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Analysis mehrerer Veränderlicher D
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Offene Menge Eine Menge D ⊆ R n h
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Rand einer Menge Der Rand ∂D eine
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Beispiel: Hälfte einer Kreisscheib
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Multivariate Funktionen Eine reelle
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Wie in der Abbildung illustriert, k
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Man bezeichnet ein Polynom als homo
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Dimension der bivariaten Polynome v
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n-variate Monome vom totalen Grad
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Stetigkeit multivariater Funktionen
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Einschränkung auf Gerade durch den
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Äquivalenz von Vektornormen Jede V
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enutzt: Stetigkeit der Norm ‖x‖
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Beispiel: radiale Funktion f (x) =
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(iii) 0 < α < 1: f stetig aber nic
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Beispiel: Ý ÝÜ alternierende Pro
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Cauchy-Kriterium für Vektor-Folgen
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Cauchy-Folge, denn |x l − x k | =
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Beispiel: Richardson Iteration für
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Für den Fehler gilt ‖x ∗ − x
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(iv) Kontraktionsbedingung =⇒ ‖
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für x ∈ D ‖g(x) − p‖ = ε
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Partielle Ableitungen sind sowohl f
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(ii) vektorwertige Funktion ⎛ ⎞
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Beispiel: ebene Welle, y ∈ R n fe
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Insbesondere ist ∂ α x β | x=0
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Vertauschbarkeit partieller Ableitu
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erechne Q = f (b, B) − f (b, A)
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Totale Ableitung und Jacobi-Matrix
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Beweis: (i) zeige: totale Ableitung
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Beispiel: (i) unstetig im Ursprung:
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Beispiel: ⎛ f (x, y) = ⎝ ⎞ x
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Beispiel: (i) Gradient der skalaren
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Fehlerfortpflanzung bei multivariat
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(ii) relativer Fehler ∆ϕ |ϕ|
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f(t 0 ) + f ′ (t 0 )(t − t 0 )
- Seite 73 und 74:
Parametrisierung der Tangente im Pu
- Seite 75 und 76:
(ii) t ↦→= (t 3 , t 4 ) t steti
- Seite 77 und 78:
grad f(p) x P Analysis 2 - Differen
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Beweis: (i) Definition der totalen
- Seite 81 und 82:
Tangentialebene im Punkt P = (3, 4,
- Seite 83 und 84:
Tangentialebene verläuft durch den
- Seite 85 und 86:
Insbesondere hat die Kettenregel f
- Seite 87 und 88:
Beispiel: Funktionen y = f (x) = (
- Seite 89 und 90:
Beispiel: Kettenregel für eine ska
- Seite 91 und 92:
Beispiel: Kettenregel für eine vek
- Seite 93 und 94:
s = sin ϕ, c = cos ϕ und r = √
- Seite 95 und 96:
Kettenregel =⇒ (grad h) t = (grad
- Seite 97 und 98:
Jacobi-Matrix ∂(y 1 , y 2 ) = (q
- Seite 99 und 100:
∂ v f(x) grad f v x Analysis 2 -
- Seite 101 und 102:
Beispiel: Berechnung der Richtungsa
- Seite 103 und 104:
Steilster Abstieg Die Methode des s
- Seite 105 und 106:
Wie in der Abbildung illustriert, i
- Seite 107 und 108:
Beispiel: steilster Abstieg für ei
- Seite 109 und 110:
und sowie d t d = c 2 + 10 4 , d t
- Seite 111 und 112:
Beweis: Anwendung des Banachschen F
- Seite 113 und 114:
und |ϕ(x) − x ∗ | ≤ ‖f ′
- Seite 115 und 116:
zu zeigen: |∆x| durch |∆y| absc
- Seite 117 und 118:
Jacobi-Matrix im Punkt (u ∗ , v
- Seite 119 und 120:
det f ′ (x, y) = exp(2x) > 0 =⇒
- Seite 121 und 122:
skalare Ableitungsregel i.A. falsch
- Seite 123 und 124:
Implizite Funktionen Ist für eine
- Seite 125 und 126:
Beweis: betrachte die Abbildung (x,
- Seite 127 und 128:
Beispiel: Vivianische Kurve: Schnit
- Seite 129 und 130:
(i) Parametrisierung bezüglich x,
- Seite 131 und 132:
Beispiel: skalare Funktion f (x, y,
- Seite 133 und 134:
ϕ nicht explizit angebbar; aber de
- Seite 135 und 136:
Lemniskate C : p(x, y) = y 2 − x
- Seite 137 und 138:
Multivariate Taylor-Approximation E
- Seite 139 und 140:
Kettenregel ⇒ g(0) = ∑ f (0) g
- Seite 141 und 142:
Beispiel: Taylor-Entwicklung einer
- Seite 143 und 144:
Alternative Berechnung des Taylor-P
- Seite 145 und 146:
Hesse-Matrix Die quadratische Taylo
- Seite 147 und 148:
Restglied mit für ein θ ∈ [0, 1
- Seite 149 und 150:
die quadratische Taylor-Entwicklung
- Seite 151 und 152:
Gradient und Hesse-Matrix: ⎛ grad
- Seite 153 und 154:
Beweis: lineare Approximation von f
- Seite 155 und 156:
q 1 (α, β, γ) = a cos(α) + b co
- Seite 157 und 158:
Kritischer Punkt Für eine skalare
- Seite 159 und 160:
Beispiel: kritische Punkte der Funk
- Seite 161 und 162:
(0, 1/ √ 3) (−1, 0) (1, 0) (0,
- Seite 163 und 164:
(i) Typbestimmung anhand der Vorzei
- Seite 165 und 166:
Extrema multivariater Funktionen Is
- Seite 167 und 168:
Die Abbildung illustriert die versc
- Seite 169 und 170:
(iii) Eigenwerte von H f (x ∗ ) >
- Seite 171 und 172:
Beispiel: quadratische Funktion f (
- Seite 173 und 174:
Beispiel: Bestimmung der globalen E
- Seite 175 und 176:
π π/2 −1 4 2 0 2 0 −π/2 1
- Seite 177 und 178:
globale Maxima (2kπ, 2lπ) k, l
- Seite 179 und 180:
zeige Charakterisierung für einen
- Seite 181 und 182:
Lagrange-Multiplikatoren Ist x ∗
- Seite 183 und 184:
Beweis: n: Anzahl der Variablen, m:
- Seite 185 und 186:
Beispiel: minimiere f (x, y) = y un
- Seite 187 und 188:
Beispiel: Lagrange Bedingung für E
- Seite 189 und 190:
z.B.: f (x, y) = (x − 3)(y − 3)
- Seite 191 und 192:
zw. 1 = 2λ 1 x + λ 2 2 = 2λ 1 y
- Seite 193 und 194:
Optimierungsproblem f → min, g =
- Seite 195 und 196:
Kuhn-Tucker-Bedingung Ist x ∗ ein
- Seite 197 und 198:
Beweis: inaktive Nebenbedingungen (
- Seite 199 und 200:
Beispiel: Extrema der Funktion f (x
- Seite 201 und 202:
(ii) λ = 0 , µ ≠ 0 (2 − x 2
- Seite 203 und 204: Beispiel: f (x) → min , a i ≤ x
- Seite 205 und 206: x 2 a 1 b 2 b 1 a 2 x 1 mögliche R
- Seite 207 und 208: z.B. ist x + y → min, x ≥ 2, y
- Seite 209 und 210: y 5 4 3 (2, 3) 2 1 1 2 3 4 5 6 7 8
- Seite 211 und 212: Das Volumen eines Simplex lässt si
- Seite 213 und 214: Das Volumen eines Parallelepipeds i
- Seite 215 und 216: y z b 2 (x) b 3 (x, y) a 2 (x) x a
- Seite 217 und 218: Die Schreibweise ∆V i → dV symb
- Seite 219 und 220: Beispiel: Integration von über dem
- Seite 221 und 222: Satz von Fubini Ein Integral einer
- Seite 223 und 224: Beispiel: Integration von über dem
- Seite 225 und 226: Beispiel: Integration von über den
- Seite 227 und 228: Satz von Fubini ∫ f = T = = ∫
- Seite 229 und 230: Symmetrie betrachte Teilkörper im
- Seite 231 und 232: Definition der Gamma-Funktion (B 1
- Seite 233 und 234: vol B n = √ n+1 Γ( 2 π ) 2 √
- Seite 235 und 236: U g V y = g(x) x Für eine lokal or
- Seite 237 und 238: Beispiel: Bereich V , begrenzt durc
- Seite 239 und 240: Volumenelement dV = dx dy = (2u + 1
- Seite 241 und 242: z 2 0 x r R ϑ y −2 4 2 0 −2
- Seite 243 und 244: Beispiel: Parallelogramm V als Bild
- Seite 245 und 246: Verallgemeinerung: invertierbare af
- Seite 247 und 248: Speziell ist für eine axialsymmetr
- Seite 249 und 250: Beispiel: Integral der Gauß-Funkti
- Seite 251 und 252: Volumenelement in Kugelkoordinaten
- Seite 253: Beweis: lokal orthogonale Koordinat
- Seite 257 und 258: Beispiel: Sauerstoffmenge in der At
- Seite 259 und 260: insgesamt M = 4πp 0 R s T ( c −1
- Seite 261 und 262: Beweis: Begründung der Definition
- Seite 263 und 264: Beispiel: Berechnung des Integrals
- Seite 265 und 266: Länge einer Kurve Die Länge L ein
- Seite 267 und 268: Beispiel: Zykloide: Punkte auf entl
- Seite 269 und 270: Beispiel: Parametrisierung nach Bog
- Seite 271 und 272: ξ R x s S y ∂ i s Der bis auf da
- Seite 273 und 274: Der Betrag der Determinante ist der
- Seite 275 und 276: Tangentenvektoren: ⎛ s r = ⎝ co
- Seite 277 und 278: z.B. z(x, y) = x 2 + 1 2 y 2 ⇒ dS
- Seite 279 und 280: Beweis: Orthogonalität der Tangent
- Seite 281 und 282: Beweis: Orthogonalität der Tangent
- Seite 283 und 284: Schwerpunkt Die Masse eines Körper
- Seite 285 und 286: Beispiel: Kegel K mit Grundkreisrad
- Seite 287 und 288: Trägheitsmoment Das Trägheitsmome
- Seite 289 und 290: Trägheitsmoment um die z-Achse g b
- Seite 291 und 292: Volumen eines Rotationskörpers Das
- Seite 293 und 294: Beweis: (i) erste Formel: y = f(x)
- Seite 295 und 296: (ii) zweite Formel (monoton wachsen
- Seite 297 und 298: (iii) analog: monoton fallendes f a
- Seite 299 und 300: (i) horizontale Integration über K
- Seite 301 und 302: Differenz zweier Rotationskörper (
- Seite 303 und 304: Integration über Zylindermäntel m
- Seite 305 und 306:
Beweisidee: Approximation durch st
- Seite 307 und 308:
(i) linke Seite ∫ V grad f : best
- Seite 309 und 310:
Beispiel: Hauptsatz für das Quadra
- Seite 311 und 312:
Beispiel: V ⊆ R n : Simplex, begr
- Seite 313 und 314:
Beispiel: Volumen- und Flächenelem
- Seite 315 und 316:
Partielle Integration bei Funktione
- Seite 317 und 318:
Greensche Integralformeln Für eine
- Seite 319:
Beweis: Hauptsatz für Mehrfachinte
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