E - Institut für Grundlagen und Theorie der Elektrotechnik
E - Institut für Grundlagen und Theorie der Elektrotechnik
E - Institut für Grundlagen und Theorie der Elektrotechnik
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Ergänzende Unterlagen zur Vorlesung<br />
<strong>Theorie</strong> <strong>der</strong> <strong>Elektrotechnik</strong> 2<br />
(437.115)<br />
von<br />
Ao. Univ.-Prof. Dipl.-Ing. Dr.techn. Oszkár Bíró
1. Die Maxwellschen Gleichungen:<br />
I.<br />
∂D<br />
rotH<br />
= J + ,<br />
∂t<br />
II.<br />
∂B<br />
rotE<br />
= − ,<br />
∂t<br />
III.<br />
divB<br />
= 0,<br />
IV.<br />
divD<br />
= ρ,<br />
verallgemeinerter Durchflutungssatz,<br />
Induktionsgesetz,<br />
Quellenfreiheit <strong>der</strong> magnetischen Induktion,<br />
Gaußsches Gesetz.<br />
Folgegleichung: Kontinuitätsgesetz:<br />
divJ<br />
∂ρ<br />
= − .<br />
∂t<br />
(die Divergenz <strong>der</strong> I. Maxwellschen Gleichung<br />
+ die IV. Maxwellsche Gleichung:<br />
⎛ ∂D<br />
div<br />
⎞<br />
⎜J<br />
+ ⎟ = 0,<br />
divD<br />
= ρ.)<br />
⎝ ∂t<br />
⎠
Feldgrößen in Spannungsquellen<br />
In Spannungsquellen erfolgt eine Ladungstrennung in Folge<br />
von nichtelektrischen (z.B. chemischen) Vorgängen. Die<br />
eingeprägte Feldstärke E e ist eine fiktive, äquivalente<br />
elektrische Feldstärke, welche die gleiche Ladungstrennung<br />
P1<br />
P2<br />
P2<br />
hervorrufen würde: u = ∫ ⋅ = −∫<br />
q<br />
Ee<br />
dr<br />
Ee<br />
⋅dr,<br />
u = ∫ E⋅dr<br />
P2<br />
P1<br />
P1<br />
P 1<br />
i<br />
P<br />
+ + + + + + + + +<br />
1<br />
P<br />
Γ: Querschnitt<br />
2<br />
E e J E u<br />
JΓ<br />
J<br />
γ : spezifische iR = ∫ ⋅ = −∫<br />
⋅<br />
_ _ _ _ _<br />
q<br />
dr<br />
dr<br />
γΓ<br />
γ<br />
P2<br />
P1<br />
P Leitfähigkeit<br />
2<br />
J<br />
reale Spannungsquelle: u = u q<br />
− iR q<br />
⇒ E = −Ee<br />
+<br />
γ<br />
ideale Spannungsquelle:<br />
u = ⇒ E = −E<br />
γ → ∞<br />
u q<br />
J = γ ( E + E ) e<br />
e ,
Materialgleichungen:<br />
D = εE, B = µ H,<br />
J = γ ( E + Ee).<br />
Energie- <strong>und</strong> Leistungsdichte:<br />
w = w e<br />
+ w m<br />
=<br />
p =<br />
J<br />
γ<br />
2<br />
.<br />
1<br />
2<br />
E⋅<br />
D +<br />
1<br />
2<br />
H ⋅B<br />
⎛<br />
⎜<br />
⎝<br />
D<br />
= ∫ E⋅dD<br />
+ ∫<br />
0<br />
B<br />
0<br />
⎞<br />
H ⋅dB<br />
⎟,<br />
⎠<br />
Energie <strong>und</strong> Verlustleistung in einem Volumen Ω:<br />
W<br />
= ∫ wdΩ, P = ∫ pdΩ.<br />
Ω<br />
Ω
1.1 Einteilung <strong>der</strong> Elektrodynamik<br />
⎛ ∂ ⎞<br />
1. Statische <strong>und</strong> stationäre Fel<strong>der</strong> ⎜ = 0⎟ ⎝ ∂t<br />
⎠<br />
rotH<br />
= J, rotE<br />
= 0,<br />
divB<br />
= 0, divD<br />
= ρ,<br />
divJ<br />
=<br />
0.<br />
elektrostatisches Feld: rotE<br />
= 0, divD<br />
= ρ , D = εE.<br />
stationäres Magnetfeld: rotH = J, divB<br />
= 0, B = µ H.<br />
stationäres Strömungsfeld: rotE = 0 divJ<br />
= 0, J = γ ( E + E ).<br />
,<br />
e
⎛ ∂D<br />
⎞<br />
2. Quasistationäres Feld ⎜ J >> ⎟<br />
⎝ ∂ t ⎠<br />
rotH<br />
= J,<br />
∂B<br />
rotE<br />
= − ,<br />
∂t<br />
divB<br />
= 0,<br />
B = µ H, J = γ ( E + Ee).
3. Elektromagnetische Wellen<br />
∂D<br />
rotH<br />
= J + ,<br />
∂t<br />
∂B<br />
rotE<br />
= − ,<br />
∂t<br />
divB<br />
= 0,<br />
divD<br />
= ρ,<br />
D = εE,<br />
B = µ H,<br />
J = γ ( E + Ee).
1.2 <strong>Gr<strong>und</strong>lagen</strong> <strong>der</strong> Netzwerktheorie<br />
Netzwerksignale:<br />
2<br />
u ∫ 12<br />
= E⋅dr,<br />
i ∫ Γ<br />
= J ⋅ndΓ,<br />
Q<br />
Ω<br />
1<br />
Netzwerkelemente:<br />
Wi<strong>der</strong>stand: u = Ri,<br />
Γ<br />
= ∫ ρ dΩ = ∫ divDdΩ = ∫ D⋅ndΓ,<br />
Φ ∫ Γ<br />
= B ⋅ndΓ.<br />
Ω<br />
Ω<br />
Γ<br />
Γ<br />
idealer Kondensator:<br />
Q = Cu,<br />
ideale Spule: Φ = Li.
Strom-Spannungsbeziehungen:<br />
Kondensator<br />
i<br />
Ω<br />
n<br />
Γ<br />
i<br />
u<br />
C<br />
i<br />
∂D<br />
∂t<br />
Integration des Kontinuitätsgesetzes über Ω:<br />
⎛ ∂ρ<br />
⎞<br />
d<br />
dQ<br />
⎜divJ+ ⎟dΩ= J⋅ndΓ+ ρdΩ=− i + = 0.<br />
⎝ ∂t ⎠<br />
dt dt<br />
∫ ∫ ∫<br />
Ω Γ Ω<br />
du<br />
i = C<br />
dt
Spule<br />
B<br />
i<br />
L<br />
i<br />
Γ n<br />
u<br />
C Γ<br />
u<br />
Integration des Induktionsgesetzes über Γ:<br />
∫<br />
Γ<br />
⎛ ∂B<br />
⎞<br />
d<br />
⎜rotE<br />
+ ⎟⋅ndΓ = ∫E⋅dr<br />
+ ∫ B ⋅ndΓ = −u<br />
⎝ ∂t<br />
⎠<br />
dt<br />
C<br />
Γ<br />
Γ<br />
+<br />
dΦ<br />
dt<br />
= 0.<br />
u = L<br />
di<br />
dt
Die Kirchhoffsche Knotenregel:<br />
Γ<br />
n<br />
i 2<br />
i 1<br />
Ω<br />
i 3<br />
∂D<br />
= 0 auf Γ,<br />
da Γ keine<br />
∂t<br />
Kondensatoren schneidet.<br />
i 4<br />
Integration des Kontinuitätsgesetzes über Ω:<br />
⎛ ∂ρ<br />
⎞ ⎛ ∂D⎞ ⎛ ∂D⎞<br />
⎜divJ+ ⎟dΩ= div⎜J+ ⎟dΩ= ⎜J+ ⎟⋅ndΓ= J⋅nd Γ= 0.<br />
⎝ ∂t ⎠ ⎝ ∂t ⎠ ⎝ ∂t<br />
⎠<br />
∫ ∫ ∫ ∫<br />
Ω Ω Γ Γ<br />
∑ i ν<br />
= 0<br />
ν
Die Kirchhoffsche Maschenregel:<br />
u L1<br />
u C1uR1<br />
u Rµ<br />
u Cµ<br />
u Lµ<br />
Γ<br />
u qµ<br />
u qm<br />
u Rm<br />
u Cm<br />
u Lm<br />
u q1<br />
C Γ<br />
Integration des Induktionsgesetzes über Γ:<br />
⎛ ∂B<br />
⎞<br />
d<br />
∫⎜rotE<br />
+ ⎟⋅ndΓ = ∫E⋅dr<br />
+ ∫ B ⋅ndΓ = 0.<br />
⎝ ∂t<br />
⎠<br />
dt<br />
Γ<br />
m<br />
C<br />
Γ<br />
∑( u + + + )<br />
qµ<br />
uR<br />
µ<br />
uCµ<br />
uLµ<br />
= 0<br />
µ = 1<br />
Γ
1.3 Energieumwandlungen im elektromagnetischen Feld<br />
+<br />
− E⋅rotH<br />
H ⋅rotE<br />
∂D<br />
= −E⋅<br />
J − E⋅<br />
∂t<br />
∂B<br />
= −H<br />
⋅<br />
∂t<br />
H ⋅ rotE<br />
− E⋅<br />
rotH<br />
∂B<br />
= −H<br />
⋅<br />
∂t<br />
I. MGl. ⋅ (-E)<br />
II. MGl. ⋅H<br />
∂D<br />
− E⋅<br />
J − E⋅<br />
∂t<br />
H ⋅ rotE<br />
− E⋅<br />
rotH<br />
= H ⋅<br />
( ∇× E) − E⋅( ∇× H) =<br />
( E × H ) + ∇ ⋅( E × H) = ∇ ⋅( E×<br />
H) = ( E×<br />
H)<br />
= ∇ ⋅<br />
div<br />
c<br />
c
Integration über ein Volumen Ω:<br />
−<br />
∫<br />
Ω<br />
⎛ ∂B<br />
∂D⎞<br />
⎜H<br />
⋅ + E⋅<br />
⎟dΩ = ∫ E⋅<br />
JdΩ + ∫ div( E×<br />
H)<br />
dΩ<br />
⎝ ∂t<br />
∂t<br />
⎠<br />
Ω<br />
Ω<br />
B<br />
∂B<br />
∂ ∂w<br />
⎛ ∂ ∂<br />
⋅ = ∫<br />
m<br />
1 1<br />
H H ⋅dB<br />
= ⎜=<br />
H ⋅B<br />
= µ H<br />
∂t<br />
∂t<br />
∂t<br />
⎝ ∂t<br />
2 ∂t<br />
∂D<br />
E⋅<br />
∂t<br />
J<br />
∫<br />
Ω<br />
γ<br />
∂<br />
=<br />
∂t<br />
0<br />
2<br />
D<br />
∫<br />
E⋅dD<br />
∂w<br />
=<br />
∂t<br />
J<br />
γ<br />
e<br />
⎛ ∂<br />
⎜=<br />
⎝ ∂t<br />
E⋅D<br />
∂ 1<br />
= ε E<br />
∂t<br />
0<br />
2<br />
( E + E ) ⇒ E = − E ⇒ E⋅<br />
J = − E ⋅ J = p − E ⋅ J<br />
=<br />
e<br />
e<br />
e<br />
e<br />
div<br />
( E H) dΩ = ∫ ( E×<br />
H)<br />
Γ<br />
1<br />
2<br />
× ⋅ndΓ<br />
J<br />
γ<br />
2<br />
2<br />
⎞<br />
⎟<br />
⎠<br />
2<br />
⎞<br />
⎟<br />
⎠<br />
(Gaußscher Satz)<br />
für<br />
lineare<br />
Medien
Poyntingscher Satz:<br />
−<br />
d<br />
dt<br />
∫ ( w ) ∫ ∫ ∫<br />
m<br />
+ we<br />
dΩ = dΩ − Ee<br />
⋅ JdΩ + ( E×<br />
H)<br />
Ω<br />
Ω<br />
J<br />
γ<br />
2<br />
Ω<br />
Γ<br />
⋅ndΓ<br />
rechte Seite:<br />
Ursachen für die Abnahme <strong>der</strong> Energie im Volumen<br />
S = E×<br />
H Poyntingscher Vektor: Leistung durch Einheitsfläche<br />
∫<br />
Γ<br />
S<br />
⋅ndΓ<br />
ist die Leistung, welche durch Strahlung das<br />
Volumen Ω verläßt.
1.4 Eindeutige Lösbarkeit <strong>der</strong> Maxwellschen Gleichungen<br />
Die Lösung <strong>der</strong> Maxwellschen Gleichungen in einem Volumen Ω<br />
mit dem Rand Γ ist für t > t 0 eindeutig, vorausgesetzt, dass die<br />
1. Anfangsbedingungen<br />
H<br />
r,<br />
t = t ) = H ( r),<br />
E(<br />
r,<br />
t = t ) = E ( r),<br />
∀r<br />
∈ , <strong>und</strong> die<br />
(<br />
0 0anf<br />
0 0anf<br />
Ω<br />
2. Randbedingungen für die Tangentialkomponenten<br />
H<br />
t<br />
( r,<br />
t)<br />
= H r t E r t = E r t ∀r<br />
∈Γ t ≥ t<br />
0 tan(<br />
, ) o<strong>der</strong><br />
t<br />
( , )<br />
0tan(<br />
, ), ,<br />
erfüllt sind. Sowohl die Funktionen H r),<br />
E ( ),<br />
0anf<br />
(<br />
0anf<br />
r<br />
H0tan( r,<br />
t)<br />
<strong>und</strong> E0tan(<br />
r,<br />
t)<br />
als auch die eingeprägte Feldstärke E e<br />
müssen bekannt sein. Lineare Materialeigenschaften werden<br />
angenommen.<br />
0
Beweis:<br />
Annahme:<br />
es existieren zwei Lösungen: E ′, H′<br />
<strong>und</strong> E′′<br />
, H′<br />
.<br />
Die Differenz <strong>der</strong> beiden: E = E′<br />
− E′′<br />
H = H′<br />
− H′<br />
0<br />
,<br />
0<br />
erfüllen die Maxwellschen Gleichungen (dies sind linear).<br />
Dabei sind die Anfangsbedingungen <strong>und</strong> Randbedingungen<br />
homogen bzw. E e0 =0. So gilt für sie <strong>der</strong> Poyntingsche Satz:<br />
−<br />
d<br />
dt<br />
∫<br />
Ω<br />
⎛<br />
⎜<br />
⎝<br />
1<br />
2<br />
2 1 2 ⎞ J<br />
+ ⎟dΩ = ∫<br />
0<br />
µ H0<br />
ε E0<br />
dΩ +<br />
0<br />
2 ⎠ γ<br />
Ω<br />
2<br />
∫ ( E × H ) 0<br />
Γ<br />
⋅ndΓ<br />
Da, wegen <strong>der</strong> Randbedingungen, entwe<strong>der</strong> E 0 o<strong>der</strong> H 0 in die<br />
Normalrichtung n zeigen, hat S<br />
0<br />
= E0<br />
× H0<br />
keine Normalkomponente.<br />
So ist das Oberflächenintegral Null.
−<br />
d<br />
dt<br />
∫<br />
Ω<br />
⎛<br />
⎞<br />
⎜<br />
1 2 1 2<br />
µ + ε ⎟dΩ = ∫<br />
0<br />
H0<br />
E<br />
J<br />
0<br />
⎝ 2 2 ⎠ γ<br />
Ω<br />
2<br />
dΩ<br />
Die rechte Seite kann nie negativ werden, d.h. dass <strong>der</strong><br />
Ausdruck dessen negative Zeitableitung an <strong>der</strong> linken<br />
Seite steht nie zunehmen kann. Er ist wegen <strong>der</strong><br />
Anfangsbedingungen im Zeitpunkt t 0 gleich Null <strong>und</strong> da<br />
er offensichtlich nicht negativ ist, kann er auch nicht<br />
abnehmen. Daher muss er immer Null sein:<br />
∫<br />
Ω<br />
⎛<br />
⎜<br />
⎝<br />
1 2 ⎞<br />
0 0 ⎟dΩ<br />
=<br />
2 1<br />
µ H + ε E<br />
2 2<br />
⎠<br />
Daraus folgt E = 0 H = 0,<br />
d.h. E′<br />
= E′′<br />
<strong>und</strong> H′<br />
= ′<br />
.<br />
0.<br />
0<br />
,<br />
0<br />
H<br />
q. e. d.
2. Statische <strong>und</strong> stationäre Fel<strong>der</strong><br />
Maxwellsche Gleichungen ⎛ ∂ ⎞<br />
⎜ = 0⎟ :<br />
⎝ ∂t<br />
⎠<br />
rotH<br />
= J,<br />
rotE<br />
= 0,<br />
divB<br />
= 0,<br />
divD<br />
= ρ,<br />
divJ<br />
= 0.<br />
elektrostatisches<br />
Feld:<br />
stationäres<br />
Magnetfeld:<br />
stationäres<br />
Strömungsfeld:<br />
rotE<br />
=<br />
0,<br />
rotH<br />
=<br />
J,<br />
rotE<br />
=<br />
0,<br />
divD<br />
=<br />
ρ,<br />
divB<br />
=<br />
0,<br />
divJ<br />
=<br />
0,<br />
D<br />
= εE.<br />
B<br />
= µ H.<br />
J<br />
= γ ( E +<br />
E<br />
e<br />
).
2.1 Randwertprobleme für das Skalarpotential<br />
Elektrostatisches Feld <strong>und</strong> stationäres Strömungsfeld:<br />
rotE<br />
= 0 ⇒ E = −gradV ,<br />
V: elektrisches Skalarpotential<br />
Stationäres Magnetfeld, wenn J=0:<br />
rotH<br />
= 0 ⇒ H = −gradψ ,<br />
ψ : magnetisches Skalarpotential<br />
Differentialgleichungen:<br />
divD = ρ ⇒ −div( εgradV<br />
) = ρ,<br />
divB = 0 ⇒ −div(<br />
µgradψ<br />
) = 0,<br />
divJ<br />
= 0 ⇒ −div(<br />
γgradV<br />
) = 0,<br />
verallgemeinerte Laplace-<br />
Poissonsche bzw. Laplacesche<br />
Gleichung.
Die Lösung <strong>der</strong> Laplace-Poissonschen Gleichung im<br />
unendlichen, leeren (ε=ε 0 ) Raum:<br />
1 ρ( r′ ) dΩ′<br />
V() r = ∫ , V( r→∞ ) = 0.<br />
4πε Ω<br />
r−<br />
r′<br />
0<br />
Im ladungsfreien Gebiet gilt auch für das elektrostatische<br />
Feld die verallgemeinerte Laplacesche Gleichung:<br />
− div( εgradV<br />
) =<br />
0.
Randbedingungen:<br />
Dirichletsche Randbedingung: V = (bekannt) auf Γ ,<br />
ψ<br />
V 0 D<br />
=ψ<br />
Bedeutet die Vorgabe von E t o<strong>der</strong> H t .<br />
(bekannt)<br />
auf<br />
Γ<br />
0 D<br />
ΓD<br />
wird im elektrostatischen Feld <strong>und</strong> stationären<br />
Strömungsfeld typischerweise durch<br />
Elektroden gebildet. Hier gilt E t<br />
= 0 ⇒ V = konstant.<br />
Stationäres Magnetfeld: Grenzfläche zu<br />
hochpermeablem Gebiet, magnetischer Wand ( µ → ∞).<br />
.<br />
µ = µ → ∞<br />
µ 0<br />
H t<br />
= 0<br />
H Eisen<br />
→ 0<br />
da<br />
H<br />
t<br />
= H tEisen
∂V<br />
Neumannsche Randbedingung: ε = σ (bekannt) auf ΓN<br />
,<br />
∂n<br />
∂V<br />
γ = 0 auf ΓN<br />
,<br />
∂n<br />
∂ψ<br />
µ = b (bekannt) auf ΓN<br />
.<br />
∂n<br />
Bedeutet die Vorgabe von D n , J n , bzw. B n .<br />
Im stationären Strömungsfeld ist Γ N die<br />
Grenzfläche zum nichtleitenden Gebiet.<br />
Falls σ=0 im elektrostatischen Feld <strong>und</strong> b=0 im<br />
stationären Magnetfeld, ist Γ N eine Fläche parallel<br />
zu den Feldlinien. Sonst ist D n , B n bekannt auf Γ N .
Randwertprobleme:<br />
.<br />
auf<br />
,<br />
auf<br />
in<br />
)<br />
(<br />
0 N<br />
D<br />
n<br />
V<br />
V<br />
V<br />
gradV<br />
div<br />
Γ<br />
=<br />
∂<br />
∂<br />
Γ<br />
=<br />
Ω,<br />
=<br />
−<br />
σ<br />
ε<br />
ρ<br />
ε<br />
elektrostatisches<br />
Feld:<br />
.<br />
auf<br />
,<br />
auf<br />
0 in<br />
)<br />
(<br />
0 N<br />
D<br />
b<br />
n<br />
grad<br />
div<br />
Γ<br />
=<br />
∂<br />
∂<br />
Γ<br />
=<br />
Ω,<br />
=<br />
−<br />
ψ<br />
µ<br />
ψ<br />
ψ<br />
ψ<br />
µ<br />
stationäres<br />
Magnetfeld:<br />
.<br />
0 auf<br />
,<br />
auf<br />
0 in<br />
)<br />
(<br />
0 N<br />
D<br />
n<br />
V<br />
V<br />
V<br />
gradV<br />
div<br />
Γ<br />
=<br />
∂<br />
∂<br />
Γ<br />
=<br />
Ω,<br />
=<br />
−<br />
γ<br />
γ<br />
stationäres<br />
Strömungsfeld:
2.2 Analytische Lösungsmethoden <strong>der</strong> Laplaceschen Gleichung<br />
2 2 2<br />
∂ V ∂ V ∂ V<br />
Laplacesche Gleichung: divgradV = ∆V<br />
= + + = 0,<br />
2 2 2<br />
∂x<br />
∂y<br />
∂z<br />
( divgradψ = 0).<br />
elektrostatisches Feld: ρ = , ε = konstant ( = ε ),<br />
0<br />
0<br />
stationäres Magnetfeld: J = 0 µ = konstant ( = µ ),<br />
,<br />
0<br />
stationäres Strömungsfeld:<br />
γ =<br />
konstant.<br />
∆V<br />
=<br />
0 ⇒ V<br />
ist eine harmonische Funktion.<br />
Es gibt unendlich viele harmonische Funktionen!
Dirichletsche o<strong>der</strong> Neumannsche Randbedingungen :<br />
V=konstant auf Γ D<br />
∉Ω<br />
∆V<br />
=<br />
0 in<br />
Ω<br />
∉Ω<br />
∂V<br />
∂n<br />
= 0 auf<br />
Γ<br />
N<br />
Analytische Methoden:<br />
Bereitstellung von harmonischen Funktionen <strong>und</strong> Auswahl<br />
<strong>der</strong>jenigen, welche die Randbedingungen erfüllt.<br />
Dies ergibt die richtige Lösung, da sie eindeutig ist.
2.2.1 Methode <strong>der</strong> fiktiven Ladungen (Spiegelungsprinzip)<br />
Die Potentialfunktion einer Punktladung ist in allen Punkten<br />
des Raumes, bis auf die Stelle <strong>der</strong> Ladung, harmonisch.<br />
Q<br />
z ( x ′,<br />
y′<br />
, z′<br />
)<br />
r′<br />
y<br />
r V ( x,<br />
y,<br />
z)<br />
x<br />
r = xe<br />
+ ye<br />
+<br />
Q<br />
= z<br />
4πε<br />
0<br />
x<br />
y<br />
ze<br />
z<br />
,<br />
r ′ = x′<br />
e + y′<br />
e + z′<br />
e<br />
[( ) ( ) ( ) ]<br />
1<br />
2<br />
2<br />
2 −<br />
x − x′<br />
+ y − y′<br />
+ z − ′ 2<br />
x<br />
y<br />
z
∂ − 2 3<br />
V<br />
∂x<br />
Beweis:<br />
2<br />
∂ V<br />
2<br />
∂x<br />
Q<br />
= −<br />
4πε<br />
0<br />
Q<br />
= − ( x − x′<br />
) r − r′<br />
4πε<br />
0<br />
Q<br />
= −<br />
4πε<br />
[ ]<br />
2<br />
=<br />
2<br />
2<br />
( x − x′<br />
)( x − x′<br />
) + ( y − y′<br />
) + ( z − z′<br />
)<br />
0<br />
−3<br />
[ ( ) ]<br />
−3<br />
2 −5<br />
r − r′<br />
− 3 x − x′<br />
r − r′<br />
2<br />
∂ V<br />
2<br />
∂x<br />
+<br />
2<br />
∂ V<br />
2<br />
∂y<br />
+<br />
2<br />
∂ V<br />
2<br />
∂z<br />
= −<br />
2<br />
2<br />
( x − x′<br />
) + ( y − y′<br />
) + ( z − z′<br />
)<br />
Q ⎡ 3<br />
⎢ − 3<br />
3<br />
4πε<br />
⎣ r − r′<br />
r − r′<br />
0<br />
5<br />
2<br />
⎤<br />
⎥<br />
⎦<br />
=<br />
= −<br />
Q<br />
4πε<br />
0<br />
⎡<br />
3⎢<br />
⎣ r<br />
1<br />
− r′<br />
3<br />
−<br />
r<br />
r<br />
− r′<br />
− r′<br />
2<br />
5<br />
⎤<br />
⎥<br />
⎦<br />
=<br />
0,<br />
wenn r ≠ r′<br />
.<br />
q. e. d.
∂<br />
In zwei Dimensionen (ebene Probleme, = 0),<br />
∂z<br />
ist die Potentialfunktion einer unendlich langen Linienladung<br />
harmonisch.<br />
y<br />
τ ( x ′,<br />
y′<br />
)<br />
r′<br />
V ( x,<br />
r<br />
x<br />
y)<br />
τ<br />
=<br />
2 πε<br />
r +<br />
= xe<br />
,<br />
x<br />
ye<br />
y<br />
= x e<br />
x<br />
+ y e<br />
y<br />
0<br />
ln<br />
r ′ ′ ′<br />
r<br />
[( ) ( ) ]<br />
1<br />
2<br />
x − x′<br />
+ y − y′<br />
2 2<br />
0<br />
τ ⎧ 1<br />
V ( x,<br />
y)<br />
= ⎨ln<br />
r0<br />
− ln<br />
y<br />
2πε<br />
⎩ 2<br />
0<br />
[<br />
2<br />
2<br />
( x − x′<br />
) + ( y − ′)<br />
] ⎬ ⎫<br />
⎭
∂V<br />
∂x<br />
2<br />
∂ V<br />
2<br />
∂x<br />
τ x − x′<br />
= −<br />
2πε<br />
y<br />
0<br />
( x − x′<br />
) 2<br />
+ ( y − ′) 2<br />
2<br />
2<br />
( x − x′<br />
) + ( y − y′<br />
) − 2( x − x′<br />
)<br />
[( − ′) + ( − ′)<br />
]<br />
2<br />
2 2<br />
0 x x y<br />
2<br />
2<br />
( x − x′<br />
) − ( y − y′<br />
)<br />
2<br />
( x − x′<br />
) + ( y − ′)<br />
2<br />
τ<br />
= −<br />
2πε<br />
y<br />
τ<br />
= πε<br />
2 2<br />
∂ V ∂ V<br />
+ =<br />
2 2<br />
∂x<br />
∂y<br />
[ ] 2<br />
2 0<br />
y<br />
τ<br />
2πε<br />
0<br />
2<br />
2<br />
2<br />
( x − x′<br />
) − ( y − y′<br />
) + ( y − y′<br />
) − ( x − x′<br />
)<br />
2<br />
2 2<br />
( x − x′<br />
) + ( y − y′<br />
)<br />
2<br />
=<br />
[ ]<br />
2<br />
=<br />
0<br />
q. e. d.
Wegen <strong>der</strong> Linearität <strong>der</strong> Laplaceschen Gleichung wird sie durch<br />
die Potentialfunktion einer beliebigen Ladungsverteilung erfüllt<br />
(in ladungsfreien Gebieten).<br />
Erfüllung <strong>der</strong> Randbedingungen: eine fiktive Ladungsverteilung<br />
innerhalb <strong>der</strong> Elektroden soll Äquipotentialflächen haben, welche<br />
mit den Elektroden übereinstimmen.<br />
Beispiele:<br />
• Eine Punktladung: konzentrische Kugeloberflächen<br />
(Kugelkondensator)<br />
• Eine unendlich lange Linienladung: konzentrische<br />
Zylin<strong>der</strong>oberflächen (Zylin<strong>der</strong>kondensator)<br />
• Liniendipol: nichtkonzentrische Zylin<strong>der</strong>oberflächen<br />
• Spiegelung an Ebene: unendlich ausgedehnte leitende<br />
Ebene<br />
• Mehrfache Spiegelung an Ebenen: abgewinkelte<br />
Elektroden ( α = 180 / n)
2.2.2 Trennung <strong>der</strong> Variablen (Separationsmethode)<br />
Allgemeine orthogonale Koordinaten x 1 , x 2 , x 3<br />
Kartesische Koordinaten: x = x x = y,<br />
x = .<br />
Zylin<strong>der</strong>koordinaten:<br />
x<br />
1<br />
= r, x2<br />
= φ,<br />
x3<br />
= z.<br />
x = r cosφ,<br />
y = r sinφ<br />
Kugelkoordinaten:<br />
x = r, x2<br />
=θ , x3<br />
=<br />
x = r sinθ<br />
cosφ,<br />
y =<br />
z<br />
1<br />
φ<br />
z = r cosθ<br />
1<br />
,<br />
2 3<br />
z<br />
r<br />
φ<br />
( r,<br />
φ,<br />
z)<br />
y<br />
x<br />
.<br />
r sinθ<br />
sinφ,<br />
z<br />
θ<br />
r<br />
φ<br />
( r,<br />
θ , φ)<br />
y<br />
x
x<br />
, x2,<br />
3<br />
1<br />
x<br />
bilden ein Rechtssystem :<br />
x 3<br />
⋅ ⋅ ⋅<br />
x 1<br />
x 2<br />
Im Allgemeinen bedeuten x 1 ,<br />
x 2 <strong>und</strong> x 3 keine Längen.<br />
Der differenzielle Abstand ds 1 zwischen den Punkten<br />
(x 1 , x 2 , x 3 ) <strong>und</strong> (x 1 +dx 1 , x 2 , x 3 ) ist h 1 dx 1 . x 3<br />
x<br />
3<br />
+ dx 3<br />
Allgemein: ds<br />
i<br />
= hidxi<br />
x<br />
1<br />
+ dx h dx h dx<br />
1 1 1<br />
3 3<br />
( x1,<br />
x2,<br />
x3)<br />
h 1 , h 2 , h 3 : metrische<br />
x 1 h dx x +<br />
2 2<br />
Koeffizienten<br />
x 2<br />
2<br />
dx 2
Metrische Koeffizienten in verschiedenen Koordinatensystemen:<br />
Kartesisches Koordinatensystem: ds<br />
1<br />
= dx, ds2<br />
= dy,<br />
ds3<br />
= dz,<br />
x x,<br />
x = y x =<br />
1<br />
=<br />
2<br />
,<br />
3<br />
z h1 = 1,<br />
h2<br />
= 1, h3<br />
= 1.<br />
Zylin<strong>der</strong>koordinatensystem:<br />
x r, x = φ x =<br />
1<br />
=<br />
2<br />
,<br />
3<br />
Kugelkoordinatensystem:<br />
x<br />
1<br />
=<br />
2<br />
,<br />
3<br />
z<br />
r, x =θ x = φ<br />
ds<br />
1<br />
= dr, ds2<br />
= rdφ,<br />
ds3<br />
= dz,<br />
h1 = 1,<br />
h2<br />
= r,<br />
h3<br />
= 1.<br />
ds = dr, ds2<br />
= rdθ<br />
, ds3<br />
=<br />
h = , h = r,<br />
h = r sin .<br />
r sinθd<br />
1<br />
φ<br />
1<br />
1<br />
2 3<br />
θ<br />
,
Gradient im allgemeinen, orthogonalen Koordinatensystem:<br />
)<br />
,<br />
,<br />
( 3<br />
2<br />
1 x<br />
x<br />
x<br />
u<br />
sei eine Skalarfunktion.<br />
( )<br />
1<br />
1<br />
1<br />
3<br />
2<br />
1<br />
3<br />
2<br />
1<br />
1<br />
0<br />
1<br />
1<br />
)<br />
,<br />
,<br />
(<br />
)<br />
,<br />
,<br />
(<br />
lim<br />
1 x<br />
u<br />
h<br />
s<br />
x<br />
x<br />
x<br />
u<br />
x<br />
x<br />
x<br />
x<br />
u<br />
gradu<br />
s<br />
∂<br />
∂<br />
=<br />
∆<br />
−<br />
+ ∆<br />
=<br />
→<br />
∆<br />
3<br />
3<br />
3<br />
2<br />
2<br />
2<br />
1<br />
1<br />
1<br />
3<br />
2<br />
1<br />
1<br />
1<br />
1<br />
)<br />
,<br />
,<br />
( e<br />
e<br />
e<br />
x<br />
u<br />
h<br />
x<br />
u<br />
h<br />
x<br />
u<br />
h<br />
x<br />
x<br />
x<br />
gradu<br />
∂<br />
∂<br />
+<br />
∂<br />
∂<br />
+<br />
∂<br />
∂<br />
=<br />
z<br />
y<br />
x<br />
z<br />
u<br />
y<br />
u<br />
x<br />
u<br />
z<br />
y<br />
x<br />
gradu<br />
e<br />
e<br />
e<br />
∂<br />
∂<br />
+<br />
∂<br />
∂<br />
+<br />
∂<br />
∂<br />
=<br />
)<br />
,<br />
,<br />
(<br />
z<br />
r<br />
z<br />
u<br />
u<br />
r<br />
r<br />
u<br />
z<br />
r<br />
gradu<br />
e<br />
e<br />
e<br />
∂<br />
∂<br />
+<br />
∂<br />
∂<br />
+<br />
∂<br />
∂<br />
= φ<br />
φ<br />
φ<br />
1<br />
)<br />
,<br />
,<br />
(<br />
φ<br />
θ<br />
φ<br />
θ<br />
θ<br />
φ<br />
θ<br />
e<br />
e<br />
e<br />
∂<br />
∂<br />
+<br />
∂<br />
∂<br />
+<br />
∂<br />
∂<br />
=<br />
u<br />
r<br />
u<br />
r<br />
r<br />
u<br />
r<br />
gradu<br />
r<br />
sin<br />
1<br />
1<br />
)<br />
,<br />
,<br />
(
Divergenz im allgemeinen, orthogonalen Koordinatensystem:<br />
v( x1,<br />
x2,<br />
x3)<br />
sei eine Vektorfunktion.<br />
x<br />
Γ 1<br />
3<br />
1<br />
divv<br />
= lim ∫ v ⋅ndΓ<br />
Ω<br />
x<br />
Ω→0<br />
Ω<br />
2<br />
Γ<br />
ds<br />
3<br />
= h3dx3<br />
ds<br />
2<br />
= h2dx<br />
∫ v ⋅ndΓ = −v1h2<br />
h3dx2dx3<br />
Γ1<br />
ds<br />
1<br />
= h1dx1<br />
⎛ ∂v1<br />
⎞⎛<br />
∂h2h3<br />
⎞<br />
v ⋅ndΓ = ⎜v1<br />
+ dx1<br />
⎟⎜h2h3<br />
+ dx1<br />
⎟dx2dx3<br />
=<br />
⎝ ∂x1<br />
⎠⎝<br />
∂x1<br />
⎠<br />
∫<br />
Γ<br />
2<br />
( v h h )<br />
v 1<br />
∂v<br />
2<br />
1<br />
v1 + dx1<br />
∂<br />
1 2 3<br />
= v ( )<br />
1h2h3dx2dx3<br />
+ dx1dx2dx3<br />
+ O dx1dx1dx2dx3 ∂x<br />
1<br />
x 1<br />
Γ 2<br />
∂x<br />
1
Γ<br />
1<br />
∫<br />
+Γ<br />
∫<br />
Γ<br />
v ⋅ndΓ =<br />
2<br />
v ⋅ndΓ =<br />
∫<br />
Γ<br />
1<br />
⎡<br />
⎢<br />
⎣<br />
v ⋅ndΓ +<br />
∂<br />
∫<br />
Γ<br />
2<br />
∂<br />
v ⋅ndΓ =<br />
( v h h )<br />
1<br />
∂x<br />
2<br />
1<br />
3<br />
dx<br />
( v h h ) ∂( v h h ) ∂( v h h )<br />
+<br />
+<br />
1<br />
dx<br />
2<br />
dx<br />
1 2 3 2 1 3 3 1 2<br />
dx1dx2<br />
3<br />
x<br />
dx<br />
1<br />
∂x2<br />
∂x3<br />
∂<br />
Ω = ds =<br />
1ds2ds3<br />
h1h<br />
2h3dx1dx2dx3<br />
1 ⎡ ∂<br />
divv( x1,<br />
x2,<br />
x3)<br />
⎢ 1 2 3<br />
2 1 3<br />
3 1h<br />
h1h<br />
2h3<br />
⎣∂x1<br />
∂x2<br />
∂x3<br />
⎡∂v<br />
∂v<br />
x y ∂vz<br />
⎤<br />
divv(<br />
x,<br />
y,<br />
z)<br />
= ⎢ + + ⎥<br />
⎣ ∂x<br />
∂y<br />
∂z<br />
⎦<br />
1 ∂( rv ) v<br />
r<br />
1 ∂<br />
φ ∂vz<br />
divv(<br />
r,<br />
φ,<br />
z)<br />
= + +<br />
r ∂r<br />
r ∂φ<br />
∂z<br />
divv(<br />
r,<br />
θ , φ)<br />
=<br />
⎥ ⎦<br />
⎤<br />
∂ ∂ ⎤<br />
( v h h ) + ( v h h ) + ( v h ) ⎥⎦<br />
=<br />
2<br />
1<br />
r<br />
2<br />
∂<br />
(<br />
2<br />
r v ) 1 ∂( sinθv<br />
)<br />
∂r<br />
r<br />
+<br />
r sinθ<br />
∂θ<br />
θ<br />
3<br />
1 ∂vφ<br />
+<br />
r sinθ<br />
∂φ
C<br />
Rotation im allgemeinen, orthogonalen Koordinatensystem:<br />
v( x1,<br />
x2,<br />
x3)<br />
sei eine Vektorfunktion.<br />
(1) (2) (3)<br />
C = C1<br />
+ C1<br />
+ C1<br />
+<br />
1<br />
( rotv) = ∫ 1<br />
lim v ⋅ dr<br />
x 1<br />
(2)<br />
C Γ 1 → 0<br />
(3)<br />
1<br />
Γ1<br />
C<br />
C<br />
1<br />
1<br />
x x<br />
∫ v ⋅dr<br />
= v<br />
3 Γ 2<br />
2h2dx2<br />
1<br />
ds<br />
ds<br />
3<br />
= h3dx<br />
2<br />
= h2dx<br />
(1)<br />
2<br />
3<br />
C<br />
(1)<br />
1<br />
1<br />
⎛ ∂v2<br />
⎞⎛<br />
∂h2<br />
⎞<br />
v ⋅ndΓ = −⎜v2<br />
+ dx3<br />
⎟⎜h2<br />
+ dx3<br />
⎟dx<br />
=<br />
⎝ ∂x3<br />
⎠⎝<br />
∂x3<br />
⎠<br />
∂( v2h2<br />
)<br />
= −v ( )<br />
2h2dx2<br />
− dx2dx3<br />
+ O dx2dx3dx3 ∂x<br />
∫ 2<br />
(3)<br />
C<br />
1<br />
∫<br />
+ C<br />
∂<br />
v ⋅dr<br />
= −<br />
(3)<br />
1<br />
( v h )<br />
2<br />
∂x<br />
3<br />
2<br />
dx<br />
2<br />
dx<br />
3<br />
3<br />
C<br />
( 2)<br />
1<br />
∫<br />
+ C<br />
v ⋅dr<br />
=<br />
( 4)<br />
1<br />
(4)<br />
1<br />
C1<br />
(4)<br />
C 1<br />
( v h )<br />
∂<br />
3<br />
∂x<br />
2<br />
3<br />
(1)<br />
C 1<br />
dx<br />
2<br />
dx<br />
3
∫<br />
C<br />
1<br />
∂<br />
( v h ) ∂( v h )<br />
Γ1 = ds ds = h h dx dx<br />
3 3<br />
2 2<br />
v ⋅ dr<br />
= dx2dx3<br />
− dx2dx3<br />
2 3 2 3 2 3<br />
∂x2<br />
∂x3<br />
( rotv(<br />
x , x , x ))<br />
=<br />
1<br />
h h<br />
2<br />
3<br />
1<br />
⎡ ∂<br />
⎢<br />
⎣∂x<br />
2<br />
2<br />
3<br />
=<br />
∂ ⎤<br />
( v h ) − ( v h ) ⎥⎦<br />
3<br />
3<br />
1<br />
∂x<br />
z. B.: Kartesische Koordinaten:<br />
3<br />
2<br />
2<br />
rotv<br />
=<br />
1<br />
e<br />
h2h3<br />
∂<br />
∂x1<br />
h v<br />
1<br />
1<br />
1<br />
1<br />
e<br />
h3h1<br />
∂<br />
∂x2<br />
h v<br />
2<br />
2<br />
2<br />
1<br />
e<br />
h1h<br />
2<br />
∂<br />
∂x3<br />
h v<br />
3<br />
3<br />
3<br />
rotv<br />
=<br />
e<br />
x<br />
∂<br />
∂x<br />
v<br />
x<br />
e<br />
y<br />
∂<br />
∂y<br />
v<br />
y<br />
e<br />
z<br />
∂<br />
∂z<br />
v<br />
z
Laplace Operator im allgemeinen, orthogonalen Koordinatensystem:<br />
( )<br />
gradu<br />
∆u = div<br />
⎥<br />
⎦<br />
⎤<br />
⎢<br />
⎣<br />
⎡<br />
⎟<br />
⎠<br />
⎞<br />
⎜<br />
⎝<br />
⎛<br />
∂<br />
∂<br />
∂<br />
∂<br />
+<br />
⎟<br />
⎠<br />
⎞<br />
⎜<br />
⎝<br />
⎛<br />
∂<br />
∂<br />
∂<br />
∂<br />
+<br />
⎟<br />
⎠<br />
⎞<br />
⎜<br />
⎝<br />
⎛<br />
∂<br />
∂<br />
∂<br />
∂<br />
=<br />
∆<br />
3<br />
3<br />
2<br />
1<br />
3<br />
2<br />
2<br />
1<br />
3<br />
2<br />
1<br />
1<br />
3<br />
2<br />
1<br />
3<br />
2<br />
1<br />
1<br />
x<br />
u<br />
h<br />
h h<br />
x<br />
x<br />
u<br />
h<br />
h<br />
h<br />
x<br />
x<br />
u<br />
h<br />
h<br />
h<br />
x<br />
h<br />
h h<br />
u<br />
2<br />
2<br />
2<br />
2<br />
2<br />
2<br />
)<br />
,<br />
,<br />
(<br />
z<br />
u<br />
y<br />
u<br />
x<br />
u<br />
z<br />
y<br />
x<br />
u<br />
∂<br />
∂<br />
+<br />
∂<br />
∂<br />
+<br />
∂<br />
∂<br />
=<br />
∆<br />
2<br />
2<br />
2<br />
2<br />
2<br />
1<br />
1<br />
)<br />
,<br />
,<br />
(<br />
z<br />
u<br />
u<br />
r<br />
r<br />
u<br />
r<br />
r<br />
r<br />
z<br />
r<br />
u<br />
∂<br />
∂<br />
+<br />
∂<br />
∂<br />
+<br />
⎟<br />
⎠<br />
⎞<br />
⎜<br />
⎝<br />
⎛<br />
∂<br />
∂<br />
∂<br />
∂<br />
=<br />
∆<br />
φ<br />
φ<br />
2<br />
2<br />
2<br />
2<br />
2<br />
2<br />
2<br />
sin<br />
1<br />
sin<br />
sin<br />
1<br />
1<br />
)<br />
,<br />
,<br />
(<br />
φ<br />
θ<br />
θ<br />
θ<br />
θ<br />
θ<br />
φ<br />
θ<br />
∂<br />
∂<br />
+<br />
⎟<br />
⎠<br />
⎞<br />
⎜<br />
⎝<br />
⎛<br />
∂<br />
∂<br />
∂<br />
∂<br />
+<br />
⎟<br />
⎠<br />
⎞<br />
⎜<br />
⎝<br />
⎛<br />
∂<br />
∂<br />
∂<br />
∂<br />
=<br />
∆<br />
u<br />
r<br />
u<br />
r<br />
r<br />
u<br />
r<br />
r<br />
r<br />
r<br />
u
Separationsmethode:<br />
Ansatz: V x , x , x ) = X ( x ) X ( x ) X ( )<br />
(<br />
1 2 3 1 1 2 2 3<br />
x3<br />
Es wird versucht die Laplacesche Gleichung (eine partielle<br />
Differentialgleichung) für V auf drei gewöhnliche<br />
Differentialgleichungen für jeweils X 1 , X 2 <strong>und</strong> X 3 zurückzuführen.<br />
Aus den allgemeinen Lösungen dieser Gleichungen erhält man<br />
spezielle Lösungen <strong>der</strong> Laplaceschen Gleichung mit Hilfe des<br />
obigen Ansatzes. Wegen <strong>der</strong> Linearität <strong>der</strong> Laplaceschen<br />
Gleichung wird sie durch eine beliebige Linearkombination<br />
dieser Lösungen erfüllt. Die Lösung eines konkreten<br />
Randwertproblems ist diejenige Linearkombination, welche die<br />
Randbedingungen des Problems erfüllt. Dies ist dann möglich,<br />
wenn die Randbedingungen entlang x i = konstant Oberflächen<br />
gegeben sind.
Kartesische Koordinaten, 2D Fall:<br />
Ansatz: V ( x,<br />
y)<br />
= X ( x)<br />
Y ( y)<br />
2 2<br />
∂ V ∂ V<br />
Laplacesche Gleichung: + = 0.<br />
2 2<br />
∂x<br />
∂y<br />
2<br />
2<br />
d X ( x)<br />
d Y ( y)<br />
Y ( y)<br />
+ X ( x)<br />
= 0<br />
2<br />
2<br />
dx<br />
dy<br />
Division durch X(x)Y(y) ergibt:<br />
2<br />
2<br />
1 d X ( x)<br />
1 d Y ( y)<br />
+<br />
2<br />
2<br />
X ( x)<br />
dx Y ( y)<br />
dy<br />
<br />
f ( x)<br />
g ( y)<br />
= 0<br />
Dies ist nur dann möglich, wenn<br />
f<br />
( x)<br />
= konstant, g(<br />
y)<br />
=<br />
konstant.
Die gewöhnlichen Differentialgleichungen sind dann:<br />
d<br />
X ( x)<br />
2<br />
dx<br />
2<br />
=<br />
fX<br />
( x),<br />
2<br />
d Y ( y)<br />
2<br />
dy<br />
=<br />
gY ( y),<br />
wobei g = − f .<br />
2<br />
2<br />
f = − p , g = p : X x)<br />
= C cos px C sin px<br />
Y<br />
(<br />
1<br />
+<br />
2<br />
y)<br />
py − py<br />
= C3 e + C4e<br />
= C′<br />
3<br />
cosh py + C′<br />
(<br />
4<br />
sinh<br />
py<br />
Eine Lösung:<br />
py n<br />
py n<br />
V = ∑ A ± ne ± cos pnx+<br />
B ±<br />
ne ± sin pnx<br />
n<br />
Eine weitere Lösung erhält man durch das Vertauschen von x <strong>und</strong> y:<br />
px n<br />
px n<br />
V = ∑ A ± ne ± cos pny + Be ± ±<br />
n<br />
sin py<br />
n<br />
n
Beispiel:<br />
Randbedingungen:<br />
y V = f (x) (1) y = b,<br />
V = f ( x);<br />
(2) y = 0, V = 0; ⇒ sinh pn<br />
y,<br />
b<br />
(3) x = 0, V = 0; ⎫ sin pnx,<br />
pn<br />
= nπ<br />
/ a,<br />
V = 0 V = 0<br />
⎬ ⇒<br />
(4) x = a,<br />
V = 0. ⎭ n = 1, 2,....<br />
V = 0<br />
∞ x ( , ) sinh<br />
⎛ nπy<br />
⎞ sin<br />
⎛ nπx<br />
⎞ (2), (3), (4)<br />
V x y = ∑ Bn<br />
⎜ ⎟ ⎜ ⎟ :<br />
a<br />
n= 1 ⎝ a ⎠ ⎝ a ⎠ erfüllt.<br />
∞<br />
Fourier-Reihe von f (x): ( ) ∑ sin<br />
⎛ nπx<br />
f x = b<br />
⎞<br />
n ⎜ ⎟.<br />
n=1<br />
⎝ a ⎠<br />
∞<br />
⎛ nπb<br />
⎞ ⎛ nπx<br />
⎞ n b<br />
V ( x , b ) = ∑ Bn<br />
sinh ⎜ ⎟ sin ⎜ ⎟ ⇒ B<br />
⎛ π<br />
n<br />
sinh<br />
⎞<br />
⎜ ⎟ = b n<br />
n= 1 ⎝ a ⎠ ⎝ a ⎠ ⎝ a ⎠<br />
sinh<br />
⎛ nπy<br />
⎞<br />
∞ ⎜ ⎟<br />
( , )<br />
⎝ a ⎠<br />
sin<br />
⎛ nπx<br />
V x y =<br />
⎞<br />
∑bn<br />
⎜ ⎟.<br />
= 1<br />
sinh<br />
⎛ nπb<br />
n<br />
⎞ ⎝ a ⎠<br />
⎜ ⎟<br />
⎝ a ⎠
Zylin<strong>der</strong>koordinaten, 2D Fall:<br />
Ansatz: V ( r,<br />
φ)<br />
= R(<br />
r)<br />
Φ(<br />
φ)<br />
1 ∂<br />
Laplacesche Gleichung:<br />
r ∂r<br />
1<br />
+<br />
r<br />
2<br />
∂ V<br />
∂φ<br />
=<br />
2 2<br />
2<br />
1 d ⎛ dR(<br />
r)<br />
⎞ 1 d Φ(<br />
φ )<br />
Φ( φ ) ⎜ r ⎟ + R(<br />
r)<br />
= 0.<br />
2 2<br />
r dr ⎝ dr ⎠ r dφ<br />
Multiplikation mit r 2 <strong>und</strong> Division durch R(r)Φ(φ) ergibt:<br />
⎛<br />
⎜<br />
⎝<br />
∂V<br />
r<br />
∂r<br />
⎞<br />
⎟<br />
⎠<br />
0.<br />
1 d ⎛ dR(<br />
r)<br />
⎞<br />
r ⎜ r ⎟<br />
R(<br />
r)<br />
dr<br />
<br />
<br />
⎝ dr<br />
<br />
⎠<br />
f ( r )<br />
+<br />
2<br />
1 d Φ(<br />
φ )<br />
2<br />
Φ(<br />
φ ) dφ<br />
<br />
g ( φ )<br />
=<br />
0.<br />
Dies ist nur dann möglich, wenn<br />
f<br />
( r)<br />
= konstant, g(<br />
φ)<br />
=<br />
konstant.
Die gewöhnlichen Differentialgleichungen sind dann:<br />
r<br />
d<br />
dr<br />
⎛<br />
⎜<br />
⎝<br />
r<br />
dR(<br />
r)<br />
⎞<br />
⎟<br />
dr ⎠<br />
=<br />
fR(<br />
r),<br />
2<br />
d Φ(<br />
φ)<br />
2<br />
dφ<br />
=<br />
gΦ(<br />
φ),<br />
wobei g = − f .<br />
Da Φ(φ) mit 2π periodisch sein muss, ist nur g = -n 2 ( n: ganze Zahl)<br />
möglich: Φ φ)<br />
= C cos nφ<br />
+ C sin nφ<br />
( n 0).<br />
(<br />
3 4<br />
><br />
Der Fall n = 0 ergibt Φ φ)<br />
= C + C .<br />
(<br />
3 4φ<br />
Dies ist nur dann periodisch, wenn C 4 = 0. Der Fall C ≠ 0 4<br />
,<br />
ist dann sinnvoll, wenn im Problemgebiet<br />
φ < 2π<br />
gilt.<br />
max<br />
Ω<br />
0 ≤ φ ≤ φmax
d dR( r)<br />
2<br />
r<br />
⎛<br />
⎜r<br />
⎞ ⎟ = n R(<br />
r).<br />
dr ⎝ dr ⎠<br />
dR(<br />
r)<br />
a) n = 0 : r = C1,<br />
R(<br />
r)<br />
= C1<br />
ln r + C2.<br />
dr<br />
b) n > 0 :<br />
Ansatz:<br />
R ( r)<br />
=<br />
r<br />
α<br />
,<br />
dR( r)<br />
α −1 dR(<br />
r)<br />
α d ( ) 2 −1<br />
= , = ,<br />
⎛ dR r ⎞ α<br />
αr<br />
r αr<br />
⎜r<br />
⎟ = α r ,<br />
dr<br />
dr dr ⎝ dr ⎠<br />
2 α 2 α<br />
n −n<br />
r = n r ⇒ α = ±n : R(<br />
r)<br />
C r + C r<br />
α<br />
Lösung:<br />
=<br />
1 2<br />
( )( ) (<br />
± ± n<br />
± ± n<br />
)<br />
1ln 2 3 4φ n<br />
cos φ<br />
n<br />
sin φ<br />
V = C r+ C C + C + ∑ A r n + B r n<br />
n
Beispiel: Zylin<strong>der</strong>kondensator<br />
V a<br />
V i<br />
R i<br />
R a<br />
Rotationssymmetrie:<br />
∂<br />
=<br />
∂φ<br />
0 ⇒ V = C1 ln r + C2.<br />
Randbedingungen: V<br />
V<br />
i<br />
a<br />
C<br />
1<br />
=<br />
C<br />
1<br />
ln<br />
R<br />
= C1<br />
ln Ra<br />
Va<br />
−Vi<br />
=<br />
ln R R<br />
a<br />
i<br />
+ C<br />
i<br />
2<br />
+ C<br />
,<br />
C<br />
,<br />
2<br />
2<br />
.<br />
=<br />
V<br />
i<br />
ln Ra<br />
−Va<br />
ln<br />
ln R R<br />
a<br />
i<br />
R<br />
i<br />
.<br />
V<br />
=<br />
V<br />
a<br />
ln r Ri<br />
−Vi<br />
ln r<br />
ln R R<br />
a<br />
i<br />
R<br />
a<br />
.<br />
Die gleiche Lösung erhält man mit Hilfe <strong>der</strong> Methode <strong>der</strong><br />
fiktiven Ladungen.
Beispiel: Dielektrischer Zylin<strong>der</strong> im homogenen Feld<br />
E = 0<br />
E0e x ><br />
R1<br />
y<br />
r<br />
E φ<br />
φ<br />
x<br />
ε r<br />
E r<br />
E<br />
Randbedingungen:<br />
y<br />
Homogenes Feld: V = −E r cos .<br />
0<br />
φ<br />
Beweis:<br />
∂V<br />
1 ∂V<br />
E r<br />
= − = E0 cosφ,<br />
Eφ = − = −E0<br />
sinφ.<br />
∂r<br />
r ∂φ<br />
2<br />
2<br />
E = E cosφ<br />
− E sinφ<br />
= E0 cos φ + E0<br />
sin φ E0,<br />
x r<br />
φ<br />
=<br />
= Er<br />
sinφ + Eφ cosφ<br />
= E0 cosφ<br />
sinφ<br />
− E0<br />
sinφ<br />
cosφ<br />
= 0.<br />
⎧V<br />
q. e. d.<br />
i<br />
( r,<br />
φ),<br />
wenn r < R,<br />
V ( r,<br />
φ)<br />
= ⎨<br />
⎩V<br />
a<br />
( r,<br />
φ),<br />
wenn r > R.<br />
lim ( r,<br />
φ)<br />
< ∞ ⇒ (<br />
n<br />
n<br />
V = A r cos nφ<br />
+ B r sin nφ<br />
),<br />
V i<br />
r→0<br />
limV a<br />
r→∞<br />
V<br />
a<br />
∑<br />
n≥1<br />
( r,<br />
φ)<br />
= −E0r<br />
cosφ ⇒<br />
= −E0r<br />
cosφ<br />
+ ∑<br />
i<br />
n≥1<br />
in<br />
(<br />
−n<br />
−n<br />
A r cos nφ<br />
+ B r sin nφ<br />
).<br />
an<br />
an<br />
in
Rand- <strong>und</strong> Grenzflächenbedingungen:<br />
E<br />
φi<br />
( r = R)<br />
= E ( r = R)<br />
⇒ V ( R,<br />
φ)<br />
= V ( R,<br />
φ)<br />
φa<br />
i<br />
a<br />
⇒<br />
− n<br />
−n<br />
n<br />
Ai<br />
R = −E<br />
R + Aa<br />
R<br />
1<br />
1<br />
0 1<br />
, AinR<br />
= AanR<br />
( n > 1),<br />
BinR<br />
=<br />
∂Vi<br />
( R,<br />
φ)<br />
∂Va<br />
( R,<br />
φ)<br />
Dri<br />
( r = R)<br />
= Dra<br />
( r = R)<br />
⇒ ε<br />
r<br />
= ⇒<br />
∂r<br />
∂r<br />
−2<br />
n−1<br />
−n−1<br />
ε r<br />
A = −E<br />
− A R , ε A nR = −A<br />
nR ( n 1),<br />
i1 0 a1<br />
r in<br />
an<br />
><br />
n−1 −n−1<br />
ε<br />
rBinnR<br />
= −BannR<br />
.<br />
−<br />
Lösung: 2 ε<br />
r<br />
−1<br />
A ,<br />
2<br />
i1 = E0<br />
Aa<br />
1<br />
= E0R<br />
,<br />
ε<br />
r<br />
+ 1 ε<br />
r<br />
+ 1<br />
A = A = 0 ( n > 1), B in<br />
B = 0<br />
in an<br />
= an<br />
.<br />
B<br />
an<br />
R<br />
−n
V ( r,<br />
φ)<br />
=<br />
V<br />
i<br />
a<br />
( r,<br />
φ)<br />
− 2E0<br />
r cosφ,<br />
ε + 1<br />
r<br />
= −E<br />
0<br />
ε<br />
r<br />
r cosφ<br />
+<br />
ε<br />
r<br />
−1<br />
E<br />
+ 1<br />
0<br />
R<br />
r<br />
2<br />
cosφ.<br />
Das Feld innerhalb des<br />
Zylin<strong>der</strong>s ist homogen.
2.3 Numerische Lösungsmethoden <strong>der</strong> Randwertprobleme<br />
für das Skalarpotential<br />
Nachteile <strong>der</strong> analytischen Methoden:<br />
• Spezielle Geometrie<br />
• Homogene Materialien<br />
Numerische Methoden:<br />
• Diskretisierung <strong>der</strong> Geometrie<br />
• Berücksichtigung von inhomogenen Materialien
Diskretisierung <strong>der</strong> Geometrie :<br />
V=konstant auf Γ D<br />
Ω<br />
∉Ω<br />
∉Ω<br />
div( εgradV )<br />
∂V<br />
ε<br />
∂n<br />
= σ auf<br />
= 0 in<br />
Numerische Methoden:<br />
Potential wird in diskreten Knoten näherungsweise bestimmt.<br />
Das Feld wird durch numerische Differentiation berechnet.<br />
Dirichletsche Randbedingungen werden exakt in Knoten<br />
erfüllt, Neumannsche Randbedingungen können nur<br />
näherungsweise erfüllt werden.<br />
Γ<br />
N
2.3.1 Methode <strong>der</strong> finiten Differenzen<br />
Nur zweidimensionale, ebene Probleme werden behandelt,<br />
Verallgemeinerung auf 3D Probleme leicht möglich.<br />
Homogene Materialien werden angenommen: Laplacesche<br />
Gleichung. Verallgemeinerung auf stückweise homogene<br />
Materialien möglich.<br />
Äquidistantes Gitter,<br />
Verallgemeinerung auf<br />
nichtäquidistantes<br />
Gitter möglich.<br />
Ω<br />
Γ<br />
h<br />
h
a<br />
b<br />
c<br />
d<br />
A<br />
= 0<br />
∆V<br />
...<br />
4!<br />
1<br />
3!<br />
1<br />
2!<br />
1<br />
1!<br />
1 4<br />
4<br />
4<br />
3<br />
3<br />
3<br />
2<br />
2<br />
2<br />
+<br />
∂<br />
∂<br />
+<br />
∂<br />
∂<br />
+<br />
∂<br />
∂<br />
+<br />
∂<br />
∂<br />
+<br />
= h<br />
x<br />
V<br />
h<br />
x<br />
V<br />
h<br />
x<br />
V<br />
h<br />
x<br />
V<br />
V<br />
V<br />
A<br />
a<br />
...<br />
4!<br />
1<br />
3!<br />
1<br />
2!<br />
1<br />
1!<br />
1 4<br />
4<br />
4<br />
3<br />
3<br />
3<br />
2<br />
2<br />
2<br />
+<br />
∂<br />
∂<br />
+<br />
∂<br />
∂<br />
+<br />
∂<br />
∂<br />
+<br />
∂<br />
∂<br />
+<br />
= h<br />
y<br />
V<br />
h<br />
y<br />
V<br />
h<br />
y<br />
V<br />
h<br />
y<br />
V<br />
V<br />
V<br />
A<br />
b<br />
...<br />
4!<br />
1<br />
3!<br />
1<br />
2!<br />
1<br />
1!<br />
1 4<br />
4<br />
4<br />
3<br />
3<br />
3<br />
2<br />
2<br />
2<br />
±<br />
∂<br />
∂<br />
+<br />
∂<br />
∂<br />
−<br />
∂<br />
∂<br />
+<br />
∂<br />
∂<br />
−<br />
= h<br />
x<br />
V<br />
h<br />
x<br />
V<br />
h<br />
x<br />
V<br />
h<br />
x<br />
V<br />
V<br />
V<br />
A<br />
c<br />
...<br />
4!<br />
1<br />
3!<br />
1<br />
2!<br />
1<br />
1!<br />
1 4<br />
4<br />
4<br />
3<br />
3<br />
3<br />
2<br />
2<br />
2<br />
±<br />
∂<br />
∂<br />
+<br />
∂<br />
∂<br />
−<br />
∂<br />
∂<br />
+<br />
∂<br />
∂<br />
−<br />
= h<br />
y<br />
V<br />
h<br />
y<br />
V<br />
h<br />
y<br />
V<br />
h<br />
y<br />
V<br />
V<br />
V<br />
A<br />
d<br />
<br />
<br />
0<br />
4<br />
0<br />
2<br />
2<br />
2<br />
2<br />
2<br />
)<br />
(<br />
)<br />
(<br />
4<br />
≈<br />
=<br />
+<br />
∂<br />
∂<br />
+<br />
∂<br />
∂<br />
+<br />
+<br />
=<br />
+<br />
+<br />
+<br />
h<br />
O<br />
y<br />
V<br />
x<br />
V<br />
h<br />
V<br />
V<br />
V<br />
V<br />
V<br />
A<br />
d<br />
c<br />
b<br />
a<br />
h<br />
h<br />
4 = 0<br />
−<br />
−<br />
−<br />
−<br />
d<br />
c<br />
b<br />
a<br />
A<br />
V<br />
V<br />
V<br />
V<br />
V<br />
+<br />
x<br />
y
Die Gleichung 4 VA<br />
−Va<br />
−Vb<br />
−Vc<br />
−Vd<br />
= 0, d.h.<br />
b<br />
1<br />
V<br />
A<br />
= ( Va<br />
+ Vb<br />
+ Vc<br />
+ Vd<br />
)<br />
A<br />
4 c a<br />
d<br />
entspricht <strong>der</strong> Näherung des Mittelwertsatzes <strong>der</strong><br />
Potentialtheorie:<br />
Kugel<br />
1<br />
M R V ( M ) = ∫VdΓ<br />
2<br />
4πR<br />
Kugel
Berücksichtigung <strong>der</strong> Randbedingungen:<br />
Dirichletsche Randbedingung auf Γ D :<br />
V g<br />
= V 0<br />
(bekannt).<br />
4<br />
h<br />
Vi<br />
−Ve<br />
−V<br />
f<br />
−Vg<br />
−V<br />
= 0 ⇒ 4V<br />
i<br />
−Ve<br />
−V<br />
f<br />
−Vh<br />
= V0<br />
Γ N<br />
Neumannsche Randbedingung auf Γ N :<br />
g<br />
h<br />
f<br />
i<br />
e<br />
Γ D<br />
h<br />
m<br />
n<br />
4V<br />
o k l m n<br />
−V<br />
−V<br />
−V<br />
−V<br />
= 0 ⇒<br />
l<br />
o<br />
k<br />
∂V<br />
ε<br />
0 = σ im Punkt o.<br />
∂n<br />
k: fiktiver Gitterpunkt außerhalb von Ω<br />
h<br />
∂V<br />
Vk<br />
−Vm<br />
2hσ<br />
ε<br />
0<br />
( o) ≈ ε<br />
0<br />
= σ ⇒ Vk = Vm<br />
+<br />
∂n<br />
2h<br />
ε<br />
4V<br />
−V<br />
2V<br />
−V<br />
o l<br />
−<br />
m n<br />
=<br />
2hσ<br />
ε<br />
0<br />
0
Beispiel:<br />
h<br />
V=U<br />
1 2 3<br />
4′ 4 5 6 7 8 8′<br />
∂V<br />
V=0 ∂V<br />
= ε =<br />
∂n<br />
∂n<br />
V −V<br />
2h<br />
⇓<br />
2hσ<br />
1<br />
V<br />
4′<br />
= V5<br />
+<br />
ε<br />
0<br />
V8′<br />
−V7<br />
ε<br />
0<br />
= σ<br />
2<br />
2h<br />
⇓<br />
2hσ<br />
2<br />
V<br />
8′<br />
= V7<br />
+<br />
ε<br />
0<br />
σ 1<br />
4′<br />
5<br />
ε<br />
0<br />
= σ<br />
1<br />
0<br />
σ 2<br />
0<br />
Knoten 1:<br />
Knoten 2:<br />
Knoten 3:<br />
Knoten 4:<br />
4<br />
1 2 5<br />
=<br />
V −V<br />
−V<br />
2U<br />
−<br />
1<br />
4<br />
2 3 6<br />
V + V −V<br />
−V<br />
= U<br />
−V + V −V<br />
2U<br />
2<br />
4<br />
3 7<br />
=<br />
− 4′ 4 4 5<br />
V + V −V<br />
= U<br />
4V − 2V<br />
= U +<br />
2hσ<br />
1<br />
4 5<br />
ε<br />
0<br />
1<br />
−V4<br />
+ 4V<br />
5<br />
−V6<br />
=<br />
Knoten 5: −V<br />
0<br />
Knoten 6: −V<br />
−V<br />
+ V −V<br />
0<br />
2 5<br />
4<br />
6 7<br />
=<br />
Knoten 7: −V<br />
−V<br />
+ V −V<br />
0<br />
Knoten 8:<br />
3 6<br />
4<br />
7 8<br />
=<br />
−<br />
7<br />
4<br />
8 8′<br />
V + V −V<br />
= U<br />
− 2V + 4V<br />
= U +<br />
7<br />
8<br />
2hσ<br />
2<br />
ε<br />
0
⎪<br />
⎪<br />
⎪<br />
⎪<br />
⎪<br />
⎭<br />
⎪<br />
⎪<br />
⎪<br />
⎪<br />
⎪<br />
⎬<br />
⎫<br />
⎪<br />
⎪<br />
⎪<br />
⎪<br />
⎪<br />
⎩<br />
⎪<br />
⎪<br />
⎪<br />
⎪<br />
⎪<br />
⎨<br />
⎧<br />
+<br />
+<br />
=<br />
⎪<br />
⎪<br />
⎪<br />
⎪<br />
⎪<br />
⎭<br />
⎪<br />
⎪<br />
⎪<br />
⎪<br />
⎪<br />
⎬<br />
⎫<br />
⎪<br />
⎪<br />
⎪<br />
⎪<br />
⎪<br />
⎩<br />
⎪<br />
⎪<br />
⎪<br />
⎪<br />
⎪<br />
⎨<br />
⎧<br />
⎥<br />
⎥<br />
⎥<br />
⎥<br />
⎥<br />
⎥<br />
⎥<br />
⎥<br />
⎥<br />
⎥<br />
⎦<br />
⎤<br />
⎢<br />
⎢<br />
⎢<br />
⎢<br />
⎢<br />
⎢<br />
⎢<br />
⎢<br />
⎢<br />
⎢<br />
⎣<br />
⎡<br />
−<br />
−<br />
−<br />
−<br />
−<br />
−<br />
−<br />
−<br />
−<br />
−<br />
−<br />
−<br />
−<br />
−<br />
−<br />
−<br />
−<br />
−<br />
0<br />
2<br />
0<br />
1<br />
8<br />
7<br />
6<br />
5<br />
4<br />
3<br />
2<br />
1<br />
/<br />
2<br />
0<br />
0<br />
0<br />
/<br />
2<br />
2<br />
2<br />
4<br />
2<br />
0<br />
0<br />
1<br />
4<br />
1<br />
0<br />
0<br />
1<br />
4<br />
1<br />
0<br />
0<br />
1<br />
4<br />
0<br />
0<br />
0<br />
0<br />
0<br />
1<br />
0<br />
0<br />
0<br />
0<br />
1<br />
0<br />
1<br />
0<br />
0<br />
1<br />
0<br />
0<br />
0<br />
2<br />
0<br />
1<br />
0<br />
0<br />
0<br />
0<br />
1<br />
0<br />
0<br />
0<br />
0<br />
1<br />
4<br />
0<br />
0<br />
0<br />
0<br />
4<br />
1<br />
0<br />
0<br />
1<br />
4<br />
1<br />
0<br />
0<br />
1<br />
4<br />
ε<br />
σ<br />
ε<br />
σ<br />
h<br />
U<br />
h<br />
U<br />
U<br />
U<br />
U<br />
V<br />
V<br />
V<br />
V<br />
V<br />
V<br />
V<br />
V<br />
Gleichungssystem in Matrixform:<br />
Spärlich besetzte Matrix.
2.3.2 Variationsproblem <strong>der</strong> Elektrostatik<br />
Das Randwertproblem des elektrostatischen Feldes<br />
− div(<br />
εgradV<br />
) = ρ in Ω,<br />
∂V<br />
V = V0 auf ΓD<br />
, ε = σ auf ΓN<br />
∂n<br />
ist folgendem Variationsproblem äquivalent:<br />
Finde V (V=V 0 auf Γ D ), so dass das Funktional<br />
W ( V ) =<br />
∫<br />
Ω<br />
1<br />
εgrad<br />
2<br />
zum Minimum wird.<br />
2<br />
VdΩ −<br />
∫<br />
Ω<br />
ρVdΩ −<br />
∫<br />
Γ<br />
N<br />
σVdΓ
Physikalische Bedeutung des Funktionals<br />
∫<br />
Ω<br />
1 2<br />
εgrad<br />
2<br />
1<br />
VdΩ = ∫ E⋅DdΩ<br />
:<br />
2<br />
Ω<br />
Elektrische Feldenergie W e<br />
∫<br />
Ω<br />
ρVdΩ + σVdΓ<br />
:<br />
∫<br />
Γ<br />
N<br />
Potentielle Energie <strong>der</strong> Ladungen W p<br />
W<br />
= W e<br />
−W p<br />
ist die Wirkung!<br />
Das Variationsproblem entspricht dem Prinzip <strong>der</strong><br />
kleinsten Wirkung.
2.3.3 Das Ritzsche Verfahren<br />
Da das Variationsproblem <strong>und</strong> das Randwertproblem<br />
äquivalent sind, ist eine Näherungslösung des<br />
Variationsproblems ebenfalls eine Näherungslösung des<br />
Randwertproblems.<br />
Das Variationsproblem kann mit Hilfe <strong>der</strong> Ritzschen Methode<br />
näherungsweise gelöst werden.<br />
Eine Näherungslösung soll in folgen<strong>der</strong> Form gesucht werden:<br />
V<br />
V<br />
≈ V<br />
( n)<br />
( n)<br />
= V<br />
D<br />
+<br />
n<br />
∑<br />
j=<br />
1<br />
V<br />
j<br />
w<br />
j<br />
,<br />
V<br />
V<br />
w<br />
D<br />
j<br />
j<br />
: beliebige Funktion mit VD<br />
= V0<br />
auf Γ<br />
, j = 1, 2,..., n : numerische Parameter,<br />
,<br />
j = 1, 2,..., n : Basisfunktionen mit<br />
erfüllt die Dirichletsche Randbedingung für V<br />
w<br />
j<br />
=<br />
0 auf<br />
j<br />
Γ<br />
D<br />
.<br />
beliebig!<br />
D<br />
,
Die unbekannten Parameter V j , j = 1, 2, ..., n werden aus <strong>der</strong><br />
Bedingung bestimmt, dass die Näherungslösung das Funktional<br />
minimiert. Die notwendigen Bedingungen dafür sind:<br />
∂W<br />
( V<br />
∂V<br />
i<br />
( n)<br />
)<br />
=<br />
0,<br />
i<br />
= 1,<br />
2, ...,<br />
n.<br />
Dies sind n Gleichungen (das Ritzsche Gleichungssystem),<br />
aus welchen die n Unbekannten V j , j = 1, 2, ..., n berechnet<br />
werden können.
Γ =<br />
∂<br />
∂<br />
Ω −<br />
∂<br />
∂<br />
Ω −<br />
∂<br />
∂<br />
=<br />
∂<br />
∂<br />
∫<br />
∫<br />
∫<br />
Γ<br />
Ω<br />
Ω<br />
N<br />
d<br />
V<br />
V<br />
d<br />
V<br />
V<br />
d<br />
V<br />
grad<br />
V<br />
V<br />
V<br />
W<br />
n<br />
i<br />
n<br />
i<br />
n<br />
i<br />
j<br />
n<br />
)<br />
(<br />
)<br />
(<br />
)<br />
(<br />
2<br />
)<br />
(<br />
2<br />
1<br />
)<br />
(<br />
σ<br />
ρ<br />
ε<br />
.<br />
)<br />
(<br />
)<br />
(<br />
)<br />
(<br />
)<br />
(<br />
∫<br />
∫<br />
∫<br />
Γ<br />
Ω<br />
Ω<br />
Γ<br />
∂<br />
∂<br />
Ω −<br />
∂<br />
∂<br />
Ω −<br />
⋅<br />
∂<br />
∂<br />
=<br />
N<br />
d<br />
V<br />
V<br />
d<br />
V<br />
V<br />
d<br />
gradV<br />
V<br />
V<br />
grad<br />
i<br />
n<br />
i<br />
n<br />
n<br />
i<br />
n<br />
σ<br />
ρ<br />
ε<br />
.<br />
)<br />
(<br />
1<br />
)<br />
(<br />
i<br />
n<br />
j<br />
j<br />
j<br />
D<br />
i<br />
i<br />
n<br />
w<br />
w<br />
V<br />
V<br />
V<br />
V<br />
V<br />
=<br />
+<br />
∂<br />
∂<br />
=<br />
∂<br />
∂<br />
∑<br />
=<br />
Das Ritzsche Gleichungssystem:<br />
,<br />
1 ∫<br />
∫<br />
∫<br />
∫<br />
∑<br />
Γ<br />
Ω<br />
Ω<br />
Ω<br />
=<br />
Γ<br />
Ω +<br />
Ω +<br />
⋅<br />
Ω = −<br />
⋅<br />
N<br />
d<br />
w<br />
d<br />
w<br />
d<br />
gradV<br />
gradw<br />
gradw d<br />
gradw<br />
V<br />
i<br />
i<br />
D<br />
i<br />
j<br />
i<br />
n<br />
j<br />
j<br />
σ<br />
ρ<br />
ε<br />
ε<br />
.<br />
2,...,<br />
i =1, n<br />
Symmetrische Matrix!
2.3.4 Die Methode <strong>der</strong> finiten Elemente (Finite Element Method=FEM)<br />
Diskretisierung <strong>der</strong> Geometrie<br />
Dreieckselemente: einfachste Möglichkeit<br />
Unbekannte: Potentialwerte in den Knoten<br />
Potential in den Elementen: Polynom niedriger Ordnung<br />
finite Elemente<br />
Ω
Lineare Interpolation <strong>der</strong> Potentialfunktion in den Elementen
Formfunktionen<br />
V<br />
V i<br />
1<br />
V i N i<br />
k<br />
V<br />
V j<br />
V j N j<br />
V k N k<br />
k<br />
1<br />
k<br />
+ + =<br />
V<br />
1<br />
V k<br />
i<br />
N i<br />
j<br />
i<br />
N j<br />
j<br />
i<br />
N k<br />
j<br />
V i N i + V j N j +V k N k<br />
V j<br />
=<br />
V i<br />
V k<br />
k<br />
i<br />
j
1<br />
V<br />
N j<br />
N j<br />
=<br />
⎧1 im Knoten j<br />
⎨<br />
⎩0 in allen an<strong>der</strong>en Knoten<br />
j<br />
V<br />
( n)<br />
n<br />
= n<br />
∑<br />
j=<br />
1<br />
V<br />
j<br />
N<br />
j<br />
n n : Anzahl <strong>der</strong> Knoten<br />
V j : Knotenwerte des Potentials
Basisfunktionen:<br />
w<br />
j<br />
= N<br />
j<br />
, j = 1, 2,..., n.<br />
Γ D<br />
...<br />
V D<br />
n+1 n+2 ...<br />
n ... n n<br />
V 0<br />
=<br />
1<br />
2<br />
...<br />
V<br />
( n)<br />
n<br />
n<br />
= ∑V<br />
= ∑ + ∑<br />
j<br />
N<br />
j<br />
V<br />
j<br />
N<br />
j<br />
V<br />
j=<br />
1<br />
n<br />
n<br />
j=<br />
n+<br />
1<br />
n<br />
j=<br />
1<br />
j<br />
N<br />
j<br />
V<br />
D<br />
+<br />
n<br />
∑<br />
j=<br />
1<br />
V<br />
j<br />
N<br />
j<br />
.
Ritzsche Gleichungen:<br />
n<br />
∑<br />
j=<br />
1<br />
= −<br />
V<br />
∫<br />
Ω<br />
∫<br />
j<br />
Ω<br />
gradN<br />
gradN<br />
i<br />
i<br />
⋅εgradN<br />
⋅εgradV<br />
D<br />
j<br />
dΩ =<br />
dΩ +<br />
∫<br />
Ω<br />
N ρdΩ +<br />
i<br />
∫<br />
Γ<br />
N<br />
N σdΓ,<br />
i<br />
i =1, 2, ..., n.<br />
In Matrixform:<br />
[ A ]{ V } = { b }.<br />
ij<br />
j<br />
i<br />
A<br />
ij<br />
= gradN ⋅εgradN<br />
dΩ,<br />
∫<br />
Ω<br />
i<br />
j<br />
b<br />
i<br />
= −<br />
∫<br />
Ω<br />
gradN<br />
i<br />
⋅εgradV<br />
D<br />
dΩ +<br />
∫<br />
Ω<br />
N ρdΩ +<br />
i<br />
∫<br />
Γ<br />
N<br />
N σdΓ.<br />
i
Ni<br />
N<br />
j<br />
A<br />
ij<br />
= ∫<br />
Ω<br />
gradN<br />
i<br />
⋅εgradN<br />
j<br />
dΩ ≠ 0,<br />
i<br />
j<br />
Ni<br />
N<br />
j<br />
A<br />
ij<br />
= ∫<br />
Ω<br />
gradN<br />
i<br />
⋅εgradN<br />
j<br />
dΩ = 0.<br />
j<br />
i<br />
Spärlich besetzte Matrix.
8-knotige Viereckselemente<br />
7<br />
8<br />
6<br />
4<br />
1 2<br />
3<br />
5
20-knotige Hexae<strong>der</strong>elemente
Form- <strong>und</strong> Basisfunktionen für 20-knotige Hexae<strong>der</strong>elemente
2.5 Randwertprobleme für das Vektorpotential<br />
Stationäres Magnetfeld:<br />
div B = 0 ⇒ B =<br />
rotA,<br />
A: magnetisches Vektorpotential<br />
Differentialgleichung:<br />
1<br />
rotH = J ⇒ rot( rotA)<br />
= J,<br />
µ
2.5.1 Ebene 2D Probleme<br />
Stationäres Magnetfeld:<br />
∂<br />
= 0 : J = J ( x,<br />
y)<br />
ez<br />
, B = Bx<br />
( x,<br />
y)<br />
e<br />
x<br />
+ By<br />
( x,<br />
y)<br />
e<br />
y.<br />
∂z<br />
Feldlinien von B<br />
J<br />
B = rotA<br />
A = A(<br />
x,<br />
y)<br />
e<br />
e<br />
x<br />
e<br />
y<br />
∂ ∂<br />
=<br />
∂x<br />
∂y<br />
0 0<br />
z<br />
e<br />
z<br />
0<br />
x y<br />
A<br />
∂A<br />
= e<br />
∂y<br />
∂A<br />
− e<br />
∂x<br />
.
Differentialgleichung für das einkomponentige Vektorpotential im<br />
ebenen 2D Fall:<br />
1<br />
rot[<br />
rot(<br />
Ae<br />
µ<br />
z<br />
)]<br />
e<br />
x<br />
∂<br />
∂x<br />
1 ∂A<br />
µ ∂y<br />
e<br />
y<br />
∂<br />
∂y<br />
1 ∂A<br />
−<br />
µ ∂x<br />
e<br />
z<br />
0<br />
⎡ ∂ ⎛ 1 ∂A⎞<br />
= −⎢<br />
⎜ ⎟ +<br />
⎣∂x<br />
⎝ µ ∂x<br />
⎠<br />
∂ ⎛ 1 ∂A⎞⎤<br />
⎜ ⎟⎥e<br />
∂y<br />
⎝ µ ∂y<br />
⎠⎦<br />
=<br />
z<br />
= −e<br />
z<br />
1<br />
div( gradA).<br />
µ<br />
0<br />
=<br />
1<br />
− div ( gradA)<br />
= J,<br />
µ<br />
verallgemeinerte Laplace-Poissonsche<br />
Gleichung.
Magnetischer Fluss mit Hilfe von A:<br />
B<br />
Φ =<br />
∫<br />
Γ<br />
B ⋅ndΓ =<br />
∫<br />
Im ebenen 2D Fall:<br />
Γ<br />
rotA<br />
⋅ndΓ =<br />
Γ PQ : Oberfläche <strong>der</strong> Länge 1<br />
durch die Punkte P <strong>und</strong> Q<br />
Φ = ∫ A ⋅dr<br />
=<br />
PQ<br />
C PQ<br />
A( P)<br />
− A(<br />
Q)<br />
∫<br />
C<br />
A ⋅dr.<br />
n<br />
e z<br />
P ΓPQ<br />
A(<br />
P)<br />
e<br />
z Q<br />
A(<br />
Q)<br />
e<br />
C PQ 1<br />
y<br />
z<br />
C<br />
dΓ<br />
Γ A<br />
dr<br />
z=konstant<br />
x
Flusslinien (magnetische Feldlinien) verlaufen parallel zu B.<br />
B<br />
Q<br />
Für zwei beliebige Punkte auf einer<br />
Flusslinie gilt Φ PQ = A(P) - A(Q) = 0.<br />
P<br />
A( P) = A( Q) ⇒ A=<br />
konstant auf Flusslinien!<br />
∂A<br />
∂A<br />
dy<br />
dA ( P)<br />
= dx + dy = −Bydx<br />
+ Bxdy<br />
= 0 ⇒ =<br />
∂x<br />
∂y<br />
dx<br />
Flusslinien: Äquipotentiallinien von A(x, y).<br />
B<br />
B<br />
y<br />
x<br />
.<br />
Ist die Differenz des Vektorpotentialwertes zwischen zwei<br />
benachbarten Flusslinien konstant, ist die Dichte <strong>der</strong><br />
Flusslinien dem Betrag von B proportional.
Randbedingungen:<br />
Dirichletsche Randbedingung: A = (bekannt) auf Γ ,<br />
Bedeutet die Vorgabe von B n :<br />
A 0 D<br />
B<br />
n<br />
= n ⋅rotA<br />
= n ⋅rot( Ae<br />
) = n ⋅(<br />
gradA×<br />
e ) = gradA⋅(<br />
e × n)<br />
z<br />
z<br />
z<br />
=<br />
Γ D<br />
e z<br />
n<br />
e × n =<br />
z<br />
t<br />
∂A<br />
= t ⋅ gradA = : Tangentialableitung von A!<br />
∂ t<br />
Meistens ist A 0 =konstant:<br />
Der Schnitt von Γ D mit einer z=konstant Ebene ist<br />
eine Flusslinie. Die Differenzen <strong>der</strong> Werte von A 0<br />
geben den Fluss pro Längeneinheit zwischen den<br />
Linien an.
Neumannsche Randbedingung:<br />
1 ∂A<br />
= α (bekannt) auf ΓN<br />
,<br />
µ ∂n<br />
Bedeutet die Vorgabe von H t :<br />
H<br />
t<br />
1<br />
1<br />
= ( e<br />
z<br />
× n)<br />
⋅ rot(<br />
Ae<br />
z<br />
) = ( e<br />
z<br />
× n)<br />
⋅ ( gradA×<br />
ez<br />
) =<br />
µ<br />
µ<br />
1<br />
1 1 ∂A<br />
= e<br />
z<br />
× ( e<br />
z<br />
× n)<br />
⋅ gradA = −n<br />
⋅ gradA = − .<br />
µ<br />
µ µ ∂n<br />
Auf Grenzflächen zu hochpermeablen Gebieten ist die<br />
Neumannsche Randbedingung<br />
homogen:<br />
1 ∂ A = 0.<br />
µ ∂n
Dualität zwischen den Randbedingungen für das Skalarpotential<br />
<strong>und</strong> das einkomponentige Vektorpotential im ebenen 2D Fall<br />
Flusslinie<br />
Magnetische Wand:<br />
ψ = konstant,<br />
1 ∂ A = 0.<br />
µ ∂n<br />
Flusslinie:<br />
ψ<br />
µ ∂ = 0, A = konstant.<br />
∂n<br />
Magnetische Wand
Randwertproblem für das einkomponentige<br />
Vektorpotentialfunktion im ebenen 2D Fall:<br />
stationäres<br />
Magnetfeld:<br />
1<br />
− div(<br />
gradA)<br />
= J in Ω,<br />
µ<br />
A =<br />
A<br />
auf<br />
Γ<br />
1 ∂A<br />
,<br />
µ ∂n<br />
= α auf<br />
Γ<br />
0 D<br />
N<br />
.<br />
Ähnliches Randwertproblem, wie für die Skalarpotentialfunktionen.
2.5.2 Rotationssymmetrische 2D Probleme<br />
Stationäres Magnetfeld:<br />
∂<br />
= 0 : J = J ( r,<br />
z)<br />
eφ<br />
, B = Br<br />
( r,<br />
z)<br />
er<br />
+ Bz<br />
( r,<br />
z)<br />
e<br />
z.<br />
∂φ<br />
A = A( r,<br />
z)e φ<br />
B<br />
=<br />
rotA<br />
=<br />
1<br />
e<br />
r<br />
∂<br />
∂r<br />
0<br />
e<br />
0<br />
rA<br />
1<br />
r<br />
∂<br />
∂z<br />
0<br />
r φ<br />
e z<br />
=<br />
∂A<br />
= − e<br />
∂z<br />
r<br />
+<br />
1<br />
r<br />
∂(<br />
rA)<br />
e<br />
∂r<br />
z<br />
.
Differentialgleichung für das einkomponentige Vektorpotential im<br />
rotationssymmetrischen Fall:<br />
1<br />
rot[<br />
rot(<br />
Ae<br />
µ<br />
φ<br />
)] =<br />
1<br />
er<br />
r<br />
∂<br />
∂r<br />
1 ∂A<br />
−<br />
µ ∂z<br />
e<br />
φ<br />
0<br />
0<br />
1<br />
ez<br />
r<br />
∂<br />
∂z<br />
1 ∂(<br />
rA)<br />
µ r ∂r<br />
=<br />
⎡ ∂ ⎛ 1 ∂(<br />
rA)<br />
⎞ ∂ ⎛ 1 ∂A⎞⎤<br />
1<br />
= −⎢ ⎜ ⎟ + ⎜ ⎟ eφ ≠ −e φ<br />
div(<br />
gradA).<br />
r µ r r z µ z<br />
⎥<br />
⎣ ∂ ⎝ ∂ ⎠ ∂ ⎝ ∂ ⎠ ⎦<br />
µ<br />
1<br />
div(<br />
gradA )<br />
µ<br />
=<br />
1<br />
r<br />
∂<br />
∂r<br />
⎛<br />
⎜<br />
⎝<br />
r<br />
1 ∂A<br />
µ ∂r<br />
⎞<br />
⎟<br />
⎠<br />
+<br />
∂<br />
∂z<br />
⎛<br />
⎜<br />
⎝<br />
1 ∂A<br />
µ ∂z<br />
⎞<br />
⎟<br />
⎠
Fluss im rotationssymmetrischen 2D Fall:<br />
Γ PQ :<br />
Kegelstumpfmanteloberfläche<br />
durch die Punkte P <strong>und</strong> Q<br />
C PQ<br />
r Q<br />
A(P)e φ<br />
r P<br />
z<br />
A(Q)e φ<br />
Q<br />
φ = konstant<br />
ΓPQ<br />
P<br />
φ = konstant<br />
Φ = ∫ A ⋅dr<br />
= 2π<br />
[ r A(<br />
P)<br />
− r A(<br />
Q)].<br />
PQ<br />
C<br />
PQ<br />
P<br />
Flusslinien: Äquipotentiallinien von rA(r, z).<br />
Q
2.5.3 3D Probleme<br />
Die Vektorpotentialfunktion ist nicht eindeutig:<br />
B<br />
= rot A = rot( A + gradu)<br />
u ist eine beliebige Skalarfunktion,<br />
Differentialgleichung:<br />
1<br />
rotH = J⇒ rot( rotA) = J in Ω,<br />
µ<br />
Randbedingungen:<br />
Vorgabe von B n o<strong>der</strong> von H t auf Γ.
Spezialfall: Vektorpotential von vorgegebener<br />
Stromdichte im unendlichen leeren Raum ( µ = µ<br />
0<br />
<strong>und</strong> Γ→∞) :<br />
rotrotA= µ J<br />
0<br />
,<br />
A( ∞ ) = 0 ( ⇒n⋅rotA( ∞ ) = 0 o<strong>der</strong> rotA( ∞ ) × n=<br />
0).<br />
Lediglich B=rotA ist eindeutig bestimmt, nicht aber A.<br />
A wird eindeutig, wenn auch divA bestimmt wird: Eichung.<br />
Die Wahl divA = 0 ist die Coulomb-Eichung.
Die Eichung macht A eindeutig:<br />
divA= div( A+ gradu) ⇒∆ u = 0, ⎫<br />
⎬ ⇒ gradu =<br />
A( ∞ ) = A( ∞ ) + gradu( ∞) ⇒ gradu( ∞ ) = 0,<br />
⎭<br />
0.<br />
Randwertproblem für A:<br />
rotrotA<br />
J<br />
= µ<br />
0<br />
, ⎫<br />
⎪<br />
divA<br />
= 0, ⎬ ⇒<br />
A( ∞ ) = 0.<br />
⎪<br />
⎭<br />
rotrotA<br />
− graddivA<br />
= −∆A<br />
= µ J,<br />
A(<br />
∞)<br />
= 0.<br />
⇓<br />
0<br />
Vektorielle Laplace-Poissonsche Differentialgleichung.
Die Coulomb-Eichung folgt aus <strong>der</strong> vektoriellen Laplace-<br />
Poissonschen Differentialgleichung:<br />
rotrotA− graddiv A=−∆ A= µ<br />
0<br />
J,<br />
⎫<br />
⎬ ⇒<br />
A( ∞ ) = 0.<br />
⎭<br />
div( rotrotA− graddivA)<br />
= µ<br />
0divJ<br />
<br />
⎫ ⎪<br />
∆( divA) 0 ⎬ ⇒ divA<br />
=<br />
divA( ∞ ) = 0,<br />
⎪<br />
⎭<br />
Lösung von<br />
−∆ A= µ 0<br />
J, A( ∞ ) = 0:<br />
0.<br />
0<br />
( ′)<br />
dΩ′<br />
Ar () =<br />
.<br />
4<br />
µπ ∫ Jr Ω<br />
r−<br />
r′
3. Quasistationäre Fel<strong>der</strong><br />
⎛ ∂D<br />
⎞<br />
Maxwellsche Gleichungen ⎜ J >> ⎟ :<br />
⎝ ∂ t ⎠<br />
In leitenden Medien (Ω l ): In nichtleitenden Medien (Ω i ):<br />
rotH<br />
= J,<br />
∂B<br />
rotE<br />
= − ,<br />
∂t<br />
divB<br />
= 0,<br />
rotH<br />
divB<br />
= J,<br />
= 0,<br />
B µ H, J = γE<br />
( E = 0).<br />
=<br />
e<br />
J ist unbekannt:<br />
zeitabhängiges<br />
quasistationäres Feld<br />
B = µH.<br />
J ist bekannt:<br />
zeitabhängiges<br />
stationäres Magnetfeld
Beispiel:<br />
Ω i<br />
J(t)<br />
Ω l
Rand- <strong>und</strong> Grenzflächenbedingungen:<br />
ΓB<br />
:<br />
Ω i<br />
B ⋅n = −b<br />
n<br />
Γ : E × n = 0<br />
E<br />
nichtleitendes Gebiet<br />
Γ<br />
li: H × n,<br />
B ⋅n<br />
sind stetig<br />
n<br />
Ω l<br />
leitendes Gebiet<br />
J<br />
ΓHi<br />
:<br />
H ×n =<br />
α<br />
Γ : H × n = 0<br />
Hl<br />
n
Differentialgleichungen in<br />
Ω l (Wirbelstromgebiet):<br />
rotH<br />
rotE<br />
l<br />
l<br />
divB<br />
B<br />
l<br />
l<br />
=<br />
= µ H<br />
J<br />
l<br />
l<br />
∂B<br />
= −<br />
∂t<br />
= 0<br />
, H<br />
l<br />
l<br />
= νB<br />
l<br />
, J<br />
Zusammenfassung<br />
l<br />
= γE<br />
l<br />
Differentialgleichungen in Ω i<br />
(wirbelstromfreies Gebiet):<br />
rotH<br />
divB<br />
B<br />
i<br />
i<br />
i<br />
=<br />
=<br />
J<br />
0<br />
i<br />
i<br />
= µ H , H =νB<br />
i<br />
i<br />
Randbedingungen:<br />
H<br />
l<br />
× n = 0 auf Γ<br />
Hl,<br />
E<br />
l<br />
× n = 0 auf Γ<br />
E<br />
,<br />
H<br />
i<br />
× n = K auf Γ<br />
Hi,<br />
B<br />
i<br />
⋅n = −b auf Γ<br />
B.<br />
Anfangsbedingungen in t=0:<br />
B<br />
l<br />
Grenzflächenbedingungen<br />
auf Γ li :<br />
H<br />
B<br />
l<br />
l<br />
× n<br />
⋅n<br />
l<br />
l<br />
+ H<br />
+ B<br />
i<br />
i<br />
⋅n<br />
× n<br />
i<br />
i<br />
=<br />
= 0<br />
l 0<br />
in Ωl<br />
, Bi<br />
= Bi0<br />
0<br />
= B<br />
in<br />
Ω<br />
i
Komplexe Schreibweise für zeitharmonische Größen:<br />
Zeitfunktion:<br />
B (,) ˆ<br />
x<br />
r t = Bx()cos( r ωt+<br />
ϕx())<br />
r<br />
B (,) ˆ<br />
y<br />
r t = By()cos( r ωt+<br />
ϕy())<br />
r<br />
B (,) r t = Bˆ<br />
()cos( r ωt+<br />
ϕ ()) r<br />
z z z<br />
speziell für lineare Polarisation:<br />
B( r,<br />
t)<br />
= Bˆ<br />
( r)cos(<br />
ω t + ϕ(<br />
r))<br />
Komplexe Amplitude (komplexer Scheitelwert):<br />
B(<br />
r)<br />
= Bˆ<br />
( r)<br />
e<br />
Zeitableitung:<br />
∂<br />
im Zeitbereich → Multiplikation mit jω<br />
im Frequenzbereich<br />
∂t<br />
Maxwellsche Gleichungen für komplexe Amplituden<br />
(quasistationärer Fall):<br />
jϕ ( r)<br />
rotH<br />
= J, rotE<br />
= − jωB,<br />
divB<br />
=<br />
0.
Poyntingscher Satz für komplexe Amplituden im<br />
quasistationären Fall:<br />
1<br />
2<br />
E⋅<br />
rotH<br />
*<br />
−<br />
1<br />
2<br />
H<br />
*<br />
⋅ rotE<br />
= −<br />
1<br />
2<br />
div<br />
1<br />
2<br />
1<br />
2<br />
(<br />
*) *<br />
*<br />
E×<br />
H = E⋅<br />
J + jωB<br />
⋅ H<br />
1<br />
2<br />
∫<br />
Ω<br />
E⋅<br />
J<br />
*<br />
1<br />
d Ω + j ∫<br />
* 1<br />
ω B ⋅ H dΩ = −<br />
=<br />
2<br />
2<br />
Ω<br />
∫ (<br />
*<br />
E×<br />
H ) ⋅ndΓ<br />
S<br />
Γ<br />
S: komplexe Leistung, die durch den Rand Γ ins Gebiet Ω<br />
hineinfließt.
Beweis:<br />
Zeitfunktion des Poyntingschen Vektors:<br />
S<br />
t)<br />
= E(<br />
t)<br />
× H(<br />
t)<br />
= Eˆ<br />
cos( ωt<br />
+ ϕ ) × Hˆ<br />
cos( ωt<br />
+ ϕ ) =<br />
(<br />
E<br />
H<br />
1<br />
= Eˆ<br />
× Hˆ<br />
[ cos( ϕ<br />
E<br />
−ϕ<br />
H<br />
) + cos(2ωt + ϕ<br />
E<br />
+ ϕ<br />
H<br />
)]=<br />
2<br />
1<br />
= Eˆ<br />
× Hˆ<br />
cos( ϕ<br />
E<br />
−ϕ<br />
H<br />
)[ 1+<br />
cos 2( ωt + ϕ<br />
E<br />
)]+<br />
2 <br />
Wirkanteil<br />
1<br />
+ Eˆ<br />
× Hˆ<br />
sin( ϕ<br />
E<br />
−ϕ<br />
H<br />
) t + ϕ<br />
E<br />
2 <br />
Wirkleistung:<br />
Blindleistung:<br />
Blindanteil<br />
∫<br />
Γ<br />
[ sin 2( ω )]<br />
1<br />
P = − E ˆ × Hˆ<br />
cos( ϕ<br />
E<br />
−ϕ<br />
H<br />
) ⋅ndΓ<br />
2<br />
1<br />
Q = − E ˆ × Hˆ<br />
sin( ϕ<br />
E<br />
−ϕ<br />
H<br />
) ⋅ndΓ<br />
2<br />
∫<br />
Γ
S<br />
= P + jQ = −∫<br />
Γ<br />
1<br />
2<br />
E ˆ × Hˆ<br />
[cos( ϕ −ϕ<br />
) + j sin( ϕ −ϕ<br />
)] ⋅ndΓ =<br />
E<br />
H<br />
E<br />
H<br />
= −∫<br />
j E − H<br />
Eˆ<br />
× Hˆ<br />
( ϕ ϕ<br />
e ⋅ndΓ = −∫<br />
2<br />
Γ<br />
1 )<br />
Γ<br />
1<br />
2<br />
Eˆ<br />
e<br />
jϕ<br />
E<br />
× Hˆ<br />
e<br />
− jϕ<br />
H<br />
⋅ndΓ =<br />
= − ∫<br />
2<br />
1 *<br />
Γ<br />
( × H ) ⋅ndΓ.<br />
E q. e. d.<br />
Komplexer Poyntingscher Vektor:<br />
Wirkleistung:<br />
Blindleistung:<br />
1<br />
S = E×<br />
H<br />
2<br />
1 * 1 J<br />
P = ∫ E ⋅J<br />
dΩ = ∫ dΩ,<br />
( Ee<br />
=<br />
2<br />
2 γ<br />
Ω<br />
1 Ω<br />
* 1<br />
Q = ω ∫ B ⋅ H dΩ = ω∫<br />
µ H<br />
2<br />
dΩ.<br />
2<br />
2<br />
Ω<br />
*<br />
2<br />
Ω<br />
0),
3.1 Einige analytische Lösungen des Randwertproblems für das<br />
magnetische Vektorpotential<br />
Im leitenden Gebiet (Ω l ): div B = 0 ⇒ B = rotA,<br />
rotE<br />
+<br />
∂B<br />
∂t<br />
= rotE<br />
+<br />
∂rotA<br />
∂t<br />
Differentialgleichungen:<br />
∂A<br />
= rot(<br />
E + ) = 0<br />
∂t<br />
⇒<br />
E = −gradV<br />
1 ∂A<br />
rotH − J = 0 ⇒ rot( rotA)<br />
+ γ + γgradV<br />
= 0,<br />
µ ∂t<br />
⎛<br />
⎜<br />
⎝<br />
divJ<br />
∂A<br />
= 0 ⇒ −div(<br />
γgradV<br />
) − div(<br />
γ ) = 0.<br />
⎞<br />
⎟<br />
∂t<br />
⎠<br />
Randbedingungen: A( ∞ ) = 0, V ( ∞ ) = 0.<br />
−<br />
∂A<br />
.<br />
∂t
Spezialfall: µ = konstant, γ = konstant, zeitharmonischer Fall.<br />
Coulomb-Eichung: divA=0<br />
−div( γ gradV ) − jωdiv( γA) = 0 ⇒−∆ V = jωdivA=<br />
0<br />
<br />
⎧∆ V = 0 ⎫<br />
⎨ ⎬ ⇒ V = 0<br />
⎩V<br />
( ∞ ) = 0⎭<br />
Differentialgleichung in Ω l :<br />
⇓<br />
−<br />
∆A + jωµγA<br />
=<br />
0<br />
vektorielle Diffusionsgleichung.<br />
Ebene 2D Probleme:<br />
−<br />
∆A( x,<br />
y)<br />
+ jωµγA(<br />
x,<br />
y)<br />
= 0 skalare Diffusionsgleichung.
3.1.1 Strom in unendlichem leitendem Halbraum<br />
J = J ( y)<br />
e<br />
y<br />
z<br />
γ , µ<br />
z<br />
B = B(<br />
y)<br />
e<br />
x<br />
x<br />
∂ ∂<br />
= 0 , = 0 :<br />
∂z<br />
∂x<br />
A = A( y)<br />
e<br />
z,<br />
E = − jωA( y)<br />
ez<br />
= E(<br />
y)<br />
e<br />
z<br />
,<br />
J = γE<br />
= − jωγA( y)<br />
e<br />
z<br />
= J ( y)<br />
e<br />
z,<br />
e<br />
x<br />
e<br />
y<br />
e<br />
z<br />
∂ dA(<br />
y)<br />
B = rotA<br />
= 0 0 = ex<br />
= B(<br />
y)<br />
e<br />
x,<br />
∂y<br />
dy<br />
0 0 A<br />
1 1 dA(<br />
y)<br />
H = B = ex<br />
=<br />
µ µ dy<br />
H ( y)<br />
e<br />
x<br />
.
2<br />
d A(<br />
y)<br />
Diffusionsgleichung: − + jωµγA(<br />
y)<br />
= 0.<br />
2<br />
dy<br />
j ωµγ =<br />
2<br />
p ,<br />
p<br />
=<br />
2<br />
d A( y)<br />
2<br />
= p A(<br />
y)<br />
2<br />
dy<br />
jωµγ<br />
=<br />
1+<br />
j 1+<br />
j<br />
=<br />
2 δ<br />
ωµγ<br />
,<br />
δ: Eindringtiefe.<br />
( = +<br />
− py<br />
A y)<br />
A1<br />
e<br />
2<br />
A e<br />
py<br />
lim A(<br />
y)<br />
< ∞ ⇒ A2 =<br />
y→∞<br />
0 :<br />
A(<br />
y)<br />
− py<br />
= A1<br />
e =<br />
1<br />
A e<br />
y<br />
−<br />
δ<br />
e<br />
y<br />
− j<br />
δ
Feldgrößen:<br />
E( y)<br />
= − jωA(<br />
y)<br />
= − jωA1<br />
e<br />
− py<br />
J ( y)<br />
= − jωγA(<br />
y)<br />
= − jωγA1<br />
e<br />
dA(<br />
y)<br />
B( y)<br />
= = − pA1<br />
e<br />
dy<br />
− py<br />
1 dA(<br />
y)<br />
p<br />
H ( y)<br />
= = − A1<br />
e<br />
µ dy µ<br />
,<br />
− py<br />
,<br />
− py<br />
Bestimmung <strong>der</strong> Konstante A 1 : Strom durch ein<br />
Leiterstück <strong>der</strong> Breite b wird als gegeben angenommen.<br />
.<br />
,
z<br />
∫<br />
Γ<br />
0<br />
J ⋅ndΓ =<br />
∫<br />
C<br />
0<br />
H ⋅dr<br />
=<br />
H ( y<br />
=<br />
0) b<br />
=<br />
I<br />
y<br />
l<br />
b<br />
I<br />
Γ 0<br />
C 0<br />
x<br />
pb I<br />
A I A<br />
µ<br />
1<br />
= ⇒ = −<br />
µ<br />
pb<br />
−<br />
1<br />
jωµ<br />
j<br />
jpy p − −<br />
−<br />
δ δ<br />
E( y)<br />
= Ie = Ie e ,<br />
pb γb<br />
p − j −<br />
δ δ<br />
J ( y)<br />
= γE(<br />
y)<br />
= Ie e ,<br />
b<br />
y<br />
y<br />
y<br />
y<br />
Stromverdrängung<br />
(Skin effect):<br />
Betrag <strong>der</strong><br />
Stromdichte nimmt<br />
exponentiell ab<br />
J (y)<br />
y<br />
y<br />
µ − j − I − j −<br />
δ δ<br />
δ δ<br />
B( y)<br />
= Ie e , H ( y)<br />
= e e .<br />
b<br />
b<br />
J ( y)<br />
δ<br />
I<br />
= 2 e<br />
bδ<br />
y<br />
y<br />
−<br />
δ<br />
y<br />
y
Impedanz des Leiterstückes <strong>der</strong> Breite b <strong>und</strong> Länge l:<br />
S<br />
1 2 1<br />
= I Z = − ∫<br />
2 2<br />
z<br />
Γ<br />
(<br />
*<br />
E×<br />
H ) ⋅ndΓ<br />
*<br />
*<br />
*<br />
E × H = E(<br />
y)<br />
e × H ( y)<br />
e = E(<br />
y)<br />
H ( y)<br />
e<br />
n = −e<br />
y<br />
für y = 0, sonst ist n e<br />
x<br />
y<br />
.<br />
y<br />
*<br />
1 2<br />
*<br />
I<br />
2<br />
2<br />
I<br />
Z<br />
1<br />
= E(<br />
y =<br />
2<br />
0) H<br />
( y<br />
= 0) bl<br />
1 p<br />
= I<br />
2 γb<br />
b<br />
bl<br />
1<br />
=<br />
2<br />
I<br />
pl<br />
γb<br />
.<br />
Z<br />
R<br />
l<br />
= R + jX = (1 + j)<br />
,<br />
γδb<br />
l l<br />
= , X = .<br />
γδb<br />
γδb<br />
I<br />
b<br />
δ<br />
l<br />
Gleichstromwi<strong>der</strong>stand
3.1.2 Strom in unendlich ausgedehnter leiten<strong>der</strong> Platte<br />
y<br />
I<br />
h<br />
2<br />
z<br />
b 2<br />
b<br />
2<br />
h<br />
2<br />
x<br />
E = − jω A y)<br />
e = E(<br />
y)<br />
e , J = γE<br />
= − jωγA<br />
y)<br />
e = J ( y)<br />
e ,<br />
(<br />
z<br />
z<br />
(<br />
z<br />
z<br />
dA(<br />
y)<br />
1 dA(<br />
y)<br />
B = e<br />
x<br />
= B(<br />
y)<br />
e<br />
x,<br />
H = e<br />
x<br />
= H ( y)<br />
e<br />
x.<br />
dy<br />
µ dy<br />
Diffusionsgleichung:<br />
2<br />
d A( y)<br />
1+<br />
j 1+<br />
j<br />
2<br />
= p A(<br />
y),<br />
p = jωµγ<br />
= = .<br />
2<br />
dy<br />
2 δ<br />
ωµγ
Lösung <strong>der</strong> Diffusionsgleichung:<br />
− py py<br />
A( y)<br />
= A1 e + A2e<br />
= C1<br />
cosh( py)<br />
+ C2<br />
sinh( py).<br />
Die Stromdichte J ( y)<br />
= − jωγA(<br />
y)<br />
sein ( J(y) = J(-y) ): C = 0 2<br />
.<br />
muss eine gerade Funktion<br />
A ( y)<br />
= C1 cosh( py).<br />
Feldgrößen:<br />
E( y)<br />
= − jωA(<br />
y)<br />
= − jωC1 cosh( py)<br />
J ( y)<br />
= − jωγA(<br />
y)<br />
= − jωγC1 cosh( py)<br />
dA(<br />
y)<br />
B ( y)<br />
= = pC1 sinh( py)<br />
dy<br />
1 dA(<br />
y)<br />
p<br />
H ( y)<br />
= = C1 sinh( py)<br />
µ dy µ
Bestimmung <strong>der</strong> Konstante C 1 : Strom durch ein<br />
Leiterstück <strong>der</strong> Breite b wird als gegeben angenommen.<br />
∫<br />
Γ<br />
0<br />
y = h<br />
y = − h<br />
J ⋅ndΓ =<br />
2<br />
2<br />
∫<br />
C<br />
0<br />
z<br />
H ⋅dr<br />
y<br />
b<br />
I<br />
= −H<br />
( y<br />
Γ 0<br />
C 0<br />
=<br />
h<br />
2) b +<br />
x<br />
H ( y = − h<br />
2 pb ph<br />
= −2H ( y = h 2) b = − C1 sinh( ) = I,<br />
µ 2<br />
µ I<br />
C1 = −<br />
.<br />
ph<br />
2 pbsinh(<br />
)<br />
2<br />
2) b<br />
=
),<br />
cosh(<br />
)<br />
2<br />
sinh(<br />
2<br />
)<br />
cosh(<br />
)<br />
2<br />
sinh(<br />
2<br />
)<br />
( py<br />
ph<br />
b<br />
pI<br />
py<br />
ph<br />
pb<br />
I<br />
j<br />
y<br />
E<br />
γ<br />
ωµ<br />
=<br />
=<br />
),<br />
cosh(<br />
)<br />
2<br />
sinh(<br />
2<br />
)<br />
(<br />
)<br />
( py<br />
ph<br />
b<br />
pI<br />
y<br />
E<br />
y<br />
J =<br />
= γ<br />
),<br />
sinh(<br />
)<br />
2<br />
sinh(<br />
2<br />
)<br />
( py<br />
ph<br />
b<br />
I<br />
y<br />
B<br />
µ<br />
= −<br />
).<br />
sinh(<br />
)<br />
2<br />
sinh(<br />
2<br />
)<br />
( py<br />
ph<br />
b<br />
I<br />
y<br />
H<br />
−<br />
=
Impedanz des Leiterstückes <strong>der</strong> Breite b <strong>und</strong> Länge l:<br />
S<br />
1 2 1<br />
= I Z = − ∫<br />
2 2<br />
z<br />
Γ<br />
(<br />
*<br />
E×<br />
H ) ⋅ndΓ<br />
*<br />
*<br />
*<br />
E × H = E(<br />
y)<br />
e × H ( y)<br />
e = E(<br />
y)<br />
H ( y)<br />
e<br />
n =<br />
e<br />
y<br />
für y = h 2, n<br />
= −e<br />
y<br />
x<br />
für y = − h 2, sonst ist n<br />
y<br />
y<br />
b<br />
I<br />
z<br />
e<br />
y<br />
.<br />
h<br />
l<br />
Γ<br />
x<br />
1 *<br />
2<br />
2 1 h * h 1 h h<br />
I Z = − E(<br />
y = ) H ( y = ) bl + E(<br />
y = − ) H ( y = − ) bl<br />
2 2 2 2 2 2<br />
h<br />
= −E(<br />
y = ) H<br />
2<br />
*<br />
ph<br />
pI cosh( ) *<br />
h<br />
2 I<br />
( y = ) bl =<br />
bl.<br />
2<br />
ph<br />
2γb<br />
sinh( )<br />
2b<br />
2<br />
=
ph<br />
pl cosh( )<br />
Z = 2 ,<br />
ph 1+<br />
j h 1+<br />
j ωµγ<br />
ph<br />
= = h .<br />
2γb<br />
sinh( ) 2 2 δ 2 2<br />
2<br />
ph<br />
ph<br />
Niedrige Frequenzen: > 1⇒<br />
cosh( ) ≈ sinh( ).<br />
2<br />
2 2<br />
Z<br />
≈<br />
pl l<br />
= (1 + j)<br />
2γb<br />
2γδb<br />
:<br />
Wi<strong>der</strong>stand wie Gleichstrom oben<br />
<strong>und</strong> unten in Schichten <strong>der</strong> Dicke δ,<br />
Reaktanz gleich groß wie Wi<strong>der</strong>stand.
4. Elektromagnetische Wellen<br />
Das vollständige System <strong>der</strong> Maxwellschen Gleichungen:<br />
∂D<br />
∂B<br />
rotH = J+ , rotE=−<br />
,<br />
∂t<br />
∂t<br />
divB= 0, divD = ρ,<br />
D= ε E, B= µ H, J = γ( E+<br />
E )<br />
beschreibt elektromagnetische Wellen.<br />
e<br />
im Vakuum:<br />
∂D<br />
∂B<br />
−<br />
∂t<br />
∂ t<br />
H()<br />
t<br />
E()<br />
t<br />
Das zeitverän<strong>der</strong>liche elektrische<br />
<strong>und</strong> magnetische Feld erzeugen<br />
einan<strong>der</strong> gegenseitig:<br />
elektromagnetisches Feld
4.1 Leitungen<br />
Leitung: sehr (unendlich) lange Anordnung von zwei<br />
parallelen Leitern mit konstantem Querschnitt:<br />
z<br />
z. B.:<br />
z<br />
r 0<br />
r 0<br />
allgemeine Leitung<br />
Materialeigenschaften:<br />
µ , γε , in <strong>der</strong> Umgebung,<br />
d<br />
Doppeldraht mit kreisförmigem Querschnitt<br />
r i<br />
z<br />
γ<br />
l<br />
in den Leitern.<br />
r a<br />
Koaxialkabel
Verteilte Netzwerkparameter:<br />
Wi<strong>der</strong>stand, Induktivität, Leitwert <strong>und</strong> Kapazität pro<br />
Längeneinheit: R, L, G, C. Einheiten: Ω/m, H/m, S/m, F/m.<br />
du 1<br />
Serielle Parameter:<br />
izt (,)<br />
γ<br />
du l<br />
2<br />
du = du1+ du2 = iRdz,<br />
R hängt von <strong>der</strong><br />
Geometrie <strong>und</strong> von γ l ab.<br />
dψ = iLdz,<br />
L hängt von <strong>der</strong><br />
Geometrie <strong>und</strong> von µ ab.<br />
z<br />
z<br />
izt (,)<br />
izt (,)<br />
dψ<br />
izt (,)<br />
z + dz<br />
µ<br />
z + dz<br />
Strömungsfeld in<br />
Leitern<br />
Magnetfeld in <strong>der</strong><br />
Umgebung
Parallele Parameter:<br />
di = uGdz,<br />
uzt (,)<br />
di<br />
γ<br />
Strömungsfeld in<br />
<strong>der</strong> Umgebung<br />
G hängt von <strong>der</strong><br />
Geometrie <strong>und</strong> von γ ab. z z + dz<br />
dQ<br />
dQ = uCdz,<br />
C hängt von <strong>der</strong><br />
Geometrie <strong>und</strong> von ε ab.<br />
uzt (,)<br />
z<br />
−dQ<br />
ε<br />
z + dz<br />
elektrisches Feld<br />
in <strong>der</strong> Umgebung
Differentialgleichungen:<br />
izt (,)<br />
,<br />
uzt (,) dψ<br />
∂u<br />
uzt (,) + ∂ z<br />
izt (,) Γ<br />
z z + dz<br />
Induktionsgesetz:<br />
d<br />
∫<br />
E ⋅ d =− ∫ ⋅ dΓ<br />
dt<br />
C Γ<br />
C<br />
Γ<br />
∂u<br />
∂<br />
u(,) z t + dz − u(,) z t + iRdz =− ( iL) dz,<br />
∂z<br />
∂t<br />
Γ<br />
dz<br />
∂u<br />
− = Ri+<br />
∂z<br />
∂i<br />
L .<br />
∂t
izt (,)<br />
dQ<br />
Γ Ω<br />
izt ( , )<br />
∂i<br />
+ ∂ z<br />
dz<br />
uzt (,)<br />
di<br />
Ω<br />
z<br />
z + dz<br />
Kontinuitätsgesetz:<br />
d<br />
∫<br />
J ⋅ n dΓ=− ∫ ρdΩ,<br />
dt<br />
Γ<br />
Ω<br />
∂i<br />
∂<br />
i( z, t) + dz − i( z, t) + uGdz =− ( uC) dz,<br />
∂z<br />
∂t<br />
Ω<br />
∂i<br />
− = Gu + C<br />
∂z<br />
∂u<br />
.<br />
∂t
Leitungsgleichungen:<br />
∂u<br />
∂i<br />
− = Ri+<br />
L ,<br />
∂z<br />
∂t<br />
∂i<br />
− = Gu + C<br />
∂z<br />
∂u<br />
.<br />
∂t<br />
∂ 2 2<br />
u i i i i<br />
R ∂ L ∂ R ∂ L<br />
∂ ∂ ,<br />
2<br />
− = + = +<br />
∂z ∂z ∂z∂t ∂z ∂t∂z<br />
2 2<br />
∂ ∂ ∂<br />
u u u<br />
= LC + ( RC + LG) + RGu.<br />
2 2<br />
∂z ∂t ∂t<br />
Ähnlich:<br />
2 2<br />
∂ ∂ ∂<br />
i i i<br />
= LC + ( RC + LG) + RGi.<br />
2 2<br />
∂z ∂t ∂t
4.1.1 Lösung <strong>der</strong> Leitungsgleichungen im zeitharmonischen Fall<br />
Annahme:<br />
uzt (,) = Uz ˆ ()cos( ωt+<br />
ϕ ()), z<br />
izt (,) = Iz ˆ()cos( ωt+<br />
ϕ ()). z<br />
i<br />
u<br />
Komplexe Amplituden<br />
(komplexe Scheitelwerte):<br />
= Uˆ<br />
z e ϕ<br />
j u ( z)<br />
( ) ( ) ,<br />
U z<br />
j i ( z)<br />
( ) ( ) .<br />
I z<br />
= Iˆ<br />
z e ϕ<br />
Leitungsgleichungen im Frequenzbereich:<br />
dU ( z)<br />
− = ( R+<br />
jω<br />
LIz ) ( ),<br />
dz<br />
dI( z)<br />
− = ( G + jωCU ) ( z).<br />
dz
2<br />
dU z<br />
( ) dI( z)<br />
=− ( R + jωL) = ( R+ jωL)( G+<br />
jωC) U( z).<br />
2<br />
dz<br />
dz<br />
= ( + )( + ),<br />
2<br />
p R jω<br />
L G jωC<br />
2<br />
dU z<br />
( )<br />
2<br />
dz<br />
=<br />
( ).<br />
2<br />
p U z<br />
p = ( R+ jωL)( G+ jωC):<br />
Ausbreitungskoeffizient.<br />
p<br />
= α +<br />
jβ<br />
,<br />
α = Re( p) ≥ 0, β = Im( p) ≥0.<br />
+ −pz<br />
− pz<br />
U( z) = U e + U e .
1 dU ( z)<br />
p + −pz<br />
p − pz<br />
I( z) =− = U e − U e ,<br />
R+ jωL dz R+ jωL R+<br />
jωL<br />
Z<br />
R+ jω<br />
L R+<br />
jω<br />
L<br />
= =<br />
p G + jωC<br />
0<br />
:<br />
Wellenimpedanz.<br />
+ −<br />
U − pz U pz<br />
I( z) = e − e .<br />
Z Z<br />
0 0
U ( z)<br />
= U e = U e α β<br />
+ + − pz + − ( + j ) z<br />
beschreibt eine sich in <strong>der</strong> positiven z-Richtung ausbreitende,<br />
gedämpfte Welle:<br />
+ + −α<br />
z<br />
u (,) z t = U e cos( ωt−β<br />
z).<br />
Die Phase <strong>der</strong> Spannung kann im Zeitpunkt t an <strong>der</strong> Stelle z<br />
gleich sein, wie im Zeitpunkt t+∆t an <strong>der</strong> Stelle z+∆z:<br />
ωt− βz = ω( t+∆t) − β( z+∆ z)<br />
⇒ω∆ t = β∆z.<br />
∆ z ω = v =<br />
∆t<br />
β<br />
Wellenlänge λ:<br />
Phasengeschwindigkeit.<br />
2π<br />
βλ = 2 π ⇒ λ = .<br />
β
1<br />
0.8<br />
0.6<br />
0.4<br />
0.2<br />
t t+ ∆t<br />
U + e −α<br />
z<br />
0<br />
-0.2<br />
z<br />
-0.4<br />
-0.6<br />
-0.8<br />
∆ z = v∆t<br />
-1<br />
0 1 2 3 4 5 6 7<br />
λ
1<br />
0.8<br />
0.6<br />
0.4<br />
0.2<br />
0<br />
-0.2<br />
-0.4<br />
-0.6<br />
-0.8<br />
-1<br />
0 1 2 3 4 5 6 7
Ähnlich beschreibt<br />
U ( z)<br />
= U e = U e α β<br />
− − pz − ( + j ) z<br />
eine sich in <strong>der</strong> negativen z-Richtung ausbreitende, gedämpfte<br />
Welle:<br />
−<br />
− α z<br />
u ( z, t) = U e cos( ωt+<br />
β z).<br />
Bedingung für die gleiche Phase im Zeitpunkt t an <strong>der</strong> Stelle z<br />
<strong>und</strong> im Zeitpunkt t+∆t an <strong>der</strong> Stelle z+∆z:<br />
∆ z ω<br />
ωt+ βz = ω( t+∆ t) + β( z+∆ z)<br />
⇒ω∆ t =−β∆ z,<br />
= v =− .<br />
∆t<br />
β<br />
α : Dämpfungsfaktor,<br />
β : Phasenfaktor.
+ −<br />
Allgemeine Lösung: ( ) pz − pz<br />
U z = U e + U e ,<br />
+ −<br />
U − pz U pz<br />
I( z) = e − e .<br />
Z Z<br />
0 0<br />
Die Wellenimpedanz Z 0 ist das Verhältnis zwischen den<br />
komplexen Amplituden <strong>der</strong> sich in <strong>der</strong> positiven Richtung<br />
ausbreitenden Spannungs- <strong>und</strong> Stromwellen.<br />
Für die sich in <strong>der</strong> negativen Richtung ausbreitenden<br />
Wellen ist dieses Verhältnis -Z 0 .
4.1.2 Ideale Leitung<br />
R<br />
= 0, G = 0.<br />
p = ( jωL)( jωC) = jω LC ⇒ α = 0, β = ω LC.<br />
Z<br />
0<br />
.<br />
Keine Dämpfung!<br />
jω<br />
L L<br />
= = Die Wellenimpedanz ist reell!<br />
jωC<br />
C<br />
ω 1 v = = . Im Allgemeinen gilt LC = µε.<br />
β LC<br />
1<br />
8 m<br />
Im Vakuum: v = 2.9979 10 c:<br />
µε<br />
≈ ⋅ s<br />
= Lichtgeschwindigkeit!<br />
0 0
Ideale Leitung bei allgemeiner Zeitabhängigkeit:<br />
∂u<br />
∂i<br />
∂i<br />
Leitungsgleichungen: − = L , − = C<br />
∂z<br />
∂t<br />
∂z<br />
∂u<br />
∂t<br />
.<br />
∂ u<br />
∂z<br />
∂ u<br />
∂t<br />
2 2<br />
= LC ,<br />
2 2<br />
∂ i<br />
∂z<br />
∂ i<br />
∂t<br />
2 2<br />
= LC :<br />
2 2<br />
skalare 1D Wellengleichung.<br />
z<br />
Alle Funktionen <strong>der</strong> Form f(,) z t = f( t∓ ) sind Lösungen<br />
1 v<br />
<strong>der</strong> 1D Wellengleichung ( v = ):<br />
LC<br />
∂<br />
∂<br />
2<br />
f<br />
=<br />
1<br />
z<br />
f′′<br />
( t∓<br />
),<br />
2 2<br />
z v v<br />
2<br />
∂<br />
1<br />
LC f = LCf ′′( t ∓<br />
z ) = f ′′( t ∓<br />
z ).<br />
2 2<br />
∂t v v v<br />
q. e. d.
z<br />
f( t−<br />
) beschreibt eine sich in <strong>der</strong> positiven z-Richtung mit einer<br />
v<br />
Geschwindigkeit v ausbreitende Welle:<br />
f( −x)<br />
z.B.<br />
f(,)<br />
z t t = 0 t = ∆t<br />
x<br />
v∆t<br />
z
4.1.3 Abschluss von Leitungen<br />
I( z)<br />
U0<br />
U( z)<br />
Z2<br />
0 l<br />
U(0) = U0,<br />
Ul () = ZIl<br />
2<br />
().<br />
+ −<br />
U<br />
+ −pl<br />
− pl<br />
− pl U pl<br />
Ul () = Ue + Ue , Il () = e − e .<br />
Z Z<br />
U e<br />
+ −pl<br />
− pl 1+<br />
U e + U e<br />
Z U e<br />
2<br />
= Z0 = Z<br />
+ −pl<br />
− pl 0 −<br />
U e −U e U e<br />
1−<br />
U e<br />
0 0<br />
− pl<br />
+ −pl<br />
pl<br />
+ −pl<br />
.<br />
z
U e U<br />
= = Reflexionskoeffizient.<br />
U e U<br />
− pl −<br />
2 pl<br />
2<br />
e :<br />
+ − pl +<br />
Z<br />
=<br />
Z<br />
2 0<br />
1+<br />
1−<br />
r<br />
r<br />
2<br />
2<br />
,<br />
r<br />
2<br />
=<br />
Z<br />
Z<br />
− Z<br />
+ Z<br />
2 0<br />
2 0<br />
.<br />
U( z) = U e ( e + re ),<br />
0<br />
+ −pl p( l−z) −p( l−z)<br />
2<br />
+<br />
U −pl p( l−z) −p( l−z)<br />
I( z) = e ( e −re<br />
2<br />
).<br />
Z<br />
einfallende Wellen<br />
reflektierte Wellen
+ −2<br />
pl<br />
Am Anfang <strong>der</strong> Leitung: U(0) = U = U (1 + re ),<br />
0 2<br />
U<br />
+<br />
U<br />
− + −2<br />
= , U = U re<br />
1 + re<br />
0<br />
−2<br />
pl<br />
2<br />
pl<br />
2<br />
.<br />
r<br />
2<br />
=<br />
Z<br />
Z<br />
− Z<br />
+ Z<br />
2 0<br />
2 0<br />
.<br />
Anpassung:<br />
Wenn Z2 = Z0 : r2<br />
= 0. Keine Reflexion:<br />
pz<br />
U( z) = U + e<br />
− ,<br />
+<br />
U − pz<br />
I( z) e .<br />
Z<br />
= 0<br />
0<br />
U( z)<br />
I( z)<br />
=<br />
Z<br />
.
Kurzschluss:<br />
Wenn Z2 = 0: r2<br />
=−1.<br />
Mit <strong>der</strong> Bezeichnung x= l−<br />
z:<br />
+ −pl px −px<br />
U( x) = U e ( e −e<br />
),<br />
+<br />
U −pl px −px<br />
I( x) = e ( e + e ).<br />
Z<br />
Spezialfall: ideale Leitung ( α = 0, p = jβ<br />
)<br />
+ − jβl jβx − jβx + − jβl<br />
U( x) = U e ( e − e ) = 2jU e sin β x,<br />
+ +<br />
U − jβl jβx − jβx U − jβl<br />
I( x) = e ( e + e ) = 2 e cos β x.<br />
Z<br />
Z<br />
0 0<br />
Stehende Wellen.<br />
0
Spannung <strong>und</strong> Strom beim Kurzschluss.<br />
x<br />
1<br />
0 . 8<br />
0 . 6<br />
0 . 4<br />
0 . 2<br />
0<br />
-0 .2<br />
-0 .4<br />
-0 .6<br />
-0 .8<br />
t<br />
><br />
t<br />
2 1<br />
t<br />
><br />
t<br />
5 4<br />
t 1<br />
t<br />
><br />
t<br />
4 3<br />
t<br />
><br />
t<br />
3 2<br />
uxt ( , )<br />
0<br />
-1<br />
0 1 2 3 4 5 6 . 2 8 3 2 7<br />
1<br />
ixt ( , )<br />
x 2 1<br />
1<br />
0<br />
t<br />
t<br />
><br />
t<br />
><br />
4 3<br />
t<br />
t<br />
><br />
t<br />
t<br />
3 2<br />
5 4<br />
-1<br />
0 6 . 2 8 3 2<br />
t<br />
><br />
t<br />
0
Leerlauf:<br />
Wenn Z2 →∞ : r2<br />
= 1.<br />
Für ideale Leitungen:<br />
+ − jβl jβx − jβx + − jβl<br />
U( x) = U e ( e + e ) = 2U e cos β x,<br />
+ +<br />
U − jβl jβx − jβx U − jβl<br />
I( x) = e ( e − e ) = 2j e sin β x.<br />
Z<br />
Z<br />
0 0
Spannung <strong>und</strong> Strom beim Leerlauf:<br />
1<br />
uxt ( , )<br />
x 2 1<br />
1<br />
0<br />
t<br />
t<br />
><br />
t<br />
><br />
4 3<br />
t<br />
t<br />
><br />
t<br />
t<br />
3 2<br />
-1<br />
0 6 . 2 8 3 2<br />
t<br />
><br />
t<br />
5 4<br />
0<br />
1<br />
0 . 8<br />
t<br />
><br />
t<br />
2 1<br />
t 1<br />
t<br />
><br />
t<br />
3 2<br />
ixt ( , )<br />
0 . 6<br />
x<br />
0 . 4<br />
0 . 2<br />
0<br />
-0 .2<br />
-0 .4<br />
t<br />
><br />
t<br />
5 4<br />
t<br />
><br />
t<br />
4 3<br />
0<br />
-0 .6<br />
-0 .8<br />
-1<br />
0 1 2 3 4 5 6 . 2 8 3 2 7
4.2 Ebene Wellen<br />
Maxwellsche Gleichungen im Vakuum (µ = µ 0 , ε = ε 0 ), in<br />
Abwesenheit von Ladungen <strong>und</strong> Strömen (ρ = 0, J = 0):<br />
rot = ε ∂ E<br />
H<br />
0<br />
, rot =−µ ∂ H<br />
E<br />
0<br />
,<br />
∂t<br />
∂t<br />
div H = 0, div E = 0.<br />
∂<br />
∂ H<br />
rotrotH = graddivH−∆ H= ε rotE=−ε µ<br />
∂t<br />
∂t<br />
Ähnlich:<br />
= 0<br />
∆ =εµ ∂ H<br />
H<br />
∂t<br />
2<br />
∆ =εµ ∂ E<br />
E<br />
∂t<br />
2<br />
,<br />
0 0 2<br />
0 0 2 .<br />
⎫<br />
⎬<br />
⎭<br />
2<br />
,<br />
0 0 0 2<br />
Vektorielle 3D Wellengleichung
∂ ∂<br />
Annahme: = 0, = 0.<br />
∂x<br />
∂y<br />
In je<strong>der</strong> z = konstant Ebene ist das<br />
elektromagnetische Feld konstant:<br />
Ebene Wellen:<br />
∂ H<br />
∂z<br />
∂ H<br />
∂t<br />
2 2<br />
= εµ ,<br />
2 0 0 2<br />
∂ E<br />
∂z<br />
∂ E<br />
∂t<br />
Vektorielle 1D Wellengleichung.<br />
2 2<br />
= εµ :<br />
2 0 0 2<br />
Alle Komponenten des elektromagnetischen Feldes E x , E y , E z ,<br />
H x , H y , H z erfüllen die skalare 1D Wellengleichung:<br />
∂ f<br />
∂z<br />
∂ f<br />
∂t<br />
2 2<br />
= εµ .<br />
2 0 0 2<br />
Lösung:<br />
z 1<br />
f ( t∓<br />
), v= = c.<br />
v µε<br />
0 0
Wellen mit Ausbreitungsgeschwindigkeit gleich <strong>der</strong><br />
Lichtgeschwindigkeit:<br />
z<br />
z<br />
z<br />
Ex(,) z t = Ex( t∓<br />
), Ey(,) z t = Ey( t∓ ), Ez(,) z t = Ez( t∓<br />
),<br />
c<br />
c<br />
c<br />
z<br />
z<br />
z<br />
Hx(,) z t = Hx( t∓ ), Hy(,) z t = Hy( t∓ ), Hz(,) z t = Hz( t∓<br />
).<br />
c<br />
c<br />
c<br />
Zusammenhang zwischen E <strong>und</strong> H:<br />
rotH<br />
e e e<br />
x y z<br />
∂ ∂ ∂ ∂E<br />
= = ε<br />
∂x ∂y ∂z ∂t<br />
H H H<br />
x y z<br />
0<br />
,<br />
Ebene Wellen:<br />
∂ 1<br />
= 0, ∂ = 0, ∂ = ∓<br />
∂ .<br />
∂x ∂y ∂z c ∂t
ex ey ez<br />
ex ey ez<br />
1 ∂ 1 ∂ 1 ∂<br />
rotH = 0 0 ∓ = ∓ 0 0 1 = ∓ ( ez<br />
× H).<br />
v ∂t v ∂t v ∂t<br />
Hx Hy Hz<br />
H H H<br />
x y z<br />
1 ∂<br />
∂E<br />
1<br />
∓ ε ∓ ε<br />
∓<br />
v ∂t t v<br />
0<br />
( ez× H) =<br />
0<br />
⇒ ( ez× H) =<br />
0E; ( ez× H) = E.<br />
∂<br />
µ<br />
0<br />
ε<br />
Ähnlich aus <strong>der</strong> II. Maxwellschen Gleichung:<br />
µ<br />
0<br />
( ez<br />
× E) =± H.<br />
ε0<br />
Obere Vorzeichen: Ausbreitung in <strong>der</strong> positiven z-Richtung,<br />
Untere Vorzeichen: Ausbreitung in <strong>der</strong> negativen z-Richtung.
S<br />
z<br />
E(,) zt = E( t−<br />
)<br />
c<br />
Ausbreitungsrichtung<br />
S<br />
z<br />
H(,) zt = H( t+<br />
)<br />
c<br />
Ausbreitungsrichtung<br />
e z<br />
z<br />
H(,) zt = H( t−<br />
)<br />
c<br />
e z<br />
z<br />
E(,) zt = E( t+<br />
)<br />
c<br />
Die Richtung des Poyntingschen Vektor stimmt mit <strong>der</strong><br />
Ausbreitungsrichtung überein.<br />
µ µ<br />
1<br />
S= E× H = ∓ ( e × H) × H=± e H =± e H ,<br />
ε ε µε<br />
0 0 2 2<br />
z z z<br />
µ<br />
0<br />
0 0 0 0<br />
ε<br />
ε<br />
1<br />
S= E× H = E× [ ± ( e × E)] =± e E =± e E ,<br />
µ µ µε<br />
0 0 2 2<br />
z z z<br />
ε0<br />
0 0 0 0<br />
1 2 2<br />
(<br />
0 0 ).<br />
S=± e c z<br />
2<br />
ε E + µ H
Allgemeinere Materialeigenschaften: µ , εγ= , konstant.<br />
Maxwellsche Gleichungen in Abwesenheit von Ladungen<br />
(ρ = 0):<br />
rot γ ε ∂ E<br />
H = E + , rot =−µ ∂ H<br />
E ,<br />
∂ t<br />
∂t<br />
div H = 0, div E = 0.<br />
2<br />
∂ ∂H<br />
∂ H<br />
rotrotH = graddivH−∆ H= γrotE+ ε rotE=−γµ −εµ<br />
<br />
∂t ∂t ∂t<br />
Ähnlich:<br />
= 0<br />
2<br />
∂H<br />
∂ H<br />
∆H−γµ − εµ = 0<br />
∂t<br />
∂t<br />
2<br />
,<br />
2<br />
∂E<br />
∂ E<br />
∆E−γµ − εµ = 0<br />
∂t<br />
∂t<br />
2<br />
.<br />
2 ,
Für ebene Wellen:<br />
2<br />
∂ ∂ ∂<br />
= 0, = 0 ⇒∆= .<br />
2<br />
∂x ∂y ∂z<br />
2<br />
∂ 2 E ∂ E ∂E<br />
= µε + µγ ,<br />
2 2<br />
∂z ∂t ∂t<br />
2<br />
∂ 2 H ∂ H ∂H<br />
= µε + µγ .<br />
2 2<br />
∂z ∂t ∂t<br />
Völlige Analogie mit den Leitungsgleichungen:<br />
2 2<br />
∂ ∂ ∂<br />
u u u<br />
= LC + ( RC + LG) + RGu,<br />
2 2<br />
∂z ∂t ∂t<br />
2 2<br />
∂ ∂ ∂<br />
i i i<br />
= LC + ( RC + LG) + RGi.<br />
2 2<br />
∂z ∂t ∂t<br />
u ⇔ E, i ⇔ H,<br />
R ⇔0, L⇔ µ , G ⇔γ, C ⇔ε.
Zeitharmonischer Fall, komplexe Schreibweise<br />
E( z), H( z) : komplexe Amplituden.<br />
Lösung (wegen <strong>der</strong> Analogie):<br />
+ −<br />
( ) pz − pz<br />
E z = E e + E e ,<br />
+ −<br />
E − E<br />
( ) pz<br />
pz<br />
H z = e − e .<br />
Z Z<br />
0 0<br />
Ausbreitungskoeffizient: p = jωµ ( γ+ jωε) = α+<br />
jβ,<br />
jωµ<br />
Wellenimpedanz: Z0 = .<br />
γ + jωε<br />
Gedämpfte Wellen, die sich in <strong>der</strong> positiven <strong>und</strong><br />
negativen z-Richtung ausbreiten.
Verlustloses Medium: γ = 0.<br />
p= ( jωµ )( jωε) = jω µε ⇒ α = 0, β = ω µε.<br />
Z<br />
jωµ µ<br />
jωε<br />
ε<br />
0<br />
= = .<br />
v<br />
ω 1 1 1 c<br />
= = = = ≤<br />
β µε µε µε µε<br />
r r 0 0 r r<br />
c.<br />
c<br />
Optik: v = , n: Brechungsindex<br />
n<br />
Maxwellsche Relation:<br />
n<br />
= ε =<br />
2<br />
r; n εr,<br />
da für optisch durchsichtige Medien µ<br />
r<br />
= 1.
4.3 Elektromagnetische Wellen im unendlichen, homogenen Raum<br />
Annahmen:<br />
• die Stromdichte J <strong>und</strong> die Ladungsdichte ρ sind im gesamten<br />
Raum in jedem Zeitpunkt bekannt: Jr ( , t) <strong>und</strong> ρ( r,t) sind gegeben,<br />
• Die Materialeigenschaften µ <strong>und</strong> ε sind im gesamten Raum<br />
konstant, z.B. µ = µ 0 , ε = ε 0 ,<br />
• Verlustloses Medium: γ = 0.<br />
z. B. Antenne:<br />
homogenes Medium<br />
(z.B. Vakuum o<strong>der</strong> Luft: µ , ε )<br />
0 0<br />
Jr (,) t<br />
elektromagnetisches Feld: E(r,t), H(r,t)
4.3.1. Lösung <strong>der</strong> Maxwellschen Gleichungen mit retardierten<br />
Potentialen<br />
Maxwellsche Gleichungen:<br />
∂D<br />
∂B<br />
rotH = J + , rotE =− ,<br />
∂ t<br />
∂ t<br />
div B = 0, divD = ρ,<br />
B= µ H, D=<br />
ε E.<br />
0 0<br />
Potentiale:<br />
1<br />
B= rotA, H = rotA,<br />
µ<br />
0<br />
∂A<br />
∂A<br />
E=− − gradV , D=−ε0 −ε0gradV.<br />
∂t<br />
∂t
2<br />
∂ A<br />
rotrotA= graddivA−∆ A= µ J−µ ε −µ ε grad<br />
∂t<br />
∂V<br />
∂t<br />
0 0 0 2 0 0<br />
.<br />
Die Divergenz von A kann frei gewählt werden:<br />
divA<br />
V<br />
=−µε ∂<br />
∂t<br />
0 0<br />
:<br />
∂ A<br />
−∆ A+ µ ε = µ<br />
∂t<br />
2<br />
0 0 2 0J.<br />
Lorenz-Eichung.<br />
∂A<br />
∂divA<br />
ρ<br />
div( −gradV − ) =−∆V<br />
− = .<br />
∂t<br />
∂t<br />
ε<br />
Mit <strong>der</strong> Lorenz-Eichung:<br />
0<br />
Inhomogene 3D<br />
Wellengleichungen<br />
2<br />
∂ V<br />
−∆ V + µε<br />
0 0<br />
=<br />
2<br />
∂t<br />
ρ<br />
.<br />
ε<br />
0
∂<br />
Im statischen Fall ( = 0) übergehen diese Gleichungen in die<br />
∂t<br />
ρ<br />
Laplace-Poissonschen Gleichungen −∆ A= µ<br />
0<br />
J,<br />
−∆ V =<br />
ε0<br />
mit den bekannten Lösungen<br />
0<br />
( ′)<br />
dΩ′<br />
Ar () =<br />
,<br />
4<br />
µπ ∫ Jr Ω<br />
r−<br />
r′<br />
1 ρ( r′ ) dΩ′<br />
V () r = ∫ .<br />
4πε Ω<br />
r−<br />
r′<br />
0<br />
In Bereichen, wo die Stromdichte <strong>und</strong> die Ladungsdichte<br />
verschwinden, erhält man die Wellengleichungen<br />
2<br />
2<br />
∂ A<br />
∂ V<br />
−∆ A+ µε<br />
0 0<br />
= 0,<br />
−∆ V + µε<br />
2 0 0<br />
= 0.<br />
2<br />
∂t<br />
∂t
Die Lösungen <strong>der</strong> inhomogenen Wellengleichungen im<br />
unendlichen freien Raum sind<br />
t<br />
r−<br />
r′<br />
Jr ( ′, t−<br />
) dΩ′<br />
µ<br />
c<br />
∫<br />
4π Ω<br />
r−<br />
r′<br />
0<br />
(,) =<br />
,<br />
Ar<br />
r−<br />
r′<br />
ρ( r′ , t−<br />
) dΩ′<br />
1<br />
V(,) r t =<br />
c<br />
∫<br />
,<br />
4πε Ω<br />
r−<br />
r′<br />
0<br />
1<br />
( c = ).<br />
µ ε<br />
0 0<br />
Ar ( , t) <strong>und</strong> V ( r, t) sind die retardierten Potentiale.
Im zeitharmonischen Fall:<br />
Ar ( ), V ( r), Jr ( ′) <strong>und</strong> ρ( r′<br />
) sind komplexe Amplituden.<br />
Im Zeitbereich:<br />
r−<br />
r′ ( , ) ˆ<br />
r−<br />
r′<br />
Jr′ t− = Jr ( ′)cos[ ω( t− ) + ϕ( r′<br />
)].<br />
c<br />
c<br />
r−r′<br />
− j<br />
′<br />
ω<br />
( )<br />
0<br />
Im Frequenzbereich: ˆ( )<br />
jϕ<br />
r′<br />
c<br />
− jk r−r<br />
Jr′ e e = Jr ( ′ ) e ,<br />
k<br />
ω = = ω µ ε<br />
c<br />
0 0 0<br />
: Wellenzahl (Phasenfaktor).<br />
− jk0<br />
r−r′<br />
′ ′<br />
µ<br />
0<br />
Jr ( ) e dΩ<br />
Ar () = ∫<br />
,<br />
4π<br />
r−<br />
r′<br />
Ω<br />
0<br />
− jk0<br />
r−r′<br />
′ ′<br />
1 ρ( r ) e dΩ<br />
V () r = ∫<br />
.<br />
4πε<br />
r−<br />
r′<br />
Ω
Mit Hilfe <strong>der</strong> Lorenz-Eichung, kann V eliminiert werden:<br />
V<br />
divA =−µε ∂<br />
0 0 lautet im Frequenzbereich divA = − jωµ 0ε0 V.<br />
∂t<br />
1<br />
V =− divA.<br />
jωµ ε<br />
0 0<br />
1<br />
E= −jωA− gradV =− jωA+ graddivA=<br />
jωµ 0ε0<br />
1 2<br />
= ( ωµε<br />
0 0A+<br />
graddivA).<br />
jωµ ε<br />
0 0<br />
B= rotA,<br />
1 2<br />
E= ( k0<br />
A+<br />
graddivA).<br />
jωµ ε<br />
0 0
4.4 Geführte Wellen<br />
Leitungen: transversale (x, y) Abmessungen wesentlich<br />
kleiner als die Wellenlänge.<br />
z<br />
D<br />
2π<br />
2π<br />
1<br />
λ = = = =<br />
ω µε k f µε<br />
v<br />
f<br />
.<br />
D<br />
Wenn diese Bedingung nicht erfüllt ist: Wellenleiter.<br />
z.B.: Hohlleiter<br />
b µ , ε<br />
a<br />
Metallrohr<br />
( ) γ →∞
Annahmen:<br />
• Sinusförmige Zeitabhängigkeit: alle Größen sind<br />
komplexe Amplituden,<br />
• Materialeigenschaften sind konstant:<br />
µ, ε = konstant,<br />
• Verlustloses Medium: γ = 0,<br />
• Keine freie Ladungen vorhanden: ρ = 0.
4.4.1 TM- <strong>und</strong> TE-Wellen<br />
Wellengleichungen für die Potentiale A <strong>und</strong> V:<br />
Im Zeitbereich:<br />
2<br />
2<br />
∂ A<br />
∂ V<br />
−∆ A+ µε = 0,<br />
−∆ V + µε = 0.<br />
2 2<br />
∂t<br />
∂t<br />
Im Frequenzbereich:<br />
2<br />
A ω µεA 0<br />
−∆ − =<br />
,<br />
2<br />
−∆V<br />
− ω µεV<br />
=0<br />
,<br />
k = ω µε :<br />
A A 0.<br />
2<br />
−∆ − k =
Elektromagnetisches Feld, falls A( z) = Axy ( , , z) e :<br />
e e e<br />
x y z<br />
1 1 ∂ ∂ ∂ 1 ∂A<br />
1 ∂A<br />
H = rot( Aez) = = ex − ey,<br />
µ µ ∂x ∂y ∂z µ ∂y µ ∂x<br />
0 0 A<br />
1 2<br />
E= [ k Aez<br />
+ graddiv( Aez)]<br />
=<br />
jωµε<br />
H<br />
z<br />
=<br />
1 ∂ A ∂ A ∂ A<br />
= + + + k A<br />
jωµε<br />
∂∂ x z ∂∂ y z ∂z<br />
2 2 2<br />
2<br />
[ ex ey ( ) e ].<br />
2<br />
z<br />
0: die longitudinale Komponente des Magnetfeldes ist Null.<br />
Das Magnetfeld ist transversal: TM-Wellen.<br />
z
Alternative zu den Potentialen A <strong>und</strong> V:<br />
1<br />
D= rotF, E=<br />
rotF,<br />
ε<br />
rotH− jωD= rot( H− jωF) = 0⇒ H = jωF−gradψ,<br />
F<br />
B= jωµ F−µ gradψ.<br />
: elektrisches Vektorpotential, ψ: magnetisches Skalarpotential.<br />
rotE<br />
= − jωB:<br />
rotrotF = graddivF−∆ F=−jωµε ( jωF−gradψ<br />
).<br />
Lorenz-Eichung: divF = jωµεψ .<br />
2<br />
F ω µεF 0<br />
−∆ − =<br />
,<br />
divB = ⇒−∆ψ − ωµεψ=<br />
2<br />
0 0.<br />
F F 0:<br />
Wellengleichung.<br />
2<br />
−∆ − k =
Mit Hilfe <strong>der</strong> Lorenz-Eichung, kann ψ eliminiert werden:<br />
1<br />
divF= jωµεψ<br />
⇒ ψ = divF.<br />
jωµε<br />
1<br />
H = jωF− gradψ = jωF− graddivF=<br />
jωµε<br />
1<br />
=− ωµεF+<br />
graddivF<br />
jωµε<br />
2<br />
( ).<br />
D<br />
= rotF,<br />
1<br />
H =− F+<br />
graddivF<br />
jωµε<br />
2<br />
( k<br />
).
Elektromagnetisches Feld, falls F( z) = F( x, y, z) e :<br />
e e e<br />
x y z<br />
1 1 ∂ ∂ ∂ 1 ∂F<br />
1 ∂F<br />
E= rot( Fez) = = ex − ey,<br />
ε ε ∂x ∂y ∂z ε ∂y ε ∂x<br />
0 0 F<br />
1 2<br />
H = − [ k Fez<br />
+ graddiv( Fez)]<br />
=<br />
jωµε<br />
E<br />
z<br />
=<br />
1 ∂ F ∂ F ∂ F<br />
=− + + + kF<br />
jωµε<br />
∂∂ x z ∂∂ y z ∂z<br />
2 2 2<br />
2<br />
[ ex ey ( ) e ].<br />
2<br />
z<br />
0: die longitudinale Komponente des elektrischen Feldes ist Null.<br />
Das elektrische Feld ist transversal: TE-Wellen.<br />
z
Die allgemeine Lösung <strong>der</strong> Maxwellschen Gleichungen in<br />
homogenen Medien kann als die Superposition von TM<strong>und</strong><br />
TE-Wellen dargestellt werden.<br />
Die einkomponentigen Vektorpotentialfunktionen<br />
erlauben damit die Beschreibung des elektromagnetischen<br />
Feldes mit Hilfe von zwei Skalarfunktionen.
4.4.2 Wellen in rechteckigen Hohlleitern<br />
y<br />
=<br />
y<br />
z<br />
0,0 x=<br />
a<br />
b<br />
x<br />
Annahme:<br />
Wellenausbreitung in <strong>der</strong><br />
positiven z-Richtung.<br />
j z<br />
TM-Wellen: A( xyz , , ) = Axyz ( , , ) e = Axye ( , ) − β e ,<br />
j z<br />
TE-Wellen: F( xyz , , ) = Fxyz ( , , ) e = Fxye ( , ) − β e .<br />
Randbedingungen:<br />
E× n=<br />
0<br />
E = 0, E = 0 für x= 0 <strong>und</strong> x=<br />
a,<br />
y<br />
z<br />
E = 0, E = 0 für y = 0 <strong>und</strong> y = b.<br />
x<br />
z<br />
z<br />
z<br />
an den Wänden des Hohlleiters.<br />
z<br />
z
Randbedingungen für die Potentiale:<br />
TM-Wellen:<br />
∂<br />
∂z<br />
∂<br />
= − jβ<br />
=−<br />
∂z<br />
2<br />
2<br />
, β .<br />
2<br />
2 2 2<br />
1 ∂ A ∂ A ∂ A 2<br />
E= [ ex + ey + ( + ) ]<br />
2 k A ez<br />
=<br />
jωµε<br />
∂∂ x z ∂∂ y z ∂z<br />
1 ∂A<br />
∂A<br />
=− e + e + − e<br />
jωµε<br />
∂x ∂y<br />
Dirichletsche R.B.<br />
A = 0 für x= 0, x= a, y = 0 <strong>und</strong> y = b,<br />
2 2<br />
[ jβ x<br />
jβ y<br />
( β k ) A<br />
z].<br />
TE-Wellen:<br />
∂F<br />
∂x<br />
∂F<br />
∂y<br />
E 1 ∂F<br />
1 ∂F<br />
= −<br />
ε ∂y<br />
e ε ∂x<br />
e<br />
x y .<br />
= 0 für x= 0 <strong>und</strong> x=<br />
a,<br />
= 0 für y = 0 <strong>und</strong> y = b,<br />
Neumannsche R.B.
TM-Wellen:<br />
2<br />
−∆ − k =<br />
A A 0 , k = ω µε .<br />
j z<br />
A( xyz , , ) = Axye ( , ) − β e :<br />
z<br />
∂ A ∂ A<br />
− − + − =<br />
∂x<br />
∂y<br />
2 2<br />
2 2<br />
β A k A 0.<br />
2 2<br />
Lösung mit Separationsmethode: A( xy , ) = XxYy ( ) ( ).<br />
d X( x) d Y( y)<br />
−Y y − X x + − k X x Y y =<br />
dx<br />
dy<br />
2 2<br />
1 d X( x) 1 d Y( y)<br />
2 2<br />
− − + β − k = 0.<br />
2 2<br />
X ( x) dx Y ( y)<br />
dy<br />
<br />
2 2<br />
2 2<br />
( ) ( ) ( β ) ( ) ( ) 0,<br />
2 2<br />
f ( x) g( y)<br />
Dies ist nur dann möglich, wenn f ( x)<br />
= konstant, g(<br />
y)<br />
=<br />
konstant.
Man erhält die folgenden gewöhnlichen Differentialgleichungen:<br />
2 2<br />
d X( x) d Y( y)<br />
= fX( x), = gY ( y).<br />
2 2<br />
dx<br />
dy<br />
Lösung:<br />
f = − k , g =−k<br />
: X( x) = C1x coskxx+<br />
C2xsin kxx,<br />
2 2<br />
x<br />
y<br />
Y( y) = C cosk y+<br />
C sin k y.<br />
1y y 2y y<br />
π<br />
Randbedingungen: X(0) = X( a) = 0 ⇒ C1<br />
x<br />
= 0, kx<br />
= m , m=<br />
1,2,... ,<br />
a<br />
π<br />
Y(0) = Y( a) = 0 ⇒ C1<br />
y<br />
= 0, ky<br />
= n , n=<br />
1,2,... .<br />
b
TM mn -Wellen:<br />
mπ nπ − jβ<br />
z<br />
C = C2xC2 y<br />
: Axyz ( , , ) = Csin( x)sin( ye ) .<br />
a b<br />
H 1 ∂A<br />
1 ∂A<br />
=<br />
x<br />
−<br />
y<br />
:<br />
µ ∂y<br />
e µ ∂x<br />
e Cnπ sin( mπ )cos( nπ<br />
) − jβ<br />
z<br />
H ,<br />
x<br />
=<br />
x y e<br />
µ b a b<br />
Cmπ mπ nπ<br />
− jβ<br />
z<br />
Hy<br />
=− cos( x)sin( y) e ,<br />
µ a a b<br />
H<br />
z<br />
= 0.<br />
E 1 ∂A<br />
∂A<br />
2 2<br />
=− [ jβ x<br />
+ jβ y<br />
+ ( β −k ) A<br />
z]:<br />
jωµε<br />
∂x e ∂y<br />
e e<br />
Cβ mπ mπ nπ<br />
− jβ<br />
z<br />
Ex<br />
=− cos( x)sin( y) e ,<br />
ωµε a a b<br />
Cβ nπ mπ nπ<br />
− jβ<br />
z<br />
Ey<br />
=− sin( x)cos( y) e ,<br />
ωµε b a b<br />
2 2<br />
Ck ( − β ) mπ nπ<br />
sin( )sin( )<br />
− jβ<br />
z<br />
Ez<br />
=<br />
x y e .<br />
jωµε<br />
a b
TE-Wellen:<br />
2<br />
−∆ − k =<br />
F F 0 , k = ω µε .<br />
j z<br />
F( xyz , , ) = Fxye ( , ) − β e :<br />
z<br />
∂ F ∂ F<br />
− − + − =<br />
∂x<br />
∂y<br />
2 2<br />
2 2<br />
β F k F 0.<br />
2 2<br />
Lösung mit Separationsmethode: F( x, y) = X( x) Y( y).<br />
d X( x) d Y( y)<br />
−Y y − X x + − k X x Y y =<br />
dx<br />
dy<br />
2 2<br />
1 d X( x) 1 d Y( y)<br />
2 2<br />
− − + β − k = 0.<br />
2 2<br />
X ( x) dx Y ( y)<br />
dy<br />
<br />
2 2<br />
2 2<br />
( ) ( ) ( β ) ( ) ( ) 0,<br />
2 2<br />
f ( x) g( y)<br />
Dies ist nur dann möglich, wenn f ( x)<br />
= konstant, g(<br />
y)<br />
=<br />
konstant.
Man erhält die folgenden gewöhnlichen Differentialgleichungen:<br />
2 2<br />
d X( x) d Y( y)<br />
= fX( x), = gY ( y).<br />
2 2<br />
dx<br />
dy<br />
Lösung:<br />
f = − k , g =−k<br />
: X( x) = C1x coskxx+<br />
C2xsin kxx,<br />
2 2<br />
x<br />
y<br />
Y( y) = C cosk y+<br />
C sin k y.<br />
1y y 2y y<br />
Randbedingungen:<br />
dX (0) dX ( a)<br />
π<br />
= = 0 ⇒ C2x<br />
= 0, kx<br />
= m , m=<br />
0,1,2,... ,<br />
dx dx a<br />
dY (0) dY ( a)<br />
π<br />
= = 0 ⇒ C2<br />
y<br />
= 0, ky<br />
= n , n=<br />
0,1,2,... .<br />
dy dy b
TE mn -Wellen:<br />
mπ nπ − jβ<br />
z<br />
C = C1xC1 y<br />
: F( x, y, z) = Ccos( x)cos( y) e .<br />
a b<br />
E 1 ∂F<br />
1 ∂F<br />
=<br />
x<br />
−<br />
y<br />
:<br />
ε ∂y<br />
e ε ∂x<br />
e Cnπ cos( mπ )sin( nπ<br />
) − jβ<br />
z<br />
E ,<br />
x<br />
=−<br />
x y e<br />
ε b a b<br />
Cmπ mπ nπ<br />
− jβ<br />
z<br />
Ey<br />
= sin( x)cos( y) e ,<br />
ε a a b<br />
E<br />
z<br />
= 0.<br />
H 1 ∂F<br />
∂F<br />
2 2<br />
= [ jβ x<br />
+ jβ y<br />
+ ( β −k ) F<br />
z]:<br />
jωµε<br />
∂x e ∂y<br />
e e<br />
Cβ mπ mπ nπ<br />
− jβ<br />
z<br />
Hx<br />
=− sin( x)cos( y) e ,<br />
ωµε a a b<br />
Cβ nπ mπ nπ<br />
− jβ<br />
z<br />
Hy<br />
=− cos( x)sin( y) e ,<br />
ωµε b a b<br />
2 2<br />
C( β − k ) mπ nπ<br />
cos( )cos( )<br />
− jβ<br />
z<br />
Hz<br />
=<br />
x y e .<br />
jωµε<br />
a b
Erfüllung <strong>der</strong> Separationsgleichung:<br />
β<br />
2 2<br />
−f − g+ − k =<br />
0.<br />
k + k + β − k =<br />
2 2 2 2<br />
x y<br />
mπ<br />
a<br />
0,<br />
2 2 2 2<br />
( ) ( ) 0,<br />
mπ<br />
nπ<br />
kx<br />
k k<br />
a b<br />
2 2<br />
= ,<br />
y<br />
= , = ω µε.<br />
nπ<br />
+ + β − ω µε = m, n = (0), 1, 2, ... .<br />
b<br />
Bei gegebenen Werten von n <strong>und</strong> m (Wellenformen), ist die<br />
2<br />
Kreisfrequenz nicht beliebig: β darf nicht negativ werden!<br />
Wäre<br />
2<br />
− jβ<br />
z α z<br />
β < 0, hätte man β = ± jα, − jβ = ∓α<br />
⇒ e = e<br />
∓ :<br />
nur Dämpfung, keine Wellenausbreitung.
2 2 mπ 2 nπ 2 π m 2 n 2<br />
β = ω µε −( ) −( ) ≥0 ⇒ω<br />
≥ ( ) + ( ) .<br />
a b µε a b<br />
<br />
f<br />
≥ 1 m<br />
f = g<br />
2 µε a<br />
+<br />
n<br />
b<br />
2 2<br />
( ) ( ) .<br />
2π<br />
f g<br />
f g : Grenzfrequenz.<br />
Eine bestimmte Wellenform ist nur für Frequenzen über <strong>der</strong><br />
Grenzfrequenz ausbreitungsfähig.