Anwendungen des Basisergänzungs- und Basisauswahlsatzes

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Anwendung des Basisergänzungs- und Basisauswahlsatzes, Autor: Florian Modler
(florian.modler@stud.uni-hannover.de , http://www.stud.uni-hannover.de/~fmodler/ )
Anwendung des
Basisergänzungs- und
Basisauswahlsatzes
Basisergänzung und Basisauswahl
Florian Modler
07.02.2008
In diesem Artikel wollen wir eine „Anwendung“ des Basisergänzungssatzes und Basisauswahlsatzes
geben.
Stand: 7. Februar 2008

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Anwendung des Basisergänzungs- und Basisauswahlsatzes, Autor: Florian Modler
(florian.modler@stud.uni-hannover.de , http://www.stud.uni-hannover.de/~fmodler/ )
Anwendungen des Basisergänzungssatzes:
(a) Die Vektoren v 1
: = (1, − 2,0,3) und v
2
: = ( −2, − 4,1,1) sollen zu einer Basis des Vektorraums
4
Q ergänzt werden.
Dafür ist es sinnvoll, zwei Einheitsvektoren des Vektorraums
beiden Vektoren v : = (1,0,0,0) und v : = (0,1,0,0) hinzu.
3 4
4
Q zu wählen. Ich füge also die
Prüfe nun, ob diese vier Vektoren eine Basis bildet. Dafür muss überprüft werden, ob ein
linear unabhängiges Erzeugendensystem vorliegt.
Prüfe zunächst die lineare Unabhängigkeit. Dazu zeige ich, dass die Gleichung
λ1v 1
+ λ2v2 + λ3v3 + λ4v4 = 0 für λ1 , λ2, λ3,
λ4
∈Q nur die triviale Lösung λ1 = λ2 = λ3 = λ4 = 0
besitzt. Dazu stelle ich die entsprechende Matrix des homogenen linearen
Gleichungssystems auf und löse mit Gauß:
⎛ 1 −2 1 0⎞
⎜
⎟
⎜
−2 −4 0 1
⎟
⎜ 0 1 0 0⎟
⎜
⎟
⎝ 3 1 0 0⎠
O.B.d.A. können die dritte und vierte mit der ersten und zweiten Spalte vertauscht werden.
Es ergibt sich:
⎛ 1 −2 1 0⎞ ⎛1 0 1 −2⎞
⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎜
−2 −4 0 1
⎟
0 1 −2 −4
→ ⎜ ⎟
⎜ 0 1 0 0⎟ ⎜ 0 0 0 1 ⎟
⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝ 3 1 0 0⎠ ⎝ 0 0 3 1 ⎠
Weiterhin kann die dritte und die vierte Zeile vertauscht werden:
⎛ 1 −2 1 0⎞ ⎛1 0 1 −2⎞ ⎛1 0 1 −2⎞
⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎜
−2 −4 0 1
⎟
0 1 −2 −4 0 1 −2 −4
→ ⎜ ⎟ → ⎜ ⎟
⎜ 0 1 0 0⎟ ⎜0 0 0 1 ⎟ ⎜0 0 3 1 ⎟
⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝ 3 1 0 0⎠ ⎝0 0 3 1 ⎠ ⎝0 0 0 1 ⎠
Nun liefert die vierte Zeile λ
4
= 0 und damit folgt insgesamt λ1 = λ2 = λ3 = λ4 = 0 .
Also ist das System von Vektoren linear unabhängig.
Um zu zeigen, dass auch ein Erzeugendensystem vorliegt, muss gezeigt werden, dass sich ein
4
beliebiger Vektor v : = ( a, b, c, d)
∈Q aus den vier Vektoren v1, v2, v3,
v
4
linear erzeugen lässt.
Dazu stelle ich das inhomogene lineare Gleichungssystem λ1v 1
+ λ2v2 + λ3v3 + λ4v4
= v in eine
Matrix dar und löse es entsprechend mit dem Gauß-Eliminationsverfahren.
Stand: 7. Februar 2008

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Anwendung des Basisergänzungs- und Basisauswahlsatzes, Autor: Florian Modler
(florian.modler@stud.uni-hannover.de , http://www.stud.uni-hannover.de/~fmodler/ )
Auch hier kann o.B.d.A. gleich folgende Matrix aufgestellt werden:
⎛1 0 1 −2
a ⎞
⎜
⎟
⎜ 0 1 −2 −4
b ⎟
⎜ 0 0 3 1 c ⎟
⎜
0 0 0 1 d ⎟
⎝
⎠
Die letzte Zeile liefert nun λ
4
= d . Entsprechend ermittelt man die anderen Koeffizienten
4
λ1 , λ2,
λ
3
. Es ist also gezeigt, dass sich ein beliebiger Vektor v = ( a, b, c, d)
∈Q eindeutig aus
den anderen vier Vektoren erzeugen lässt. Damit ist nachgewiesen, dass das ergänzende
System mit den Vektoren v1 , v2, v3,
v
4
eine Basis bildet.
Anmerkung: Es gibt natürlich unendlich viele Möglichkeiten, das System von Vektoren zu
einer Basis zu ergänzen, siehe auch Basisergänzungssatz.
Natürlich ist die letzte Untersuchung auf ein möglich vorliegendes Erzeugendensystem nicht
notwendig, denn vier haben wir lineare unabhängige Vektoren in einem Vektorraum der
Dimension 4 gefunden, damit bilden diese automatisch ein Erzeugendensystem und folglich
eine Basis.
Stand: 7. Februar 2008

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Anwendung des Basisergänzungs- und Basisauswahlsatzes, Autor: Florian Modler
(florian.modler@stud.uni-hannover.de , http://www.stud.uni-hannover.de/~fmodler/ )
Anwendungen des Basisauswahlsatzes:
(b) Aus den vorgegebenen fünf Vektoren
v : = (1, − 2,0), v : = ( − 2,1,1), v : = ( −1, − 1,1), v : = ( − 5,1,3), v : = (1,0,1) wähle ich die Vektoren
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v , v , v aus und zeige, dass diese eine Basis vom Vektorraum Q ³ bilden.
1 2 5
Kurze Begründung, warum man gerade diese Vektoren verwenden sollte:
Wenn man sich die fünf Vektoren anschaut, dann stellt man fest, dass die Summe von v
1
und
v
2
den Vektor v
3
ergibt. Also wären diese drei Vektoren schon auf jeden Fall linear
abhängig, da sich der eine linear aus den anderen kombinieren lässt. Dieses System von
Vektoren würde also keine Basis bilden.
Und mit einem Blick sieht man, dass die Vektoren v1 , v2,
v
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sich nicht linear gegenseitig
erzeugen lassen, also sind diese drei Vektoren eine gute Wahl für eine mögliche Basis.
Dennoch muss dies überprüft werden. Dabei gehe ich analog wie bei Aufgabenteil (a) vor:
Zeige zunächst lineare Unabhängigkeit der drei Vektoren.
Dazu muss die Gleichung λ1v 1
+ λ2v2 + λ5v5 = 0 für λ1 , λ2,
λ5
∈Q nur die triviale Lösung
λ1 = λ2 = λ5 = 0 besitzen. Dazu stelle ich die entsprechende Matrix des homogenen linearen
Gleichungssystems auf und löse mit Gauß:
⎛ 1 −2 1⎞ ⎛1 −2 1⎞ ⎛1 −2 1⎞
⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟
−2 1 0 → 0 −3 2 → 0 −3 2
⎜ 0 1 1⎟ ⎜0 1 1⎟ ⎜0 0 5⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
Die letzte Zeile liefert λ
5
= 0 und damit nur die triviale Lösung λ1 = λ2 = λ5 = 0 .
Die Vektoren sind also linear unabhängig.
Um zu zeigen, dass auch ein Erzeugendensystem vorliegt, muss gezeigt werden, dass sich ein
beliebiger Vektor v : = ( a, b, c) ∈Q ³ aus den vier Vektoren v1 , v2,
v
5
linear erzeugen lässt.
Dazu stelle ich das inhomogene lineare Gleichungssystem λ1v 1
+ λ2v2 + λ5v5
= v in eine Matrix
dar und löse es entsprechend mit dem Gauß-Eliminationsverfahren.
⎛ 1 −2 1 a ⎞ ⎛1 −2 1 a ⎞ ⎛1 −2 1 a ⎞
⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎜ −2 1 0 b ⎟ → ⎜0 − 3 2 2a + b⎟ → ⎜ 0 − 3 2 2a + b ⎟
⎜ 0 1 1 c ⎟ ⎜0 1 1 c ⎟ ⎜ 0 0 5 2a + b + 3c
⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
Es ist offensichtlich, dass sich ein beliebiger Vektor also eindeutig aus den drei Vektoren
v , v , v linear erzeugen lässt. Damit liegt ein Erzeugendensystem vor. Mit der obigen
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Untersuchung auf lineare Unabhängigkeit, ist nun gezeigt, dass die Vektoren v1 , v2,
v
5
eine
Basis bilden.
Auch hier gilt: Dieser Untersuchung auf ein mögliches Erzeugendensystem ist nicht
notwendig, da wir schon drei linear unabhängige Vektoren im drei-dimensionalen
Vektorraum ausgemacht haben, und diese automatisch ein Erzeugendensystem und damit
eine Basis bilden.
Stand: 7. Februar 2008

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Anwendung des Basisergänzungs- und Basisauswahlsatzes, Autor: Florian Modler
(florian.modler@stud.uni-hannover.de , http://www.stud.uni-hannover.de/~fmodler/ )
Anmerkung: Es ist natürlich nicht von vornerein klar, dass sich unter irgendeinem beliebigen
Vektoren auch eine Basis befindet. Dennoch kann man es ja mal ausprobieren und eventuell
Glück haben. Aber man muss auch dazu sagen, dass diese Aufgabe natürlich so konzipiert
wurde, da sie sonst keinen Sinn macht.
Stand: 7. Februar 2008