1. ¨Ubungsblatt zur Analysis 3 (Lösungshinweise) - Aufgaben

� h
v(R(h, r)) =
von r.
−h
�
� � h
2 2 2 2
(r − z ) − (r − h ) π dz = 2
0
(h 2 − z 2 )dz = 4
3 h3 π. Man beachte die Unabhängigkeit
b) T (r, R) := {(x, y, z) ∈ R 3 : ( � x 2 + y 2 − R) 2 + z 2 ≤ r 2 } , 0 < r ≤ R , (Torus) .
Auch hier schneidet die Ebene z = c, −r < c < r den Torus in einem Kreisring mit den Radien r 2 1,2(z) =
(R ± √ r 2 − z 2 ) 2 :
� r
v(T (r, R)) = 2 (r 2 1 − r 2 � r �
2)π dz = 8Rπ r2 − z2 2 2
dz = 2r Rπ .
0
c) Ellipsoide die durch Rotation der Ellipse x2
a
0
2 + y2
= 1 um die x bzw. y-Achse entstehen.
b2 Wir verwenden HA8 - a, b > 0.
(i) Rotation um die x-Achse. Die lineare Abbildung (x, y, z) ↦→ ( b
ax, y, z) führt unser Ellipsoid E1 in die
Kugel Ub(0) über mit dem Volumen 4
3b3π. Also: v(E1) = 4
3b3π a
b
= 4
3 ab2 π.
(ii)Rotation um die y-Achse. Wie in (i) mit der Abb. (x, y, z) ↦→ (x, y, a
b z) ⇒ λ(E2) = 4
3 a2 bπ.
Aufgabe 19 (10 Punkte) Knacki - Satz von Tonelli
Sei f : Q := [a, b] × [c, d] → R eine messbare Funktion. Es existiere mindestens eines der beiden iterierten
”
Integrale“
� �
b � �
d
� �
d � �
b
|f(x, y)| dy dx ,
|f(x, y)| dx dy .
a
c
Man zeige die Existenz und Gleichheit der iterierten Integrale
� �
b � d
�
� �
d � b
�
f(x, y) dy dx ,
f(x, y) dx dy .
a
c
Beweis: Mit f ist auch |f| messbar. Zu jedem n ∈ N sei nun fn := min(n, |f|). Diese Funktionen sind
messbar und nach Satz 7.2 integrierbar, da fn ≤ n 1Q. Ferner gilt fn ↑v f. Der Satz von Fubini liefert nun
�
� �
b � d
� � �
b � d
�
fn(x, y) d(x, y) = fn(x, y) dy dx ≤ |f(x, y)| dy dx .
Q
a
c
Setzt man die Existenz des letzten Integrals voraus, so ergibt sich die Beschränktheit der Integralfolge ( �
Q fn)
woraus nach B. Levi die Integrierbarkeit von |f| und (da f messbar ist) damit auch von f folgt. Die Beh.
folgt nun sofort nach Fubini. ✷
2
c
c
a
a
a
c