- Seite 1 und 2:
Analysis mehrerer Veränderlicher D
- Seite 3 und 4:
Offene Menge Eine Menge D ⊆ R n h
- Seite 5 und 6:
Rand einer Menge Der Rand ∂D eine
- Seite 7 und 8:
Beispiel: Hälfte einer Kreisscheib
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Multivariate Funktionen Eine reelle
- Seite 11 und 12:
Wie in der Abbildung illustriert, k
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Man bezeichnet ein Polynom als homo
- Seite 15 und 16:
Dimension der bivariaten Polynome v
- Seite 17 und 18:
n-variate Monome vom totalen Grad
- Seite 19 und 20:
Stetigkeit multivariater Funktionen
- Seite 21 und 22:
Einschränkung auf Gerade durch den
- Seite 23 und 24:
Äquivalenz von Vektornormen Jede V
- Seite 25 und 26:
enutzt: Stetigkeit der Norm ‖x‖
- Seite 27 und 28:
Beispiel: radiale Funktion f (x) =
- Seite 29 und 30:
(iii) 0 < α < 1: f stetig aber nic
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Beispiel: Ý ÝÜ alternierende Pro
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Cauchy-Kriterium für Vektor-Folgen
- Seite 35 und 36:
Cauchy-Folge, denn |x l − x k | =
- Seite 37 und 38:
Beispiel: Richardson Iteration für
- Seite 39 und 40:
Für den Fehler gilt ‖x ∗ − x
- Seite 41 und 42:
(iv) Kontraktionsbedingung =⇒ ‖
- Seite 43 und 44:
für x ∈ D ‖g(x) − p‖ = ε
- Seite 45 und 46:
Partielle Ableitungen sind sowohl f
- Seite 47 und 48:
(ii) vektorwertige Funktion ⎛ ⎞
- Seite 49 und 50:
Beispiel: ebene Welle, y ∈ R n fe
- Seite 51 und 52:
Insbesondere ist ∂ α x β | x=0
- Seite 53 und 54:
Vertauschbarkeit partieller Ableitu
- Seite 55 und 56:
erechne Q = f (b, B) − f (b, A)
- Seite 57 und 58:
Totale Ableitung und Jacobi-Matrix
- Seite 59 und 60:
Beweis: (i) zeige: totale Ableitung
- Seite 61 und 62:
Beispiel: (i) unstetig im Ursprung:
- Seite 63 und 64:
Beispiel: ⎛ f (x, y) = ⎝ ⎞ x
- Seite 65 und 66:
Beispiel: (i) Gradient der skalaren
- Seite 67 und 68:
Fehlerfortpflanzung bei multivariat
- Seite 69 und 70:
(ii) relativer Fehler ∆ϕ |ϕ|
- Seite 71 und 72:
f(t 0 ) + f ′ (t 0 )(t − t 0 )
- Seite 73 und 74:
Parametrisierung der Tangente im Pu
- Seite 75 und 76:
(ii) t ↦→= (t 3 , t 4 ) t steti
- Seite 77 und 78:
grad f(p) x P Analysis 2 - Differen
- Seite 79 und 80:
Beweis: (i) Definition der totalen
- Seite 81 und 82:
Tangentialebene im Punkt P = (3, 4,
- Seite 83 und 84:
Tangentialebene verläuft durch den
- Seite 85 und 86:
Insbesondere hat die Kettenregel f
- Seite 87 und 88:
Beispiel: Funktionen y = f (x) = (
- Seite 89 und 90:
Beispiel: Kettenregel für eine ska
- Seite 91 und 92:
Beispiel: Kettenregel für eine vek
- Seite 93 und 94:
s = sin ϕ, c = cos ϕ und r = √
- Seite 95 und 96:
Kettenregel =⇒ (grad h) t = (grad
- Seite 97 und 98:
Jacobi-Matrix ∂(y 1 , y 2 ) = (q
- Seite 99 und 100:
∂ v f(x) grad f v x Analysis 2 -
- Seite 101 und 102:
Beispiel: Berechnung der Richtungsa
- Seite 103 und 104:
Steilster Abstieg Die Methode des s
- Seite 105 und 106:
Wie in der Abbildung illustriert, i
- Seite 107 und 108:
Beispiel: steilster Abstieg für ei
- Seite 109 und 110:
und sowie d t d = c 2 + 10 4 , d t
- Seite 111 und 112:
Beweis: Anwendung des Banachschen F
- Seite 113 und 114:
und |ϕ(x) − x ∗ | ≤ ‖f ′
- Seite 115 und 116:
zu zeigen: |∆x| durch |∆y| absc
- Seite 117 und 118:
Jacobi-Matrix im Punkt (u ∗ , v
- Seite 119 und 120:
det f ′ (x, y) = exp(2x) > 0 =⇒
- Seite 121 und 122:
skalare Ableitungsregel i.A. falsch
- Seite 123 und 124: Implizite Funktionen Ist für eine
- Seite 125 und 126: Beweis: betrachte die Abbildung (x,
- Seite 127 und 128: Beispiel: Vivianische Kurve: Schnit
- Seite 129 und 130: (i) Parametrisierung bezüglich x,
- Seite 131 und 132: Beispiel: skalare Funktion f (x, y,
- Seite 133 und 134: ϕ nicht explizit angebbar; aber de
- Seite 135 und 136: Lemniskate C : p(x, y) = y 2 − x
- Seite 137 und 138: Multivariate Taylor-Approximation E
- Seite 139 und 140: Kettenregel ⇒ g(0) = ∑ f (0) g
- Seite 141 und 142: Beispiel: Taylor-Entwicklung einer
- Seite 143 und 144: Alternative Berechnung des Taylor-P
- Seite 145 und 146: Hesse-Matrix Die quadratische Taylo
- Seite 147 und 148: Restglied mit für ein θ ∈ [0, 1
- Seite 149 und 150: die quadratische Taylor-Entwicklung
- Seite 151 und 152: Gradient und Hesse-Matrix: ⎛ grad
- Seite 153 und 154: Beweis: lineare Approximation von f
- Seite 155 und 156: q 1 (α, β, γ) = a cos(α) + b co
- Seite 157 und 158: Kritischer Punkt Für eine skalare
- Seite 159 und 160: Beispiel: kritische Punkte der Funk
- Seite 161 und 162: (0, 1/ √ 3) (−1, 0) (1, 0) (0,
- Seite 163 und 164: (i) Typbestimmung anhand der Vorzei
- Seite 165 und 166: Extrema multivariater Funktionen Is
- Seite 167 und 168: Die Abbildung illustriert die versc
- Seite 169 und 170: (iii) Eigenwerte von H f (x ∗ ) >
- Seite 171 und 172: Beispiel: quadratische Funktion f (
- Seite 173: Beispiel: Bestimmung der globalen E
- Seite 177 und 178: globale Maxima (2kπ, 2lπ) k, l
- Seite 179 und 180: zeige Charakterisierung für einen
- Seite 181 und 182: Lagrange-Multiplikatoren Ist x ∗
- Seite 183 und 184: Beweis: n: Anzahl der Variablen, m:
- Seite 185 und 186: Beispiel: minimiere f (x, y) = y un
- Seite 187 und 188: Beispiel: Lagrange Bedingung für E
- Seite 189 und 190: z.B.: f (x, y) = (x − 3)(y − 3)
- Seite 191 und 192: zw. 1 = 2λ 1 x + λ 2 2 = 2λ 1 y
- Seite 193 und 194: Optimierungsproblem f → min, g =
- Seite 195 und 196: Kuhn-Tucker-Bedingung Ist x ∗ ein
- Seite 197 und 198: Beweis: inaktive Nebenbedingungen (
- Seite 199 und 200: Beispiel: Extrema der Funktion f (x
- Seite 201 und 202: (ii) λ = 0 , µ ≠ 0 (2 − x 2
- Seite 203 und 204: Beispiel: f (x) → min , a i ≤ x
- Seite 205 und 206: x 2 a 1 b 2 b 1 a 2 x 1 mögliche R
- Seite 207 und 208: z.B. ist x + y → min, x ≥ 2, y
- Seite 209 und 210: y 5 4 3 (2, 3) 2 1 1 2 3 4 5 6 7 8
- Seite 211 und 212: Das Volumen eines Simplex lässt si
- Seite 213 und 214: Das Volumen eines Parallelepipeds i
- Seite 215 und 216: y z b 2 (x) b 3 (x, y) a 2 (x) x a
- Seite 217 und 218: Die Schreibweise ∆V i → dV symb
- Seite 219 und 220: Beispiel: Integration von über dem
- Seite 221 und 222: Satz von Fubini Ein Integral einer
- Seite 223 und 224: Beispiel: Integration von über dem
- Seite 225 und 226:
Beispiel: Integration von über den
- Seite 227 und 228:
Satz von Fubini ∫ f = T = = ∫
- Seite 229 und 230:
Symmetrie betrachte Teilkörper im
- Seite 231 und 232:
Definition der Gamma-Funktion (B 1
- Seite 233 und 234:
vol B n = √ n+1 Γ( 2 π ) 2 √
- Seite 235 und 236:
U g V y = g(x) x Für eine lokal or
- Seite 237 und 238:
Beispiel: Bereich V , begrenzt durc
- Seite 239 und 240:
Volumenelement dV = dx dy = (2u + 1
- Seite 241 und 242:
z 2 0 x r R ϑ y −2 4 2 0 −2
- Seite 243 und 244:
Beispiel: Parallelogramm V als Bild
- Seite 245 und 246:
Verallgemeinerung: invertierbare af
- Seite 247 und 248:
Speziell ist für eine axialsymmetr
- Seite 249 und 250:
Beispiel: Integral der Gauß-Funkti
- Seite 251 und 252:
Volumenelement in Kugelkoordinaten
- Seite 253 und 254:
Beweis: lokal orthogonale Koordinat
- Seite 255 und 256:
Beispiel: (i) Integral von r α auf
- Seite 257 und 258:
Beispiel: Sauerstoffmenge in der At
- Seite 259 und 260:
insgesamt M = 4πp 0 R s T ( c −1
- Seite 261 und 262:
Beweis: Begründung der Definition
- Seite 263 und 264:
Beispiel: Berechnung des Integrals
- Seite 265 und 266:
Länge einer Kurve Die Länge L ein
- Seite 267 und 268:
Beispiel: Zykloide: Punkte auf entl
- Seite 269 und 270:
Beispiel: Parametrisierung nach Bog
- Seite 271 und 272:
ξ R x s S y ∂ i s Der bis auf da
- Seite 273 und 274:
Der Betrag der Determinante ist der
- Seite 275 und 276:
Tangentenvektoren: ⎛ s r = ⎝ co
- Seite 277 und 278:
z.B. z(x, y) = x 2 + 1 2 y 2 ⇒ dS
- Seite 279 und 280:
Beweis: Orthogonalität der Tangent
- Seite 281 und 282:
Beweis: Orthogonalität der Tangent
- Seite 283 und 284:
Schwerpunkt Die Masse eines Körper
- Seite 285 und 286:
Beispiel: Kegel K mit Grundkreisrad
- Seite 287 und 288:
Trägheitsmoment Das Trägheitsmome
- Seite 289 und 290:
Trägheitsmoment um die z-Achse g b
- Seite 291 und 292:
Volumen eines Rotationskörpers Das
- Seite 293 und 294:
Beweis: (i) erste Formel: y = f(x)
- Seite 295 und 296:
(ii) zweite Formel (monoton wachsen
- Seite 297 und 298:
(iii) analog: monoton fallendes f a
- Seite 299 und 300:
(i) horizontale Integration über K
- Seite 301 und 302:
Differenz zweier Rotationskörper (
- Seite 303 und 304:
Integration über Zylindermäntel m
- Seite 305 und 306:
Beweisidee: Approximation durch st
- Seite 307 und 308:
(i) linke Seite ∫ V grad f : best
- Seite 309 und 310:
Beispiel: Hauptsatz für das Quadra
- Seite 311 und 312:
Beispiel: V ⊆ R n : Simplex, begr
- Seite 313 und 314:
Beispiel: Volumen- und Flächenelem
- Seite 315 und 316:
Partielle Integration bei Funktione
- Seite 317 und 318:
Greensche Integralformeln Für eine
- Seite 319:
Beweis: Hauptsatz für Mehrfachinte
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