- Seite 1 und 2: Analysis mehrerer Veränderlicher D
- Seite 3 und 4: Offene Menge Eine Menge D ⊆ R n h
- Seite 5 und 6: Rand einer Menge Der Rand ∂D eine
- Seite 7 und 8: Beispiel: Hälfte einer Kreisscheib
- Seite 9 und 10: Multivariate Funktionen Eine reelle
- Seite 11 und 12: Wie in der Abbildung illustriert, k
- Seite 13 und 14: Man bezeichnet ein Polynom als homo
- Seite 15 und 16: Dimension der bivariaten Polynome v
- Seite 17 und 18: n-variate Monome vom totalen Grad
- Seite 19 und 20: Stetigkeit multivariater Funktionen
- Seite 21 und 22: Einschränkung auf Gerade durch den
- Seite 23: Äquivalenz von Vektornormen Jede V
- Seite 27 und 28: Beispiel: radiale Funktion f (x) =
- Seite 29 und 30: (iii) 0 < α < 1: f stetig aber nic
- Seite 31 und 32: Beispiel: Ý ÝÜ alternierende Pro
- Seite 33 und 34: Cauchy-Kriterium für Vektor-Folgen
- Seite 35 und 36: Cauchy-Folge, denn |x l − x k | =
- Seite 37 und 38: Beispiel: Richardson Iteration für
- Seite 39 und 40: Für den Fehler gilt ‖x ∗ − x
- Seite 41 und 42: (iv) Kontraktionsbedingung =⇒ ‖
- Seite 43 und 44: für x ∈ D ‖g(x) − p‖ = ε
- Seite 45 und 46: Partielle Ableitungen sind sowohl f
- Seite 47 und 48: (ii) vektorwertige Funktion ⎛ ⎞
- Seite 49 und 50: Beispiel: ebene Welle, y ∈ R n fe
- Seite 51 und 52: Insbesondere ist ∂ α x β | x=0
- Seite 53 und 54: Vertauschbarkeit partieller Ableitu
- Seite 55 und 56: erechne Q = f (b, B) − f (b, A)
- Seite 57 und 58: Totale Ableitung und Jacobi-Matrix
- Seite 59 und 60: Beweis: (i) zeige: totale Ableitung
- Seite 61 und 62: Beispiel: (i) unstetig im Ursprung:
- Seite 63 und 64: Beispiel: ⎛ f (x, y) = ⎝ ⎞ x
- Seite 65 und 66: Beispiel: (i) Gradient der skalaren
- Seite 67 und 68: Fehlerfortpflanzung bei multivariat
- Seite 69 und 70: (ii) relativer Fehler ∆ϕ |ϕ|
- Seite 71 und 72: f(t 0 ) + f ′ (t 0 )(t − t 0 )
- Seite 73 und 74: Parametrisierung der Tangente im Pu
- Seite 75 und 76:
(ii) t ↦→= (t 3 , t 4 ) t steti
- Seite 77 und 78:
grad f(p) x P Analysis 2 - Differen
- Seite 79 und 80:
Beweis: (i) Definition der totalen
- Seite 81 und 82:
Tangentialebene im Punkt P = (3, 4,
- Seite 83 und 84:
Tangentialebene verläuft durch den
- Seite 85 und 86:
Insbesondere hat die Kettenregel f
- Seite 87 und 88:
Beispiel: Funktionen y = f (x) = (
- Seite 89 und 90:
Beispiel: Kettenregel für eine ska
- Seite 91 und 92:
Beispiel: Kettenregel für eine vek
- Seite 93 und 94:
s = sin ϕ, c = cos ϕ und r = √
- Seite 95 und 96:
Kettenregel =⇒ (grad h) t = (grad
- Seite 97 und 98:
Jacobi-Matrix ∂(y 1 , y 2 ) = (q
- Seite 99 und 100:
∂ v f(x) grad f v x Analysis 2 -
- Seite 101 und 102:
Beispiel: Berechnung der Richtungsa
- Seite 103 und 104:
Steilster Abstieg Die Methode des s
- Seite 105 und 106:
Wie in der Abbildung illustriert, i
- Seite 107 und 108:
Beispiel: steilster Abstieg für ei
- Seite 109 und 110:
und sowie d t d = c 2 + 10 4 , d t
- Seite 111 und 112:
Beweis: Anwendung des Banachschen F
- Seite 113 und 114:
und |ϕ(x) − x ∗ | ≤ ‖f ′
- Seite 115 und 116:
zu zeigen: |∆x| durch |∆y| absc
- Seite 117 und 118:
Jacobi-Matrix im Punkt (u ∗ , v
- Seite 119 und 120:
det f ′ (x, y) = exp(2x) > 0 =⇒
- Seite 121 und 122:
skalare Ableitungsregel i.A. falsch
- Seite 123 und 124:
Implizite Funktionen Ist für eine
- Seite 125 und 126:
Beweis: betrachte die Abbildung (x,
- Seite 127 und 128:
Beispiel: Vivianische Kurve: Schnit
- Seite 129 und 130:
(i) Parametrisierung bezüglich x,
- Seite 131 und 132:
Beispiel: skalare Funktion f (x, y,
- Seite 133 und 134:
ϕ nicht explizit angebbar; aber de
- Seite 135 und 136:
Lemniskate C : p(x, y) = y 2 − x
- Seite 137 und 138:
Multivariate Taylor-Approximation E
- Seite 139 und 140:
Kettenregel ⇒ g(0) = ∑ f (0) g
- Seite 141 und 142:
Beispiel: Taylor-Entwicklung einer
- Seite 143 und 144:
Alternative Berechnung des Taylor-P
- Seite 145 und 146:
Hesse-Matrix Die quadratische Taylo
- Seite 147 und 148:
Restglied mit für ein θ ∈ [0, 1
- Seite 149 und 150:
die quadratische Taylor-Entwicklung
- Seite 151 und 152:
Gradient und Hesse-Matrix: ⎛ grad
- Seite 153 und 154:
Beweis: lineare Approximation von f
- Seite 155 und 156:
q 1 (α, β, γ) = a cos(α) + b co
- Seite 157 und 158:
Kritischer Punkt Für eine skalare
- Seite 159 und 160:
Beispiel: kritische Punkte der Funk
- Seite 161 und 162:
(0, 1/ √ 3) (−1, 0) (1, 0) (0,
- Seite 163 und 164:
(i) Typbestimmung anhand der Vorzei
- Seite 165 und 166:
Extrema multivariater Funktionen Is
- Seite 167 und 168:
Die Abbildung illustriert die versc
- Seite 169 und 170:
(iii) Eigenwerte von H f (x ∗ ) >
- Seite 171 und 172:
Beispiel: quadratische Funktion f (
- Seite 173 und 174:
Beispiel: Bestimmung der globalen E
- Seite 175 und 176:
π π/2 −1 4 2 0 2 0 −π/2 1
- Seite 177 und 178:
globale Maxima (2kπ, 2lπ) k, l
- Seite 179 und 180:
zeige Charakterisierung für einen
- Seite 181 und 182:
Lagrange-Multiplikatoren Ist x ∗
- Seite 183 und 184:
Beweis: n: Anzahl der Variablen, m:
- Seite 185 und 186:
Beispiel: minimiere f (x, y) = y un
- Seite 187 und 188:
Beispiel: Lagrange Bedingung für E
- Seite 189 und 190:
z.B.: f (x, y) = (x − 3)(y − 3)
- Seite 191 und 192:
zw. 1 = 2λ 1 x + λ 2 2 = 2λ 1 y
- Seite 193 und 194:
Optimierungsproblem f → min, g =
- Seite 195 und 196:
Kuhn-Tucker-Bedingung Ist x ∗ ein
- Seite 197 und 198:
Beweis: inaktive Nebenbedingungen (
- Seite 199 und 200:
Beispiel: Extrema der Funktion f (x
- Seite 201 und 202:
(ii) λ = 0 , µ ≠ 0 (2 − x 2
- Seite 203 und 204:
Beispiel: f (x) → min , a i ≤ x
- Seite 205 und 206:
x 2 a 1 b 2 b 1 a 2 x 1 mögliche R
- Seite 207 und 208:
z.B. ist x + y → min, x ≥ 2, y
- Seite 209 und 210:
y 5 4 3 (2, 3) 2 1 1 2 3 4 5 6 7 8
- Seite 211 und 212:
Das Volumen eines Simplex lässt si
- Seite 213 und 214:
Das Volumen eines Parallelepipeds i
- Seite 215 und 216:
y z b 2 (x) b 3 (x, y) a 2 (x) x a
- Seite 217 und 218:
Die Schreibweise ∆V i → dV symb
- Seite 219 und 220:
Beispiel: Integration von über dem
- Seite 221 und 222:
Satz von Fubini Ein Integral einer
- Seite 223 und 224:
Beispiel: Integration von über dem
- Seite 225 und 226:
Beispiel: Integration von über den
- Seite 227 und 228:
Satz von Fubini ∫ f = T = = ∫
- Seite 229 und 230:
Symmetrie betrachte Teilkörper im
- Seite 231 und 232:
Definition der Gamma-Funktion (B 1
- Seite 233 und 234:
vol B n = √ n+1 Γ( 2 π ) 2 √
- Seite 235 und 236:
U g V y = g(x) x Für eine lokal or
- Seite 237 und 238:
Beispiel: Bereich V , begrenzt durc
- Seite 239 und 240:
Volumenelement dV = dx dy = (2u + 1
- Seite 241 und 242:
z 2 0 x r R ϑ y −2 4 2 0 −2
- Seite 243 und 244:
Beispiel: Parallelogramm V als Bild
- Seite 245 und 246:
Verallgemeinerung: invertierbare af
- Seite 247 und 248:
Speziell ist für eine axialsymmetr
- Seite 249 und 250:
Beispiel: Integral der Gauß-Funkti
- Seite 251 und 252:
Volumenelement in Kugelkoordinaten
- Seite 253 und 254:
Beweis: lokal orthogonale Koordinat
- Seite 255 und 256:
Beispiel: (i) Integral von r α auf
- Seite 257 und 258:
Beispiel: Sauerstoffmenge in der At
- Seite 259 und 260:
insgesamt M = 4πp 0 R s T ( c −1
- Seite 261 und 262:
Beweis: Begründung der Definition
- Seite 263 und 264:
Beispiel: Berechnung des Integrals
- Seite 265 und 266:
Länge einer Kurve Die Länge L ein
- Seite 267 und 268:
Beispiel: Zykloide: Punkte auf entl
- Seite 269 und 270:
Beispiel: Parametrisierung nach Bog
- Seite 271 und 272:
ξ R x s S y ∂ i s Der bis auf da
- Seite 273 und 274:
Der Betrag der Determinante ist der
- Seite 275 und 276:
Tangentenvektoren: ⎛ s r = ⎝ co
- Seite 277 und 278:
z.B. z(x, y) = x 2 + 1 2 y 2 ⇒ dS
- Seite 279 und 280:
Beweis: Orthogonalität der Tangent
- Seite 281 und 282:
Beweis: Orthogonalität der Tangent
- Seite 283 und 284:
Schwerpunkt Die Masse eines Körper
- Seite 285 und 286:
Beispiel: Kegel K mit Grundkreisrad
- Seite 287 und 288:
Trägheitsmoment Das Trägheitsmome
- Seite 289 und 290:
Trägheitsmoment um die z-Achse g b
- Seite 291 und 292:
Volumen eines Rotationskörpers Das
- Seite 293 und 294:
Beweis: (i) erste Formel: y = f(x)
- Seite 295 und 296:
(ii) zweite Formel (monoton wachsen
- Seite 297 und 298:
(iii) analog: monoton fallendes f a
- Seite 299 und 300:
(i) horizontale Integration über K
- Seite 301 und 302:
Differenz zweier Rotationskörper (
- Seite 303 und 304:
Integration über Zylindermäntel m
- Seite 305 und 306:
Beweisidee: Approximation durch st
- Seite 307 und 308:
(i) linke Seite ∫ V grad f : best
- Seite 309 und 310:
Beispiel: Hauptsatz für das Quadra
- Seite 311 und 312:
Beispiel: V ⊆ R n : Simplex, begr
- Seite 313 und 314:
Beispiel: Volumen- und Flächenelem
- Seite 315 und 316:
Partielle Integration bei Funktione
- Seite 317 und 318:
Greensche Integralformeln Für eine
- Seite 319:
Beweis: Hauptsatz für Mehrfachinte
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