Anwendungen des Basisergänzungs- und Basisauswahlsatzes
Anwendungen des Basisergänzungs- und Basisauswahlsatzes
Anwendungen des Basisergänzungs- und Basisauswahlsatzes
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Anwendung <strong>des</strong> Basisergänzungs- <strong>und</strong> <strong>Basisauswahlsatzes</strong>, Autor: Florian Modler<br />
(florian.modler@stud.uni-hannover.de , http://www.stud.uni-hannover.de/~fmodler/ )<br />
Anwendung <strong>des</strong><br />
Basisergänzungs- <strong>und</strong><br />
<strong>Basisauswahlsatzes</strong><br />
Basisergänzung <strong>und</strong> Basisauswahl<br />
Florian Modler<br />
07.02.2008<br />
In diesem Artikel wollen wir eine „Anwendung“ <strong>des</strong> Basisergänzungssatzes <strong>und</strong> <strong>Basisauswahlsatzes</strong><br />
geben.<br />
Stand: 7. Februar 2008
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Anwendung <strong>des</strong> Basisergänzungs- <strong>und</strong> <strong>Basisauswahlsatzes</strong>, Autor: Florian Modler<br />
(florian.modler@stud.uni-hannover.de , http://www.stud.uni-hannover.de/~fmodler/ )<br />
<strong>Anwendungen</strong> <strong>des</strong> Basisergänzungssatzes:<br />
(a) Die Vektoren v 1<br />
: = (1, − 2,0,3) <strong>und</strong> v<br />
2<br />
: = ( −2, − 4,1,1) sollen zu einer Basis <strong>des</strong> Vektorraums<br />
4<br />
Q ergänzt werden.<br />
Dafür ist es sinnvoll, zwei Einheitsvektoren <strong>des</strong> Vektorraums<br />
beiden Vektoren v : = (1,0,0,0) <strong>und</strong> v : = (0,1,0,0) hinzu.<br />
3 4<br />
4<br />
Q zu wählen. Ich füge also die<br />
Prüfe nun, ob diese vier Vektoren eine Basis bildet. Dafür muss überprüft werden, ob ein<br />
linear unabhängiges Erzeugendensystem vorliegt.<br />
Prüfe zunächst die lineare Unabhängigkeit. Dazu zeige ich, dass die Gleichung<br />
λ1v 1<br />
+ λ2v2 + λ3v3 + λ4v4 = 0 für λ1 , λ2, λ3,<br />
λ4<br />
∈Q nur die triviale Lösung λ1 = λ2 = λ3 = λ4 = 0<br />
besitzt. Dazu stelle ich die entsprechende Matrix <strong>des</strong> homogenen linearen<br />
Gleichungssystems auf <strong>und</strong> löse mit Gauß:<br />
⎛ 1 −2 1 0⎞<br />
⎜<br />
⎟<br />
⎜<br />
−2 −4 0 1<br />
⎟<br />
⎜ 0 1 0 0⎟<br />
⎜<br />
⎟<br />
⎝ 3 1 0 0⎠<br />
O.B.d.A. können die dritte <strong>und</strong> vierte mit der ersten <strong>und</strong> zweiten Spalte vertauscht werden.<br />
Es ergibt sich:<br />
⎛ 1 −2 1 0⎞ ⎛1 0 1 −2⎞<br />
⎜ ⎟ ⎜ ⎟<br />
⎜<br />
−2 −4 0 1<br />
⎟<br />
0 1 −2 −4<br />
→ ⎜ ⎟<br />
⎜ 0 1 0 0⎟ ⎜ 0 0 0 1 ⎟<br />
⎜ ⎟ ⎜ ⎟<br />
⎝ 3 1 0 0⎠ ⎝ 0 0 3 1 ⎠<br />
Weiterhin kann die dritte <strong>und</strong> die vierte Zeile vertauscht werden:<br />
⎛ 1 −2 1 0⎞ ⎛1 0 1 −2⎞ ⎛1 0 1 −2⎞<br />
⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟<br />
⎜<br />
−2 −4 0 1<br />
⎟<br />
0 1 −2 −4 0 1 −2 −4<br />
→ ⎜ ⎟ → ⎜ ⎟<br />
⎜ 0 1 0 0⎟ ⎜0 0 0 1 ⎟ ⎜0 0 3 1 ⎟<br />
⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟<br />
⎝ 3 1 0 0⎠ ⎝0 0 3 1 ⎠ ⎝0 0 0 1 ⎠<br />
Nun liefert die vierte Zeile λ<br />
4<br />
= 0 <strong>und</strong> damit folgt insgesamt λ1 = λ2 = λ3 = λ4 = 0 .<br />
Also ist das System von Vektoren linear unabhängig.<br />
Um zu zeigen, dass auch ein Erzeugendensystem vorliegt, muss gezeigt werden, dass sich ein<br />
4<br />
beliebiger Vektor v : = ( a, b, c, d)<br />
∈Q aus den vier Vektoren v1, v2, v3,<br />
v<br />
4<br />
linear erzeugen lässt.<br />
Dazu stelle ich das inhomogene lineare Gleichungssystem λ1v 1<br />
+ λ2v2 + λ3v3 + λ4v4<br />
= v in eine<br />
Matrix dar <strong>und</strong> löse es entsprechend mit dem Gauß-Eliminationsverfahren.<br />
Stand: 7. Februar 2008
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Anwendung <strong>des</strong> Basisergänzungs- <strong>und</strong> <strong>Basisauswahlsatzes</strong>, Autor: Florian Modler<br />
(florian.modler@stud.uni-hannover.de , http://www.stud.uni-hannover.de/~fmodler/ )<br />
Auch hier kann o.B.d.A. gleich folgende Matrix aufgestellt werden:<br />
⎛1 0 1 −2<br />
a ⎞<br />
⎜<br />
⎟<br />
⎜ 0 1 −2 −4<br />
b ⎟<br />
⎜ 0 0 3 1 c ⎟<br />
⎜<br />
0 0 0 1 d ⎟<br />
⎝<br />
⎠<br />
Die letzte Zeile liefert nun λ<br />
4<br />
= d . Entsprechend ermittelt man die anderen Koeffizienten<br />
4<br />
λ1 , λ2,<br />
λ<br />
3<br />
. Es ist also gezeigt, dass sich ein beliebiger Vektor v = ( a, b, c, d)<br />
∈Q eindeutig aus<br />
den anderen vier Vektoren erzeugen lässt. Damit ist nachgewiesen, dass das ergänzende<br />
System mit den Vektoren v1 , v2, v3,<br />
v<br />
4<br />
eine Basis bildet.<br />
Anmerkung: Es gibt natürlich unendlich viele Möglichkeiten, das System von Vektoren zu<br />
einer Basis zu ergänzen, siehe auch Basisergänzungssatz.<br />
Natürlich ist die letzte Untersuchung auf ein möglich vorliegen<strong>des</strong> Erzeugendensystem nicht<br />
notwendig, denn vier haben wir lineare unabhängige Vektoren in einem Vektorraum der<br />
Dimension 4 gef<strong>und</strong>en, damit bilden diese automatisch ein Erzeugendensystem <strong>und</strong> folglich<br />
eine Basis.<br />
Stand: 7. Februar 2008
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Anwendung <strong>des</strong> Basisergänzungs- <strong>und</strong> <strong>Basisauswahlsatzes</strong>, Autor: Florian Modler<br />
(florian.modler@stud.uni-hannover.de , http://www.stud.uni-hannover.de/~fmodler/ )<br />
<strong>Anwendungen</strong> <strong>des</strong> <strong>Basisauswahlsatzes</strong>:<br />
(b) Aus den vorgegebenen fünf Vektoren<br />
v : = (1, − 2,0), v : = ( − 2,1,1), v : = ( −1, − 1,1), v : = ( − 5,1,3), v : = (1,0,1) wähle ich die Vektoren<br />
1 2 3 4 5<br />
v , v , v aus <strong>und</strong> zeige, dass diese eine Basis vom Vektorraum Q ³ bilden.<br />
1 2 5<br />
Kurze Begründung, warum man gerade diese Vektoren verwenden sollte:<br />
Wenn man sich die fünf Vektoren anschaut, dann stellt man fest, dass die Summe von v<br />
1<br />
<strong>und</strong><br />
v<br />
2<br />
den Vektor v<br />
3<br />
ergibt. Also wären diese drei Vektoren schon auf jeden Fall linear<br />
abhängig, da sich der eine linear aus den anderen kombinieren lässt. Dieses System von<br />
Vektoren würde also keine Basis bilden.<br />
Und mit einem Blick sieht man, dass die Vektoren v1 , v2,<br />
v<br />
5<br />
sich nicht linear gegenseitig<br />
erzeugen lassen, also sind diese drei Vektoren eine gute Wahl für eine mögliche Basis.<br />
Dennoch muss dies überprüft werden. Dabei gehe ich analog wie bei Aufgabenteil (a) vor:<br />
Zeige zunächst lineare Unabhängigkeit der drei Vektoren.<br />
Dazu muss die Gleichung λ1v 1<br />
+ λ2v2 + λ5v5 = 0 für λ1 , λ2,<br />
λ5<br />
∈Q nur die triviale Lösung<br />
λ1 = λ2 = λ5 = 0 besitzen. Dazu stelle ich die entsprechende Matrix <strong>des</strong> homogenen linearen<br />
Gleichungssystems auf <strong>und</strong> löse mit Gauß:<br />
⎛ 1 −2 1⎞ ⎛1 −2 1⎞ ⎛1 −2 1⎞<br />
⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟<br />
−2 1 0 → 0 −3 2 → 0 −3 2<br />
⎜ 0 1 1⎟ ⎜0 1 1⎟ ⎜0 0 5⎟<br />
⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠<br />
Die letzte Zeile liefert λ<br />
5<br />
= 0 <strong>und</strong> damit nur die triviale Lösung λ1 = λ2 = λ5 = 0 .<br />
Die Vektoren sind also linear unabhängig.<br />
Um zu zeigen, dass auch ein Erzeugendensystem vorliegt, muss gezeigt werden, dass sich ein<br />
beliebiger Vektor v : = ( a, b, c) ∈Q ³ aus den vier Vektoren v1 , v2,<br />
v<br />
5<br />
linear erzeugen lässt.<br />
Dazu stelle ich das inhomogene lineare Gleichungssystem λ1v 1<br />
+ λ2v2 + λ5v5<br />
= v in eine Matrix<br />
dar <strong>und</strong> löse es entsprechend mit dem Gauß-Eliminationsverfahren.<br />
⎛ 1 −2 1 a ⎞ ⎛1 −2 1 a ⎞ ⎛1 −2 1 a ⎞<br />
⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟<br />
⎜ −2 1 0 b ⎟ → ⎜0 − 3 2 2a + b⎟ → ⎜ 0 − 3 2 2a + b ⎟<br />
⎜ 0 1 1 c ⎟ ⎜0 1 1 c ⎟ ⎜ 0 0 5 2a + b + 3c<br />
⎟<br />
⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠<br />
Es ist offensichtlich, dass sich ein beliebiger Vektor also eindeutig aus den drei Vektoren<br />
v , v , v linear erzeugen lässt. Damit liegt ein Erzeugendensystem vor. Mit der obigen<br />
1 2 5<br />
Untersuchung auf lineare Unabhängigkeit, ist nun gezeigt, dass die Vektoren v1 , v2,<br />
v<br />
5<br />
eine<br />
Basis bilden.<br />
Auch hier gilt: Dieser Untersuchung auf ein mögliches Erzeugendensystem ist nicht<br />
notwendig, da wir schon drei linear unabhängige Vektoren im drei-dimensionalen<br />
Vektorraum ausgemacht haben, <strong>und</strong> diese automatisch ein Erzeugendensystem <strong>und</strong> damit<br />
eine Basis bilden.<br />
Stand: 7. Februar 2008
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Anwendung <strong>des</strong> Basisergänzungs- <strong>und</strong> <strong>Basisauswahlsatzes</strong>, Autor: Florian Modler<br />
(florian.modler@stud.uni-hannover.de , http://www.stud.uni-hannover.de/~fmodler/ )<br />
Anmerkung: Es ist natürlich nicht von vornerein klar, dass sich unter irgendeinem beliebigen<br />
Vektoren auch eine Basis befindet. Dennoch kann man es ja mal ausprobieren <strong>und</strong> eventuell<br />
Glück haben. Aber man muss auch dazu sagen, dass diese Aufgabe natürlich so konzipiert<br />
wurde, da sie sonst keinen Sinn macht.<br />
Stand: 7. Februar 2008