Download - FWF

START-Preisträger 2013
CLEMENS HEITZINGER
PARTIELLE DIFFERENTIALGLEICHUNGEN FÜR DIE
NANOTECHNOLOGIE
Das Ziel dieses Projekts ist es, mathematische Modelle und Simulationswerkzeuge für neue
Anwendungen in der Nanotechnologie zu entwickeln. In den letzten Jahren haben führende
Experimentalwissenschaftler Nanodrähte für die Detektion von Bio- und Gasmolekülen verwendet,
sie haben Nanoporen für die nächste Generation der DNA-Sequenzierung untersucht und sie haben
Metamaterialien mit neuen Eigenschaften hergestellt. Allerdings wurden diese Errungenschaften
nicht von theoretischem Verständnis begleitet. Daher ist das Ziel dieses Projekts, deterministische
und stochastische Differentialgleichungen und Systeme davon zu verwenden um neue Bauelemente
zu modellieren, mathematische Eigenschaften dieser Gleichungen und Systeme zu beweisen und
effiziente numerische Algorithmen für realistische Simulationen zu entwickeln.
Die Anwendungen führen zu neuen Modellgleichungen und -systemen und daher auch zu neuen
mathematischen Problemen zum Beispiel die Existenz, die Eindeutigkeit und die Glattheit der
Lösungen betreffend. Gleichzeitig ist unser Ziel, quantitatives Verständnis für diese aktuellen und
relevanten Anwendungen zur Verfügung zu stellen. Quantitatives Verständnis ermöglicht besseres
Design und unterstützt die Entwicklung von neuen Technologien.
Partielle Differentialgleichungen gehören zu den wichtigsten und grundlegendsten Modellen in den
Wissenschaften. Einfach gesagt sind sie Gleichungen, die die Abhängigkeiten zwischen den
Ableitungen von Funktionen von zwei oder mehr Variablen beschreiben. Die Schönheit der
Mathematik besteht darin, daß solche mathematische Modelle sehr abstrakt sind, und daher ist
eine Gleichung oder ein System von Gleichungen oft für viele Anwendungen relevant. Ein wichtiger
Teil dieses Projekts ist über die Berechnung von Mittelwerten hinauszugehen indem stochastische
partielle Differentialgleichungen verwendet werden, das heißt, daß die Modellgleichungen zufällige
Effekte miteinschließen.
Zu den Anwendungen zählen Nanodraht-Biosensoren und Nanodraht-Gassensoren, Nanoporen,
nanostrukturierte Materialen wie zum Beispiel Metamaterialien, Materialien mit zufälliger Struktur,
usw. Die Anwendungen sind relevant, weil sie an der Front der Forschung sind und konkrete
Auswirkungen auf Gesundheitswesen und Lebensqualität haben. Nanodraht-Sensoren ermöglichen
die Detektion von winzigen Mengen von giftigen Gasen, von Molekülen in der Atemluft und von
Tumormarkern in Blut. Nanoporen gelten als eine Basistechnologie für die nächste Generation der
DNA-Sequenzierung. Nanostrukturierte und zufällige Metamaterialen sind künstliche Materialien, die
zum Beispiel die Effizienz von Solarzellen verbessern können.
Es gibt internationale Kooperationspartner an der Arizona State University, an der Universität von
Cambridge, an der Columbia University, an der Stanford University, in Toulouse, und an der Yale
University.