1. ¨Ubungsblatt zur Analysis 3 (Lösungshinweise) - Aufgaben

Institut für Mathematik
Universität Hannover
Dr. H. Köditz
Aufgabe 44 (10 Punkte)
12. Übungsblatt zur Analysis 3 (Lösungshinweise)
Hannover, den 26. Januar 2004
Ein Heißluftballon H habe die Form einer Sphärenkappe vom Radius R und Öffnungsdurchmesser d < 2R,
d.h. H = {(x, y, z) : x 2 + y 2 + z 2 = R, −a ≤ z ≤ R } mit a > 0 und d = 2 √ R 2 − a 2 . Das heisse Gas dringt
durch die poröse Oberfläche mit der Geschwindigkeit v =rotF, F (x, y, z) = (−y, x, 0) t �
. Man berechne den
Fluss v d� S durch die Ballonoberfläche direkt und mit dem Satz von Stokes.
H
(i) Direkte Berechnung:
Die Parametrisierung mit Kugelkoordinaten lautet h(u, v) = R(cos u sin v, sin u sin v, cos v) t .
Mit �
H v d� S = − �
[0,2π]×[0,vd] (0, 0, 2)·(hu ×hv) dudv interessiert nur die letzte Koordinate des Kreuzprodukts
−2R2 sin v cos v. (Multiplikation mit −1, da wir die äußere Normale wollen.) Der Grenzwinkel lautet vd =
. Also:
π − arcsin d
2R
(ii) Mit Stokes:
�
H
v d � S =
� 2π � vd
Randparametrisierung �x(t) = ( d d
2 cos t, 2 sin t,
�
∂H
(−y, x, 0) d�s =
Aufgabe 45 (5 Punkte)
0
� 2π
0
0
2 sin v cos v dvdu = 2πR 2 sin 2 vd = d2 π
2 .
�
R 2 − d2
4
). Also:
(− d d
d
sin t, cos t, 0) · (−d sin t,
2 2 2 2 cos t, 0) dt = d2π 2
Sei A := {(x, y, z) : x 2 + y 2 = 1, y 2 + z 2 = 1}. Man zeige, dass M := A \ {(0, −1, 0), (0, 1, 0)} eine
1-dimensionale Untermannigfaltigkeit des R 3 ist.
Beweis:
Wir verifizieren die Definition der Vorlesung. Sei also p ∈ M und h(x, y, z) := (y, x 2 + y 2 − 1, y 2 + z 2 − 1) t .
Es folgt:
h ′ (x, y, z) =
⎛
⎝
0 1 0
2x 2y 0
0 2y 2z
⎞
⎠ und det h ′ (x, y, z) = −4xz .
x = 0 und z = 0 führt auf die Ausnahmepunkte, ist also auf M ausgeschlossen. Also ist h nach dem Satz über
die Umkehrfunktion aus Ana2 auf einer Umgebung von p eine Diffeomorphismus der den Bed. der Definition
genügt ✷.
1
✷ .