E - Institut für Grundlagen und Theorie der Elektrotechnik
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∂ − 2 3<br />
V<br />
∂x<br />
Beweis:<br />
2<br />
∂ V<br />
2<br />
∂x<br />
Q<br />
= −<br />
4πε<br />
0<br />
Q<br />
= − ( x − x′<br />
) r − r′<br />
4πε<br />
0<br />
Q<br />
= −<br />
4πε<br />
[ ]<br />
2<br />
=<br />
2<br />
2<br />
( x − x′<br />
)( x − x′<br />
) + ( y − y′<br />
) + ( z − z′<br />
)<br />
0<br />
−3<br />
[ ( ) ]<br />
−3<br />
2 −5<br />
r − r′<br />
− 3 x − x′<br />
r − r′<br />
2<br />
∂ V<br />
2<br />
∂x<br />
+<br />
2<br />
∂ V<br />
2<br />
∂y<br />
+<br />
2<br />
∂ V<br />
2<br />
∂z<br />
= −<br />
2<br />
2<br />
( x − x′<br />
) + ( y − y′<br />
) + ( z − z′<br />
)<br />
Q ⎡ 3<br />
⎢ − 3<br />
3<br />
4πε<br />
⎣ r − r′<br />
r − r′<br />
0<br />
5<br />
2<br />
⎤<br />
⎥<br />
⎦<br />
=<br />
= −<br />
Q<br />
4πε<br />
0<br />
⎡<br />
3⎢<br />
⎣ r<br />
1<br />
− r′<br />
3<br />
−<br />
r<br />
r<br />
− r′<br />
− r′<br />
2<br />
5<br />
⎤<br />
⎥<br />
⎦<br />
=<br />
0,<br />
wenn r ≠ r′<br />
.<br />
q. e. d.
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