2 Der Kristall als Kontinuum (Morphologie)

A. N. Danilewsky 15
Inhalt von Kapitel 2
2 Der Kristall als Kontinuum (Morphologie)...................................................................... 16
2.1 Korrespondenz von Kristallstruktur und Morphologie ................................................ 16
2.1.1 Definition ............................................................................................................. 16
2.1.2 Ebene Begrenzungsflächen .................................................................................. 17
2.1.3 Kristallwachstum.................................................................................................. 18
2.2 Gesetzmäßigkeiten und Darstellung............................................................................. 21
2.2.1 Polyeder – Gesetze............................................................................................... 21
2.2.2 Form ..................................................................................................................... 22
2.2.3 Tracht ................................................................................................................... 22
2.2.4 Habitus ................................................................................................................. 22
2.2.5 Gesetz der Winkelkonstanz.................................................................................. 24
2.2.6 Rationalitätsgesetz................................................................................................ 26
2.2.7 Zonengesetze........................................................................................................ 27

16
Kristallographie I
2 Der Kristall als Kontinuum (Morphologie)
Flächen und Kanten, die einen Kristall begrenzen, bestimmen seine Morphologie
2.1 Korrespondenz von Kristallstruktur und Morphologie
2.1.1 Definition
Beispiel Bleiglanz, PbS (Abb. 2.1.1):
(a) Positionen der Gitterpunkte
(b) Niedrig indizierte Flächen
(c) {100} Fläche mit Pb- und S - Bausteinen
Abb. 2.1. 1: Beispiel Bleiglanz

A. N. Danilewsky 17
• Jede begrenzende Kristallfläche verläuft parallel zu einer Schar von Netzebenen
• Jede Kristallkante verläuft parallel zu einer Schar von Gittergeraden.
Folglich werden
• Kristallflächen ebenfalls durch die Millerschen Indizes (hkl) und
• Kanten durch [uvw] festgelegt.
2.1.2 Ebene Begrenzungsflächen
Wenn ein Kristall ungehindert wachsen kann, bildet er ebene Begrenzungsflächen aus.
Oberflächen sind wie Ebenen des Kristallgitters mit Teilchen belegt. Der Abbruch der idealen
Struktur macht jedoch eine (geringe) Neuorientierung der Bausteine notwendig:
Oberflächenrekonstruktion (Abb.2.1.2). Eine stabile Kristallfläche ist chemisch neutral.
Abb. 2.1. 2: Si (111) Oberfläche 7x7 im STM [Müssig]
Kristallflächen stehen konvex zueinander, d.h. sie bilden keine einspringenden Winkel.
idiomorph:
eigengestaltig, Kristallflächen sind vorhanden
xenomorph: fremdgestaltig, keine Kristallflächen

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Kristallographie I
2.1.3 Kristallwachstum
Die Morphologie eines Kristalls entsteht durch das Kristallwachstum. Aus einer Nährphase
(flüssig, gasförmig, fest) entsteht - meist durch Abkühlung – eine Abweichung vom
thermodynamischen Gleichgewicht: Übersättigung.
Ein Kristall entsteht in 2 Phasen:
1. Keimbildung: wenige Bausteine lagern sich zu einer dreidimensional periodischen
Anordnung zusammen, der bereits ebene Begrenzungsflächen besitzt. Hierfür
wird eine Keimbildungsenergie ∆E benötigt. Die Kantenlänge eines Keimes
beträgt nur wenige Gittertranslationen (meist < 100 nm) (Abb. 2.1.4 a,b)
2. Wachstum: ist ein Keim gebildet, wird die Anlagerung weiterer Bausteine thermodynamisch
begünstigt. Neue Teilchen lagern sich entsprechend der Periodizität
auf den Flächen an (Abb. 2.4 c). Es bilden sich Netzebenen (Abb. 2.1.4 c,d). Es
wird die Kristallisationsenergie ∆E frei (Abb. 2.1.3)
E
∆ E
Kristall
Glas
T S
T
Abb. 2.1. 3: Schematisches Schmelz- bzw. Erstarrungs-Diagramm

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Abb. 2.1. 4: Keimbildung und Kristallwachstum
Das Wachstum eines Kristalls ist gekennzeichnet durch die Parallelverschiebung der Flächen
des Keimes. Im Gegensatz zu biologischem Wachstum (Zellteilung) ist hierfür der Antransport
von Bausteinen notwendig.
Die Wachstumsgeschwindigkeit (= Geschwindigkeit der Parallelverschiebung einer Fläche)
ist für unterschiedliche Flächen verschieden und eine typische anisotrope Größe.
Beispiel:
(a) Wachstum durch Parallelverschiebung der Flächen, z. B. Quarz (Abb2.1.5)
(b) Geringe Unterschiede der Wachstumsraten v r 1 und v r 2
(c) Große Unterschiede der Wachstumsraten v r 1 und v r 2

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Kristallographie I
a)
b) v 1 ≈ v 2
c) v 1 < v 2
Abb. 2.1. 5: Beispiel Quarz für Kristallwachstum
=> es dominieren die am langsamsten wachsenden Kristallflächen !

A. N. Danilewsky 21
2.2 Gesetzmäßigkeiten und Darstellung
Kristalle bilden geschlossene Körper, die sich meist auf reguläre Polyeder zurückführen
lassen
2.2.1 Polyeder – Gesetze
Es gilt die Eulersche Beziehung ("Eulersche Polyeder – Gesetze"):
F + E = K + 2
mit:
F = Zahl der Flächen
E = Zahl der Ecken
K = Zahl der Kanten
weiterhin gilt an einem regulären Polyeder für Flächen und Kanten folgende Beziehung:
f n
4p
=
[4 − (2 − n) (2 − p)]
mit:
f n = Zahl der Polyederflächen
p = Zahl der Kanten, die sich in einer Ecke treffen
n = Zahl der Kanten einer Fläche
z.B. die Platonschen Körper (Abb. 2.1.1):
p = 3: f 3 = 12/[4 – (-1)(-1)] = 12/3 = 4 Tetraeder (a)
p = 4: f 3 = 16/2 = 8 Oktaeder (c)
p = 5: f 3 = 20/1 = 20 Ikosaeder (e)
p = 3: f 4 = 12/2 = 6 Hexaeder (Würfel) (b)
p = 3: f 5 = 12/1 = 12 Pentagondodekaeder (d)
Abb. 2.2. 1: Platonsche Körper
(a) (b) (c) (d) (e)

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Kristallographie I
2.2.2 Form
Alle zusammengehörigen Flächen, die an einem Kristall auftreten, bilden eine Form {hkl}.
Beispiel Abb.2.1.1:
Die Einzelflächen
(100), (010), (001), ( 1 00), (0 1 0), (00 1 )
bilden die Form des Würfels {100},
(111), (11 1 ), (1 1 1), (1 1 1 ), ( 1 1 1 ), ( 1 11), ( 1 1 1), ( 1 1 1 )
bilden die Form des Oktaeders {111},
(110), (011), (101), (10 1 ), (1 1 0), ( 1 10), usw.
bilden die Form des Rhombendodekaeders {110}.
Würfel, Oktaeder, Rhombendodekaeder sind geschlossene Formen,
Prismen, Pinakoide sind offene Formen (verg. Abb. 2.2.2)
2.2.3 Tracht
Ein Kristallindividuum kann durch eine einzige Form oder durch eine Kombination mehrerer
Formen begrenzt sein. Die Gesamtheit der an einem Kristall entwickelten Formen bildet die
Tracht.
Beispiel Abb. 2.1.1:
Bleiglanz in der Kombination von
Würfel {100}, Oktaeder {111} und Rhombendodekaeder {110}.
2.2.4 Habitus
Der Habitus beschreibt das relative Größenverhältnis der auftretenden Formen. Man
unterscheidet isometrisch, tafelig (planar), nadelig (prismatisch) (Abb2.2.2).

A. N. Danilewsky 23
Zwei Kristallindividuen können bei gleicher Tracht einen unterschiedlichen Habitus
aufweisen.
Abb. 2.2. 2: Habitus (a) isometrisch (b) tafelig (c) nadelig
Beispiel Bleiglanz Abb. 2.2.3:
Tracht: Kombination jeweils aus Würfel {100}, Oktaeder {111},
Rhombendodekaeder {110}
Habitus: a) Oktaederisch {111}
b) Rhombendodekaedrisch {110}
c) Würfelig {100}
Abb. 2.2. 3: Habitus isometrisch, Dominanz von (a) {111} (b) {110} (c) {100}

24
Kristallographie I
2.2.5 Gesetz der Winkelkonstanz
Die Flächen einer Kristallform können durch ein von außen gestörtes Wachstum
unterschiedlich ausgebildet sein (Abb. 2.2.4, Abb. 2.2.5):
Abb. 2.2. 4: Auswirkung unterschiedlicher Wachstumsraten
von Flächen
Eine Parallelverschiebung der Netzebenen ändert jedoch nicht die Winkel zueinander, es
werden zwischen gleichwertigen Flächen immer die gleichen Winkel gemessen, d.h. auch die
Winkel zwischen den Flächennormalen sind gleich:
Abb. 2.2. 5: Unterschiedlich ausgebildete Flächen bei Quarz

A. N. Danilewsky 25
Gesetz der Winkelkonstanz:
Nicolaus Steno – Niels Stensen – 1669 Florenz: "Dissertationis Prodromus"
Alle zu derselben Kristallart gehörenden Einzelkristalle schließen zwischen analogen
Flächen bei gleichem Druck, Temperatur und chemischer Zusammensetzung stets gleich
Winkel ein.
Dies folgt direkt aus dem Raumgitterbau der Kristalle:
Begrenzungsflächen des ungestört gewachsenen Kristalls entsprechen Netzebenen des
Raumgitters, vorzugsweise
- Netzebenen, die möglichst dicht mit Teilchen besetzt sind und
- möglichst wenig freie chemische Valenzen aufweisen
Die Winkel zwischen den Flächen bzw. ihren Flächennormalen sind somit
Materialkonstanten, die zur Identifizierung und Charakterisierung verwendet werden können
(Abb. 2.2.7).
Abb. 2.2. 6: Beziehung Flächenwinkel α
und Normalenwinkel 180° - α
Abb. 2.2. 7: Anlegegoniometer
Methoden:
Anlegegoniometer: direkte Winkelmessung bei hinreichend großen Kristallen
Messgenauigkeit ±1/2 Grad (Abb. 2.2.6)
Reflexionsgoniometer: verwendet werden Lichtreflexe der Kristallflächen (2.2.8)
Bauweise als Ein- oder Zweikreisgoniometer (Abb. 2.2.9)
Messgenauigkeit ±1/2 Minute

26
Kristallographie I
Abb. 2.2. 8: Prinzip Reflexionsgoniometer
Abb. 2.2. 9: Ein- und Zweikreisreflexionsgoniometer
2.2.6 Rationalitätsgesetz
Mathematisch wird eine Fläche durch 3 Punkte im Raum oder durch 1 Gerade und 1 Punkt
oder durch 1 Parallelfläche mit gegebenem Abstand festgelegt.
Zum Vergleich der an einer Kristallart auftretenden Flächen werden die Einzelkristalle
zunächst einheitlich orientiert und auf ein gemeinsames Koordinatensystem, also das
Kristallsystem, bezogen.

A. N. Danilewsky 27
Die morphologische Vermessung von Kristallen liefert nur die relativen Achsenlängen
a : b : c. Die absoluten Gitterkonstanten a, b , c können röntgenographisch ermittelt werden.
Hat man aus den morphologischen Winkelmessungen oder röntgenographisch das Verhältnis
a : b : c und das Kristallsystem ermittelt, lassen sich alle weiteren an Einkristallen derselben
Kristallart beobachtbaren Flächen im Verhältnis ganzzahliger rationaler Koeffizienten
(Weiss) bzw. deren Kehrwerte (Millersche Indizes) auf dieses Achsenverhältnis beziehen.
Es gilt ebenfalls die Rationalität der Kanten :
Eine Kante [uvw] entsteht als Schnittgerade zweier Ebenen (h 1 k 1 l 1 ) und (h 2 k 2 l 2 ).
Sie wird so verschoben, daß sie durch den Ursprung 000 geht. Der 2. Punkt wird dann durch
die Angabe von [ua, vb, wc] erhalten, mit u,v,w einfache ganze Zahlen und a,b,c entweder die
relativen Achsenlängen (morphologisch bestimmt) bzw. die Gitterkonstanten
(röntgenographisch) darstellen.
2.2.7 Zonengesetze
Zu einer Geraden [uvw] können mehrere Flächen (hkl) parallel sein. Z. B. die Prismenflächen
in Abb. 2.7 und 2.15 schneiden sich in Kanten, die alle parallel zur c-Achse verlaufen. Sie
bilden nach Weiss eine Zone mit der gemeinsamen Richtung oder Zonenachse [uvw], in
Abb.2.2.2 und 2.2.10 also [001].
Flächen, oder Netzebenen die einer Zone angehören, heißen tautozonal.
Abb. 2.2. 10: Zonenbeziehung

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Kristallographie I
Wenn Gerade und Ebene parallel zueinander verlaufen besteht zwischen [uvw] und (hkl) die
folgende Beziehung:
aus der analytischen Geometrie:
Achsenabschnittsgleichung einer Ebene
X/m + Y/n + Z/p = 1
mit: X,Y,Z = Koordinaten beliebiger Punkte in einer Ebene mit den Achsenabschnitten m,n,p
mit h ~ 1/m k ~ 1/n l ~ 1/p
erhält man für eine Netzebenenschar:
hX + kY + lZ = C
Die Konstante C beschreibt die Verschiebung einer Netzebene relativ zum Ursprung. Für eine
Netzebene durch den Ursprung 000 wird C = 0
hX + kY + lZ = 0
Bei einer Netzebene, die den Ursprung schneidet, geben die Punktkoordinaten X,Y,Z die
Richtung für eine Gittergerade [uvw] durch den Ursprung an.
Es folgt hieraus die Zonengleichung:
hu + kv + lz = 0

A. N. Danilewsky 29
Anwendung der Zonengleichung:
1. Berechnung der Schnittgeraden [uvw] zweier Ebenen (h 1 k 1 l 1 ) und (h 2 k 2 l 2 )
g r
Abb. 2.2. 11: Schnittgerade [uvw] zweier Ebenen (hkl)
Die Gerade [uvw] (Abb. 2.16) wird festgelegt durch den Vektor g r als Vektorprodukt der
beiden Flächennormalen n v 1
und n r 2 der Flächen (h 1 k 1 l 1 ) und (h 2 k 2 l 2 ):
r r r
g = n1 X n 2
mit der Lösung als Vektordeterminante im Koordinatensystem a r , b r , c r :
r r r
a b c
r r r
g = n1 X n 2 = h1
k1
l1
h2
k2
l2
= a r (k 1 l 2 – k 2 l 1 ) – b r (h 1 l 2 – h 2 l 1 ) + c r (h 1 k 2 – h 2 k 1 )
= u a r + v b r + w c r
Analog ergibt Einsetzen in die Zonengleichung:
h 1 u + k 1 v + l 1 w = 0
h 2 u + k 2 v + l 2 w = 0

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Kristallographie I
und Auflösung des Gleichungssystems ebenfalls mit Hilfe des Determinantenschemas:
bzw. Anwendung der Sarruschen Regel:
2. Berechnung der Ebene (hkl), die durch 2 Geraden [u 1 v 1 w 1 ] und [u 2 v 2 w 2 ] aufgespannt
wird
Umgekehrt läßt sich analog die Ebene (hkl) berechnen, die durch 2 Geraden [u 1 v 1 w 1 ] und
[u 2 v 2 w 2 ] aufgespannt wird:

A. N. Danilewsky 31
bzw. nach der Sarruschen Regel:
Beispiel:
a) Welcher Zone gehören beim Bleiglanz die Flächen (100) und (010) an ?
1 0
0
1
0 0
0 1
0
0
1
0
0 0 1
=> [001] "Zone der c-Achse"
b) Welcher gemeinsamen Ebene gehören die beiden Geraden [110] und [211] an ?
1 1
0
1
1 0
2 1
1
2
1 1
1 1 1
=> (1 1 1)
Komplikationsregel:
Aus zwei Flächen (h 1 k 1 l 1 ) und (h 2 k 2 l 2 ) erhält man gemäß der Zonengleichung durch Addition
der Indizes oder ihrer Vielfachen stets neue Flächen (h 1 + h 2 k 1 + k 2 l 1 + l 2 ), die mit den
ursprünglichen in einer Zone liegen.