Anwendungen des Basisergänzungs- und Basisauswahlsatzes

4
Anwendung des Basisergänzungs- und Basisauswahlsatzes, Autor: Florian Modler
(florian.modler@stud.uni-hannover.de , http://www.stud.uni-hannover.de/~fmodler/ )
Anwendungen des Basisauswahlsatzes:
(b) Aus den vorgegebenen fünf Vektoren
v : = (1, − 2,0), v : = ( − 2,1,1), v : = ( −1, − 1,1), v : = ( − 5,1,3), v : = (1,0,1) wähle ich die Vektoren
1 2 3 4 5
v , v , v aus und zeige, dass diese eine Basis vom Vektorraum Q ³ bilden.
1 2 5
Kurze Begründung, warum man gerade diese Vektoren verwenden sollte:
Wenn man sich die fünf Vektoren anschaut, dann stellt man fest, dass die Summe von v
1
und
v
2
den Vektor v
3
ergibt. Also wären diese drei Vektoren schon auf jeden Fall linear
abhängig, da sich der eine linear aus den anderen kombinieren lässt. Dieses System von
Vektoren würde also keine Basis bilden.
Und mit einem Blick sieht man, dass die Vektoren v1 , v2,
v
5
sich nicht linear gegenseitig
erzeugen lassen, also sind diese drei Vektoren eine gute Wahl für eine mögliche Basis.
Dennoch muss dies überprüft werden. Dabei gehe ich analog wie bei Aufgabenteil (a) vor:
Zeige zunächst lineare Unabhängigkeit der drei Vektoren.
Dazu muss die Gleichung λ1v 1
+ λ2v2 + λ5v5 = 0 für λ1 , λ2,
λ5
∈Q nur die triviale Lösung
λ1 = λ2 = λ5 = 0 besitzen. Dazu stelle ich die entsprechende Matrix des homogenen linearen
Gleichungssystems auf und löse mit Gauß:
⎛ 1 −2 1⎞ ⎛1 −2 1⎞ ⎛1 −2 1⎞
⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟
−2 1 0 → 0 −3 2 → 0 −3 2
⎜ 0 1 1⎟ ⎜0 1 1⎟ ⎜0 0 5⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
Die letzte Zeile liefert λ
5
= 0 und damit nur die triviale Lösung λ1 = λ2 = λ5 = 0 .
Die Vektoren sind also linear unabhängig.
Um zu zeigen, dass auch ein Erzeugendensystem vorliegt, muss gezeigt werden, dass sich ein
beliebiger Vektor v : = ( a, b, c) ∈Q ³ aus den vier Vektoren v1 , v2,
v
5
linear erzeugen lässt.
Dazu stelle ich das inhomogene lineare Gleichungssystem λ1v 1
+ λ2v2 + λ5v5
= v in eine Matrix
dar und löse es entsprechend mit dem Gauß-Eliminationsverfahren.
⎛ 1 −2 1 a ⎞ ⎛1 −2 1 a ⎞ ⎛1 −2 1 a ⎞
⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎜ −2 1 0 b ⎟ → ⎜0 − 3 2 2a + b⎟ → ⎜ 0 − 3 2 2a + b ⎟
⎜ 0 1 1 c ⎟ ⎜0 1 1 c ⎟ ⎜ 0 0 5 2a + b + 3c
⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
Es ist offensichtlich, dass sich ein beliebiger Vektor also eindeutig aus den drei Vektoren
v , v , v linear erzeugen lässt. Damit liegt ein Erzeugendensystem vor. Mit der obigen
1 2 5
Untersuchung auf lineare Unabhängigkeit, ist nun gezeigt, dass die Vektoren v1 , v2,
v
5
eine
Basis bilden.
Auch hier gilt: Dieser Untersuchung auf ein mögliches Erzeugendensystem ist nicht
notwendig, da wir schon drei linear unabhängige Vektoren im drei-dimensionalen
Vektorraum ausgemacht haben, und diese automatisch ein Erzeugendensystem und damit
eine Basis bilden.
Stand: 7. Februar 2008