E - Institut für Grundlagen und Theorie der Elektrotechnik

Laplace Operator im allgemeinen, orthogonalen Koordinatensystem:
( )
gradu
∆u = div
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
∂
∂
∂
∂
+
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
∂
∂
∂
∂
+
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
∂
∂
∂
∂
=
∆
3
3
2
1
3
2
2
1
3
2
1
1
3
2
1
3
2
1
1
x
u
h
h h
x
x
u
h
h
h
x
x
u
h
h
h
x
h
h h
u
2
2
2
2
2
2
)
,
,
(
z
u
y
u
x
u
z
y
x
u
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
=
∆
2
2
2
2
2
1
1
)
,
,
(
z
u
u
r
r
u
r
r
r
z
r
u
∂
∂
+
∂
∂
+
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
∂
∂
∂
∂
=
∆
φ
φ
2
2
2
2
2
2
2
sin
1
sin
sin
1
1
)
,
,
(
φ
θ
θ
θ
θ
θ
φ
θ
∂
∂
+
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
∂
∂
∂
∂
+
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
∂
∂
∂
∂
=
∆
u
r
u
r
r
u
r
r
r
r
u