Anwendungen des BasisergÃ¤nzungs- und Basisauswahlsatzes

Weitere Magazine

Empfehlungen

Info

4 Anwendung des Basisergänzungs- und Basisauswahlsatzes, Autor: Florian Modler (florian.modler@stud.uni-hannover.de , http://www.stud.uni-hannover.de/~fmodler/ ) Anwendungen des Basisauswahlsatzes: (b) Aus den vorgegebenen fünf Vektoren v : = (1, − 2,0), v : = ( − 2,1,1), v : = ( −1, − 1,1), v : = ( − 5,1,3), v : = (1,0,1) wähle ich die Vektoren 1 2 3 4 5 v , v , v aus und zeige, dass diese eine Basis vom Vektorraum Q ³ bilden. 1 2 5 Kurze Begründung, warum man gerade diese Vektoren verwenden sollte: Wenn man sich die fünf Vektoren anschaut, dann stellt man fest, dass die Summe von v 1 und v 2 den Vektor v 3 ergibt. Also wären diese drei Vektoren schon auf jeden Fall linear abhängig, da sich der eine linear aus den anderen kombinieren lässt. Dieses System von Vektoren würde also keine Basis bilden. Und mit einem Blick sieht man, dass die Vektoren v1 , v2, v 5 sich nicht linear gegenseitig erzeugen lassen, also sind diese drei Vektoren eine gute Wahl für eine mögliche Basis. Dennoch muss dies überprüft werden. Dabei gehe ich analog wie bei Aufgabenteil (a) vor: Zeige zunächst lineare Unabhängigkeit der drei Vektoren. Dazu muss die Gleichung λ1v 1 + λ2v2 + λ5v5 = 0 für λ1 , λ2, λ5 ∈Q nur die triviale Lösung λ1 = λ2 = λ5 = 0 besitzen. Dazu stelle ich die entsprechende Matrix des homogenen linearen Gleichungssystems auf und löse mit Gauß: ⎛ 1 −2 1⎞ ⎛1 −2 1⎞ ⎛1 −2 1⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ −2 1 0 → 0 −3 2 → 0 −3 2 ⎜ 0 1 1⎟ ⎜0 1 1⎟ ⎜0 0 5⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ Die letzte Zeile liefert λ 5 = 0 und damit nur die triviale Lösung λ1 = λ2 = λ5 = 0 . Die Vektoren sind also linear unabhängig. Um zu zeigen, dass auch ein Erzeugendensystem vorliegt, muss gezeigt werden, dass sich ein beliebiger Vektor v : = ( a, b, c) ∈Q ³ aus den vier Vektoren v1 , v2, v 5 linear erzeugen lässt. Dazu stelle ich das inhomogene lineare Gleichungssystem λ1v 1 + λ2v2 + λ5v5 = v in eine Matrix dar und löse es entsprechend mit dem Gauß-Eliminationsverfahren. ⎛ 1 −2 1 a ⎞ ⎛1 −2 1 a ⎞ ⎛1 −2 1 a ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ −2 1 0 b ⎟ → ⎜0 − 3 2 2a + b⎟ → ⎜ 0 − 3 2 2a + b ⎟ ⎜ 0 1 1 c ⎟ ⎜0 1 1 c ⎟ ⎜ 0 0 5 2a + b + 3c ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ Es ist offensichtlich, dass sich ein beliebiger Vektor also eindeutig aus den drei Vektoren v , v , v linear erzeugen lässt. Damit liegt ein Erzeugendensystem vor. Mit der obigen 1 2 5 Untersuchung auf lineare Unabhängigkeit, ist nun gezeigt, dass die Vektoren v1 , v2, v 5 eine Basis bilden. Auch hier gilt: Dieser Untersuchung auf ein mögliches Erzeugendensystem ist nicht notwendig, da wir schon drei linear unabhängige Vektoren im drei-dimensionalen Vektorraum ausgemacht haben, und diese automatisch ein Erzeugendensystem und damit eine Basis bilden. Stand: 7. Februar 2008
5 Anwendung des Basisergänzungs- und Basisauswahlsatzes, Autor: Florian Modler (florian.modler@stud.uni-hannover.de , http://www.stud.uni-hannover.de/~fmodler/ ) Anmerkung: Es ist natürlich nicht von vornerein klar, dass sich unter irgendeinem beliebigen Vektoren auch eine Basis befindet. Dennoch kann man es ja mal ausprobieren und eventuell Glück haben. Aber man muss auch dazu sagen, dass diese Aufgabe natürlich so konzipiert wurde, da sie sonst keinen Sinn macht. Stand: 7. Februar 2008
Seite 1 und 2: ¡¢£¤¥£¤ ¦£§¥¤¡ 1 Anwen
Seite 3: 3 Anwendung des Basisergänzungs- u

Anwendungen des BasisergÃ¤nzungs- und Basisauswahlsatzes

Erfolgreiche ePaper selbst erstellen

Template löschen?

Als Template speichern?