∂B
= −H
⋅
∂t
I. MGl. ⋅ (-E)
II. MGl. ⋅H
∂D
− E⋅
J − E⋅
∂t
H ⋅ rotE
− E⋅
rotH
= H ⋅
( ∇× E) − E⋅( ∇× H) =
( E × H ) + ∇ ⋅( E × H) = ∇ ⋅( E×
H) = ( E×
H)
= ∇ ⋅
div
c
c

Integration über ein Volumen Ω:
−
∫
Ω
⎛ ∂B
∂D⎞
⎜H
⋅ + E⋅
⎟dΩ = ∫ E⋅
JdΩ + ∫ div( E×
H)
dΩ
⎝ ∂t
∂t
⎠
Ω
Ω
B
∂B
∂ ∂w
⎛ ∂ ∂
⋅ = ∫
m
1 1
H H ⋅dB
= ⎜=
H ⋅B
= µ H
∂t
∂t
∂t
⎝ ∂t
2 ∂t
∂D
E⋅
∂t
J
∫
Ω
γ
∂
=
∂t
0
2
D
∫
E⋅dD
∂w
=
∂t
J
γ
e
⎛ ∂
⎜=
⎝ ∂t
E⋅D
∂ 1
= ε E
∂t
0
2
( E + E ) ⇒ E = − E ⇒ E⋅
J = − E ⋅ J = p − E ⋅ J
=
e
e
e
e
div
( E H) dΩ = ∫ ( E×
H)
Γ
1
2
× ⋅ndΓ
J
γ
2
2
⎞
⎟
⎠
2
⎞
⎟
⎠
(Gaußscher Satz)
für
lineare
Medien

Poyntingscher Satz:
−
d
dt
∫ ( w ) ∫ ∫ ∫
m
+ we
dΩ = dΩ − Ee
⋅ JdΩ + ( E×
H)
Ω
Ω
J
γ
2
Ω
Γ
⋅ndΓ
rechte Seite:
Ursachen für die Abnahme der Energie im Volumen
S = E×
H Poyntingscher Vektor: Leistung durch Einheitsfläche
∫
Γ
S
⋅ndΓ
ist die Leistung, welche durch Strahlung das
Volumen Ω verläßt.

1.4 Eindeutige Lösbarkeit der Maxwellschen Gleichungen
Die Lösung der Maxwellschen Gleichungen in einem Volumen Ω
mit dem Rand Γ ist für t > t 0 eindeutig, vorausgesetzt, dass die
1. Anfangsbedingungen
H
r,
t = t ) = H ( r),
E(
r,
t = t ) = E ( r),
∀r
∈ , und die
(
0 0anf
0 0anf
Ω
2. Randbedingungen für die Tangentialkomponenten
H
t
( r,
t)
= H r t E r t = E r t ∀r
∈Γ t ≥ t
0 tan(
, ) oder
t
( , )
0tan(
, ), ,
erfüllt sind. Sowohl die Funktionen H r),
E ( ),
0anf
(
0anf
r
H0tan( r,
t)
und E0tan(
r,
t)
als auch die eingeprägte Feldstärke E e
müssen bekannt sein. Lineare Materialeigenschaften werden
angenommen.
0

Beweis:
Annahme:
es existieren zwei Lösungen: E ′, H′
und E′′
, H′
.
Die Differenz der beiden: E = E′
− E′′
H = H′
− H′
0
,
0
erfüllen die Maxwellschen Gleichungen (dies sind linear).
Dabei sind die Anfangsbedingungen und Randbedingungen
homogen bzw. E e0 =0. So gilt für sie der Poyntingsche Satz:
−
d
dt
∫
Ω
⎛
⎜
⎝
1
2
2 1 2 ⎞ J
+ ⎟dΩ = ∫
0
µ H0
ε E0
dΩ +
0
2 ⎠ γ
Ω
2
∫ ( E × H ) 0
Γ
⋅ndΓ
Da, wegen der Randbedingungen, entweder E 0 oder H 0 in die
Normalrichtung n zeigen, hat S
0
= E0
× H0
keine Normalkomponente.
So ist das Oberflächenintegral Null.

−
d
dt
∫
Ω
⎛
⎞
⎜
1 2 1 2
µ + ε ⎟dΩ = ∫
0
H0
E
J
0
⎝ 2 2 ⎠ γ
Ω
2
dΩ
Die rechte Seite kann nie negativ werden, d.h. dass der
Ausdruck dessen negative Zeitableitung an der linken
Seite steht nie zunehmen kann. Er ist wegen der
Anfangsbedingungen im Zeitpunkt t 0 gleich Null und da
er offensichtlich nicht negativ ist, kann er auch nicht
abnehmen. Daher muss er immer Null sein:
∫
Ω
⎛
⎜
⎝
1 2 ⎞
0 0 ⎟dΩ
=
2 1
µ H + ε E
2 2
⎠
Daraus folgt E = 0 H = 0,
d.h. E′
= E′′
und H′
= ′
.
0.
0
,
0
H
q. e. d.

2. Statische und stationäre Felder
Maxwellsche Gleichungen ⎛ ∂ ⎞
⎜ = 0⎟ :
⎝ ∂t
⎠
rotH
= J,
rotE
= 0,
divB
= 0,
divD
= ρ,
divJ
= 0.
elektrostatisches
Feld:
stationäres
Magnetfeld:
stationäres
Strömungsfeld:
rotE
=
0,
rotH
=
J,
rotE
=
0,
divD
=
ρ,
divB
=
0,
divJ
=
0,
D
= εE.
B
= µ H.
J
= γ ( E +
E
e
).

2.1 Randwertprobleme für das Skalarpotential
Elektrostatisches Feld und stationäres Strömungsfeld:
rotE
= 0 ⇒ E = −gradV ,
V: elektrisches Skalarpotential
Stationäres Magnetfeld, wenn J=0:
rotH
= 0 ⇒ H = −gradψ ,
ψ : magnetisches Skalarpotential
Differentialgleichungen:
divD = ρ ⇒ −div( εgradV
) = ρ,
divB = 0 ⇒ −div(
µgradψ
) = 0,
divJ
= 0 ⇒ −div(
γgradV
) = 0,
verallgemeinerte Laplace-
Poissonsche bzw. Laplacesche
Gleichung.

Die Lösung der Laplace-Poissonschen Gleichung im
unendlichen, leeren (ε=ε 0 ) Raum:
1 ρ( r′ ) dΩ′
V() r = ∫ , V( r→∞ ) = 0.
4πε Ω
r−
r′
0
Im ladungsfreien Gebiet gilt auch für das elektrostatische
Feld die verallgemeinerte Laplacesche Gleichung:
− div( εgradV
) =
0.

Randbedingungen:
Dirichletsche Randbedingung: V = (bekannt) auf Γ ,
ψ
V 0 D
=ψ
Bedeutet die Vorgabe von E t oder H t .
(bekannt)
auf
Γ
0 D
ΓD
wird im elektrostatischen Feld und stationären
Strömungsfeld typischerweise durch
Elektroden gebildet. Hier gilt E t
= 0 ⇒ V = konstant.
Stationäres Magnetfeld: Grenzfläche zu
hochpermeablem Gebiet, magnetischer Wand ( µ → ∞).
.
µ = µ → ∞
µ 0
H t
= 0
H Eisen
→ 0
da
H
t
= H tEisen

∂V
Neumannsche Randbedingung: ε = σ (bekannt) auf ΓN
,
∂n
∂V
γ = 0 auf ΓN
,
∂n
∂ψ
µ = b (bekannt) auf ΓN
.
∂n
Bedeutet die Vorgabe von D n , J n , bzw. B n .
Im stationären Strömungsfeld ist Γ N die
Grenzfläche zum nichtleitenden Gebiet.
Falls σ=0 im elektrostatischen Feld und b=0 im
stationären Magnetfeld, ist Γ N eine Fläche parallel
zu den Feldlinien. Sonst ist D n , B n bekannt auf Γ N .

Randwertprobleme:
.
auf
,
auf
in
)
(
0 N
D
n
V
V
V
gradV
div
Γ
=
∂
∂
Γ
=
Ω,
=
−
σ
ε
ρ
ε
elektrostatisches
Feld:
.
auf
,
auf
0 in
)
(
0 N
D
b
n
grad
div
Γ
=
∂
∂
Γ
=
Ω,
=
−
ψ
µ
ψ
ψ
ψ
µ
stationäres
Magnetfeld:
.
0 auf
,
auf
0 in
)
(
0 N
D
n
V
V
V
gradV
div
Γ
=
∂
∂
Γ
=
Ω,
=
−
γ
γ
stationäres
Strömungsfeld:

2.2 Analytische Lösungsmethoden der Laplaceschen Gleichung
2 2 2
∂ V ∂ V ∂ V
Laplacesche Gleichung: divgradV = ∆V
= + + = 0,
2 2 2
∂x
∂y
∂z
( divgradψ = 0).
elektrostatisches Feld: ρ = , ε = konstant ( = ε ),
0
0
stationäres Magnetfeld: J = 0 µ = konstant ( = µ ),
,
0
stationäres Strömungsfeld:
γ =
konstant.
∆V
=
0 ⇒ V
ist eine harmonische Funktion.
Es gibt unendlich viele harmonische Funktionen!

Dirichletsche oder Neumannsche Randbedingungen :
V=konstant auf Γ D
∉Ω
∆V
=
0 in
Ω
∉Ω
∂V
∂n
= 0 auf
Γ
N
Analytische Methoden:
Bereitstellung von harmonischen Funktionen und Auswahl
derjenigen, welche die Randbedingungen erfüllt.
Dies ergibt die richtige Lösung, da sie eindeutig ist.

2.2.1 Methode der fiktiven Ladungen (Spiegelungsprinzip)
Die Potentialfunktion einer Punktladung ist in allen Punkten
des Raumes, bis auf die Stelle der Ladung, harmonisch.
Q
z ( x ′,
y′
, z′
)
r′
y
r V ( x,
y,
z)
x
r = xe
+ ye
+
Q
= z
4πε
0
x
y
ze
z
,
r ′ = x′
e + y′
e + z′
e
[( ) ( ) ( ) ]
1
2
2
2 −
x − x′
+ y − y′
+ z − ′ 2
x
y
z

∂ − 2 3
V
∂x
Beweis:
2
∂ V
2
∂x
Q
= −
4πε
0
Q
= − ( x − x′
) r − r′
4πε
0
Q
= −
4πε
[ ]
2
=
2
2
( x − x′
)( x − x′
) + ( y − y′
) + ( z − z′
)
0
−3
[ ( ) ]
−3
2 −5
r − r′
− 3 x − x′
r − r′
2
∂ V
2
∂x
+
2
∂ V
2
∂y
+
2
∂ V
2
∂z
= −
2
2
( x − x′
) + ( y − y′
) + ( z − z′
)
Q ⎡ 3
⎢ − 3
3
4πε
⎣ r − r′
r − r′
0
5
2
⎤
⎥
⎦
=
= −
Q
4πε
0
⎡
3⎢
⎣ r
1
− r′
3
−
r
r
− r′
− r′
2
5
⎤
⎥
⎦
=
0,
wenn r ≠ r′
.
q. e. d.

∂
In zwei Dimensionen (ebene Probleme, = 0),
∂z
ist die Potentialfunktion einer unendlich langen Linienladung
harmonisch.
y
τ ( x ′,
y′
)
r′
V ( x,
r
x
y)
τ
=
2 πε
r +
= xe
,
x
ye
y
= x e
x
+ y e
y
0
ln
r ′ ′ ′
r
[( ) ( ) ]
1
2
x − x′
+ y − y′
2 2
0
τ ⎧ 1
V ( x,
y)
= ⎨ln
r0
− ln
y
2πε
⎩ 2
0
[
2
2
( x − x′
) + ( y − ′)
] ⎬ ⎫
⎭

∂V
∂x
2
∂ V
2
∂x
τ x − x′
= −
2πε
y
0
( x − x′
) 2
+ ( y − ′) 2
2
2
( x − x′
) + ( y − y′
) − 2( x − x′
)
[( − ′) + ( − ′)
]
2
2 2
0 x x y
2
2
( x − x′
) − ( y − y′
)
2
( x − x′
) + ( y − ′)
2
τ
= −
2πε
y
τ
= πε
2 2
∂ V ∂ V
+ =
2 2
∂x
∂y
[ ] 2
2 0
y
τ
2πε
0
2
2
2
( x − x′
) − ( y − y′
) + ( y − y′
) − ( x − x′
)
2
2 2
( x − x′
) + ( y − y′
)
2
=
[ ]
2
=
0
q. e. d.

Wegen der Linearität der Laplaceschen Gleichung wird sie durch
die Potentialfunktion einer beliebigen Ladungsverteilung erfüllt
(in ladungsfreien Gebieten).
Erfüllung der Randbedingungen: eine fiktive Ladungsverteilung
innerhalb der Elektroden soll Äquipotentialflächen haben, welche
mit den Elektroden übereinstimmen.
Beispiele:
• Eine Punktladung: konzentrische Kugeloberflächen
(Kugelkondensator)
• Eine unendlich lange Linienladung: konzentrische
Zylinderoberflächen (Zylinderkondensator)
• Liniendipol: nichtkonzentrische Zylinderoberflächen
• Spiegelung an Ebene: unendlich ausgedehnte leitende
Ebene
• Mehrfache Spiegelung an Ebenen: abgewinkelte
Elektroden ( α = 180 / n)

2.2.2 Trennung der Variablen (Separationsmethode)
Allgemeine orthogonale Koordinaten x 1 , x 2 , x 3
Kartesische Koordinaten: x = x x = y,
x = .
Zylinderkoordinaten:
x
1
= r, x2
= φ,
x3
= z.
x = r cosφ,
y = r sinφ
Kugelkoordinaten:
x = r, x2
=θ , x3
=
x = r sinθ
cosφ,
y =
z
1
φ
z = r cosθ
1
,
2 3
z
r
φ
( r,
φ,
z)
y
x
.
r sinθ
sinφ,
z
θ
r
φ
( r,
θ , φ)
y
x

x
, x2,
3
1
x
bilden ein Rechtssystem :
x 3
⋅ ⋅ ⋅
x 1
x 2
Im Allgemeinen bedeuten x 1 ,
x 2 und x 3 keine Längen.
Der differenzielle Abstand ds 1 zwischen den Punkten
(x 1 , x 2 , x 3 ) und (x 1 +dx 1 , x 2 , x 3 ) ist h 1 dx 1 . x 3
x
3
+ dx 3
Allgemein: ds
i
= hidxi
x
1
+ dx h dx h dx
1 1 1
3 3
( x1,
x2,
x3)
h 1 , h 2 , h 3 : metrische
x 1 h dx x +
2 2
Koeffizienten
x 2
2
dx 2

Metrische Koeffizienten in verschiedenen Koordinatensystemen:
Kartesisches Koordinatensystem: ds
1
= dx, ds2
= dy,
ds3
= dz,
x x,
x = y x =
1
=
2
,
3
z h1 = 1,
h2
= 1, h3
= 1.
Zylinderkoordinatensystem:
x r, x = φ x =
1
=
2
,
3
Kugelkoordinatensystem:
x
1
=
2
,
3
z
r, x =θ x = φ
ds
1
= dr, ds2
= rdφ,
ds3
= dz,
h1 = 1,
h2
= r,
h3
= 1.
ds = dr, ds2
= rdθ
, ds3
=
h = , h = r,
h = r sin .
r sinθd
1
φ
1
1
2 3
θ
,

Gradient im allgemeinen, orthogonalen Koordinatensystem:
)
,
,
( 3
2
1 x
x
x
u
sei eine Skalarfunktion.
( )
1
1
1
3
2
1
3
2
1
1
0
1
1
)
,
,
(
)
,
,
(
lim
1 x
u
h
s
x
x
x
u
x
x
x
x
u
gradu
s
∂
∂
=
∆
−
+ ∆
=
→
∆
3
3
3
2
2
2
1
1
1
3
2
1
1
1
1
)
,
,
( e
e
e
x
u
h
x
u
h
x
u
h
x
x
x
gradu
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
=
z
y
x
z
u
y
u
x
u
z
y
x
gradu
e
e
e
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
=
)
,
,
(
z
r
z
u
u
r
r
u
z
r
gradu
e
e
e
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
= φ
φ
φ
1
)
,
,
(
φ
θ
φ
θ
θ
φ
θ
e
e
e
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
=
u
r
u
r
r
u
r
gradu
r
sin
1
1
)
,
,
(

Divergenz im allgemeinen, orthogonalen Koordinatensystem:
v( x1,
x2,
x3)
sei eine Vektorfunktion.
x
Γ 1
3
1
divv
= lim ∫ v ⋅ndΓ
Ω
x
Ω→0
Ω
2
Γ
ds
3
= h3dx3
ds
2
= h2dx
∫ v ⋅ndΓ = −v1h2
h3dx2dx3
Γ1
ds
1
= h1dx1
⎛ ∂v1
⎞⎛
∂h2h3
⎞
v ⋅ndΓ = ⎜v1
+ dx1
⎟⎜h2h3
+ dx1
⎟dx2dx3
=
⎝ ∂x1
⎠⎝
∂x1
⎠
∫
Γ
2
( v h h )
v 1
∂v
2
1
v1 + dx1
∂
1 2 3
= v ( )
1h2h3dx2dx3
+ dx1dx2dx3
+ O dx1dx1dx2dx3 ∂x
1
x 1
Γ 2
∂x
1

Γ
1
∫
+Γ
∫
Γ
v ⋅ndΓ =
2
v ⋅ndΓ =
∫
Γ
1
⎡
⎢
⎣
v ⋅ndΓ +
∂
∫
Γ
2
∂
v ⋅ndΓ =
( v h h )
1
∂x
2
1
3
dx
( v h h ) ∂( v h h ) ∂( v h h )
+
+
1
dx
2
dx
1 2 3 2 1 3 3 1 2
dx1dx2
3
x
dx
1
∂x2
∂x3
∂
Ω = ds =
1ds2ds3
h1h
2h3dx1dx2dx3
1 ⎡ ∂
divv( x1,
x2,
x3)
⎢ 1 2 3
2 1 3
3 1h
h1h
2h3
⎣∂x1
∂x2
∂x3
⎡∂v
∂v
x y ∂vz
⎤
divv(
x,
y,
z)
= ⎢ + + ⎥
⎣ ∂x
∂y
∂z
⎦
1 ∂( rv ) v
r
1 ∂
φ ∂vz
divv(
r,
φ,
z)
= + +
r ∂r
r ∂φ
∂z
divv(
r,
θ , φ)
=
⎥ ⎦
⎤
∂ ∂ ⎤
( v h h ) + ( v h h ) + ( v h ) ⎥⎦
=
2
1
r
2
∂
(
2
r v ) 1 ∂( sinθv
)
∂r
r
+
r sinθ
∂θ
θ
3
1 ∂vφ
+
r sinθ
∂φ

C
Rotation im allgemeinen, orthogonalen Koordinatensystem:
v( x1,
x2,
x3)
sei eine Vektorfunktion.
(1) (2) (3)
C = C1
+ C1
+ C1
+
1
( rotv) = ∫ 1
lim v ⋅ dr
x 1
(2)
C Γ 1 → 0
(3)
1
Γ1
C
C
1
1
x x
∫ v ⋅dr
= v
3 Γ 2
2h2dx2
1
ds
ds
3
= h3dx
2
= h2dx
(1)
2
3
C
(1)
1
1
⎛ ∂v2
⎞⎛
∂h2
⎞
v ⋅ndΓ = −⎜v2
+ dx3
⎟⎜h2
+ dx3
⎟dx
=
⎝ ∂x3
⎠⎝
∂x3
⎠
∂( v2h2
)
= −v ( )
2h2dx2
− dx2dx3
+ O dx2dx3dx3 ∂x
∫ 2
(3)
C
1
∫
+ C
∂
v ⋅dr
= −
(3)
1
( v h )
2
∂x
3
2
dx
2
dx
3
3
C
( 2)
1
∫
+ C
v ⋅dr
=
( 4)
1
(4)
1
C1
(4)
C 1
( v h )
∂
3
∂x
2
3
(1)
C 1
dx
2
dx
3

∫
C
1
∂
( v h ) ∂( v h )
Γ1 = ds ds = h h dx dx
3 3
2 2
v ⋅ dr
= dx2dx3
− dx2dx3
2 3 2 3 2 3
∂x2
∂x3
( rotv(
x , x , x ))
=
1
h h
2
3
1
⎡ ∂
⎢
⎣∂x
2
2
3
=
∂ ⎤
( v h ) − ( v h ) ⎥⎦
3
3
1
∂x
z. B.: Kartesische Koordinaten:
3
2
2
rotv
=
1
e
h2h3
∂
∂x1
h v
1
1
1
1
e
h3h1
∂
∂x2
h v
2
2
2
1
e
h1h
2
∂
∂x3
h v
3
3
3
rotv
=
e
x
∂
∂x
v
x
e
y
∂
∂y
v
y
e
z
∂
∂z
v
z

Laplace Operator im allgemeinen, orthogonalen Koordinatensystem:
( )
gradu
∆u = div
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
∂
∂
∂
∂
+
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
∂
∂
∂
∂
+
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
∂
∂
∂
∂
=
∆
3
3
2
1
3
2
2
1
3
2
1
1
3
2
1
3
2
1
1
x
u
h
h h
x
x
u
h
h
h
x
x
u
h
h
h
x
h
h h
u
2
2
2
2
2
2
)
,
,
(
z
u
y
u
x
u
z
y
x
u
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
=
∆
2
2
2
2
2
1
1
)
,
,
(
z
u
u
r
r
u
r
r
r
z
r
u
∂
∂
+
∂
∂
+
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
∂
∂
∂
∂
=
∆
φ
φ
2
2
2
2
2
2
2
sin
1
sin
sin
1
1
)
,
,
(
φ
θ
θ
θ
θ
θ
φ
θ
∂
∂
+
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
∂
∂
∂
∂
+
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
∂
∂
∂
∂
=
∆
u
r
u
r
r
u
r
r
r
r
u

Separationsmethode:
Ansatz: V x , x , x ) = X ( x ) X ( x ) X ( )
(
1 2 3 1 1 2 2 3
x3
Es wird versucht die Laplacesche Gleichung (eine partielle
Differentialgleichung) für V auf drei gewöhnliche
Differentialgleichungen für jeweils X 1 , X 2 und X 3 zurückzuführen.
Aus den allgemeinen Lösungen dieser Gleichungen erhält man
spezielle Lösungen der Laplaceschen Gleichung mit Hilfe des
obigen Ansatzes. Wegen der Linearität der Laplaceschen
Gleichung wird sie durch eine beliebige Linearkombination
dieser Lösungen erfüllt. Die Lösung eines konkreten
Randwertproblems ist diejenige Linearkombination, welche die
Randbedingungen des Problems erfüllt. Dies ist dann möglich,
wenn die Randbedingungen entlang x i = konstant Oberflächen
gegeben sind.

Kartesische Koordinaten, 2D Fall:
Ansatz: V ( x,
y)
= X ( x)
Y ( y)
2 2
∂ V ∂ V
Laplacesche Gleichung: + = 0.
2 2
∂x
∂y
2
2
d X ( x)
d Y ( y)
Y ( y)
+ X ( x)
= 0
2
2
dx
dy
Division durch X(x)Y(y) ergibt:
2
2
1 d X ( x)
1 d Y ( y)
+
2
2
X ( x)
dx Y ( y)
dy
f ( x)
g ( y)
= 0
Dies ist nur dann möglich, wenn
f
( x)
= konstant, g(
y)
=
konstant.

Die gewöhnlichen Differentialgleichungen sind dann:
d
X ( x)
2
dx
2
=
fX
( x),
2
d Y ( y)
2
dy
=
gY ( y),
wobei g = − f .
2
2
f = − p , g = p : X x)
= C cos px C sin px
Y
(
1
+
2
y)
py − py
= C3 e + C4e
= C′
3
cosh py + C′
(
4
sinh
py
Eine Lösung:
py n
py n
V = ∑ A ± ne ± cos pnx+
B ±
ne ± sin pnx
n
Eine weitere Lösung erhält man durch das Vertauschen von x und y:
px n
px n
V = ∑ A ± ne ± cos pny + Be ± ±
n
sin py
n
n

Beispiel:
Randbedingungen:
y V = f (x) (1) y = b,
V = f ( x);
(2) y = 0, V = 0; ⇒ sinh pn
y,
b
(3) x = 0, V = 0; ⎫ sin pnx,
pn
= nπ
/ a,
V = 0 V = 0
⎬ ⇒
(4) x = a,
V = 0. ⎭ n = 1, 2,....
V = 0
∞ x ( , ) sinh
⎛ nπy
⎞ sin
⎛ nπx
⎞ (2), (3), (4)
V x y = ∑ Bn
⎜ ⎟ ⎜ ⎟ :
a
n= 1 ⎝ a ⎠ ⎝ a ⎠ erfüllt.
∞
Fourier-Reihe von f (x): ( ) ∑ sin
⎛ nπx
f x = b
⎞
n ⎜ ⎟.
n=1
⎝ a ⎠
∞
⎛ nπb
⎞ ⎛ nπx
⎞ n b
V ( x , b ) = ∑ Bn
sinh ⎜ ⎟ sin ⎜ ⎟ ⇒ B
⎛ π
n
sinh
⎞
⎜ ⎟ = b n
n= 1 ⎝ a ⎠ ⎝ a ⎠ ⎝ a ⎠
sinh
⎛ nπy
⎞
∞ ⎜ ⎟
( , )
⎝ a ⎠
sin
⎛ nπx
V x y =
⎞
∑bn
⎜ ⎟.
= 1
sinh
⎛ nπb
n
⎞ ⎝ a ⎠
⎜ ⎟
⎝ a ⎠

Zylinderkoordinaten, 2D Fall:
Ansatz: V ( r,
φ)
= R(
r)
Φ(
φ)
1 ∂
Laplacesche Gleichung:
r ∂r
1
+
r
2
∂ V
∂φ
=
2 2
2
1 d ⎛ dR(
r)
⎞ 1 d Φ(
φ )
Φ( φ ) ⎜ r ⎟ + R(
r)
= 0.
2 2
r dr ⎝ dr ⎠ r dφ
Multiplikation mit r 2 und Division durch R(r)Φ(φ) ergibt:
⎛
⎜
⎝
∂V
r
∂r
⎞
⎟
⎠
0.
1 d ⎛ dR(
r)
⎞
r ⎜ r ⎟
R(
r)
dr
⎝ dr
⎠
f ( r )
+
2
1 d Φ(
φ )
2
Φ(
φ ) dφ
g ( φ )
=
0.
Dies ist nur dann möglich, wenn
f
( r)
= konstant, g(
φ)
=
konstant.

Die gewöhnlichen Differentialgleichungen sind dann:
r
d
dr
⎛
⎜
⎝
r
dR(
r)
⎞
⎟
dr ⎠
=
fR(
r),
2
d Φ(
φ)
2
dφ
=
gΦ(
φ),
wobei g = − f .
Da Φ(φ) mit 2π periodisch sein muss, ist nur g = -n 2 ( n: ganze Zahl)
möglich: Φ φ)
= C cos nφ
+ C sin nφ
( n 0).
(
3 4
>
Der Fall n = 0 ergibt Φ φ)
= C + C .
(
3 4φ
Dies ist nur dann periodisch, wenn C 4 = 0. Der Fall C ≠ 0 4
,
ist dann sinnvoll, wenn im Problemgebiet
φ < 2π
gilt.
max
Ω
0 ≤ φ ≤ φmax

d dR( r)
2
r
⎛
⎜r
⎞ ⎟ = n R(
r).
dr ⎝ dr ⎠
dR(
r)
a) n = 0 : r = C1,
R(
r)
= C1
ln r + C2.
dr
b) n > 0 :
Ansatz:
R ( r)
=
r
α
,
dR( r)
α −1 dR(
r)
α d ( ) 2 −1
= , = ,
⎛ dR r ⎞ α
αr
r αr
⎜r
⎟ = α r ,
dr
dr dr ⎝ dr ⎠
2 α 2 α
n −n
r = n r ⇒ α = ±n : R(
r)
C r + C r
α
Lösung:
=
1 2
( )( ) (
± ± n
± ± n
)
1ln 2 3 4φ n
cos φ
n
sin φ
V = C r+ C C + C + ∑ A r n + B r n
n

Beispiel: Zylinderkondensator
V a
V i
R i
R a
Rotationssymmetrie:
∂
=
∂φ
0 ⇒ V = C1 ln r + C2.
Randbedingungen: V
V
i
a
C
1
=
C
1
ln
R
= C1
ln Ra
Va
−Vi
=
ln R R
a
i
+ C
i
2
+ C
,
C
,
2
2
.
=
V
i
ln Ra
−Va
ln
ln R R
a
i
R
i
.
V
=
V
a
ln r Ri
−Vi
ln r
ln R R
a
i
R
a
.
Die gleiche Lösung erhält man mit Hilfe der Methode der
fiktiven Ladungen.

Beispiel: Dielektrischer Zylinder im homogenen Feld
E = 0
E0e x >
R1
y
r
E φ
φ
x
ε r
E r
E
Randbedingungen:
y
Homogenes Feld: V = −E r cos .
0
φ
Beweis:
∂V
1 ∂V
E r
= − = E0 cosφ,
Eφ = − = −E0
sinφ.
∂r
r ∂φ
2
2
E = E cosφ
− E sinφ
= E0 cos φ + E0
sin φ E0,
x r
φ
=
= Er
sinφ + Eφ cosφ
= E0 cosφ
sinφ
− E0
sinφ
cosφ
= 0.
⎧V
q. e. d.
i
( r,
φ),
wenn r < R,
V ( r,
φ)
= ⎨
⎩V
a
( r,
φ),
wenn r > R.
lim ( r,
φ)
< ∞ ⇒ (
n
n
V = A r cos nφ
+ B r sin nφ
),
V i
r→0
limV a
r→∞
V
a
∑
n≥1
( r,
φ)
= −E0r
cosφ ⇒
= −E0r
cosφ
+ ∑
i
n≥1
in
(
−n
−n
A r cos nφ
+ B r sin nφ
).
an
an
in

Rand- und Grenzflächenbedingungen:
E
φi
( r = R)
= E ( r = R)
⇒ V ( R,
φ)
= V ( R,
φ)
φa
i
a
⇒
− n
−n
n
Ai
R = −E
R + Aa
R
1
1
0 1
, AinR
= AanR
( n > 1),
BinR
=
∂Vi
( R,
φ)
∂Va
( R,
φ)
Dri
( r = R)
= Dra
( r = R)
⇒ ε
r
= ⇒
∂r
∂r
−2
n−1
−n−1
ε r
A = −E
− A R , ε A nR = −A
nR ( n 1),
i1 0 a1
r in
an
>
n−1 −n−1
ε
rBinnR
= −BannR
.
−
Lösung: 2 ε
r
−1
A ,
2
i1 = E0
Aa
1
= E0R
,
ε
r
+ 1 ε
r
+ 1
A = A = 0 ( n > 1), B in
B = 0
in an
= an
.
B
an
R
−n

V ( r,
φ)
=
V
i
a
( r,
φ)
− 2E0
r cosφ,
ε + 1
r
= −E
0
ε
r
r cosφ
+
ε
r
−1
E
+ 1
0
R
r
2
cosφ.
Das Feld innerhalb des
Zylinders ist homogen.

2.3 Numerische Lösungsmethoden der Randwertprobleme
für das Skalarpotential
Nachteile der analytischen Methoden:
• Spezielle Geometrie
• Homogene Materialien
Numerische Methoden:
• Diskretisierung der Geometrie
• Berücksichtigung von inhomogenen Materialien

Diskretisierung der Geometrie :
V=konstant auf Γ D
Ω
∉Ω
∉Ω
div( εgradV )
∂V
ε
∂n
= σ auf
= 0 in
Numerische Methoden:
Potential wird in diskreten Knoten näherungsweise bestimmt.
Das Feld wird durch numerische Differentiation berechnet.
Dirichletsche Randbedingungen werden exakt in Knoten
erfüllt, Neumannsche Randbedingungen können nur
näherungsweise erfüllt werden.
Γ
N

2.3.1 Methode der finiten Differenzen
Nur zweidimensionale, ebene Probleme werden behandelt,
Verallgemeinerung auf 3D Probleme leicht möglich.
Homogene Materialien werden angenommen: Laplacesche
Gleichung. Verallgemeinerung auf stückweise homogene
Materialien möglich.
Äquidistantes Gitter,
Verallgemeinerung auf
nichtäquidistantes
Gitter möglich.
Ω
Γ
h
h

a
b
c
d
A
= 0
∆V
...
4!
1
3!
1
2!
1
1!
1 4
4
4
3
3
3
2
2
2
+
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
+
= h
x
V
h
x
V
h
x
V
h
x
V
V
V
A
a
...
4!
1
3!
1
2!
1
1!
1 4
4
4
3
3
3
2
2
2
+
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
+
= h
y
V
h
y
V
h
y
V
h
y
V
V
V
A
b
...
4!
1
3!
1
2!
1
1!
1 4
4
4
3
3
3
2
2
2
±
∂
∂
+
∂
∂
−
∂
∂
+
∂
∂
−
= h
x
V
h
x
V
h
x
V
h
x
V
V
V
A
c
...
4!
1
3!
1
2!
1
1!
1 4
4
4
3
3
3
2
2
2
±
∂
∂
+
∂
∂
−
∂
∂
+
∂
∂
−
= h
y
V
h
y
V
h
y
V
h
y
V
V
V
A
d
0
4
0
2
2
2
2
2
)
(
)
(
4
≈
=
+
∂
∂
+
∂
∂
+
+
=
+
+
+
h
O
y
V
x
V
h
V
V
V
V
V
A
d
c
b
a
h
h
4 = 0
−
−
−
−
d
c
b
a
A
V
V
V
V
V
+
x
y

Die Gleichung 4 VA
−Va
−Vb
−Vc
−Vd
= 0, d.h.
b
1
V
A
= ( Va
+ Vb
+ Vc
+ Vd
)
A
4 c a
d
entspricht der Näherung des Mittelwertsatzes der
Potentialtheorie:
Kugel
1
M R V ( M ) = ∫VdΓ
2
4πR
Kugel

Berücksichtigung der Randbedingungen:
Dirichletsche Randbedingung auf Γ D :
V g
= V 0
(bekannt).
4
h
Vi
−Ve
−V
f
−Vg
−V
= 0 ⇒ 4V
i
−Ve
−V
f
−Vh
= V0
Γ N
Neumannsche Randbedingung auf Γ N :
g
h
f
i
e
Γ D
h
m
n
4V
o k l m n
−V
−V
−V
−V
= 0 ⇒
l
o
k
∂V
ε
0 = σ im Punkt o.
∂n
k: fiktiver Gitterpunkt außerhalb von Ω
h
∂V
Vk
−Vm
2hσ
ε
0
( o) ≈ ε
0
= σ ⇒ Vk = Vm
+
∂n
2h
ε
4V
−V
2V
−V
o l
−
m n
=
2hσ
ε
0
0

Beispiel:
h
V=U
1 2 3
4′ 4 5 6 7 8 8′
∂V
V=0 ∂V
= ε =
∂n
∂n
V −V
2h
⇓
2hσ
1
V
4′
= V5
+
ε
0
V8′
−V7
ε
0
= σ
2
2h
⇓
2hσ
2
V
8′
= V7
+
ε
0
σ 1
4′
5
ε
0
= σ
1
0
σ 2
0
Knoten 1:
Knoten 2:
Knoten 3:
Knoten 4:
4
1 2 5
=
V −V
−V
2U
−
1
4
2 3 6
V + V −V
−V
= U
−V + V −V
2U
2
4
3 7
=
− 4′ 4 4 5
V + V −V
= U
4V − 2V
= U +
2hσ
1
4 5
ε
0
1
−V4
+ 4V
5
−V6
=
Knoten 5: −V
0
Knoten 6: −V
−V
+ V −V
0
2 5
4
6 7
=
Knoten 7: −V
−V
+ V −V
0
Knoten 8:
3 6
4
7 8
=
−
7
4
8 8′
V + V −V
= U
− 2V + 4V
= U +
7
8
2hσ
2
ε
0

⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎭
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎬
⎫
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎨
⎧
+
+
=
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎭
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎬
⎫
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎨
⎧
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
0
2
0
1
8
7
6
5
4
3
2
1
/
2
0
0
0
/
2
2
2
4
2
0
0
1
4
1
0
0
1
4
1
0
0
1
4
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
1
0
1
0
0
1
0
0
0
2
0
1
0
0
0
0
1
0
0
0
0
1
4
0
0
0
0
4
1
0
0
1
4
1
0
0
1
4
ε
σ
ε
σ
h
U
h
U
U
U
U
V
V
V
V
V
V
V
V
Gleichungssystem in Matrixform:
Spärlich besetzte Matrix.

2.3.2 Variationsproblem der Elektrostatik
Das Randwertproblem des elektrostatischen Feldes
− div(
εgradV
) = ρ in Ω,
∂V
V = V0 auf ΓD
, ε = σ auf ΓN
∂n
ist folgendem Variationsproblem äquivalent:
Finde V (V=V 0 auf Γ D ), so dass das Funktional
W ( V ) =
∫
Ω
1
εgrad
2
zum Minimum wird.
2
VdΩ −
∫
Ω
ρVdΩ −
∫
Γ
N
σVdΓ

Physikalische Bedeutung des Funktionals
∫
Ω
1 2
εgrad
2
1
VdΩ = ∫ E⋅DdΩ
:
2
Ω
Elektrische Feldenergie W e
∫
Ω
ρVdΩ + σVdΓ
:
∫
Γ
N
Potentielle Energie der Ladungen W p
W
= W e
−W p
ist die Wirkung!
Das Variationsproblem entspricht dem Prinzip der
kleinsten Wirkung.

2.3.3 Das Ritzsche Verfahren
Da das Variationsproblem und das Randwertproblem
äquivalent sind, ist eine Näherungslösung des
Variationsproblems ebenfalls eine Näherungslösung des
Randwertproblems.
Das Variationsproblem kann mit Hilfe der Ritzschen Methode
näherungsweise gelöst werden.
Eine Näherungslösung soll in folgender Form gesucht werden:
V
V
≈ V
( n)
( n)
= V
D
+
n
∑
j=
1
V
j
w
j
,
V
V
w
D
j
j
: beliebige Funktion mit VD
= V0
auf Γ
, j = 1, 2,..., n : numerische Parameter,
,
j = 1, 2,..., n : Basisfunktionen mit
erfüllt die Dirichletsche Randbedingung für V
w
j
=
0 auf
j
Γ
D
.
beliebig!
D
,

Die unbekannten Parameter V j , j = 1, 2, ..., n werden aus der
Bedingung bestimmt, dass die Näherungslösung das Funktional
minimiert. Die notwendigen Bedingungen dafür sind:
∂W
( V
∂V
i
( n)
)
=
0,
i
= 1,
2, ...,
n.
Dies sind n Gleichungen (das Ritzsche Gleichungssystem),
aus welchen die n Unbekannten V j , j = 1, 2, ..., n berechnet
werden können.

Γ =
∂
∂
Ω −
∂
∂
Ω −
∂
∂
=
∂
∂
∫
∫
∫
Γ
Ω
Ω
N
d
V
V
d
V
V
d
V
grad
V
V
V
W
n
i
n
i
n
i
j
n
)
(
)
(
)
(
2
)
(
2
1
)
(
σ
ρ
ε
.
)
(
)
(
)
(
)
(
∫
∫
∫
Γ
Ω
Ω
Γ
∂
∂
Ω −
∂
∂
Ω −
⋅
∂
∂
=
N
d
V
V
d
V
V
d
gradV
V
V
grad
i
n
i
n
n
i
n
σ
ρ
ε
.
)
(
1
)
(
i
n
j
j
j
D
i
i
n
w
w
V
V
V
V
V
=
+
∂
∂
=
∂
∂
∑
=
Das Ritzsche Gleichungssystem:
,
1 ∫
∫
∫
∫
∑
Γ
Ω
Ω
Ω
=
Γ
Ω +
Ω +
⋅
Ω = −
⋅
N
d
w
d
w
d
gradV
gradw
gradw d
gradw
V
i
i
D
i
j
i
n
j
j
σ
ρ
ε
ε
.
2,...,
i =1, n
Symmetrische Matrix!

2.3.4 Die Methode der finiten Elemente (Finite Element Method=FEM)
Diskretisierung der Geometrie
Dreieckselemente: einfachste Möglichkeit
Unbekannte: Potentialwerte in den Knoten
Potential in den Elementen: Polynom niedriger Ordnung
finite Elemente
Ω

Lineare Interpolation der Potentialfunktion in den Elementen

Formfunktionen
V
V i
1
V i N i
k
V
V j
V j N j
V k N k
k
1
k
+ + =
V
1
V k
i
N i
j
i
N j
j
i
N k
j
V i N i + V j N j +V k N k
V j
=
V i
V k
k
i
j

1
V
N j
N j
=
⎧1 im Knoten j
⎨
⎩0 in allen anderen Knoten
j
V
( n)
n
= n
∑
j=
1
V
j
N
j
n n : Anzahl der Knoten
V j : Knotenwerte des Potentials

Basisfunktionen:
w
j
= N
j
, j = 1, 2,..., n.
Γ D
...
V D
n+1 n+2 ...
n ... n n
V 0
=
1
2
...
V
( n)
n
n
= ∑V
= ∑ + ∑
j
N
j
V
j
N
j
V
j=
1
n
n
j=
n+
1
n
j=
1
j
N
j
V
D
+
n
∑
j=
1
V
j
N
j
.

Ritzsche Gleichungen:
n
∑
j=
1
= −
V
∫
Ω
∫
j
Ω
gradN
gradN
i
i
⋅εgradN
⋅εgradV
D
j
dΩ =
dΩ +
∫
Ω
N ρdΩ +
i
∫
Γ
N
N σdΓ,
i
i =1, 2, ..., n.
In Matrixform:
[ A ]{ V } = { b }.
ij
j
i
A
ij
= gradN ⋅εgradN
dΩ,
∫
Ω
i
j
b
i
= −
∫
Ω
gradN
i
⋅εgradV
D
dΩ +
∫
Ω
N ρdΩ +
i
∫
Γ
N
N σdΓ.
i

Ni
N
j
A
ij
= ∫
Ω
gradN
i
⋅εgradN
j
dΩ ≠ 0,
i
j
Ni
N
j
A
ij
= ∫
Ω
gradN
i
⋅εgradN
j
dΩ = 0.
j
i
Spärlich besetzte Matrix.

8-knotige Viereckselemente
7
8
6
4
1 2
3
5

20-knotige Hexaederelemente

Form- und Basisfunktionen für 20-knotige Hexaederelemente

2.5 Randwertprobleme für das Vektorpotential
Stationäres Magnetfeld:
div B = 0 ⇒ B =
rotA,
A: magnetisches Vektorpotential
Differentialgleichung:
1
rotH = J ⇒ rot( rotA)
= J,
µ

2.5.1 Ebene 2D Probleme
Stationäres Magnetfeld:
∂
= 0 : J = J ( x,
y)
ez
, B = Bx
( x,
y)
e
x
+ By
( x,
y)
e
y.
∂z
Feldlinien von B
J
B = rotA
A = A(
x,
y)
e
e
x
e
y
∂ ∂
=
∂x
∂y
0 0
z
e
z
0
x y
A
∂A
= e
∂y
∂A
− e
∂x
.

Differentialgleichung für das einkomponentige Vektorpotential im
ebenen 2D Fall:
1
rot[
rot(
Ae
µ
z
)]
e
x
∂
∂x
1 ∂A
µ ∂y
e
y
∂
∂y
1 ∂A
−
µ ∂x
e
z
0
⎡ ∂ ⎛ 1 ∂A⎞
= −⎢
⎜ ⎟ +
⎣∂x
⎝ µ ∂x
⎠
∂ ⎛ 1 ∂A⎞⎤
⎜ ⎟⎥e
∂y
⎝ µ ∂y
⎠⎦
=
z
= −e
z
1
div( gradA).
µ
0
=
1
− div ( gradA)
= J,
µ
verallgemeinerte Laplace-Poissonsche
Gleichung.

Magnetischer Fluss mit Hilfe von A:
B
Φ =
∫
Γ
B ⋅ndΓ =
∫
Im ebenen 2D Fall:
Γ
rotA
⋅ndΓ =
Γ PQ : Oberfläche der Länge 1
durch die Punkte P und Q
Φ = ∫ A ⋅dr
=
PQ
C PQ
A( P)
− A(
Q)
∫
C
A ⋅dr.
n
e z
P ΓPQ
A(
P)
e
z Q
A(
Q)
e
C PQ 1
y
z
C
dΓ
Γ A
dr
z=konstant
x

Flusslinien (magnetische Feldlinien) verlaufen parallel zu B.
B
Q
Für zwei beliebige Punkte auf einer
Flusslinie gilt Φ PQ = A(P) - A(Q) = 0.
P
A( P) = A( Q) ⇒ A=
konstant auf Flusslinien!
∂A
∂A
dy
dA ( P)
= dx + dy = −Bydx
+ Bxdy
= 0 ⇒ =
∂x
∂y
dx
Flusslinien: Äquipotentiallinien von A(x, y).
B
B
y
x
.
Ist die Differenz des Vektorpotentialwertes zwischen zwei
benachbarten Flusslinien konstant, ist die Dichte der
Flusslinien dem Betrag von B proportional.

Randbedingungen:
Dirichletsche Randbedingung: A = (bekannt) auf Γ ,
Bedeutet die Vorgabe von B n :
A 0 D
B
n
= n ⋅rotA
= n ⋅rot( Ae
) = n ⋅(
gradA×
e ) = gradA⋅(
e × n)
z
z
z
=
Γ D
e z
n
e × n =
z
t
∂A
= t ⋅ gradA = : Tangentialableitung von A!
∂ t
Meistens ist A 0 =konstant:
Der Schnitt von Γ D mit einer z=konstant Ebene ist
eine Flusslinie. Die Differenzen der Werte von A 0
geben den Fluss pro Längeneinheit zwischen den
Linien an.

Neumannsche Randbedingung:
1 ∂A
= α (bekannt) auf ΓN
,
µ ∂n
Bedeutet die Vorgabe von H t :
H
t
1
1
= ( e
z
× n)
⋅ rot(
Ae
z
) = ( e
z
× n)
⋅ ( gradA×
ez
) =
µ
µ
1
1 1 ∂A
= e
z
× ( e
z
× n)
⋅ gradA = −n
⋅ gradA = − .
µ
µ µ ∂n
Auf Grenzflächen zu hochpermeablen Gebieten ist die
Neumannsche Randbedingung
homogen:
1 ∂ A = 0.
µ ∂n

Dualität zwischen den Randbedingungen für das Skalarpotential
und das einkomponentige Vektorpotential im ebenen 2D Fall
Flusslinie
Magnetische Wand:
ψ = konstant,
1 ∂ A = 0.
µ ∂n
Flusslinie:
ψ
µ ∂ = 0, A = konstant.
∂n
Magnetische Wand

Randwertproblem für das einkomponentige
Vektorpotentialfunktion im ebenen 2D Fall:
stationäres
Magnetfeld:
1
− div(
gradA)
= J in Ω,
µ
A =
A
auf
Γ
1 ∂A
,
µ ∂n
= α auf
Γ
0 D
N
.
Ähnliches Randwertproblem, wie für die Skalarpotentialfunktionen.

2.5.2 Rotationssymmetrische 2D Probleme
Stationäres Magnetfeld:
∂
= 0 : J = J ( r,
z)
eφ
, B = Br
( r,
z)
er
+ Bz
( r,
z)
e
z.
∂φ
A = A( r,
z)e φ
B
=
rotA
=
1
e
r
∂
∂r
0
e
0
rA
1
r
∂
∂z
0
r φ
e z
=
∂A
= − e
∂z
r
+
1
r
∂(
rA)
e
∂r
z
.

Differentialgleichung für das einkomponentige Vektorpotential im
rotationssymmetrischen Fall:
1
rot[
rot(
Ae
µ
φ
)] =
1
er
r
∂
∂r
1 ∂A
−
µ ∂z
e
φ
0
0
1
ez
r
∂
∂z
1 ∂(
rA)
µ r ∂r
=
⎡ ∂ ⎛ 1 ∂(
rA)
⎞ ∂ ⎛ 1 ∂A⎞⎤
1
= −⎢ ⎜ ⎟ + ⎜ ⎟ eφ ≠ −e φ
div(
gradA).
r µ r r z µ z
⎥
⎣ ∂ ⎝ ∂ ⎠ ∂ ⎝ ∂ ⎠ ⎦
µ
1
div(
gradA )
µ
=
1
r
∂
∂r
⎛
⎜
⎝
r
1 ∂A
µ ∂r
⎞
⎟
⎠
+
∂
∂z
⎛
⎜
⎝
1 ∂A
µ ∂z
⎞
⎟
⎠

Fluss im rotationssymmetrischen 2D Fall:
Γ PQ :
Kegelstumpfmanteloberfläche
durch die Punkte P und Q
C PQ
r Q
A(P)e φ
r P
z
A(Q)e φ
Q
φ = konstant
ΓPQ
P
φ = konstant
Φ = ∫ A ⋅dr
= 2π
[ r A(
P)
− r A(
Q)].
PQ
C
PQ
P
Flusslinien: Äquipotentiallinien von rA(r, z).
Q

2.5.3 3D Probleme
Die Vektorpotentialfunktion ist nicht eindeutig:
B
= rot A = rot( A + gradu)
u ist eine beliebige Skalarfunktion,
Differentialgleichung:
1
rotH = J⇒ rot( rotA) = J in Ω,
µ
Randbedingungen:
Vorgabe von B n oder von H t auf Γ.

Spezialfall: Vektorpotential von vorgegebener
Stromdichte im unendlichen leeren Raum ( µ = µ
0
und Γ→∞) :
rotrotA= µ J
0
,
A( ∞ ) = 0 ( ⇒n⋅rotA( ∞ ) = 0 oder rotA( ∞ ) × n=
0).
Lediglich B=rotA ist eindeutig bestimmt, nicht aber A.
A wird eindeutig, wenn auch divA bestimmt wird: Eichung.
Die Wahl divA = 0 ist die Coulomb-Eichung.

Die Eichung macht A eindeutig:
divA= div( A+ gradu) ⇒∆ u = 0, ⎫
⎬ ⇒ gradu =
A( ∞ ) = A( ∞ ) + gradu( ∞) ⇒ gradu( ∞ ) = 0,
⎭
0.
Randwertproblem für A:
rotrotA
J
= µ
0
, ⎫
⎪
divA
= 0, ⎬ ⇒
A( ∞ ) = 0.
⎪
⎭
rotrotA
− graddivA
= −∆A
= µ J,
A(
∞)
= 0.
⇓
0
Vektorielle Laplace-Poissonsche Differentialgleichung.

Die Coulomb-Eichung folgt aus der vektoriellen Laplace-
Poissonschen Differentialgleichung:
rotrotA− graddiv A=−∆ A= µ
0
J,
⎫
⎬ ⇒
A( ∞ ) = 0.
⎭
div( rotrotA− graddivA)
= µ
0divJ
⎫ ⎪
∆( divA) 0 ⎬ ⇒ divA
=
divA( ∞ ) = 0,
⎪
⎭
Lösung von
−∆ A= µ 0
J, A( ∞ ) = 0:
0.
0
( ′)
dΩ′
Ar () =
.
4
µπ ∫ Jr Ω
r−
r′

3. Quasistationäre Felder
⎛ ∂D
⎞
Maxwellsche Gleichungen ⎜ J >> ⎟ :
⎝ ∂ t ⎠
In leitenden Medien (Ω l ): In nichtleitenden Medien (Ω i ):
rotH
= J,
∂B
rotE
= − ,
∂t
divB
= 0,
rotH
divB
= J,
= 0,
B µ H, J = γE
( E = 0).
=
e
J ist unbekannt:
zeitabhängiges
quasistationäres Feld
B = µH.
J ist bekannt:
zeitabhängiges
stationäres Magnetfeld

Beispiel:
Ω i
J(t)
Ω l

Rand- und Grenzflächenbedingungen:
ΓB
:
Ω i
B ⋅n = −b
n
Γ : E × n = 0
E
nichtleitendes Gebiet
Γ
li: H × n,
B ⋅n
sind stetig
n
Ω l
leitendes Gebiet
J
ΓHi
:
H ×n =
α
Γ : H × n = 0
Hl
n

Differentialgleichungen in
Ω l (Wirbelstromgebiet):
rotH
rotE
l
l
divB
B
l
l
=
= µ H
J
l
l
∂B
= −
∂t
= 0
, H
l
l
= νB
l
, J
Zusammenfassung
l
= γE
l
Differentialgleichungen in Ω i
(wirbelstromfreies Gebiet):
rotH
divB
B
i
i
i
=
=
J
0
i
i
= µ H , H =νB
i
i
Randbedingungen:
H
l
× n = 0 auf Γ
Hl,
E
l
× n = 0 auf Γ
E
,
H
i
× n = K auf Γ
Hi,
B
i
⋅n = −b auf Γ
B.
Anfangsbedingungen in t=0:
B
l
Grenzflächenbedingungen
auf Γ li :
H
B
l
l
× n
⋅n
l
l
+ H
+ B
i
i
⋅n
× n
i
i
=
= 0
l 0
in Ωl
, Bi
= Bi0
0
= B
in
Ω
i

Komplexe Schreibweise für zeitharmonische Größen:
Zeitfunktion:
B (,) ˆ
x
r t = Bx()cos( r ωt+
ϕx())
r
B (,) ˆ
y
r t = By()cos( r ωt+
ϕy())
r
B (,) r t = Bˆ
()cos( r ωt+
ϕ ()) r
z z z
speziell für lineare Polarisation:
B( r,
t)
= Bˆ
( r)cos(
ω t + ϕ(
r))
Komplexe Amplitude (komplexer Scheitelwert):
B(
r)
= Bˆ
( r)
e
Zeitableitung:
∂
im Zeitbereich → Multiplikation mit jω
im Frequenzbereich
∂t
Maxwellsche Gleichungen für komplexe Amplituden
(quasistationärer Fall):
jϕ ( r)
rotH
= J, rotE
= − jωB,
divB
=
0.

Poyntingscher Satz für komplexe Amplituden im
quasistationären Fall:
1
2
E⋅
rotH
*
−
1
2
H
*
⋅ rotE
= −
1
2
div
1
2
1
2
(
*) *
*
E×
H = E⋅
J + jωB
⋅ H
1
2
∫
Ω
E⋅
J
*
1
d Ω + j ∫
* 1
ω B ⋅ H dΩ = −
=
2
2
Ω
∫ (
*
E×
H ) ⋅ndΓ
S
Γ
S: komplexe Leistung, die durch den Rand Γ ins Gebiet Ω
hineinfließt.

Beweis:
Zeitfunktion des Poyntingschen Vektors:
S
t)
= E(
t)
× H(
t)
= Eˆ
cos( ωt
+ ϕ ) × Hˆ
cos( ωt
+ ϕ ) =
(
E
H
1
= Eˆ
× Hˆ
[ cos( ϕ
E
−ϕ
H
) + cos(2ωt + ϕ
E
+ ϕ
H
)]=
2
1
= Eˆ
× Hˆ
cos( ϕ
E
−ϕ
H
)[ 1+
cos 2( ωt + ϕ
E
)]+
2
Wirkanteil
1
+ Eˆ
× Hˆ
sin( ϕ
E
−ϕ
H
) t + ϕ
E
2
Wirkleistung:
Blindleistung:
Blindanteil
∫
Γ
[ sin 2( ω )]
1
P = − E ˆ × Hˆ
cos( ϕ
E
−ϕ
H
) ⋅ndΓ
2
1
Q = − E ˆ × Hˆ
sin( ϕ
E
−ϕ
H
) ⋅ndΓ
2
∫
Γ

S
= P + jQ = −∫
Γ
1
2
E ˆ × Hˆ
[cos( ϕ −ϕ
) + j sin( ϕ −ϕ
)] ⋅ndΓ =
E
H
E
H
= −∫
j E − H
Eˆ
× Hˆ
( ϕ ϕ
e ⋅ndΓ = −∫
2
Γ
1 )
Γ
1
2
Eˆ
e
jϕ
E
× Hˆ
e
− jϕ
H
⋅ndΓ =
= − ∫
2
1 *
Γ
( × H ) ⋅ndΓ.
E q. e. d.
Komplexer Poyntingscher Vektor:
Wirkleistung:
Blindleistung:
1
S = E×
H
2
1 * 1 J
P = ∫ E ⋅J
dΩ = ∫ dΩ,
( Ee
=
2
2 γ
Ω
1 Ω
* 1
Q = ω ∫ B ⋅ H dΩ = ω∫
µ H
2
dΩ.
2
2
Ω
*
2
Ω
0),

3.1 Einige analytische Lösungen des Randwertproblems für das
magnetische Vektorpotential
Im leitenden Gebiet (Ω l ): div B = 0 ⇒ B = rotA,
rotE
+
∂B
∂t
= rotE
+
∂rotA
∂t
Differentialgleichungen:
∂A
= rot(
E + ) = 0
∂t
⇒
E = −gradV
1 ∂A
rotH − J = 0 ⇒ rot( rotA)
+ γ + γgradV
= 0,
µ ∂t
⎛
⎜
⎝
divJ
∂A
= 0 ⇒ −div(
γgradV
) − div(
γ ) = 0.
⎞
⎟
∂t
⎠
Randbedingungen: A( ∞ ) = 0, V ( ∞ ) = 0.
−
∂A
.
∂t

Spezialfall: µ = konstant, γ = konstant, zeitharmonischer Fall.
Coulomb-Eichung: divA=0
−div( γ gradV ) − jωdiv( γA) = 0 ⇒−∆ V = jωdivA=
0
⎧∆ V = 0 ⎫
⎨ ⎬ ⇒ V = 0
⎩V
( ∞ ) = 0⎭
Differentialgleichung in Ω l :
⇓
−
∆A + jωµγA
=
0
vektorielle Diffusionsgleichung.
Ebene 2D Probleme:
−
∆A( x,
y)
+ jωµγA(
x,
y)
= 0 skalare Diffusionsgleichung.

3.1.1 Strom in unendlichem leitendem Halbraum
J = J ( y)
e
y
z
γ , µ
z
B = B(
y)
e
x
x
∂ ∂
= 0 , = 0 :
∂z
∂x
A = A( y)
e
z,
E = − jωA( y)
ez
= E(
y)
e
z
,
J = γE
= − jωγA( y)
e
z
= J ( y)
e
z,
e
x
e
y
e
z
∂ dA(
y)
B = rotA
= 0 0 = ex
= B(
y)
e
x,
∂y
dy
0 0 A
1 1 dA(
y)
H = B = ex
=
µ µ dy
H ( y)
e
x
.

2
d A(
y)
Diffusionsgleichung: − + jωµγA(
y)
= 0.
2
dy
j ωµγ =
2
p ,
p
=
2
d A( y)
2
= p A(
y)
2
dy
jωµγ
=
1+
j 1+
j
=
2 δ
ωµγ
,
δ: Eindringtiefe.
( = +
− py
A y)
A1
e
2
A e
py
lim A(
y)
< ∞ ⇒ A2 =
y→∞
0 :
A(
y)
− py
= A1
e =
1
A e
y
−
δ
e
y
− j
δ

Feldgrößen:
E( y)
= − jωA(
y)
= − jωA1
e
− py
J ( y)
= − jωγA(
y)
= − jωγA1
e
dA(
y)
B( y)
= = − pA1
e
dy
− py
1 dA(
y)
p
H ( y)
= = − A1
e
µ dy µ
,
− py
,
− py
Bestimmung der Konstante A 1 : Strom durch ein
Leiterstück der Breite b wird als gegeben angenommen.
.
,

z
∫
Γ
0
J ⋅ndΓ =
∫
C
0
H ⋅dr
=
H ( y
=
0) b
=
I
y
l
b
I
Γ 0
C 0
x
pb I
A I A
µ
1
= ⇒ = −
µ
pb
−
1
jωµ
j
jpy p − −
−
δ δ
E( y)
= Ie = Ie e ,
pb γb
p − j −
δ δ
J ( y)
= γE(
y)
= Ie e ,
b
y
y
y
y
Stromverdrängung
(Skin effect):
Betrag der
Stromdichte nimmt
exponentiell ab
J (y)
y
y
µ − j − I − j −
δ δ
δ δ
B( y)
= Ie e , H ( y)
= e e .
b
b
J ( y)
δ
I
= 2 e
bδ
y
y
−
δ
y
y

Impedanz des Leiterstückes der Breite b und Länge l:
S
1 2 1
= I Z = − ∫
2 2
z
Γ
(
*
E×
H ) ⋅ndΓ
*
*
*
E × H = E(
y)
e × H ( y)
e = E(
y)
H ( y)
e
n = −e
y
für y = 0, sonst ist n e
x
y
.
y
*
1 2
*
I
2
2
I
Z
1
= E(
y =
2
0) H
( y
= 0) bl
1 p
= I
2 γb
b
bl
1
=
2
I
pl
γb
.
Z
R
l
= R + jX = (1 + j)
,
γδb
l l
= , X = .
γδb
γδb
I
b
δ
l
Gleichstromwiderstand

3.1.2 Strom in unendlich ausgedehnter leitender Platte
y
I
h
2
z
b 2
b
2
h
2
x
E = − jω A y)
e = E(
y)
e , J = γE
= − jωγA
y)
e = J ( y)
e ,
(
z
z
(
z
z
dA(
y)
1 dA(
y)
B = e
x
= B(
y)
e
x,
H = e
x
= H ( y)
e
x.
dy
µ dy
Diffusionsgleichung:
2
d A( y)
1+
j 1+
j
2
= p A(
y),
p = jωµγ
= = .
2
dy
2 δ
ωµγ

Lösung der Diffusionsgleichung:
− py py
A( y)
= A1 e + A2e
= C1
cosh( py)
+ C2
sinh( py).
Die Stromdichte J ( y)
= − jωγA(
y)
sein ( J(y) = J(-y) ): C = 0 2
.
muss eine gerade Funktion
A ( y)
= C1 cosh( py).
Feldgrößen:
E( y)
= − jωA(
y)
= − jωC1 cosh( py)
J ( y)
= − jωγA(
y)
= − jωγC1 cosh( py)
dA(
y)
B ( y)
= = pC1 sinh( py)
dy
1 dA(
y)
p
H ( y)
= = C1 sinh( py)
µ dy µ

Bestimmung der Konstante C 1 : Strom durch ein
Leiterstück der Breite b wird als gegeben angenommen.
∫
Γ
0
y = h
y = − h
J ⋅ndΓ =
2
2
∫
C
0
z
H ⋅dr
y
b
I
= −H
( y
Γ 0
C 0
=
h
2) b +
x
H ( y = − h
2 pb ph
= −2H ( y = h 2) b = − C1 sinh( ) = I,
µ 2
µ I
C1 = −
.
ph
2 pbsinh(
)
2
2) b
=

),
cosh(
)
2
sinh(
2
)
cosh(
)
2
sinh(
2
)
( py
ph
b
pI
py
ph
pb
I
j
y
E
γ
ωµ
=
=
),
cosh(
)
2
sinh(
2
)
(
)
( py
ph
b
pI
y
E
y
J =
= γ
),
sinh(
)
2
sinh(
2
)
( py
ph
b
I
y
B
µ
= −
).
sinh(
)
2
sinh(
2
)
( py
ph
b
I
y
H
−
=

Impedanz des Leiterstückes der Breite b und Länge l:
S
1 2 1
= I Z = − ∫
2 2
z
Γ
(
*
E×
H ) ⋅ndΓ
*
*
*
E × H = E(
y)
e × H ( y)
e = E(
y)
H ( y)
e
n =
e
y
für y = h 2, n
= −e
y
x
für y = − h 2, sonst ist n
y
y
b
I
z
e
y
.
h
l
Γ
x
1 *
2
2 1 h * h 1 h h
I Z = − E(
y = ) H ( y = ) bl + E(
y = − ) H ( y = − ) bl
2 2 2 2 2 2
h
= −E(
y = ) H
2
*
ph
pI cosh( ) *
h
2 I
( y = ) bl =
bl.
2
ph
2γb
sinh( )
2b
2
=

ph
pl cosh( )
Z = 2 ,
ph 1+
j h 1+
j ωµγ
ph
= = h .
2γb
sinh( ) 2 2 δ 2 2
2
ph
ph
Niedrige Frequenzen: > 1⇒
cosh( ) ≈ sinh( ).
2
2 2
Z
≈
pl l
= (1 + j)
2γb
2γδb
:
Widerstand wie Gleichstrom oben
und unten in Schichten der Dicke δ,
Reaktanz gleich groß wie Widerstand.

4. Elektromagnetische Wellen
Das vollständige System der Maxwellschen Gleichungen:
∂D
∂B
rotH = J+ , rotE=−
,
∂t
∂t
divB= 0, divD = ρ,
D= ε E, B= µ H, J = γ( E+
E )
beschreibt elektromagnetische Wellen.
e
im Vakuum:
∂D
∂B
−
∂t
∂ t
H()
t
E()
t
Das zeitveränderliche elektrische
und magnetische Feld erzeugen
einander gegenseitig:
elektromagnetisches Feld

4.1 Leitungen
Leitung: sehr (unendlich) lange Anordnung von zwei
parallelen Leitern mit konstantem Querschnitt:
z
z. B.:
z
r 0
r 0
allgemeine Leitung
Materialeigenschaften:
µ , γε , in der Umgebung,
d
Doppeldraht mit kreisförmigem Querschnitt
r i
z
γ
l
in den Leitern.
r a
Koaxialkabel

Verteilte Netzwerkparameter:
Widerstand, Induktivität, Leitwert und Kapazität pro
Längeneinheit: R, L, G, C. Einheiten: Ω/m, H/m, S/m, F/m.
du 1
Serielle Parameter:
izt (,)
γ
du l
2
du = du1+ du2 = iRdz,
R hängt von der
Geometrie und von γ l ab.
dψ = iLdz,
L hängt von der
Geometrie und von µ ab.
z
z
izt (,)
izt (,)
dψ
izt (,)
z + dz
µ
z + dz
Strömungsfeld in
Leitern
Magnetfeld in der
Umgebung

Parallele Parameter:
di = uGdz,
uzt (,)
di
γ
Strömungsfeld in
der Umgebung
G hängt von der
Geometrie und von γ ab. z z + dz
dQ
dQ = uCdz,
C hängt von der
Geometrie und von ε ab.
uzt (,)
z
−dQ
ε
z + dz
elektrisches Feld
in der Umgebung

Differentialgleichungen:
izt (,)
,
uzt (,) dψ
∂u
uzt (,) + ∂ z
izt (,) Γ
z z + dz
Induktionsgesetz:
d
∫
E ⋅ d =− ∫ ⋅ dΓ
dt
C Γ
C
Γ
∂u
∂
u(,) z t + dz − u(,) z t + iRdz =− ( iL) dz,
∂z
∂t
Γ
dz
∂u
− = Ri+
∂z
∂i
L .
∂t

izt (,)
dQ
Γ Ω
izt ( , )
∂i
+ ∂ z
dz
uzt (,)
di
Ω
z
z + dz
Kontinuitätsgesetz:
d
∫
J ⋅ n dΓ=− ∫ ρdΩ,
dt
Γ
Ω
∂i
∂
i( z, t) + dz − i( z, t) + uGdz =− ( uC) dz,
∂z
∂t
Ω
∂i
− = Gu + C
∂z
∂u
.
∂t

Leitungsgleichungen:
∂u
∂i
− = Ri+
L ,
∂z
∂t
∂i
− = Gu + C
∂z
∂u
.
∂t
∂ 2 2
u i i i i
R ∂ L ∂ R ∂ L
∂ ∂ ,
2
− = + = +
∂z ∂z ∂z∂t ∂z ∂t∂z
2 2
∂ ∂ ∂
u u u
= LC + ( RC + LG) + RGu.
2 2
∂z ∂t ∂t
Ähnlich:
2 2
∂ ∂ ∂
i i i
= LC + ( RC + LG) + RGi.
2 2
∂z ∂t ∂t

4.1.1 Lösung der Leitungsgleichungen im zeitharmonischen Fall
Annahme:
uzt (,) = Uz ˆ ()cos( ωt+
ϕ ()), z
izt (,) = Iz ˆ()cos( ωt+
ϕ ()). z
i
u
Komplexe Amplituden
(komplexe Scheitelwerte):
= Uˆ
z e ϕ
j u ( z)
( ) ( ) ,
U z
j i ( z)
( ) ( ) .
I z
= Iˆ
z e ϕ
Leitungsgleichungen im Frequenzbereich:
dU ( z)
− = ( R+
jω
LIz ) ( ),
dz
dI( z)
− = ( G + jωCU ) ( z).
dz

2
dU z
( ) dI( z)
=− ( R + jωL) = ( R+ jωL)( G+
jωC) U( z).
2
dz
dz
= ( + )( + ),
2
p R jω
L G jωC
2
dU z
( )
2
dz
=
( ).
2
p U z
p = ( R+ jωL)( G+ jωC):
Ausbreitungskoeffizient.
p
= α +
jβ
,
α = Re( p) ≥ 0, β = Im( p) ≥0.
+ −pz
− pz
U( z) = U e + U e .

1 dU ( z)
p + −pz
p − pz
I( z) =− = U e − U e ,
R+ jωL dz R+ jωL R+
jωL
Z
R+ jω
L R+
jω
L
= =
p G + jωC
0
:
Wellenimpedanz.
+ −
U − pz U pz
I( z) = e − e .
Z Z
0 0

U ( z)
= U e = U e α β
+ + − pz + − ( + j ) z
beschreibt eine sich in der positiven z-Richtung ausbreitende,
gedämpfte Welle:
+ + −α
z
u (,) z t = U e cos( ωt−β
z).
Die Phase der Spannung kann im Zeitpunkt t an der Stelle z
gleich sein, wie im Zeitpunkt t+∆t an der Stelle z+∆z:
ωt− βz = ω( t+∆t) − β( z+∆ z)
⇒ω∆ t = β∆z.
∆ z ω = v =
∆t
β
Wellenlänge λ:
Phasengeschwindigkeit.
2π
βλ = 2 π ⇒ λ = .
β

1
0.8
0.6
0.4
0.2
t t+ ∆t
U + e −α
z
0
-0.2
z
-0.4
-0.6
-0.8
∆ z = v∆t
-1
0 1 2 3 4 5 6 7
λ

1
0.8
0.6
0.4
0.2
0
-0.2
-0.4
-0.6
-0.8
-1
0 1 2 3 4 5 6 7

Ähnlich beschreibt
U ( z)
= U e = U e α β
− − pz − ( + j ) z
eine sich in der negativen z-Richtung ausbreitende, gedämpfte
Welle:
−
− α z
u ( z, t) = U e cos( ωt+
β z).
Bedingung für die gleiche Phase im Zeitpunkt t an der Stelle z
und im Zeitpunkt t+∆t an der Stelle z+∆z:
∆ z ω
ωt+ βz = ω( t+∆ t) + β( z+∆ z)
⇒ω∆ t =−β∆ z,
= v =− .
∆t
β
α : Dämpfungsfaktor,
β : Phasenfaktor.

+ −
Allgemeine Lösung: ( ) pz − pz
U z = U e + U e ,
+ −
U − pz U pz
I( z) = e − e .
Z Z
0 0
Die Wellenimpedanz Z 0 ist das Verhältnis zwischen den
komplexen Amplituden der sich in der positiven Richtung
ausbreitenden Spannungs- und Stromwellen.
Für die sich in der negativen Richtung ausbreitenden
Wellen ist dieses Verhältnis -Z 0 .

4.1.2 Ideale Leitung
R
= 0, G = 0.
p = ( jωL)( jωC) = jω LC ⇒ α = 0, β = ω LC.
Z
0
.
Keine Dämpfung!
jω
L L
= = Die Wellenimpedanz ist reell!
jωC
C
ω 1 v = = . Im Allgemeinen gilt LC = µε.
β LC
1
8 m
Im Vakuum: v = 2.9979 10 c:
µε
≈ ⋅ s
= Lichtgeschwindigkeit!
0 0

Ideale Leitung bei allgemeiner Zeitabhängigkeit:
∂u
∂i
∂i
Leitungsgleichungen: − = L , − = C
∂z
∂t
∂z
∂u
∂t
.
∂ u
∂z
∂ u
∂t
2 2
= LC ,
2 2
∂ i
∂z
∂ i
∂t
2 2
= LC :
2 2
skalare 1D Wellengleichung.
z
Alle Funktionen der Form f(,) z t = f( t∓ ) sind Lösungen
1 v
der 1D Wellengleichung ( v = ):
LC
∂
∂
2
f
=
1
z
f′′
( t∓
),
2 2
z v v
2
∂
1
LC f = LCf ′′( t ∓
z ) = f ′′( t ∓
z ).
2 2
∂t v v v
q. e. d.

z
f( t−
) beschreibt eine sich in der positiven z-Richtung mit einer
v
Geschwindigkeit v ausbreitende Welle:
f( −x)
z.B.
f(,)
z t t = 0 t = ∆t
x
v∆t
z

4.1.3 Abschluss von Leitungen
I( z)
U0
U( z)
Z2
0 l
U(0) = U0,
Ul () = ZIl
2
().
+ −
U
+ −pl
− pl
− pl U pl
Ul () = Ue + Ue , Il () = e − e .
Z Z
U e
+ −pl
− pl 1+
U e + U e
Z U e
2
= Z0 = Z
+ −pl
− pl 0 −
U e −U e U e
1−
U e
0 0
− pl
+ −pl
pl
+ −pl
.
z

U e U
= = Reflexionskoeffizient.
U e U
− pl −
2 pl
2
e :
+ − pl +
Z
=
Z
2 0
1+
1−
r
r
2
2
,
r
2
=
Z
Z
− Z
+ Z
2 0
2 0
.
U( z) = U e ( e + re ),
0
+ −pl p( l−z) −p( l−z)
2
+
U −pl p( l−z) −p( l−z)
I( z) = e ( e −re
2
).
Z
einfallende Wellen
reflektierte Wellen

+ −2
pl
Am Anfang der Leitung: U(0) = U = U (1 + re ),
0 2
U
+
U
− + −2
= , U = U re
1 + re
0
−2
pl
2
pl
2
.
r
2
=
Z
Z
− Z
+ Z
2 0
2 0
.
Anpassung:
Wenn Z2 = Z0 : r2
= 0. Keine Reflexion:
pz
U( z) = U + e
− ,
+
U − pz
I( z) e .
Z
= 0
0
U( z)
I( z)
=
Z
.

Kurzschluss:
Wenn Z2 = 0: r2
=−1.
Mit der Bezeichnung x= l−
z:
+ −pl px −px
U( x) = U e ( e −e
),
+
U −pl px −px
I( x) = e ( e + e ).
Z
Spezialfall: ideale Leitung ( α = 0, p = jβ
)
+ − jβl jβx − jβx + − jβl
U( x) = U e ( e − e ) = 2jU e sin β x,
+ +
U − jβl jβx − jβx U − jβl
I( x) = e ( e + e ) = 2 e cos β x.
Z
Z
0 0
Stehende Wellen.
0

Spannung und Strom beim Kurzschluss.
x
1
0 . 8
0 . 6
0 . 4
0 . 2
0
-0 .2
-0 .4
-0 .6
-0 .8
t
>
t
2 1
t
>
t
5 4
t 1
t
>
t
4 3
t
>
t
3 2
uxt ( , )
0
-1
0 1 2 3 4 5 6 . 2 8 3 2 7
1
ixt ( , )
x 2 1
1
0
t
t
>
t
>
4 3
t
t
>
t
t
3 2
5 4
-1
0 6 . 2 8 3 2
t
>
t
0

Leerlauf:
Wenn Z2 →∞ : r2
= 1.
Für ideale Leitungen:
+ − jβl jβx − jβx + − jβl
U( x) = U e ( e + e ) = 2U e cos β x,
+ +
U − jβl jβx − jβx U − jβl
I( x) = e ( e − e ) = 2j e sin β x.
Z
Z
0 0

Spannung und Strom beim Leerlauf:
1
uxt ( , )
x 2 1
1
0
t
t
>
t
>
4 3
t
t
>
t
t
3 2
-1
0 6 . 2 8 3 2
t
>
t
5 4
0
1
0 . 8
t
>
t
2 1
t 1
t
>
t
3 2
ixt ( , )
0 . 6
x
0 . 4
0 . 2
0
-0 .2
-0 .4
t
>
t
5 4
t
>
t
4 3
0
-0 .6
-0 .8
-1
0 1 2 3 4 5 6 . 2 8 3 2 7

4.2 Ebene Wellen
Maxwellsche Gleichungen im Vakuum (µ = µ 0 , ε = ε 0 ), in
Abwesenheit von Ladungen und Strömen (ρ = 0, J = 0):
rot = ε ∂ E
H
0
, rot =−µ ∂ H
E
0
,
∂t
∂t
div H = 0, div E = 0.
∂
∂ H
rotrotH = graddivH−∆ H= ε rotE=−ε µ
∂t
∂t
Ähnlich:
= 0
∆ =εµ ∂ H
H
∂t
2
∆ =εµ ∂ E
E
∂t
2
,
0 0 2
0 0 2 .
⎫
⎬
⎭
2
,
0 0 0 2
Vektorielle 3D Wellengleichung

∂ ∂
Annahme: = 0, = 0.
∂x
∂y
In jeder z = konstant Ebene ist das
elektromagnetische Feld konstant:
Ebene Wellen:
∂ H
∂z
∂ H
∂t
2 2
= εµ ,
2 0 0 2
∂ E
∂z
∂ E
∂t
Vektorielle 1D Wellengleichung.
2 2
= εµ :
2 0 0 2
Alle Komponenten des elektromagnetischen Feldes E x , E y , E z ,
H x , H y , H z erfüllen die skalare 1D Wellengleichung:
∂ f
∂z
∂ f
∂t
2 2
= εµ .
2 0 0 2
Lösung:
z 1
f ( t∓
), v= = c.
v µε
0 0

Wellen mit Ausbreitungsgeschwindigkeit gleich der
Lichtgeschwindigkeit:
z
z
z
Ex(,) z t = Ex( t∓
), Ey(,) z t = Ey( t∓ ), Ez(,) z t = Ez( t∓
),
c
c
c
z
z
z
Hx(,) z t = Hx( t∓ ), Hy(,) z t = Hy( t∓ ), Hz(,) z t = Hz( t∓
).
c
c
c
Zusammenhang zwischen E und H:
rotH
e e e
x y z
∂ ∂ ∂ ∂E
= = ε
∂x ∂y ∂z ∂t
H H H
x y z
0
,
Ebene Wellen:
∂ 1
= 0, ∂ = 0, ∂ = ∓
∂ .
∂x ∂y ∂z c ∂t

ex ey ez
ex ey ez
1 ∂ 1 ∂ 1 ∂
rotH = 0 0 ∓ = ∓ 0 0 1 = ∓ ( ez
× H).
v ∂t v ∂t v ∂t
Hx Hy Hz
H H H
x y z
1 ∂
∂E
1
∓ ε ∓ ε
∓
v ∂t t v
0
( ez× H) =
0
⇒ ( ez× H) =
0E; ( ez× H) = E.
∂
µ
0
ε
Ähnlich aus der II. Maxwellschen Gleichung:
µ
0
( ez
× E) =± H.
ε0
Obere Vorzeichen: Ausbreitung in der positiven z-Richtung,
Untere Vorzeichen: Ausbreitung in der negativen z-Richtung.

S
z
E(,) zt = E( t−
)
c
Ausbreitungsrichtung
S
z
H(,) zt = H( t+
)
c
Ausbreitungsrichtung
e z
z
H(,) zt = H( t−
)
c
e z
z
E(,) zt = E( t+
)
c
Die Richtung des Poyntingschen Vektor stimmt mit der
Ausbreitungsrichtung überein.
µ µ
1
S= E× H = ∓ ( e × H) × H=± e H =± e H ,
ε ε µε
0 0 2 2
z z z
µ
0
0 0 0 0
ε
ε
1
S= E× H = E× [ ± ( e × E)] =± e E =± e E ,
µ µ µε
0 0 2 2
z z z
ε0
0 0 0 0
1 2 2
(
0 0 ).
S=± e c z
2
ε E + µ H

Allgemeinere Materialeigenschaften: µ , εγ= , konstant.
Maxwellsche Gleichungen in Abwesenheit von Ladungen
(ρ = 0):
rot γ ε ∂ E
H = E + , rot =−µ ∂ H
E ,
∂ t
∂t
div H = 0, div E = 0.
2
∂ ∂H
∂ H
rotrotH = graddivH−∆ H= γrotE+ ε rotE=−γµ −εµ
∂t ∂t ∂t
Ähnlich:
= 0
2
∂H
∂ H
∆H−γµ − εµ = 0
∂t
∂t
2
,
2
∂E
∂ E
∆E−γµ − εµ = 0
∂t
∂t
2
.
2 ,

Für ebene Wellen:
2
∂ ∂ ∂
= 0, = 0 ⇒∆= .
2
∂x ∂y ∂z
2
∂ 2 E ∂ E ∂E
= µε + µγ ,
2 2
∂z ∂t ∂t
2
∂ 2 H ∂ H ∂H
= µε + µγ .
2 2
∂z ∂t ∂t
Völlige Analogie mit den Leitungsgleichungen:
2 2
∂ ∂ ∂
u u u
= LC + ( RC + LG) + RGu,
2 2
∂z ∂t ∂t
2 2
∂ ∂ ∂
i i i
= LC + ( RC + LG) + RGi.
2 2
∂z ∂t ∂t
u ⇔ E, i ⇔ H,
R ⇔0, L⇔ µ , G ⇔γ, C ⇔ε.

Zeitharmonischer Fall, komplexe Schreibweise
E( z), H( z) : komplexe Amplituden.
Lösung (wegen der Analogie):
+ −
( ) pz − pz
E z = E e + E e ,
+ −
E − E
( ) pz
pz
H z = e − e .
Z Z
0 0
Ausbreitungskoeffizient: p = jωµ ( γ+ jωε) = α+
jβ,
jωµ
Wellenimpedanz: Z0 = .
γ + jωε
Gedämpfte Wellen, die sich in der positiven und
negativen z-Richtung ausbreiten.

Verlustloses Medium: γ = 0.
p= ( jωµ )( jωε) = jω µε ⇒ α = 0, β = ω µε.
Z
jωµ µ
jωε
ε
0
= = .
v
ω 1 1 1 c
= = = = ≤
β µε µε µε µε
r r 0 0 r r
c.
c
Optik: v = , n: Brechungsindex
n
Maxwellsche Relation:
n
= ε =
2
r; n εr,
da für optisch durchsichtige Medien µ
r
= 1.

4.3 Elektromagnetische Wellen im unendlichen, homogenen Raum
Annahmen:
• die Stromdichte J und die Ladungsdichte ρ sind im gesamten
Raum in jedem Zeitpunkt bekannt: Jr ( , t) und ρ( r,t) sind gegeben,
• Die Materialeigenschaften µ und ε sind im gesamten Raum
konstant, z.B. µ = µ 0 , ε = ε 0 ,
• Verlustloses Medium: γ = 0.
z. B. Antenne:
homogenes Medium
(z.B. Vakuum oder Luft: µ , ε )
0 0
Jr (,) t
elektromagnetisches Feld: E(r,t), H(r,t)

4.3.1. Lösung der Maxwellschen Gleichungen mit retardierten
Potentialen
Maxwellsche Gleichungen:
∂D
∂B
rotH = J + , rotE =− ,
∂ t
∂ t
div B = 0, divD = ρ,
B= µ H, D=
ε E.
0 0
Potentiale:
1
B= rotA, H = rotA,
µ
0
∂A
∂A
E=− − gradV , D=−ε0 −ε0gradV.
∂t
∂t

2
∂ A
rotrotA= graddivA−∆ A= µ J−µ ε −µ ε grad
∂t
∂V
∂t
0 0 0 2 0 0
.
Die Divergenz von A kann frei gewählt werden:
divA
V
=−µε ∂
∂t
0 0
:
∂ A
−∆ A+ µ ε = µ
∂t
2
0 0 2 0J.
Lorenz-Eichung.
∂A
∂divA
ρ
div( −gradV − ) =−∆V
− = .
∂t
∂t
ε
Mit der Lorenz-Eichung:
0
Inhomogene 3D
Wellengleichungen
2
∂ V
−∆ V + µε
0 0
=
2
∂t
ρ
.
ε
0

∂
Im statischen Fall ( = 0) übergehen diese Gleichungen in die
∂t
ρ
Laplace-Poissonschen Gleichungen −∆ A= µ
0
J,
−∆ V =
ε0
mit den bekannten Lösungen
0
( ′)
dΩ′
Ar () =
,
4
µπ ∫ Jr Ω
r−
r′
1 ρ( r′ ) dΩ′
V () r = ∫ .
4πε Ω
r−
r′
0
In Bereichen, wo die Stromdichte und die Ladungsdichte
verschwinden, erhält man die Wellengleichungen
2
2
∂ A
∂ V
−∆ A+ µε
0 0
= 0,
−∆ V + µε
2 0 0
= 0.
2
∂t
∂t

Die Lösungen der inhomogenen Wellengleichungen im
unendlichen freien Raum sind
t
r−
r′
Jr ( ′, t−
) dΩ′
µ
c
∫
4π Ω
r−
r′
0
(,) =
,
Ar
r−
r′
ρ( r′ , t−
) dΩ′
1
V(,) r t =
c
∫
,
4πε Ω
r−
r′
0
1
( c = ).
µ ε
0 0
Ar ( , t) und V ( r, t) sind die retardierten Potentiale.

Im zeitharmonischen Fall:
Ar ( ), V ( r), Jr ( ′) und ρ( r′
) sind komplexe Amplituden.
Im Zeitbereich:
r−
r′ ( , ) ˆ
r−
r′
Jr′ t− = Jr ( ′)cos[ ω( t− ) + ϕ( r′
)].
c
c
r−r′
− j
′
ω
( )
0
Im Frequenzbereich: ˆ( )
jϕ
r′
c
− jk r−r
Jr′ e e = Jr ( ′ ) e ,
k
ω = = ω µ ε
c
0 0 0
: Wellenzahl (Phasenfaktor).
− jk0
r−r′
′ ′
µ
0
Jr ( ) e dΩ
Ar () = ∫
,
4π
r−
r′
Ω
0
− jk0
r−r′
′ ′
1 ρ( r ) e dΩ
V () r = ∫
.
4πε
r−
r′
Ω

Mit Hilfe der Lorenz-Eichung, kann V eliminiert werden:
V
divA =−µε ∂
0 0 lautet im Frequenzbereich divA = − jωµ 0ε0 V.
∂t
1
V =− divA.
jωµ ε
0 0
1
E= −jωA− gradV =− jωA+ graddivA=
jωµ 0ε0
1 2
= ( ωµε
0 0A+
graddivA).
jωµ ε
0 0
B= rotA,
1 2
E= ( k0
A+
graddivA).
jωµ ε
0 0

4.4 Geführte Wellen
Leitungen: transversale (x, y) Abmessungen wesentlich
kleiner als die Wellenlänge.
z
D
2π
2π
1
λ = = = =
ω µε k f µε
v
f
.
D
Wenn diese Bedingung nicht erfüllt ist: Wellenleiter.
z.B.: Hohlleiter
b µ , ε
a
Metallrohr
( ) γ →∞

Annahmen:
• Sinusförmige Zeitabhängigkeit: alle Größen sind
komplexe Amplituden,
• Materialeigenschaften sind konstant:
µ, ε = konstant,
• Verlustloses Medium: γ = 0,
• Keine freie Ladungen vorhanden: ρ = 0.

4.4.1 TM- und TE-Wellen
Wellengleichungen für die Potentiale A und V:
Im Zeitbereich:
2
2
∂ A
∂ V
−∆ A+ µε = 0,
−∆ V + µε = 0.
2 2
∂t
∂t
Im Frequenzbereich:
2
A ω µεA 0
−∆ − =
,
2
−∆V
− ω µεV
=0
,
k = ω µε :
A A 0.
2
−∆ − k =

Elektromagnetisches Feld, falls A( z) = Axy ( , , z) e :
e e e
x y z
1 1 ∂ ∂ ∂ 1 ∂A
1 ∂A
H = rot( Aez) = = ex − ey,
µ µ ∂x ∂y ∂z µ ∂y µ ∂x
0 0 A
1 2
E= [ k Aez
+ graddiv( Aez)]
=
jωµε
H
z
=
1 ∂ A ∂ A ∂ A
= + + + k A
jωµε
∂∂ x z ∂∂ y z ∂z
2 2 2
2
[ ex ey ( ) e ].
2
z
0: die longitudinale Komponente des Magnetfeldes ist Null.
Das Magnetfeld ist transversal: TM-Wellen.
z

Alternative zu den Potentialen A und V:
1
D= rotF, E=
rotF,
ε
rotH− jωD= rot( H− jωF) = 0⇒ H = jωF−gradψ,
F
B= jωµ F−µ gradψ.
: elektrisches Vektorpotential, ψ: magnetisches Skalarpotential.
rotE
= − jωB:
rotrotF = graddivF−∆ F=−jωµε ( jωF−gradψ
).
Lorenz-Eichung: divF = jωµεψ .
2
F ω µεF 0
−∆ − =
,
divB = ⇒−∆ψ − ωµεψ=
2
0 0.
F F 0:
Wellengleichung.
2
−∆ − k =

Mit Hilfe der Lorenz-Eichung, kann ψ eliminiert werden:
1
divF= jωµεψ
⇒ ψ = divF.
jωµε
1
H = jωF− gradψ = jωF− graddivF=
jωµε
1
=− ωµεF+
graddivF
jωµε
2
( ).
D
= rotF,
1
H =− F+
graddivF
jωµε
2
( k
).

Elektromagnetisches Feld, falls F( z) = F( x, y, z) e :
e e e
x y z
1 1 ∂ ∂ ∂ 1 ∂F
1 ∂F
E= rot( Fez) = = ex − ey,
ε ε ∂x ∂y ∂z ε ∂y ε ∂x
0 0 F
1 2
H = − [ k Fez
+ graddiv( Fez)]
=
jωµε
E
z
=
1 ∂ F ∂ F ∂ F
=− + + + kF
jωµε
∂∂ x z ∂∂ y z ∂z
2 2 2
2
[ ex ey ( ) e ].
2
z
0: die longitudinale Komponente des elektrischen Feldes ist Null.
Das elektrische Feld ist transversal: TE-Wellen.
z

Die allgemeine Lösung der Maxwellschen Gleichungen in
homogenen Medien kann als die Superposition von TMund
TE-Wellen dargestellt werden.
Die einkomponentigen Vektorpotentialfunktionen
erlauben damit die Beschreibung des elektromagnetischen
Feldes mit Hilfe von zwei Skalarfunktionen.

4.4.2 Wellen in rechteckigen Hohlleitern
y
=
y
z
0,0 x=
a
b
x
Annahme:
Wellenausbreitung in der
positiven z-Richtung.
j z
TM-Wellen: A( xyz , , ) = Axyz ( , , ) e = Axye ( , ) − β e ,
j z
TE-Wellen: F( xyz , , ) = Fxyz ( , , ) e = Fxye ( , ) − β e .
Randbedingungen:
E× n=
0
E = 0, E = 0 für x= 0 und x=
a,
y
z
E = 0, E = 0 für y = 0 und y = b.
x
z
z
z
an den Wänden des Hohlleiters.
z
z

Randbedingungen für die Potentiale:
TM-Wellen:
∂
∂z
∂
= − jβ
=−
∂z
2
2
, β .
2
2 2 2
1 ∂ A ∂ A ∂ A 2
E= [ ex + ey + ( + ) ]
2 k A ez
=
jωµε
∂∂ x z ∂∂ y z ∂z
1 ∂A
∂A
=− e + e + − e
jωµε
∂x ∂y
Dirichletsche R.B.
A = 0 für x= 0, x= a, y = 0 und y = b,
2 2
[ jβ x
jβ y
( β k ) A
z].
TE-Wellen:
∂F
∂x
∂F
∂y
E 1 ∂F
1 ∂F
= −
ε ∂y
e ε ∂x
e
x y .
= 0 für x= 0 und x=
a,
= 0 für y = 0 und y = b,
Neumannsche R.B.

TM-Wellen:
2
−∆ − k =
A A 0 , k = ω µε .
j z
A( xyz , , ) = Axye ( , ) − β e :
z
∂ A ∂ A
− − + − =
∂x
∂y
2 2
2 2
β A k A 0.
2 2
Lösung mit Separationsmethode: A( xy , ) = XxYy ( ) ( ).
d X( x) d Y( y)
−Y y − X x + − k X x Y y =
dx
dy
2 2
1 d X( x) 1 d Y( y)
2 2
− − + β − k = 0.
2 2
X ( x) dx Y ( y)
dy
2 2
2 2
( ) ( ) ( β ) ( ) ( ) 0,
2 2
f ( x) g( y)
Dies ist nur dann möglich, wenn f ( x)
= konstant, g(
y)
=
konstant.

Man erhält die folgenden gewöhnlichen Differentialgleichungen:
2 2
d X( x) d Y( y)
= fX( x), = gY ( y).
2 2
dx
dy
Lösung:
f = − k , g =−k
: X( x) = C1x coskxx+
C2xsin kxx,
2 2
x
y
Y( y) = C cosk y+
C sin k y.
1y y 2y y
π
Randbedingungen: X(0) = X( a) = 0 ⇒ C1
x
= 0, kx
= m , m=
1,2,... ,
a
π
Y(0) = Y( a) = 0 ⇒ C1
y
= 0, ky
= n , n=
1,2,... .
b

TM mn -Wellen:
mπ nπ − jβ
z
C = C2xC2 y
: Axyz ( , , ) = Csin( x)sin( ye ) .
a b
H 1 ∂A
1 ∂A
=
x
−
y
:
µ ∂y
e µ ∂x
e Cnπ sin( mπ )cos( nπ
) − jβ
z
H ,
x
=
x y e
µ b a b
Cmπ mπ nπ
− jβ
z
Hy
=− cos( x)sin( y) e ,
µ a a b
H
z
= 0.
E 1 ∂A
∂A
2 2
=− [ jβ x
+ jβ y
+ ( β −k ) A
z]:
jωµε
∂x e ∂y
e e
Cβ mπ mπ nπ
− jβ
z
Ex
=− cos( x)sin( y) e ,
ωµε a a b
Cβ nπ mπ nπ
− jβ
z
Ey
=− sin( x)cos( y) e ,
ωµε b a b
2 2
Ck ( − β ) mπ nπ
sin( )sin( )
− jβ
z
Ez
=
x y e .
jωµε
a b

TE-Wellen:
2
−∆ − k =
F F 0 , k = ω µε .
j z
F( xyz , , ) = Fxye ( , ) − β e :
z
∂ F ∂ F
− − + − =
∂x
∂y
2 2
2 2
β F k F 0.
2 2
Lösung mit Separationsmethode: F( x, y) = X( x) Y( y).
d X( x) d Y( y)
−Y y − X x + − k X x Y y =
dx
dy
2 2
1 d X( x) 1 d Y( y)
2 2
− − + β − k = 0.
2 2
X ( x) dx Y ( y)
dy
2 2
2 2
( ) ( ) ( β ) ( ) ( ) 0,
2 2
f ( x) g( y)
Dies ist nur dann möglich, wenn f ( x)
= konstant, g(
y)
=
konstant.

Man erhält die folgenden gewöhnlichen Differentialgleichungen:
2 2
d X( x) d Y( y)
= fX( x), = gY ( y).
2 2
dx
dy
Lösung:
f = − k , g =−k
: X( x) = C1x coskxx+
C2xsin kxx,
2 2
x
y
Y( y) = C cosk y+
C sin k y.
1y y 2y y
Randbedingungen:
dX (0) dX ( a)
π
= = 0 ⇒ C2x
= 0, kx
= m , m=
0,1,2,... ,
dx dx a
dY (0) dY ( a)
π
= = 0 ⇒ C2
y
= 0, ky
= n , n=
0,1,2,... .
dy dy b

TE mn -Wellen:
mπ nπ − jβ
z
C = C1xC1 y
: F( x, y, z) = Ccos( x)cos( y) e .
a b
E 1 ∂F
1 ∂F
=
x
−
y
:
ε ∂y
e ε ∂x
e Cnπ cos( mπ )sin( nπ
) − jβ
z
E ,
x
=−
x y e
ε b a b
Cmπ mπ nπ
− jβ
z
Ey
= sin( x)cos( y) e ,
ε a a b
E
z
= 0.
H 1 ∂F
∂F
2 2
= [ jβ x
+ jβ y
+ ( β −k ) F
z]:
jωµε
∂x e ∂y
e e
Cβ mπ mπ nπ
− jβ
z
Hx
=− sin( x)cos( y) e ,
ωµε a a b
Cβ nπ mπ nπ
− jβ
z
Hy
=− cos( x)sin( y) e ,
ωµε b a b
2 2
C( β − k ) mπ nπ
cos( )cos( )
− jβ
z
Hz
=
x y e .
jωµε
a b

Erfüllung der Separationsgleichung:
β
2 2
−f − g+ − k =
0.
k + k + β − k =
2 2 2 2
x y
mπ
a
0,
2 2 2 2
( ) ( ) 0,
mπ
nπ
kx
k k
a b
2 2
= ,
y
= , = ω µε.
nπ
+ + β − ω µε = m, n = (0), 1, 2, ... .
b
Bei gegebenen Werten von n und m (Wellenformen), ist die
2
Kreisfrequenz nicht beliebig: β darf nicht negativ werden!
Wäre
2
− jβ
z α z
β < 0, hätte man β = ± jα, − jβ = ∓α
⇒ e = e
∓ :
nur Dämpfung, keine Wellenausbreitung.

2 2 mπ 2 nπ 2 π m 2 n 2
β = ω µε −( ) −( ) ≥0 ⇒ω
≥ ( ) + ( ) .
a b µε a b
f
≥ 1 m
f = g
2 µε a
+
n
b
2 2
( ) ( ) .
2π
f g
f g : Grenzfrequenz.
Eine bestimmte Wellenform ist nur für Frequenzen über der
Grenzfrequenz ausbreitungsfähig.