1. ¨Ubungsblatt zur Analysis 3 (Lösungshinweise) - Aufgaben

Institut für Mathematik
Universität Hannover
Dr. Helmut Köditz
Klausur zur Analysis 3 (Lösungshinweise)
Bearbeitungszeit: 10.45 – 13.15
Hannover, den 24. Januar 2004
Aufgabe 1 (8 Punkte) Für R > 0 sei f : [0, R] → [0, ∞) eine stetige Funktion und
B := {(x, y, z) ∈ R3 : 0 ≤ x2 + y2 ≤ R2 , 0 ≤ z ≤ f( � x2 + y2 ) }. Man zeige:
� R
v3(B) = 2π rf(r) dr .
Beweis: Wir benutzen den Satz von Fubini, integrieren zunächst in z-Richtung und verwenden
dann Polarkoodinaten:
�
�
v3(B) = d(x, y, z) =
�� √ �
f( x2 +y2 )
�
dz d(x, y) = f( � x2 + y2 ) d(x, y)
=
B
� 2π
0
Br(0,0)
� R
� R
f(r) rdr dϕ = 2π rf(r) dr ✷.
0
0
0
0
Br(0,0)
Aufgabe 2 (8 Punkte) Man beweise die Existenz des Grenzwerts
� n
g := lim
n→∞
und berechne g.
0
�
1 + x
�n e
n
−2x dx
Beweis: Sei gn : [0, ∞) → R, gn(x) := � 1 + x
�n n e−2x für 0 ≤ x ≤ n und gn(x) := 0 für x > n. Es
gilt gn ∈ L1 ([0, ∞)) und limn→∞ gn(x) = e−x für alle x ≥ 0. Ferner folgt aus ex/n ≥ 1 + x
n sofort
� �
x n
1 + n ≤ ex , also gn(x) ≤ e−x . Da e−x über [0, ∞) integrierbar ist, liefert der Satz von Lebesgue
� n �
lim 1 +
n→∞
0
x
�n e
n
−2x � ∞
� ∞
dx = lim gn(x) dx = e
n→∞
0
0
−x dx = 1 ✷ .
Aufgabe 3 (8 Punkte)
Sei K ⊂ R n eine kompakte Menge und f ∈ L p (K) für ein p ≥ 1. Man zeige f ∈ L 1 (K) und
�
K
1
1−
|f(x)| dx ≤ vn(K) p �f�p .
Beweis: Aus der Theorie der Lp-Räume. Für p = 1 ist nichts zu beweisen. Sei also p > 1. Mit
wählen wir im Satz 10.4 der Vorlesung (Höldersche Ungleichung) die Funktion g ≡ 1.
1
q
:= 1 − 1
p
Da K kompakt und somit beschränkt ist, gilt g ∈ L q (K). Der Satz liefert dann f · g = f ∈ L 1 (K)
und
�
K
��
|f| dx ≤
K
|f| p � 1 ��
p
dx · 1
K
q � 1
1− p
dx
1
1
1−
= v3(K) p �f�p ✷.