Anwendungen des BasisergÃ¤nzungs- und Basisauswahlsatzes

Weitere Magazine

Empfehlungen

Info

2 Anwendung des Basisergänzungs- und Basisauswahlsatzes, Autor: Florian Modler (florian.modler@stud.uni-hannover.de , http://www.stud.uni-hannover.de/~fmodler/ ) Anwendungen des Basisergänzungssatzes: (a) Die Vektoren v 1 : = (1, − 2,0,3) und v 2 : = ( −2, − 4,1,1) sollen zu einer Basis des Vektorraums 4 Q ergänzt werden. Dafür ist es sinnvoll, zwei Einheitsvektoren des Vektorraums beiden Vektoren v : = (1,0,0,0) und v : = (0,1,0,0) hinzu. 3 4 4 Q zu wählen. Ich füge also die Prüfe nun, ob diese vier Vektoren eine Basis bildet. Dafür muss überprüft werden, ob ein linear unabhängiges Erzeugendensystem vorliegt. Prüfe zunächst die lineare Unabhängigkeit. Dazu zeige ich, dass die Gleichung λ1v 1 + λ2v2 + λ3v3 + λ4v4 = 0 für λ1 , λ2, λ3, λ4 ∈Q nur die triviale Lösung λ1 = λ2 = λ3 = λ4 = 0 besitzt. Dazu stelle ich die entsprechende Matrix des homogenen linearen Gleichungssystems auf und löse mit Gauß: ⎛ 1 −2 1 0⎞ ⎜ ⎟ ⎜ −2 −4 0 1 ⎟ ⎜ 0 1 0 0⎟ ⎜ ⎟ ⎝ 3 1 0 0⎠ O.B.d.A. können die dritte und vierte mit der ersten und zweiten Spalte vertauscht werden. Es ergibt sich: ⎛ 1 −2 1 0⎞ ⎛1 0 1 −2⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ −2 −4 0 1 ⎟ 0 1 −2 −4 → ⎜ ⎟ ⎜ 0 1 0 0⎟ ⎜ 0 0 0 1 ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ 3 1 0 0⎠ ⎝ 0 0 3 1 ⎠ Weiterhin kann die dritte und die vierte Zeile vertauscht werden: ⎛ 1 −2 1 0⎞ ⎛1 0 1 −2⎞ ⎛1 0 1 −2⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ −2 −4 0 1 ⎟ 0 1 −2 −4 0 1 −2 −4 → ⎜ ⎟ → ⎜ ⎟ ⎜ 0 1 0 0⎟ ⎜0 0 0 1 ⎟ ⎜0 0 3 1 ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ 3 1 0 0⎠ ⎝0 0 3 1 ⎠ ⎝0 0 0 1 ⎠ Nun liefert die vierte Zeile λ 4 = 0 und damit folgt insgesamt λ1 = λ2 = λ3 = λ4 = 0 . Also ist das System von Vektoren linear unabhängig. Um zu zeigen, dass auch ein Erzeugendensystem vorliegt, muss gezeigt werden, dass sich ein 4 beliebiger Vektor v : = ( a, b, c, d) ∈Q aus den vier Vektoren v1, v2, v3, v 4 linear erzeugen lässt. Dazu stelle ich das inhomogene lineare Gleichungssystem λ1v 1 + λ2v2 + λ3v3 + λ4v4 = v in eine Matrix dar und löse es entsprechend mit dem Gauß-Eliminationsverfahren. Stand: 7. Februar 2008
3 Anwendung des Basisergänzungs- und Basisauswahlsatzes, Autor: Florian Modler (florian.modler@stud.uni-hannover.de , http://www.stud.uni-hannover.de/~fmodler/ ) Auch hier kann o.B.d.A. gleich folgende Matrix aufgestellt werden: ⎛1 0 1 −2 a ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ 0 1 −2 −4 b ⎟ ⎜ 0 0 3 1 c ⎟ ⎜ 0 0 0 1 d ⎟ ⎝ ⎠ Die letzte Zeile liefert nun λ 4 = d . Entsprechend ermittelt man die anderen Koeffizienten 4 λ1 , λ2, λ 3 . Es ist also gezeigt, dass sich ein beliebiger Vektor v = ( a, b, c, d) ∈Q eindeutig aus den anderen vier Vektoren erzeugen lässt. Damit ist nachgewiesen, dass das ergänzende System mit den Vektoren v1 , v2, v3, v 4 eine Basis bildet. Anmerkung: Es gibt natürlich unendlich viele Möglichkeiten, das System von Vektoren zu einer Basis zu ergänzen, siehe auch Basisergänzungssatz. Natürlich ist die letzte Untersuchung auf ein möglich vorliegendes Erzeugendensystem nicht notwendig, denn vier haben wir lineare unabhängige Vektoren in einem Vektorraum der Dimension 4 gefunden, damit bilden diese automatisch ein Erzeugendensystem und folglich eine Basis. Stand: 7. Februar 2008
Seite 1: ¡¢£¤¥£¤ ¦£§¥¤¡ 1 Anwen
Seite 5: 5 Anwendung des Basisergänzungs- u

Anwendungen des BasisergÃ¤nzungs- und Basisauswahlsatzes

Erfolgreiche ePaper selbst erstellen

Template löschen?

Als Template speichern?