Anwendungen des Basisergänzungs- und Basisauswahlsatzes

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Anwendung des Basisergänzungs- und Basisauswahlsatzes, Autor: Florian Modler
(florian.modler@stud.uni-hannover.de , http://www.stud.uni-hannover.de/~fmodler/ )
Anwendungen des Basisergänzungssatzes:
(a) Die Vektoren v 1
: = (1, − 2,0,3) und v
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: = ( −2, − 4,1,1) sollen zu einer Basis des Vektorraums
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Q ergänzt werden.
Dafür ist es sinnvoll, zwei Einheitsvektoren des Vektorraums
beiden Vektoren v : = (1,0,0,0) und v : = (0,1,0,0) hinzu.
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Q zu wählen. Ich füge also die
Prüfe nun, ob diese vier Vektoren eine Basis bildet. Dafür muss überprüft werden, ob ein
linear unabhängiges Erzeugendensystem vorliegt.
Prüfe zunächst die lineare Unabhängigkeit. Dazu zeige ich, dass die Gleichung
λ1v 1
+ λ2v2 + λ3v3 + λ4v4 = 0 für λ1 , λ2, λ3,
λ4
∈Q nur die triviale Lösung λ1 = λ2 = λ3 = λ4 = 0
besitzt. Dazu stelle ich die entsprechende Matrix des homogenen linearen
Gleichungssystems auf und löse mit Gauß:
⎛ 1 −2 1 0⎞
⎜
⎟
⎜
−2 −4 0 1
⎟
⎜ 0 1 0 0⎟
⎜
⎟
⎝ 3 1 0 0⎠
O.B.d.A. können die dritte und vierte mit der ersten und zweiten Spalte vertauscht werden.
Es ergibt sich:
⎛ 1 −2 1 0⎞ ⎛1 0 1 −2⎞
⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎜
−2 −4 0 1
⎟
0 1 −2 −4
→ ⎜ ⎟
⎜ 0 1 0 0⎟ ⎜ 0 0 0 1 ⎟
⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝ 3 1 0 0⎠ ⎝ 0 0 3 1 ⎠
Weiterhin kann die dritte und die vierte Zeile vertauscht werden:
⎛ 1 −2 1 0⎞ ⎛1 0 1 −2⎞ ⎛1 0 1 −2⎞
⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎜
−2 −4 0 1
⎟
0 1 −2 −4 0 1 −2 −4
→ ⎜ ⎟ → ⎜ ⎟
⎜ 0 1 0 0⎟ ⎜0 0 0 1 ⎟ ⎜0 0 3 1 ⎟
⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝ 3 1 0 0⎠ ⎝0 0 3 1 ⎠ ⎝0 0 0 1 ⎠
Nun liefert die vierte Zeile λ
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= 0 und damit folgt insgesamt λ1 = λ2 = λ3 = λ4 = 0 .
Also ist das System von Vektoren linear unabhängig.
Um zu zeigen, dass auch ein Erzeugendensystem vorliegt, muss gezeigt werden, dass sich ein
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beliebiger Vektor v : = ( a, b, c, d)
∈Q aus den vier Vektoren v1, v2, v3,
v
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linear erzeugen lässt.
Dazu stelle ich das inhomogene lineare Gleichungssystem λ1v 1
+ λ2v2 + λ3v3 + λ4v4
= v in eine
Matrix dar und löse es entsprechend mit dem Gauß-Eliminationsverfahren.
Stand: 7. Februar 2008