1. ¨Ubungsblatt zur Analysis 3 (Lösungshinweise) - Aufgaben

Aufgabe 22 (5 Punkte)
Sei A ⊂ R n eine beschränkte messbare (und damit integrierbare) Menge. Der (geometrische) Schwerpunkt
sA ist definiert durch
sA := 1
v(A)
��
x1 dx, · · · ,
A
�
xn dx
A
�
, x = (x1, · · · , xn) .
Man berechne die Schwerpunkte der Mengen A1 := {(x, y) : 0 ≤ x ≤ π, 0 ≤ y ≤ sin x } und A2 := {(x, y, z) :
z ≥ 0, x 2 + y 2 + z 2 ≤ 1 }.
(i) v(A1) = 2 und �
A1 x d(x, y) = � π
�
x sin x dx = π, 0 A1 y d(x, y) = � π
Man erhält sA1 = (π/2, π/8).
π und mit Kugelkoordinaten
(ii) v(A2) = 2
3
�
A2
z d(x, y, z) =
� 1
Aus Symmetriegründen sA2 = � 0, 0, π
�
4 .
Aufgabe 23 (10 Punkte) 1 Knacki
0
�� �
2π � π/2
r 3 � �
cos ϑ sin ϑ dϑ dϕ
0
0
0 (� sin x
0
dr = π
2
y dy) dx = 1
� π
2 0 sin2 x dx = π
4 .
� π/2
Sei ρ : [R1, R2] ⊂ [0, ∞) → R eine beschränkte integrierbare Funktion und u : R3 → R
u(p) :=
�
ρ(�x�)
dx .
�x − p�
R1≤�x�≤R2
Hierbei sei �x� die euklidische Norm. Man zeige:
� R2
4π
In BR1 (0) ist u konstant und für p �∈ BR2 (0) gilt u(p) = ρ(r)r
�p� R1
2 dr .
Hinweis: Für p = (0, 0, a) ist �x − p� = √ a2 + r2 − 2ar cos ϑ in Kugelkoordinaten.
0
sin ϑ cos ϑ dϑ = π
4 .
Beweis: Die Rotationssymmetrie zeigt u(p) = u(0, 0, �p�) =: v(�p�). Mit �p� = a > 0 und v(a) := u(0, 0, a)
erhält man
v(a) =
� �� R2 2π �� π
ρ(r) r2 sin ϑ
√
r2 − 2ar cos ϑ + a2 dϑ
� �
dϕ dr .
Mit
� π
0
R1
sin ϑ
√ dϑ =
r2 − 2ar cos ϑ + a2 ⎧
⎨
⎩
0
2
a
2
r
⎧
⎪⎨
v(a) = 4π
⎪⎩
1
a
0
für r ≤ a,
für r ≥ a
� R2
R1 � R2
R1
folgt
ρ(r)r 2 dr für a ≥ R2,
ρ(r)r dr für 0 ≤ a ≤ R1 .
Die Masse der Kugelschale ist M = 4π � R2
R1 ρ(r)r2 dr, also v(�x�) = M
�x� .
1 Newton-Potential einer Kugelschale im R 3 bei einer rotationsymmetrischen Dichteverteilung
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