Vorlesung Einführung in die Spieltheorie

Vorlesung Einführung in die Spieltheorie
Tim Hellmann
17.11.2009
Tim Hellmann
Einführung in die Spieltheorie

Existenz von Nash-Gleichgewichten in der gemischten
Erweiterung
Tim Hellmann
Einführung in die Spieltheorie

Existenz von Nash-Gleichgewichten in der gemischten
Erweiterung
Σ i ist die Mengen aller Lotterien über die Strategien von Sp.i
damit sind auch die zusammengesetzten Lotterien definitiert
σ i + σ ′ i und t · σ i sowie σ + σ ′ und t · σ, t ∈ R definiert
Die Σ i sind also konvex, da:
t · σ i + (1 − t) · σ ′ i ∈ Σ i , t ∈ [0, 1]
t · σ + (1 − t) · σ ′ ∈ Σ i , t ∈ [0, 1]
und kompakt, d.h. beschränkt und abgeschlossen
Tim Hellmann
Einführung in die Spieltheorie

Erweiterung der Nutzenfunktionen
multilineare Erweiterung der U i auf Σ, U i : Σ → R:
⎛
⎞
u i (σ) := ∑ ⎝u i (s) ∏ σ j (s j ) ⎠
s∈S j∈N
U i ist stetig
U i ist quasikonkav in σ i für alle σ −i : für alle σ i , σ ′ i
∈ Σ i ,
σ −i ∈ Σ −i , t ∈ [0, 1] gilt
U i
(
t · σi + (1 − t) · σ ′ i, σ −i
)
≥ min
{
Ui (σ i , σ −i ) , U i
(
σ
′
i , σ −i
)}
für alle σ i ∈ Σ i und σ −i ∈ Σ −i gibt es s i , s
i ′ ∈ S i ,
σ i (s i ) , σ i (s
i ′ ) > 0, daß
( )
U i (s i , σ −i ) ≥ U i (σ i , σ −i ) ≥ U i s
′
i , σ −i
Tim Hellmann
Einführung in die Spieltheorie

Existenz von Nash-Gleichgewichten
Theorem (Existenzsatz Nash, gemischte Erweiterung)
Die gemischte Erweiterung eines endlichen Spiels in Normalform
besitzt ein Nash-Gleichgewicht.
Hatten bereits:
Theorem (Existenzsatz Nash)
Gegeben sei ein Spiel G in Normalform. Wenn für jeden Spieler
i ∈ N gilt:
S i ist eine kompakte und konvexe Teilmenge des endlich
dimensionalen euklidischen Raums,
u i : S → R ist stetig, und
u i (·, s −i ) : S i → R ist quasikonkav in s i .
Dann existiert ein Nash-Gleichgewicht in G.
Tim Hellmann
Einführung in die Spieltheorie

Existenz von Nash-Gleichgewichten
Wir wissen:
Σ ist eine kompakte und konvexe Teilmenge des endlich
dimensionalen euklidischen Raums,
U i : Σ → R ist stetig,
U i (·, σ −i ) : Σ i → R ist quasikonkav in σ i .
Daher erfüllt die gemischte Erweiterung die Vorraussetzungen beim
allgemeineren Existenzsatz und ist daher eine Implikation des
allgemeineren Theorems.
Tim Hellmann
Einführung in die Spieltheorie

Existenz von Nash-Gleichgewichten
Theorem (Nash 1950)
Die gemischte Erweiterung eines endlichen Spiels in Normalform
besitzt ein Nash-Gleichgewicht.
Beweis 1950: wendet Kakutanis Fixpunktsatz (1941) auf die
Beste-Antwort-Korrespondenz an
Beweis 1951: verwendet Brouwers (1910/12) Fixpunktsatz für
Funktionen
Literatur: Border, Kim C. (1988): Fixed Point Theorems with
Applications to Economics and Game Theory, Cambridge
University Press.
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Brouwers Fixpunktsatz
Theorem (Brouwer 1910/12)
Ist X eine
nicht-leere,
kompakte, (d.h. beschränkt und abgeschlossen) und
konvexe Teilmenge eines R n und
ist die Abbildung f : X → X stetig,
dann gibt es einen Fixpunkt von f , d.h., ein x ∗ ∈ X , so daß
f (x ∗ ) = x ∗ .
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Beweisidee für Existenzsatz
Theorem (Nash 1950)
Die gemischte Erweiterung eines endlichen Spiels in Normalform
besitzt ein Nash-Gleichgewicht.
Beweisidee.
Fakt: Σ ist nichtleer, konvex und kompakt.
Konstruiere eine stetige Abbildung T : Σ → Σ.
Zeige, daß deren Fixpunkte Nash-Gleichgewichte sind.
Brouwers Fixpunktsatz garantiert dann die Existenz.
Tim Hellmann
Einführung in die Spieltheorie

Beweis #1
Definiere für alle i ∈ N und s i ∈ S i eine Fkt φ si : Σ → R :
φ si (σ) := max(0, u i (s i , σ −i ) − u i (σ i , σ −i )).
Definiere T = (T i ) i∈N : Σ → Σ für i ∈ N, s i ∈ S i und σ ∈ Σ
T i (σ)(s i ) :=
σ i(s i ) + φ si (σ)
1 + ∑ s i ′ ∈S φ
i s ′
i
(σ)
Fakt: T ist stetig, und Σ ist nicht-leer, kompakt und konvex.
Interpretation: Die Funktion T bildet ein gemischtes
Strategienprofil σ in ein gemischtes Strategienprofil σ ′ ab, so
dass die Wahrscheinlichkeit der reinen besten Antworten auf
σ −i erhöht wird und Nicht-Beste-Antworten mit geringerer
Wahrscheinlichkeit versehen werden.
Brouwers Fixpunktsatz garantiert dann die Existenz eines
Fixpunktes σ ∗ ∈ Σ.
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Beweis #2
Fakt: Für jedes i es gibt ein s ′′
i
∈ S i so daß σ ∗ i (s′′ i ) > 0 und
φ s ′′(σ ∗ ) = max(0, u
i
i (s i ′′ , σ−i) ∗ − u i (σ ∗ )) = 0.
Da σ ∗ Fixpunkt von T ist, gilt
σi ∗ (s i ′′ ) = σ∗ i (s′′ i ) + φ s i
′′ (σ ∗ )
1 + ∑ s i ′ ∈S φ
i s ′
i
(σ ∗ ) .
Wegen σi ∗(s′′
i ) > 0, gilt dann∑ s i ′ ∈S φ
i s ′
i
(σ ∗ ) = 0 und daher
max(0, u i (s i , σ−i ∗ ) − u i(σ ∗ )) = 0, für alle s i ∈ S i .
Doch das heißt, daß kein Spieler eine einseitige
Verbesserungsmöglichkeit in reinen Strategien hat und damit
auch nicht in gemischten. Also ist σ ∗ ein
Nash-Gleichgewicht.
Tim Hellmann
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Extensive Spiele
Tim Hellmann
Einführung in die Spieltheorie

Extensive Spiele — Motivation
Bislang hatten wir angenommen, dass die Spieler simultan
entscheiden.
Was ist nun, wenn eine feste Reihenfolge der Entscheidungen
festgelegt ist?
Tim Hellmann
Einführung in die Spieltheorie

Extensive Spiele — Beispiel Markteintritt
zwei Unternehmen:
ein Monopolist, M
ein potentieller Konkurrent, K
K überlegt Markteintritt
M muß entscheiden, ob er bei Markteintritt,
diesen zuläßt ⇒ sie teilen sich den Markt, z.B. Cournot Duopol
oder abwehrt, d.h. auf einmal eine solche Menge produziert,
dass sich der Markteintritt für K nicht lohnt ⇒ Verluste für
beide
Tim Hellmann
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Markteintrittspiel — simultane Entscheidungen
Darstellung des Spiels in strategischer Form (Vereinfachtes
Modell):
accept
fight
1
−1
in
1
−1
out
2
0
2
0
zwei Gleichgewichte in reinen Strategien:
NE(G) = {(fight, out), (accept, in)}
eines unplausibel, wenn die Reihenfolge eine Rolle spielt
(beruht auf unglaubwürdiger Drohung)
Tim Hellmann
Einführung in die Spieltheorie

Markteintrittspiel als extensive Form
Darstellung als extensives Spiel (wobei die Reihenfolge eine
Rolle spielt):
Tim Hellmann
Einführung in die Spieltheorie

Extensive Spiele — Beispiel Markteintritt
Wenn die Reihenfolge eine Rolle spielt, benutzen wir die
Rückwärtsinduktion:
Falls M entscheiden muß, wird sie niemals K bekämpfen.
dies weiß K und daher wählt K den Markteintritt.
Tim Hellmann
Einführung in die Spieltheorie

Extensive Spiele — Beispiel Stackelberg Duopol
zwei Unternehmen (wie im Cournot Model), aber die Firmen
entscheiden hintereinander:
F 1 (Stackelberg leader) entscheidet zuerst, welche Menge sie
anbietet
danach entscheided F 2 .
Macht dies einen Unterschied?
Tim Hellmann
Einführung in die Spieltheorie

Formale Darstellung von Spielen in extensiver Form
Tim Hellmann
Einführung in die Spieltheorie

Formale Darstellung von Spielen in extensiver Form
Definition
Ein Spiel in extensiver Form mit vollständiger Information ist ein
Tupel
wobei
((X , ⊳), N, P, A, p, u)
Spielbaum (X , ⊳): Abfolge der Zugmöglichkeiten,
Spielausgänge
Menge der Spieler N: Akteure plus ”
Zufall“
Spielerpartition P: Wer zieht wann?
Aktionspartition A: Welche Züge sind möglich?
System der Zufallswahrscheinlichkeiten p: Wie zieht ”
Zufall“?
Auszahlungsfunktionen u: repräsentiert die Präferenzen der
Spieler
Tim Hellmann
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Spielbaum, (X , ⊳)
endliche Knotenmenge X ; |X | > 1
Vorgängerrelation ⊳ auf X
nicht notwendigerweise vollständig.
asymmetrisch,d.h. gibt ein o ∈ X , so daß o ⊳ x für alle x ∈ X .
und transitiv, x, x ′ , x ′′ ∈ X , x ′ ⊳ x, x ′′ ⊳ x und x ′ ≠ x ′′
implizieren x ′ ⊳ x ′′ oder x ′′ ⊳ x ′ .
unmittelbarer Vorgänger von x ∈ X \ {o}:
V (x) := {y ∈ X : y ⊳ x}
Menge der unmittelbaren Nachfolger von x ∈ X :
N (x) := {y ∈ X : x ⊳ y}
Menge der Endknoten Z := {x ∈ X : N(x) = ∅} keine
Nachfolger.
Menge der Entscheidungsknoten K := X \Z
Pfad von x ∈ X : ϕ (o) = ∅, ϕ (x) = ϕ (V (x)) ∪ {x}
Tim Hellmann
Einführung in die Spieltheorie

Beispiel — Spielbaum, (X , ⊳)
Hier ist zum Beispiel:
Menge der Knoten, X = {x 1 , ..., x 5 },
Menge der Entscheidungsknoten, K = {x 1 , x 2 },
Menge der Endknoten Z = {x 3 , x 4 , x 5 }
Vorgänger von x 2 : V (x 2 ) = x 1 ,
Nachfolger von x 2 : N(x 2 ) = {x 4 , x 5 }.
Pfad von x 4 : ϕ(x 4 ) = {x 1 , x 2 }.
Tim Hellmann
Einführung in die Spieltheorie

Menge der Spieler, Spielerpartition N, P
N, wie zuvor nur der Spieler ”
Natur“, bzw. ”
Zufall“,
bezeichnet als 0, ist enthalten.
P ist eine Partition (P i ) i∈N
von K, den Entscheidungsknoten
P i , Menge der Knoten, an denen i entscheidet.
P 0 Menge der Knoten, an denen der Zufall entscheidet (kann
leer sein).
für x ∈ K bezeichnet i (x) den an K ziehenden Spieler
Tim Hellmann
Einführung in die Spieltheorie

Beispiel — Menge der Spieler, Spielerpartition N, P
Hier:
N = {M, K, 0}.
kein Zufall P 0 = ∅.
P K = {x 1 }, der Konkurrent zieht zuerst.
P M = {x 2 }, danach der Monopolist.
Tim Hellmann
Einführung in die Spieltheorie

Aktionspartition A
A ist eine Partition von X \ {o}
Elemente a von A heißen Aktionen
für alle a ∈ A gilt
V (a) ∈ P i für ein i ∈ N
d.h. a ∈ A sind die Menge der Aktionen für Spieler i ∈ N an
der Stelle P i , wenn Spieler i ∈ N entscheiden muss.
Menge der Aktionen an x ∈ K: A x
Menge der Aktionen von i ∈ I : A i
für alle x ∈ X \ {o} bezeichnet a (x) die Aktion, in der x liegt
Tim Hellmann
Einführung in die Spieltheorie

Aktionspartition
Hier:
mögliche Aktionen von Spieler K an x 1 ∈ P K : {in, out}.
Aktion in führt zu Knoten x 2 , Aktion out führt zu Knoten x 3
mögliche Aktionen von Sp. K an x 1 ∈ P K : {accept, fight}.
Aktion accept führt zu Knoten x 4 , Aktion fight führt zu
Knoten x 5
Tim Hellmann Einführung in die Spieltheorie

Auszahlungsfunktionen
u = (u i ) i∈N\{0}
u i : Z → R
u i Erwartungsnutzenfunktion
stellt Spieler is Präferenzen über
Wahrscheinlichkeitsverteilungen über Z dar
Tim Hellmann
Einführung in die Spieltheorie

Zufallsmechnismus
Zufallsspieler 0 ”
entscheidet“ an den Knoten in P 0 .
System von Zufallswahrscheinlichkeiten p
p h ordnet den Aktionen a ∈ A h Wahrscheinlichkeiten p h (a) zu
p h (a) > 0
Tim Hellmann
Einführung in die Spieltheorie

Beispiele und Strategien in extensiven Spielen
Tim Hellmann
Einführung in die Spieltheorie

Beispiel — Ein etwas komplexerer Baum
Tim Hellmann
Einführung in die Spieltheorie

Beispiel — Ein etwas komplexerer Baum
Die Menge der Knoten X = {x 1 , x 2 , ..., x 30 }.
Endknoten:
Z = {x 4 , x 6 , x 8 , x 11 , x 13 , x 15 , x 16 , x 17 , x 18 , x 19 , x 21 , x 23 , x 24 , ..., x 30 }.
Entscheidungsknoten:
K = {x 1 , x − 2, x 3 , x 5 , x 7 , x 9 , x 10 , x 12 , x 14 , x 20 , x 22 }.
Tim Hellmann
Einführung in die Spieltheorie

Beispiel — Ein etwas komplexerer Baum
Tim Hellmann
Einführung in die Spieltheorie

Beispiel — Ein etwas komplexerer Baum
Die Spieler N = {0, 1, 2, 3}, wobei Zufall schwarz, Sp.1 gelb,
Sp.2 blau, Sp.3, rot.
Spielerpatition, z.B. P 1 = {x 1 , x 9 , x 10 }.
Aktionspartition für Spieler 1,
A 1 = {(a, b, c, d), (e, f ), (g, h)}.
Aktionspartition für Spieler 1 an Knoten x 1 , A x1 = {a, b, c, d}.
Zufallszüge an P 0 = {x 2 , x 5 } mit den entsprechenden
Wahrscheinlichkeiten.
Tim Hellmann
Einführung in die Spieltheorie

Reine Strategien
Definition
Die Menge der reinen Strategien für Spieler i ∈ N\ {0} in einem
extensiven Spiel Γ is gegeben durch A i := ∏ x∈P i
A x .
reine Strategie a i legt für jeden Entscheidungsknoten x ∈ P i
eine Aktion a x ∈ A x fest (umfassender Handlungsplan)
Menge der reinen Strategiekombinationen: A : = ∏ i∈N\{0} A i
unter a erreichbare Endknoten
Z (a) := {z ∈ Z|A (ϕ (z)) \A 0 ⊆ {a x |x ∈ K\P 0 }}
Auszahlungen für reine Strategien
⎛
⎞
u i (a) =
∑
∏
⎝u i (z)
p V (a) (a) ⎠
a∈A(ϕ(z))∩A 0
z∈Z(a)
Tim Hellmann
Einführung in die Spieltheorie

Beispiel — Ein etwas komplexerer Baum
Eine reine Strategie für Sp.1 (gelb) wäre z.B.: a 1 = (a, f , g)
Tim Hellmann
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Gemischte Strategien
Definition
Die Menge der gemischten Strategien für Spieler i ∈ N in einem
extensiven Spiel Γ is gegeben durch Σ i = ∆ (A i ).
∆ (A i ) bezeichnet die Menge der W-keitsverteilungen auf den
reinen Srategien A i , formal:
∆ (A i ) := {σ i : A i → R| ∑
a i ∈A i
σ i (a i ) = 1 und σ i (a i ) ≥ 0 ∀a i ∈ A i }
für σ i ∈ Σ i bezeichnet σ i (a i ) die Wahrscheinlichkeit von
a i ∈ A i
gemischte Strategiekombinationen σ ∈ Σ := ∏ i∈N\{0} Σ i
Auszahlungen für gemischte Strategiekombinationen
⎛
⎞
u i (σ) := ∑ ∏
⎝u i (a) σ i (a i ) ⎠
a∈A
i∈N\{0}
Tim Hellmann
Einführung in die Spieltheorie

Normalform
Definition
Die Normalform des extensiven Spiels Γ = ((X , ⊳), N, P, A, p, u)
ist das strategische Spiel
)
NF (Γ) =
(N\ {0} , (A i ) i∈N\{0}
, (u i ) i∈N\{0}
.
reine/gemischte Strategie(n)/kombinationen von NF (Γ) sind
auch diese von Γ
bei Übergang von Γ zu NF (Γ) gehen Informationen verloren
die Reihenfolge findet keine Beachtung.
Zufall spielt keine Rolle.
Tim Hellmann
Einführung in die Spieltheorie

Dominanz und Nash-Gleichgewichte
über die Normalform analog zu strategischen Spielen,
beispielsweise
Definition
Eine gemischte Strategiekombination σ ∗ ∈ Σ des extensiven Spiels
Γ ist ein Nash-Gleichgewicht, wenn σ ∗ ein Nash-Gleichgewicht von
NF (Γ) ist, d.h. wenn u i (σ ∗ ) ≥ u i
(
σi , σ ∗ −i)
für alle i ∈ I \ {0} und
σ i ∈ Σ i .
Tim Hellmann
Einführung in die Spieltheorie

Ein weiteres Beispiel
Baum: X = {x 1 , ..., x 9 }, wobei x 1 ⊳ x 2 , x 3 ; x 2 ⊳ x 4 , x 5 ;
x 3 ⊳ x 6 , x 7 ; und x 5 ⊳ x 8 , x 9 .
Spieler N = {0, 1, 2}, Spielerpartition P 1 = {x 1 , x 5 },
P 2 = {x 2 , x 3 }, P 0 = ∅.
Tim Hellmann
Einführung in die Spieltheorie

Ein weiteres Beispiel
Aktionspartitionen A 1 = {{a, b}, {c, d}},
A 2 = {{A, B}, {C, D}}
reine Strategien A 1 = {(a, c), (a, d)(b, c), (b, d)},
A 2 = {(A, C), (A, D), (B, C), (B, D)}.
Tim Hellmann
Einführung in die Spieltheorie

Ein weiteres Beispiel
eine reine Strategie für Spieler 1, z.B. a 1 = (a, c) (Schwarz)
und für Spieler a 2 = (A, D). (blau)
Tim Hellmann
Einführung in die Spieltheorie

Ein weiteres Beispiel
eine reine Strategie für Spieler 1, z.B. a 1 = (a, c) (Schwarz)
und für Spieler a 2 = (A, D). (blau)
Tim Hellmann
Einführung in die Spieltheorie

Ein weiteres Beispiel — Normalform
Darstellung des Spiels in strategischer Form:
(a, c)
(a, d)
(b, c)
(b, d)
(A, C) (A, D) (B, C) (B, D)
1 1 0 0
1 1 4 4
1 1 2 2
1 1 2 2
6 3 6 3
6 1 6 1
6 3 6 3
6 1 6 1
Gleichgewichte in reinen Strategien:
NE(G) = { {(a, c), (A, D)}, {(b, ·), (·, C)} } .
Bei Beachtung der Reihenfolge sind nicht alle sinnvoll.
Tim Hellmann
Einführung in die Spieltheorie

Ein weiteres Beispiel — Normalform
Darstellung des Spiels in strategischer Form:
(a, c)
(a, d)
(b, c)
(b, d)
(A, C) (A, D) (B, C) (B, D)
1
1 0
0
1
1
4 4
1
1
2 2
1
1
2 2
6 3
6 3
6
1
6
1
6 3
6 3
6
1
6
1
Gleichgewichte in reinen Strategien:
NE(G) = { {(a, c), (A, D)}, {(b, ·), (·, C)} } .
Bei Beachtung der Reihenfolge sind nicht alle sinnvoll.
Tim Hellmann
Einführung in die Spieltheorie

Ein weiteres Beispiel — Normalform
→
Das Gleichgewicht {(a, c), (A, D)} (Schwarz) sieht nicht
rational aus.
Spieler 1, weiß, dass falls er b spielt, Spieler 2 dann C spielt,
also würden dann beide 6 erhalten.
Wir brauchen ein anderes Gleichgewichtskonzept!
Tim Hellmann
Einführung in die Spieltheorie

Verhaltensstrategien und teilspielperfekte
Gleichgewichte
Tim Hellmann
Einführung in die Spieltheorie

Verhaltensstrategien
Definition
Eine Verhaltensstrategie für Spieler i ∈ N in einem extensiven Spiel
mit perfekter Erinnerung ist eine Menge von
Wahrscheinlichkeitsverteilungen b i , so dass b i (x, ·) eine
Wahrscheinlichkeitsverteilung auf A x ist.
lokale Strategien für jedes x ∈ K\P 0 : b i (x, ·) ∈ ∆ (A x ) wobei
b i (x, a) die Wahrscheinlichkeit einer Aktion a ∈ A x ist.
Menge der Verhaltensstrategien von i ∈ N\ {0} :
B i := ∏
x∈P i
{b i (x, ·) ∈ ∆ (A x )}
Menge der Verhaltensstrategiekombinationen: B = ∏ i∈N B i
Tim Hellmann
Einführung in die Spieltheorie

Verhaltensstrategien
Auszahlungen für Verhaltensstrategiekombinationen
⎛
⎞
u i (b) := ∑ ∏ ∏
⎝u i (a)
b i (x, a x ) ⎠
a∈A i∈N\{0} x∈P i \P 0
Unterschied zu reinen/gemischten Strategien?
eine reine Strategie ist ein umfassender Handlungsplan.
eine gemischte Strategie ist eine Wahrscheinlichkeitsverteilung
über alle reinen Strategien.
eine Verhaltensstrategie ist eine Menge von
Wahrscheinlichkeitsverteilungen, die für jeden
Entscheidungsknoten von Sp. i ∈ N eine
Wahrscheinlichkeitsverteilung über die Menge der möglichen
Aktionen ist.
eine reine Strategie ist sowohl eine gemischte als auch eine
Verhaltensstrategie.
Tim Hellmann
Einführung in die Spieltheorie

Verhaltensstrategien, Agentennormalform
Definition
Die Agentennormalform des extensiven Spiels Γ ist das strategische
Spiel
)
ANF (Γ) =
(K\P 0 , (A x ) x∈K\P0
, (u x ) x∈K\P0
,
wobei u x = u i(x) für alle x ∈ K\P 0 .
Jeder Entscheidungsknoten wird ein eigener Spieler.
Die Nutzenfunktion wird von dem Spieler übernommen der an
dem Knoten x ∈ K \ P 0 enstcheidet.
Die reinen Strategien sind für jeden Knoten/Spieler
x ∈ K \ P 0 die möglichen Aktionen A x and x.
reine Strategiekombinationen von ANF (Γ) sind diese von Γ
gemischte Strategiekombinationen von ANF (Γ) sind
Verhaltensstrategiekombinationen von Γ!!!
auch beim Übergang von Γ zu ANF (Γ) gehen Informationen
verloren.
Tim Hellmann
Einführung in die Spieltheorie

Verhaltensstrategien, Nash-Gleichgewicht
Die Definition eines Nash-Gleichgewichts in Verhaltensstrategien
analog:
Definition
Eine Verhaltensstrategiekombination b ∗ ∈ Σ des extensiven Spiels
Γ ist ein Nash-Gleichgewicht, wenn u i (b ∗ ) ≥ u i
(
bi , b ∗ −i)
für alle
i ∈ N\ {0} und b i ∈ B i .
Tim Hellmann
Einführung in die Spieltheorie

Teilspiele
Teilbaum von (X , ⊳) bei x ∈ K : (T x , ⊳ x )
T x := {x ′ ∈ X |x ′ = x oder x ⊳ x ′ }
⊳ x :=⊳ | Tx , Einschränkung von ⊳ auf T x
Wurzel: x; K x := K ∩ T x , Z x := Z ∩ T x
bei jedem x ∈ K beginnt ein Teilspiel
Γ x = ((T x , ⊳ x ), N x , P x , A x , p x , u x )
von Γ, so dass
N x := {0} ∪ {i ∈ N|Pi x ≠ ∅} , wobei Pi x := P i ∩ T x
P x := {Pi x |i ∈ N x }
A x := ⋃ y∈T A x y ; A x i := A i ∩ A x for all i ∈ N x
p x := {p y |y ∈ P0 x}
ui x := u i | Z x for all i ∈ N x \ {0}
Tim Hellmann
Einführung in die Spieltheorie

Beispiel, Teilspiele
Gesucht Teilspiel Γ x 2
!
Schneide einfach den Rest weg...
Tim Hellmann
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Beispiel, Teilspiele
Gesucht Teilspiel Γ x 2
!
Schneide einfach den Rest weg...
Tim Hellmann
Einführung in die Spieltheorie

Beispiel, Teilspiele
Γ x 2
ist also das Tupel
Γ x 2
= ((T x 2
, ⊳ x 2
), N x 2
, P x 2
, A x 2
, p x 2
, u x 2
)
mit
T x2
N x2
P x2
0
= {x 2 , x 4 , x 5 , x 8 , x 9 } (die übrig gebliebenen Knoten).
= {0, 1, 2}, beide Spieler können noch entscheiden.
= ∅, Px2 1 = {x 5}, P x2
2 = {x 2} (die Spielerpartitionen im
Teilspiel).
A x2
1
= {(c, d)} Ax2 2
Teilspiel).
= {(A, B)} (die Aktionspartitionen im
p x2 = ∅, da P x2
0 = ∅ (die Zufallszüge im Teilspiel).
u x2 = u i | x4,x 8,x 9
(die eingeschränkte Nutzenfunktion im
Teilspiel).
Tim Hellmann
Einführung in die Spieltheorie

Teilspielperfekte Gleichgewichte
Definition
Eine Verhaltensstrategiekombination b ∗ ∈ B des extensiven Spiels
Γ ist ein teilspielperfektes Gleichgewicht, wenn in allen Teispielen
Γ x von Γ die Restriktion von b ∗ auf K x \P0 x ein Nash-Gleichgewicht
ist.
da Γ o = Γ, ist jedes teilspielperfekte Gleichgewicht auch ein
Nash-Gleichgewicht
enthält Γ keine echten Teilspiele, dann fallen beide Konzepte
zusammen
Tim Hellmann
Einführung in die Spieltheorie